Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 12 из 15

Ответ: общий интеграл:
const
C
где
C
e
x
y
e
x
y







,
)
1
ln(
)
1
(
б) Решение: разделяем переменные и интегрируем:
y
x
y
x
y





2 3
3 3
3 2





y
y
x
y
x
3
)
3
(
2



y
dx
dy
x
x
x
x
dx
y
dy



2 3
3





)
1 3
(
3
x
x
dx
y
dy
Методом
неопределенных коэффициентов
разложим подынтегральную функцию в
сумму элементарных дробей:
)
1 3
(
1 1
3




x
x
x
B
x
A
1
)
1 3
(



Bx
x
A
3 1
0 3









B
A
B
A
Примечание: интеграл


x
x
dx
2 3
можно было также найти
методом выделения
полного квадрата
.











dx
x
x
y
1 3
3 1
3
ln







1 3
)
1 3
(
3
ln
x
x
d
x
dx
y
C
x
x
y
ln
1 3
ln ln
3
ln





1 3
ln
3
ln



x
Cx
y
1 3
3



x
Cx
y
Ответ: общее решение:
const
C
где
x
Cx
y




,
3 1
3

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
78
Пример 11.
Решение: проверим уравнение на однородность, для этого вместо x
подставим
x

, а вместо
y
подставим
y

:
x
y
xtg
y
y
x
x
y
xtg
y
y
x













)
(
x
y
xtg
y
y
x



– в результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ
является однородным.
Проведем замену:
t
x
t
y
tx
y






– подставим в исходное уравнение и
проведём максимальные упрощения:
tgt
t
t
x
t
x
tx
xtg
tx
t
x
t
x








)
(
t
t
dx
dt
x
cos sin

(использовали тригонометрическую формулу



cos sin

tg
).
Разделяем переменные и интегрируем:
C
x
t
x
dx
t
t
d
x
dx
t
tdt
ln ln sin ln sin
)
(sin sin cos






Перед обратной заменой результат целесообразно упростить:
Cx
t
Cx
t


sin ln sin ln
Обратная замена
x
y
t

:
Cx
x
y

sin
Ответ: общий интеграл:
const
C
где
C
x
y
x


,
sin
1
Проверка: дифференцируем ответ:
0
cos
1
sin
1 0
sin
1
sin
1
)
(
sin
1 2






































x
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
C
x
y
x

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
79 0
cos
1
sin
1 2
2






x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
умножаем обе части на
3
x :
0
cos
)
(
sin





x
y
y
x
y
x
y
x
и делим на
x
y
cos
:
0
)
(





y
x
y
x
y
xtg
x
y
xtg
y
y
x



– получено исходное ДУ, значит, общий интеграл найден верно.
Примечание
: очевидно, что
0

y
является решением уравнения, и это решение
вошло в общий интеграл
С
x
y
x

sin
1
при нулевом значении константы. Однако мы
рисковали его потерять, это произошло в тот момент, когда





 
x
y
t
t
sin
оказался в
знаменателе. Более подробно об этом нюансе можно узнать в следующих примерах.
Пример 14.
а) Решение: данное уравнение является однородным, проведем замену:
t
x
t
dy
tx
y





)
(
)
(
2 2
2
t
x
t
tx
x
t
x
t
x
x
t







После подстановки проводим максимальные упрощения:
t
t
t
x
t
t
x
tx
t
x
t
tx
t
tx
t
t
x
t
t
tx
t
t
x
t
t




















)
1
(
)
(
2 2
разделяем переменные:
x
dx
t
dt
t
t
dx
dt
t
x




)
1
(
)
1
(
Контроль потенциально потерянных решений:
0

x
– не является решением уравнения
y
xy
y
x
y




2 2
,
а вот
0 0




y
x
y
t
, очевидно, является.
Интегрируем:
С
x
t
t
x
dx
dt
t









 


ln ln
1 1

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
80
и перед обратной заменой записываем уравнение как можно компактнее:


С
tx
t
С
x
t
t
С
x
t
t








ln ln ln ln ln
Проведём обратную замену
x
y
t

:
С
y
x
y
С
x
x
y
x
y





ln ln
Решение
0

y
в общий интеграл не вошло, и поэтому его следует дополнительно
прописать в ответе:
общий интеграл:
const
C
где
С
y
x
y



,
ln
, ещё одно решение:
0

y
.
Выполним проверку:
 
0 1
0
ln
)
0
(
ln
2
























 
y
y
x
y
x
y
y
x
y
y
x
y
приводим к общему знаменателю:
0
)
(
2 2







y
x
x
y
y
y
x
y
и умножаем обе части на
y
x
2
:
0 2
2





y
x
y
y
xy
y
xy
y
x
y




2 2
– в результате получено исходное дифференциальное уравнение,
таким образом, общий интеграл найден верно.
б) Решение:разделим обе части уравнения на
dx
:
0
)
(




y
y
y
x
, при этом
С
x

не является решением исходного уравнения,
поэтому корней мы точно не потеряем.
Проведем замену
t
x
t
y
tx
y






