Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 8 из 15

часть уравнения
0 2





y
y
y
:















)
(
2
)
2
(
4 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1
x
x
x
x
x
x
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
y
y
y
0 2
2 2
4 2
2 1
2 2
1 2
2 1










x
x
x
x
x
x
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
– в результате получена правая часть исходного уравнения (ноль), значит, общее решение
x
x
e
C
e
C
y
2 2
1



удовлетворяет уравнению
0 2





y
y
y
и найдено правильно.
Проделанный «длинный путь» был не лишним – этот навык потребуется нам в дальнейшем, и поэтому со всей серьёзностью отнеситесь к следующему заданию:
Пример 38
Найти общее решение дифференциального уравнения, выполнить проверку
0 4




y
y
Решение и ответ в конце книги.
Случай второй.
Характеристическое уравнение имеет два кратных
действительных корня
Если характеристическое уравнение
0 2



q
p


имеет два кратных
(совпавших) действительных корня
2 1



(дискриминант
0

D
), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
x
x
xe
C
e
C
y
1 1
2 1




, где
2 1
, C
C
– константы. Вместо
1

в формуле можно нарисовать
2

или пару
2 1
,


, корни всё равно одинаковы.
Если оба корня равны нулю
0 2
1




, то общее решение опять же упрощается:
x
C
C
xe
C
e
C
y
x
x
2 1
0 2
0 1






. Кстати,
x
C
C
y
2 1


является общим решением того самого примитивного уравнения
0


y
. И в самом деле – его характеристическое уравнение
0 2


как раз и имеет совпавшие нулевые корни
0 2
1




. Кроме того, решение этого диффура можно получить двукратным интегрирование правой части
:
2 1
1 1
0
C
x
C
dx
C
y
C
dx
y








И это были последние интегралы в этой книге!

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
57
Пример 39
Решить дифференциальное уравнение
0 9
6





y
y
y
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
0 9
6 2





Здесь можно вычислить дискриминант, равный нулю, и найти кратные корни. Но можно невозбранно применить известную школьную формулу
2 2
2
)
(
2
b
a
b
ab
a




(которую, конечно, ещё нужно «увидеть»):
0
)
3
(
2



– получены два кратных действительных корня
3 2
,
1


Ответ: общее решение:
const
C
C
xe
C
e
C
y
x
x



2 1
3 2
3 1
,
где
,
Результат можно записать и в виде
x
e
C
x
C
y
3 1
2
)
(


, который, кстати, удобен для
проверки. Найдём первую производную:
x
x
x
x
e
C
C
x
C
e
C
x
C
e
C
e
C
x
C
y
3 2
1 2
3 1
2 3
2 3
1 2
)
3 3
(
)
(
3
)
)
((










, вторую:
x
x
x
x
e
C
C
x
C
e
C
C
x
C
e
C
e
C
C
x
C
y
3 2
1 2
3 2
1 2
3 2
3 2
1 2
)
6 9
9
(
)
3 3
(
3 3
)
)
3 3
((












– обратите внимание на рациональную технику дифференцирования – часть действий можно (и на данный момент уже нужно!) выполнять устно.
Подставляем
x
x
e
C
C
x
C
y
e
C
x
C
y
3 2
1 2
3 1
2
)
3 3
(
,
)
(






и
x
e
C
C
x
C
y
3 2
1 2
)
6 9
9
(




в левую часть уравнения, «собираем» всё под единой скобкой и проводим упрощения:













x
x
x
e
C
x
C
e
C
C
x
C
e
C
C
x
C
y
y
y
3 1
2 3
2 1
2 3
2 1
2
)
(
9
)
3 3
(
6
)
6 9
9
(
9 6
0 0
)
9 9
6 18 18 6
9 9
(
3 3
1 2
2 1
2 2
1 2











x
x
e
e
C
x
C
C
C
x
C
C
C
x
C
– в результате получена правая часть исходного уравнения, значит, решение найдено правильно.
Пример 40
Решить самостоятельно дифференциальное уравнение
0 2





y
y
y
Случай третий.
Характеристическое уравнение имеет сопряженные
комплексные корни. Даже если вы не знаете, что такое
комплексные числа
, этот случай можно освоить чисто формально.
Если характеристическое уравнение
0 2



q
p


имеет сопряженные комплексные корня
i





1
,
i





2
(дискриминант
0

D
), то общее решение однородного уравнения принимает вид:


x
C
x
C
e
y
x



sin cos
2 1



, где
2 1
, C
C
– константы.
Косинус с синусом можно поменять местами:


x
C
x
C
e
y
x



cos sin
2 1



– это не принципиально, но обычно первым записывают косинус.
Примечание:
сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко,
следующим образом:
i





2
,
1
Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни:
i




2
,
1
, то общее решение упрощается:


x
C
x
C
x
C
x
C
e
y
x




sin cos sin cos
2 1
2 1
0







© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
58
Пример 41
Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка
0 10 2





y
y
y
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
36 40 4
0 10 2
2







D


i
i
3 1
2 6
2 2
,
1





– получены сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:
const
C
C
x
C
x
C
e
y
x



