Системы ограничения. Текст монографии. Адаптивность к свойствам объекта, форме поверхности ограничения

• Название: Адаптивность к свойствам объекта, форме поверхности ограничения
• Анкор: Системы ограничения
• Дата: 28.03.2022
• Размер: 4.57 Mb.
• Имя файла: Текст монографии.doc
• Тип: Анализ; #422574
• страница: 6 из 22

2.1. Содержательная постановка задачи

Рассмотрим произвольный динамический объект, поведение которого описывается некоторой системой n обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений в форме Коши

(2.1)

где x – n-мерный вектор состояния динамической системы, определенный в пространстве ; a – r-мерный вектор параметров, принимающий значения из множества и характеризуемый свойствами объекта и среды; u – m-мерный вектор управляющих воздействий, формируемый системой управления и принадлежащий множеству ; t – текущее время, принадлежащее отрезку [t₀, t_k], на котором определено уравнение (2.1); - n-мерная векторная функция указанных аргументов.

Для системы (2.1) заданы начальные условия



и произвольное управление

. (2.2)

Пусть в пространстве задана некоторая выпуклая по отношению к текущему состоянию динамической системы стационарная поверхность ограничения

, (2.3)

разделяющая пространство на эксплуатационную и неэксплуатационную область. И известно, что "протыкание" поверхности (2.3) траекторией движения динамической системы x(t) недопустимо из условий ее существования.

Ставится задача автоматизации выдерживания ограничения, описанного уравнением (2.3) в пространстве состояний с помощью заранее определенного, релейно срабатываемого управления . Для чего необходимо в зависимости от заданного управления ограничения, темпа сближения с поверхностью, а также внутренних параметров самой динамической системы определить момент времени или точку в пространстве состояний , при котором выбранное управление обеспечит касание траекторией движения ДС поверхности ограничения, не протыкая последнюю (см. рис.2.1).



Рис.2.1

На рис.2.1 обозначено , - траектории движения ДС в пространстве с произвольным управлением и управлением ограничения соответственно; - вектор, характеризуемый точку на траектории движения динамической системы, в которой происходит срабатывание системы ограничения; - вектор предельного состояния ДС на траектории .

2.2. Общий случай выдерживания ограничения

Рассмотрим некоторым образом предварительно отнормированное пространство .

П
усть в этом пространстве заданы: точка М₀(x) с текущими координатами ДС, направление и скорость ее перемещения , поверхность ограничения, описанная уравнением (2.3). Геометрическая интерпретация задачи для двухмерного пространства представлена на рис.2.2.

Введем понятие дальности d (см. рис.2.2) под которым будем понимать кратчайшее расстояние между точкой М₀(x)  и поверхностью ограничения . В общем случае дальность dможет быть определена путем минимизации целевой функции [?]

, (2.4)

где - вектор, координаты которого характеризуют положение произвольной точки М₁(x_) лежащей на поверхности(x)=0. Координаты вектора также можно определить, используя уравнение нормали к поверхности ограничения, проходящей через точку М₀(x), на основании очевидного факта, что линия, содержащая кратчайшее расстояние от точки М₀(x) до поверхности ограничения совпадает с нормалью к поверхности ограничения в точке М₁(x_).

Следует отметить, что любое смещение в пространстве точки М₀(x) вызывает соответствующее смещение по поверхности ограничения точки М₁(x_), удовлетворяющей min . Поэтому имеет место следующая формальная зависимость

. (2.5)

В дальнейшем индекс будет опущен.

Рассмотрим в терминах дальности процедуру выхода на границу , с учетом ее непротыкания. Для этого проанализируем два характерных интервала времени. Первый интервал представляет собой время достижения ДС поверхности ограничения. Обозначим его - . Второй интервал – располагаемое время , за которое можно погасить темп сближения с поверхностью ограничения до нуля. Оба временных интервала определяются в предположении, что для ДС реализуется управление ограничения

. (2.6)

Естественно предположить, что при достижении равенства

= (2.7)

траектория движения ДС с управлением (2.6), включенным в момент времени (2.7), лишь коснется поверхности ограничения (см. рис.2.2).