и максимально упростим уравнение:
0 2
)
1
(
0
)
1
(
0
)
1
(
)
1
(
0
)
)(
1
(
0
)
)(
1
(
0
)
)(
(
2 2
































t
t
x
t
t
t
t
t
x
t
t
t
t
t
x
t
t
t
t
x
t
t
tx
t
x
t
t
x
tx
t
x
t
tx
x

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
81
Разделяем переменные:
x
dx
t
t
dt
t
t
t
dx
dt
x
t









)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
2
Контроль потенциально потерянных решений:
x
y
x
y
t
y
x
y
t
2 2
0 2
0 0
0













Первая функция, очевидно, является решением уравнения
0
)
(




y
y
y
x
,
проверяем вторую подстановкой
x
y
2


и её производной
2



y
:
0 2
2 0
2
)
2
(
)
2
(







x
x
x
x
x
0 0

– получено верное равенство, значит, функция
x
y
2


является решением.
Интегрируем:
*
2
*
2 2
2
ln ln
2
ln
2 1
ln ln
2
)
2
(
2 1
2
)
1
(
C
x
t
t
C
x
t
t
t
t
d
x
dx
t
t
dt
t
















умножим обе части на 2:
*
2
ln
2
ln
2 2
ln
C
x
t
t




переобозначим константу
*
ln
2
C
через
С
ln
:
С
x
t
t
ln ln
2 2
ln
2




и «упаковываем» логарифмы:
2 2
2 2
ln
2
ln ln ln
2
ln
x
C
t
t
С
x
t
t






2 2
2
x
C
t
t


Обратная замена:
x
y
t

2 2
2 2
x
C
x
y
x
y


Умножим все слагаемые на
2
x
:
C
xy
y


2 2
Решения
x
y
y
2
,
0



вошли в общий интеграл при нулевом значении константы.
Ответ: общий интеграл:
const
C
где
C
xy
y



,
2 2

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
82
Проверка: дифференцируем общий интеграл:
0
)
(
0
)
(
0 0
)
(
2 2
0
)
(
2
)
(
)
(
)
2
(
2 2

























ydx
dy
y
x
y
y
y
x
y
x
y
y
y
y
x
y
y
y
xy
y
C
xy
y
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.
Пример 17.
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным,
проведем замену
v
u
v
u
y
uv
y







:
x
uvtgx
v
u
v
u
cos
1





x
vtgx
v
u
v
u
cos
1
)
(





Составим и решим систему:









x
v
u
vtgx
v
cos
1 0
Из первого уравнения найдем v :
x
x
v
dx
dv
cos sin



dx
x
x
v
dv
cos sin





x
x
d
v
dv
cos
)
(cos
x
v
cos ln ln

x
v
cos

– подставим во второе уравнение
x
v
u
cos
1


системы:
x
x
u
cos
1
cos



x
dx
du
2
cos
1

C
tgx
x
dx
u




2
cos
Таким образом:
x
C
x
x
x
C
tgx
uv
y
cos cos sin cos
)
(













Ответ: общее решение:
const
C
где
x
x
С
y



,
sin cos
.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
83
Проверка: подставим
x
x
С
y
sin cos


и
x
x
С
y
cos sin




в левую часть
исходного уравнения:















x
x
x
С
x
x
С
x
x
x
x
С
x
x
С
ytgx
y
cos sin sin cos sin cos sin
)
sin cos
(
cos sin
2
x
x
x
x
x
x
x
cos
1
cos sin cos cos sin cos
2 2
2





– в результате получена правая часть
уравнения, значит, решение найдено верно.
Пример 19.
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным,
проведём замену
v
u
v
u
y
uv
y







:
3
)
1
(
1 2







x
x
uv
v
u
v
u
3
)
1
(
1 2













x
u
x
v
v
v
u
Составим и решим систему:











3
)
1
(
0 1
2
x
v
u
x
v
v
.
Из первого уравнения найдем v :
1 2


x
v
dx
dv




1 2
x
dx
v
dv
1
ln
2
ln


x
v
2
)
1
(


x
v
– подставим во второе уравнение системы:
3 2
)
1
(
)
1
(




x
x
u
)
1
(


x
dx
du
C
x
dx
x
u






2
)
1
(
)
1
(
2
Таким образом, общее решение:
const
C
где
x
x
C
x
C
x
uv
y

















,
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
4 2
2 2
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
0 2
1 2
1
)
0
(





C
C
y