Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 14 из 15

Вопрос:
какой способ проще?

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
90
Пример 32.
Решение:
а) Дважды интегрируем правую часть:
2 1
2 1
1 2
3
)
3
(
3 3
C
x
C
x
dx
C
x
y
C
x
dx
y











Ответ:
const
C
C
где
C
x
C
x
y




2 1
2 1
2
,
,
2 3
б) Преобразуем уравнение:
x
x
y
2
sin



. Данное ДУ имеет вид
)
(x
f
y


.
Дважды интегрируем правую часть:
2 1
5 2
1 2
5 1
2 3
1 2
3 2
1 2
sin
4 1
15 4
2
sin
2 1
2 1
5 2
3 2
2
cos
2 1
3 2
2
cos
2 1
3 2
)
2
sin
(
C
x
C
x
x
C
x
C
x
x
dx
C
x
x
y
C
x
x
dx
x
x
y



























Ответ: общее решение:
const
C
C
где
C
x
C
x
x
y





2 1
2 1
5
,
,
2
sin
4 1
15 4
в) Трижды интегрируем правую часть:
3 2
2 1
2 1
2 1
1 1
2
)
(
0
C
x
C
x
C
dx
C
x
C
y
C
x
C
dx
C
y
C
dx
y
















Ответ: общее решение:
const
C
C
C
где
C
x
C
x
C
y




3 2
1 3
2 2
1
,
,
,
2
Пример 34.
Решение: Преобразуем уравнение:
3 6
x
y


Данное уравнение имеет вид
)
(x
f
y


. Трижды интегрируем правую часть:
1 2
1 2
3 3
)
2
(
1 6
6
C
x
C
x
x
dx
y










В соответствии с начальным условием:
4 1
3
)
1
(
1 1







C
C
y
2 2
4 3
4 3
C
x
x
dx
x
y














В соответствии с начальным условием:
2 5
4 3
)
1
(
2 2








C
C
y
3 2
2 2
ln
3 2
4 3
C
x
x
x
dx
x
x
y














В соответствии с начальным условием:
0 0
2 2
0
)
1
(
3 3







C
C
y
Ответ: частное решение:
x
x
x
y
2 2
ln
3 2




© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
91
Пример 36.
Решение: В данном уравнении в явном виде не участвуют функция
y
и
первая производная
y

. Проведём замену:
z
y


Если
z
y


, то
z
y



Таким образом, уравнение понижено до первого порядка:
z
x
z
x




cos
)
sin
1
(
В результате получено уравнение с разделяющимися переменными, разделяем
переменные и интегрируем:
)
sin
1
(
)
sin
1
(
ln ln ln sin
1
ln ln
)
sin
1
(
)
sin
1
(
)
sin
1
(
cos cos
)
sin
1
(
1 1
1
x
C
z
x
C
z
C
x
z
x
x
d
z
dz
x
xdx
z
dz
z
x
dx
dz
x

















Проведём обратную замену:
y
z




x
C
y
sin
1 1



Данное уравнение имеет вид:
)
(x
f
y


.
Дважды интегрируем правую часть:
2 1
1
)
cos
(
)
sin
1
(
C
x
x
C
dx
x
C
y







3 2
2 1
2 1
sin
2
)
)
cos
(
(
C
x
C
x
x
C
dx
C
x
x
C
y














Ответ: общее решение:
const
C
C
C
где
C
x
C
x
x
C
y











3 2
1 3
2 2
1
,
,
,
sin
2
Пример 38.
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
0
)
4
(
0 4
2








0 1


,
4 2


– различные действительные корни
Ответ: общее решение:
const
C
C
где
e
C
C
y
x



2 1
4 2
1
,
,
Проверка: найдем производные
x
x
x
e
C
e
C
e
C
C
y
4 2
4 2
4 2
1 4
4 0
)
(







,
x
x
e
C
e
C
y
4 2
4 2
16
)
4
(




и подставим их в левую часть исходного уравнения:
0 4
4 16 4
4 2
4 2







x
x
e
C
e
C
y
y
– в результате получена правая часть , таким
образом, общее решение найдено правильно.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
92
Пример 40.
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
0 1
2 2





0
)
1
(
2



Получены два кратных действительных корня
1 2
,
1



Ответ: общее решение:
const
C
C
где
xe
C
e
C
y
x
x





2 1
2 1
,
,
Пример 42.
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
0 5
4 2





4 20 16




D
i
i




2 2
2 4
2
,
1

– сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:
const
C
C
где
x
C
x
C
e
y
x



2 1
2 1
2
,
),
sin cos
(
Пример 44.
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
0 4
2



i
2 2
,
1



– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
const
C
C
где
x
C
x
C
y



2 1
2 1
,
,
2
cos
2
sin
(здесь для разнообразия я на первое
место поставил синус)
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
2 2
1 2
1 1
0 2
cos
2
sin
)
(
C
C
C
C
C
y










, то есть
1
)
(
2



C
y

, (значение
константы получилось сразу же).
x
C
x
C
x
C
x
C
y
2
sin
2 2
cos
2
)
2
cos
2
sin
(
2 1
2 1






