Главная страница
Навигация по странице:

  • Случай второй. Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня

  • Пример 39 Решить дифференциальное уравнение 0 96 y y y Решение

  • Пример 40 Решить самостоятельно дифференциальное уравнение 0 2 y y y Случай третий.

  • Пример 41 Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка 0 10 2 y y y Решение

  • Ответ

  • Вывод

  • 2.3. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

  • Блицкурс Дифференциальные уравнения


    Скачать 1.82 Mb.
    НазваниеБлицкурс Дифференциальные уравнения
    Дата19.06.2022
    Размер1.82 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаintensiv_diffury.pdf
    ТипМетодичка
    #604390
    страница8 из 15
    1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   15
    часть уравнения
    0 2




    
    y
    y
    y
    :











    



    )
    (
    2
    )
    2
    (
    4 2
    2 2
    1 2
    2 1
    2 2
    1
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    e
    C
    e
    C
    e
    C
    e
    C
    e
    C
    e
    C
    y
    y
    y
    0 2
    2 2
    4 2
    2 1
    2 2
    1 2
    2 1










    x
    x
    x
    x
    x
    x
    e
    C
    e
    C
    e
    C
    e
    C
    e
    C
    e
    C
    – в результате получена правая часть исходного уравнения (ноль), значит, общее решение
    x
    x
    e
    C
    e
    C
    y
    2 2
    1



    удовлетворяет уравнению
    0 2




    
    y
    y
    y
    и найдено правильно.
    Проделанный «длинный путь» был не лишним – этот навык потребуется нам в дальнейшем, и поэтому со всей серьёзностью отнеситесь к следующему заданию:
    Пример 38
    Найти общее решение дифференциального уравнения, выполнить проверку
    0 4



    
    y
    y
    Решение и ответ в конце книги.
    Случай второй.
    Характеристическое уравнение имеет два кратных
    действительных корня
    Если характеристическое уравнение
    0 2



    q
    p


    имеет два кратных
    (совпавших) действительных корня
    2 1



    (дискриминант
    0

    D
    ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
    x
    x
    xe
    C
    e
    C
    y
    1 1
    2 1




    , где
    2 1
    , C
    C
    – константы. Вместо
    1

    в формуле можно нарисовать
    2

    или пару
    2 1
    ,


    , корни всё равно одинаковы.
    Если оба корня равны нулю
    0 2
    1




    , то общее решение опять же упрощается:
    x
    C
    C
    xe
    C
    e
    C
    y
    x
    x
    2 1
    0 2
    0 1






    . Кстати,
    x
    C
    C
    y
    2 1


    является общим решением того самого примитивного уравнения
    0

    
    y
    . И в самом деле – его характеристическое уравнение
    0 2


    как раз и имеет совпавшие нулевые корни
    0 2
    1




    . Кроме того, решение этого диффура можно получить двукратным интегрирование правой части
    :
    2 1
    1 1
    0
    C
    x
    C
    dx
    C
    y
    C
    dx
    y








    И это были последние интегралы в этой книге!

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    57
    Пример 39
    Решить дифференциальное уравнение
    0 9
    6




    
    y
    y
    y
    Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
    0 9
    6 2





    Здесь можно вычислить дискриминант, равный нулю, и найти кратные корни. Но можно невозбранно применить известную школьную формулу
    2 2
    2
    )
    (
    2
    b
    a
    b
    ab
    a




    (которую, конечно, ещё нужно «увидеть»):
    0
    )
    3
    (
    2



    – получены два кратных действительных корня
    3 2
    ,
    1


    Ответ: общее решение:
    const
    C
    C
    xe
    C
    e
    C
    y
    x
    x



    2 1
    3 2
    3 1
    ,
    где
    ,
    Результат можно записать и в виде
    x
    e
    C
    x
    C
    y
    3 1
    2
    )
    (


    , который, кстати, удобен для
    проверки. Найдём первую производную:
    x
    x
    x
    x
    e
    C
    C
    x
    C
    e
    C
    x
    C
    e
    C
    e
    C
    x
    C
    y
    3 2
    1 2
    3 1
    2 3
    2 3
    1 2
    )
    3 3
    (
    )
    (
    3
    )
    )
    ((










    , вторую:
    x
    x
    x
    x
    e
    C
    C
    x
    C
    e
    C
    C
    x
    C
    e
    C
    e
    C
    C
    x
    C
    y
    3 2
    1 2
    3 2
    1 2
    3 2
    3 2
    1 2
    )
    6 9
    9
    (
    )
    3 3
    (
    3 3
    )
    )
    3 3
    ((