Выразим величины и через дальность d и ее производные в предположении, что функция (2.4) определена и дифференцируема на рассматриваемом временном интервале. Тогда время достижения ДС поверхности ограничения будет равно отношению

, (2.8)

где - средняя скорость сближения точки М₀(x) с поверхностью ограничения .

Задавшись условием, что

(2.9)

и сделав допущение о линейности сброса скорости от текущего значения до нуля, обеспечив , можно показать, что

. (2.10)

Подставив (2.10) в (2.8), для времени достижения , имеем следующую зависимость

. (2.11)

По аналогии с выражением (2.8), в пространстве производных более высокого порядка располагаемое время , в соответствии с ее физическим смыслом, определяется выражением

. (2.12)

Здесь - располагаемое ускорение торможения динамической системы под действием управления ограничения (2.6).

Следует отметить, что для корректного решения задачи выдерживания ограничений в данной постановке, также как и для времени достижения, необходимо обеспечить

. (2.13)

Приравнивая уравнения (2.11) и (2.12), и решая их относительно дальности d, получим зависимость для определения расстояния до поверхности ограничения , при достижении которого необходимо включать управление (2.6). Проделав соответствующие преобразования, имеем

. (2.14)

В (2.14) и определяются путем формального нахождения первой и второй производной (с учетом (2.6)) от зависимости (2.5) по t как по параметру. Проделав данную процедуру, имеем

(2.15)

и в линейной постановке

(2.16)

(слагаемое для упрощения дальнейших выкладок в (2.16) не учитывается).

Основной проблемой вычисления значений и по (2.15), (2.16) является получение аналитической зависимости для частных производных , физический смысл которых иллюстрируется на рис.2.3 (на рисунке приращение расстояния вызвано перемещением точки М(x) на величину , а приращение - смещением по поверхности точки М(x_) на величину ). Эта проблема заключается в том, что в процедуре их вычисления присутствует, постоянно осуществляемая, операция минимизации функции (2.4). Если же динамическая система перемещается в пространстве строго по нормали к поверхности ограничения , то и первый сомножитель в (2.15) и (2.16) равен

Рис.2.3

.

Путь разрешения указанной проблемы будет представлен в последующих параграфах.

Анализ выражения (2.14) и его компонент (2.15), (2.16) показывает следующее.

Во-первых, при определении участка учитываются:

• 
  собственные свойства ДС - ,
  

• 
  ее нестационарность - ,
  

• 
  параметры среды - a,
  

• 
  составляющая изменения расстояния до поверхности ограничения с учетом кривизны последней, в случае перемещения ДС по произвольной пространственной линии, не совпадающей с нормалью - ,
  

• 
  доверенное управление ограничения - .
  

Все это позволяет сделать вывод о наличии адаптационных свойств алгоритма выдерживания ограничений к конфигурации поверхности ограничения, свойствам среды и самой ДС.

Во-вторых: из (2.16) можно предположить, что под действием управления ограничения (2.6) произойдет изменение на участке ограничения, что противоречит основополагающему условию (2.13). Для его безусловного выполнения необходимо путем ведения компенсационного управления в (2.6), то есть, положив

,

обеспечить

, (2.17)

где , - располагаемое ускорение торможения и векторная функция в момент срабатывания системы ограничения, соответственно.

В этом случае (2.16) можно переписать в виде

, (2.18)

откуда выразив

,

с учетом (2.17) получим выражение для компенсационного управления

. (2.19)

Здесь и далее знак  соответствует операции псевдообращения неквадратных и вырожденных матриц [25]. Необходимо отметить, что величина компенсационного управления не зависит от параметров поверхности ограничения и расстояния до нее, а зависит только от свойств самой динамической системы.

В итоге для адаптивной системы выдерживания ограничения имеем следующий алгоритм ее срабатывания

(2.20)

В (2.20) имеет смысл предварительно выбранного управляющего воздействия, доверенного системе выдерживания ограничений, а обеспечивает текущую подстройку алгоритма к нерасчетным условиям функционирования ДС.