1 2
1 2
1 2
1 2
0 2
)
1
(
2
sin
2
cos
2 2
2
sin
2 2
2
cos
2 2
C
C
C
C
C
C
C
y














 






 













То есть
2 4
2 2
1 1













C
C
y

.
Ответ: частное решение:
x
x
y
2
cos
2
sin
2


Проверка:
1 1
0 2
cos
2
sin
2
)
(









y
– начальное условие выполнено.
x
x
x
x
y
2
sin
2 2
cos
4
)
2
cos
2
sin
2
(






4 0
4
sin
2
cos
4 2

















y
– второе начальное условие выполнено.
x
x
x
x
y
2
cos
4 2
sin
8
)
2
sin
2 2
cos
4
(







Подставим
x
x
y
2
cos
2
sin
2


и
x
x
y
2
cos
4 2
sin
8




в левую часть исходного
уравнения:
0 2
cos
4 2
sin
8 2
cos
4 2
sin
8
)
2
cos
2
sin
2
(
4 2
cos
4 2
sin
8 4














x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
Получена правая часть исходного уравнения (ноль).
Такие образом, частное решение найдено верно.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
93
Пример 46.
Решение:
а) 1) Найдём обще решение соответствующего однородного уравнения:
0 3
2





y
y
y
Составим и решим характеристическое уравнение:
8 12 4
0 3
2 2







D


i
i
2 1
2 2
2 2
2
,
1







– получены сопряженные комплексные корни, таким
образом:
)
2
sin
2
cos
(
2 1
x
C
x
C
e
Y
x



2) Подберём частное решение
y

неоднородного уравнения. Так как правая часть
4
)
(

x
f
неоднородного уравнения является константой, то в качестве первоначального
варианта подбора рассматриваем
A
y


, где
A
– пока ещё неизвестный коэффициент.
Поскольку в общем решении
)
2
cos
2
sin
(
2 1
x
C
x
C
e
Y
x



НЕТ «одинокой» константы,
то частное решение следует искать в том же виде
A
y


.
Подставим
A
y


и очевидные производные
0

,
0





y
y
в левую часть исходного
уравнения
4 3
2





y
y
y
:
4 3
3 0
2 0





A
A
– после упрощений приравниваем результат к правой части
исходного уравнения. Из последнего равенства следует, что
3 4

A
– подставляем
найденное значение в «заготовку»:
3 4



A
y
.
Для проверки подставим
3 4


y
и
0

,
0 3
4













y
y
в неоднородное уравнение:
4 3
4 3
0 2
0





4 4

– получено верное равенство, т.е. частное решение найдено правильно.
3) Составим общее решение неоднородного уравнения:
3 4
)
2
sin
2
cos
(

2 1






x
C
x
C
e
y
Y
y
x
Ответ:
const
C
C
где
x
C
x
C
e
y
Y
y
x







2 1
2 1
,
,
3 4
)
2
sin
2
cos
(

б) 1)Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём
наш неоднородный диффур
3 8
4
x
y
y



и обнуляем правую часть:
0 4



y
y
Составим и решим характеристическое уравнение:
0
)
2
)(
2
(
0 4
2








2
,
2 2
1





– получены различные действительные корни, поэтому общее
решение:
x
x
e
C
e
C
Y
2 2
2 1




© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
94
2) Найдём частное решение
y

неоднородного уравнения
3 8
4
x
y
y



.
Поскольку в правой части находится многочлен 3-й степени, то в качестве
первоначальной версии подбора выдвигаем
D
Cx
Bx
Ax
y




2 3

, где
D
C
B
A
,
,
,
– пока
ещё неизвестные коэффициенты.
Теперь смотрим на общее решение
x
x
e
C
e
C
Y
2 2
2 1



– в нём нет ни члена
3
*
x
C
, ни
2
*
x
C
, ни
x
C
*
, ни константы
*
C . Таким образом, подобных членов нет и домножать
y

на
«икс» не нужно. Ищем частное решение в виде
D
Cx
Bx
Ax
y




2 3

.
Найдём первую и вторую производную:
C
Bx
Ax
D
Cx
Bx
Ax
y









2 3
)
(

2 2
3
B
Ax
C
Bx
Ax
y
2 6
)
2 3
(

2







Подставим
y

и
y


в левую часть неоднородного уравнения, раскроем скобки:









)
(
4 2
6

4

2 3
D
Cx
Bx
Ax
B
Ax
y
y
3 2
3 8
4 4
4 4
2 6
x
D
Cx
Bx
Ax
B
Ax







– и приравняем результат к правой
части
3 8x
исходного уравнения.
Теперь нужно приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и
составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:
Уравнения лучше записать в порядке убывания степеней, начиная с
коэффициентов при кубах «икс»:





























0 3
0 2
0 4
2 0
4 6
0 4
8 4
D
C
B
A
D
B
C
A
B
A
В данном случае система получилась очень простой, и многие из вас, наверное,
справились с ней устно. Подставляем найденные значения
D
C
B
A
,
,
,
в наш исходный
подбор
D
Cx
Bx
Ax
y




2 3

:
x
x
x
x
x
y
3 2
0 3
0 2

3 2
3









– частное решение неоднородного уравнения:
И сразу выполним