    
    – обратите внимание на рациональную технику дифференцирования – часть действий можно (и на данный момент уже нужно!) выполнять устно.
    Подставляем
    x
    x
    e
    C
    C
    x
    C
    y
    e
    C
    x
    C
    y
    3 2
    1 2
    3 1
    2
    )
    3 3
    (
    ,
    )
    (






    и
    x
    e
    C
    C
    x
    C
    y
    3 2
    1 2
    )
    6 9
    9
    (



    
    в левую часть уравнения, «собираем» всё под единой скобкой и проводим упрощения:












    
    x
    x
    x
    e
    C
    x
    C
    e
    C
    C
    x
    C
    e
    C
    C
    x
    C
    y
    y
    y
    3 1
    2 3
    2 1
    2 3
    2 1
    2
    )
    (
    9
    )
    3 3
    (
    6
    )
    6 9
    9
    (
    9 6
    0 0
    )
    9 9
    6 18 18 6
    9 9
    (
    3 3
    1 2
    2 1
    2 2
    1 2











    x
    x
    e
    e
    C
    x
    C
    C
    C
    x
    C
    C
    C
    x
    C
    – в результате получена правая часть исходного уравнения, значит, решение найдено правильно.
    Пример 40
    Решить самостоятельно дифференциальное уравнение
    0 2




    
    y
    y
    y
    Случай третий.
    Характеристическое уравнение имеет сопряженные
    комплексные корни. Даже если вы не знаете, что такое
    комплексные числа
    , этот случай можно освоить чисто формально.
    Если характеристическое уравнение
    0 2



    q
    p


    имеет сопряженные комплексные корня
    i





    1
    ,
    i





    2
    (дискриминант
    0

    D
    ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:


    x
    C
    x
    C
    e
    y
    x



    sin cos
    2 1



    , где
    2 1
    , C
    C
    – константы.
    Косинус с синусом можно поменять местами:


    x
    C
    x
    C
    e
    y
    x



    cos sin
    2 1



    – это не принципиально, но обычно первым записывают косинус.
    Примечание:
    сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко,
    следующим образом:
    i





    2
    ,
    1
    Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни:
    i




    2
    ,
    1
    , то общее решение упрощается:


    x
    C
    x
    C
    x
    C
    x
    C
    e
    y
    x




    sin cos sin cos
    2 1
    2 1
    0







    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    58
    Пример 41
    Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
    0 10 2




    
    y
    y
    y
    Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
    36 40 4
    0 10 2
    2







    D


    i
    i
    3 1
    2 6
    2 2
    ,
    1





    – получены сопряженные комплексные корни
    Ответ: общее решение:
    const
    C
    C
    x
    C
    x
    C
    e
    y
    x



    2 1
    2 1
    ,
    где
    ,
    )
    3
    sin
    3
    cos
    (
    «Тягать» производные и выполнять громоздкую подстановку тут уже, конечно, не хочется (хотя иногда приходится), и поэтому в качестве достаточно надежной проверки рациональнее перепроверить решение квадратного уравнения… 1-2-3 раза 
    Аналогичный пример для самостоятельного решения:
    Пример 42
    Решить уравнение
    0 5
    4




    
    y
    y
    y
    Иногда в заданиях требуется найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, то есть, решить задачу Коши. Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце задачи добавляется дополнительный пункт:
    Пример 43
    Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
    1
    )
    0
    (

    y
    ,
    2
    )
    0
    (


    y
    0 4


    
    y
    y
    Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
    0
    )
    2
    )(
    2
    (
    0 4
    2








    2 1



    ,
    2 2


    Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:
    const
    C
    C
    e
    C
    e
    C
    y
    x
    x




    2 1
    2 2
    2 1
    ,
    где
    ,
    Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения констант
    2 1
    ,C
    C
    ,
    чтобы выполнялись ОБА условия. Алгоритм нахождения частного решения будет отличаться от «отстрела» констант, который мы использовали ранее.
    Сначала используем начальное условие
    1
    )
    0
    (

    y
    :
    2 1
    0 2
    2 0
    2 1
    )
    0
    (
    C
    C
    e
    C
    e
    C
    y







    Согласно начальному условию, получаем первое уравнение:
    1
    )
    0
    (
    2 1



    C
    C
    y
    или просто
    1 2
    1


    C
    C

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    59
    Далее берём наше общее решение
    x
    x
    e
    C
    e
    C
    y
    2 2
    2 1



    и находим производную:
    x
    x
    x
    x
    e
    C
    e
    C
    e
    C
    e
    C
    y
    2 2
    2 1
    2 2
    2 1
    2 2
    )
    (









    Используем второе начальное условие
    2
    )
    0
    (


    y
    :
    2 1
    0 2
    2 0
    2 1
    2 2
    2 2
    )
    0
    (
    C
    C
    e
    C
    e
    C
    y










    Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение:
    2 2
    2
    )
    0
    (
    2 1





    C
    C
    y
    или просто
    2 2
    2 2
    1



    C
    C
    , или ещё проще – все члены уравнения можно сразу разделить на два:
    1 2
    1



    C
    C
    Составим и решим систему из двух найденных уравнений:








    1 1
    2 1
    2 1
    C
    C
    C
    C
    Здесь можно использовать «школьный» метод решения (выразить в каком-нибудь
    уравнении одну переменную через другую и подставить её во второе уравнение), но удобнее провести почленное сложение уравнений:
    2 2
    0
    ||
    ||
    ||
    1 1
    2 2
    1 2
    1









    C
    C
    C
    C
    C
    из уравнения
    2 2
    2

    C
    находим
    1 2

    C
    и подставляем это значение в любое, например, первое уравнение системы:
    1 1
    1


    C
    , откуда следует, что
    0 1

    C
    Всё, что осталось сделать – это подставить найденные значения констант
    1
    ,
    0 2
    1


    C
    C
    в общее решение
    x
    x
    e
    C
    e
    C
    y
    2 2
    2 1



    :
    x
    x
    x
    e
    e
    e
    y
    2 2
    2 1
    0






    Ответ: частное решение:
    x
    e
    y
    2

    Проверка осуществляется по уже знакомой схеме:
    1) Сначала проверим, выполняется ли начальное условие
    1
    )
    0
    (

    y
    :
    1
    )
    0
    (
    0 2



    e
    y
    – начальное условие выполнено.
    2) Находим первую производную от ответа:
    x
    x
    e
    e
    y
    2 2
    2
    )
    (




    и проверяем выполнения начального условия
    2
    )
    0
    (


    y
    :
    2 2
    )
    0
    (
    0 2




    e
    y
    – второе начальное условие тоже выполнено.
    3) Находим вторую производную:
    x
    x
    e
    e
    y
    2 2
    4
    )
    2
    (



    
    и подставляем её вместе с
    x
    e
    y
    2

    в левую часть исходного уравнения:
    0 4
    4 4
    2 2




    
    x
    x
    e
    e
    y
    y
    – в результате получена его правая часть.
    Вывод: частное решение найдено верно.

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    60
    Пример 44
    Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
    1
    )
    (



    y
    ,
    4 2







    

    y
    . Выполнить проверку.
    0 4


    
    y
    y
    Это пример для самостоятельного решения,
    справочно
    :
    1 2
    cos
    ,
    1
    cos
    ,
    0 2
    sin
    ,
    0
    sin









    Решение и ответ в конце книги.
    Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет,
    главное,
    правильно решить квадратное уравнение.
    Иногда встречаются «нестандартные» однородные уравнения, например уравнение в виде
    0




    
    qy
    y
    p
    y
    r
    , где при второй производной есть некоторая константа
    r
    , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется: следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение
    0 2



    q
    p
    r


    будет иметь два различных действительных корня, например:
    3 1
    ,
    2 1
    2 1





    , то общее решение запишется по обычной схеме:
    const
    C
    C
    e
    C
    e
    C
    y
    x
    x




    2 1
    3 2
    2 1
    ,
    где
    ,
    В ряде случаев из-за опечатки в условии или задумки автора могут получиться
    «нехорошие» корни, что-нибудь вроде
    2 6
    3
    ,
    2 6
    3 2
    1






    . В подобной ситуации я рекомендую перепроверить решение квадратного уравнения (вдруг мы сами ошиблись?) и в случае «подтверждения» корней спокойно записать ответ:
    const
    C
    C
    e
    C
    e
    C
    y
    x
    x



    


    

     
    


    

     
    2 1
    2 6
    3 2
    2 6
    3 1
    ,
    где
    ,
    С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие
    2 3
    2 1
    2 3
    1 2
    ,
    1
    i
    i





    тоже никаких проблем, общее решение:








    


    



    


    




    2 3
    sin
    2 3
    cos
    2 1
    2
    x
    C
    x
    C
    e
    y
    x
    – и не так уж «плохо» оно и выглядит ;)
    То есть, общее решение в любом случае существует. Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.
    И, как подсказывает интуиция, если существует однородное уравнение, то должно существовать и
    НЕ
    однородное уравнение:

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    61
    2.3. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
    Оно отличается ненулевой правой частью:
    )
    (x
    f
    qy
    y
    p
    y




    
    , где
    p
    и
    q
    , как мы оговорили ранее – постоянные коэффициенты, а
    )
    (x
    f
    – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае
    )
    (x
    f
    может быть функцией-константой, отличной от нуля.
    Какая догадка сразу приходит в голову?
    1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   15


    написать администратору сайта