Системы ограничения. Текст монографии. Адаптивность к свойствам объекта, форме поверхности ограничения

• Название: Адаптивность к свойствам объекта, форме поверхности ограничения
• Анкор: Системы ограничения
• Дата: 28.03.2022
• Размер: 4.57 Mb.
• Имя файла: Текст монографии.doc
• Тип: Анализ; #422574
• страница: 8 из 22

2.4. Синтез алгоритмического обеспечения адаптивной системы ограничения для частных моделей ДС

2.4.1. Некоторые способы описания стационарных поверхностей ограничения

Выше было показано, что предлагаемый метод выдерживания ограничений основан на анализе в метрическом пространстве такого интегрального параметра, как расстояние d между точкой М₀(x), характеризующей текущее состояние динамической системы и поверхностью ограничения . Наибольшей трудностью в использовании изложенного метода представляется получение аналитической функциональной зависимости для параметра d (2.5) и нахождение его производных (2.15), (2.16) при рассмотрении сложных поверхностей ограничения. Для решения этой задачи могут быть предложены следующие подходы:

1). Поверхность ограничения аппроксимируется многогранником, грани которого представляют собой гиперплоскости, описываемые матричным уравнением вида

, (2.29)

где , - матрица строка и скаляр соответственно, характеризующие положение s-той гиперплоскости в пространстве; s – номер грани многогранника. Иллюстрация этого случая для двухмерного пространства представлена на рис.2.7.



Рис.2.7

Тогда, в соответствии с аналитической геометрией в пространстве [24], расстояние до гиперплоскости, сквозь которую прогнозируется протыкание (на рис.2.7 это грань – s) может быть определено с помощью элементарного выражения

. (2.30)

В (2.30) ; ; - модуль вектора.

Очевидна простота данного подхода. Однако его реализация проблематична из-за необходимости анализа бесчисленного множества гиперплоскостей и интервалов их существования. Снижение же количества аппроксимирующих гиперплоскостей, снизит точность выдерживания границы (см. рис.2.8).



Рис.2.8

2). Другой подход [2], с точки зрения авторов, более предпочтителен. Он основывается на текущем анализе предыстории движения ДС. Используя этот анализ можно задать уравнение траектории, например, в виде

(2.31)

(в наиболее простом случае – это может быть уравнение пространственной линии).

Решая совместно систему уравнений траектории и поверхности ограничения

(2.32)

можно определить координаты точки Т₁ прогнозируемого протыкания траекторией движения ДС поверхности ограничения (см. рис.2.9).

Построим в точке Т₁ касательную гиперплоскость к поверхности ограничения. Ее уравнение будет иметь вид

. (2.33)





Введя обозначения

,

где а – матрица строка, с – скаляр,получим уравнение касательной гиперплоскости к поверхности ограничения в общем виде

. (2.34)

В дальнейшем будем использовать выражение (2.34) в качестве уравнения гиперплоскости ограничения. Необходимо отметить, что при изменении траектории движения в процессе уклонения от поверхности ограничения будут изменяться и координаты точки , принадлежащей поверхности , следовательно, будет изменяться и положение в пространстве граничной гиперплоскости. Таким образом, цикличный перерасчет параметров гиперплоскости позволит обеспечить алгоритмам ограничения свойства адаптивности к форме поверхности ограничения. На рис.2.9 точка Т₁ характеризует первоначальное положение касательной к поверхности , а точка Т_k – ее конечное положение.

В итоге, текущая дальность до гиперплоскости (2.34) определится как

, (2.35)

где .