2 1
2 1
,
где
,
)
3
sin
3
cos
(
«Тягать» производные и выполнять громоздкую подстановку тут уже, конечно, не хочется (хотя иногда приходится), и поэтому в качестве достаточно надежной проверки рациональнее перепроверить решение квадратного уравнения… 1-2-3 раза 
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Пример 42
Решить уравнение
0 5
4





y
y
y
Иногда в заданиях требуется найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, то есть, решить задачу Коши. Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце задачи добавляется дополнительный пункт:
Пример 43
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
1
)
0
(

y
,
2
)
0
(


y
0 4



y
y
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
0
)
2
)(
2
(
0 4
2








2 1



,
2 2


Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение:
const
C
C
e
C
e
C
y
x
x




2 1
2 2
2 1
,
где
,
Теперь нужно найти частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Наша задача состоит в том, чтобы найти ТАКИЕ значения констант
2 1
,C
C
,
чтобы выполнялись ОБА условия. Алгоритм нахождения частного решения будет отличаться от «отстрела» констант, который мы использовали ранее.
Сначала используем начальное условие
1
)
0
(

y
:
2 1
0 2
2 0
2 1
)
0
(
C
C
e
C
e
C
y







Согласно начальному условию, получаем первое уравнение:
1
)
0
(
2 1



C
C
y
или просто
1 2
1


C
C

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
59
Далее берём наше общее решение
x
x
e
C
e
C
y
2 2
2 1



и находим производную:
x
x
x
x
e
C
e
C
e
C
e
C
y
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
)
(









Используем второе начальное условие
2
)
0
(


y
:
2 1
0 2
2 0
2 1
2 2
2 2
)
0
(
C
C
e
C
e
C
y










Согласно второму начальному условию, получаем второе уравнение:
2 2
2
)
0
(
2 1





C
C
y
или просто
2 2
2 2
1



C
C
, или ещё проще – все члены уравнения можно сразу разделить на два:
1 2
1



C
C
Составим и решим систему из двух найденных уравнений:








1 1
2 1
2 1
C
C
C
C
Здесь можно использовать «школьный» метод решения (выразить в каком-нибудь
уравнении одну переменную через другую и подставить её во второе уравнение), но удобнее провести почленное сложение уравнений:
2 2
0
||
||
||
1 1
2 2
1 2
1









C
C
C
C
C
из уравнения
2 2
2

C
находим
1 2

C
и подставляем это значение в любое, например, первое уравнение системы:
1 1
1


C
, откуда следует, что
0 1

C
Всё, что осталось сделать – это подставить найденные значения констант
1
,
0 2
1


C
C
в общее решение
x
x
e
C
e
C
y
2 2
2 1



:
x
x
x
e
e
e
y
2 2
2 1
0






Ответ: частное решение:
x
e
y
2

Проверка осуществляется по уже знакомой схеме:
1) Сначала проверим, выполняется ли начальное условие
1
)
0
(

y
:
1
)
0
(
0 2



e
y
– начальное условие выполнено.
2) Находим первую производную от ответа:
x
x
e
e
y
2 2
2
)
(




и проверяем выполнения начального условия
2
)
0
(


y
:
2 2
)
0
(
0 2




e
y
– второе начальное условие тоже выполнено.
3) Находим вторую производную:
x
x
e
e
y
2 2
4
)
2
(




и подставляем её вместе с
x
e
y
2

в левую часть исходного уравнения:
0 4
4 4
2 2





x
x
e
e
y
y
– в результате получена его правая часть.
Вывод: частное решение найдено верно.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
60
Пример 44
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
1
)
(



y
,
4 2









y
. Выполнить проверку.
0 4



y
y
Это пример для самостоятельного решения,
справочно
:
1 2
cos
,
1
cos
,
0 2
sin
,
0
sin









Решение и ответ в конце книги.
Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет,
главное,
правильно решить квадратное уравнение.
Иногда встречаются «нестандартные» однородные уравнения, например уравнение в виде
0





qy
y
p
y
r
, где при второй производной есть некоторая константа
r
, отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется: следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение
0 2



q
p
r


будет иметь два различных действительных корня, например:
3 1
,
2 1
2 1





, то общее решение запишется по обычной схеме:
const
C
C
e
C
e
C
y
x
x




2 1
3 2
2 1
,
где
,
В ряде случаев из-за опечатки в условии или задумки автора могут получиться
«нехорошие» корни, что-нибудь вроде
2 6
3
,
2 6
3 2
1






. В подобной ситуации я рекомендую перепроверить решение квадратного уравнения (вдруг мы сами ошиблись?) и в случае «подтверждения» корней спокойно записать ответ:
const
C
C
e
C
e
C
y
x
x








 





 
2 1
2 6
3 2
2 6
3 1
,
где
,
С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие
2 3
2 1
2 3
1 2
,
1
i
i





тоже никаких проблем, общее решение:























2 3
sin
2 3
cos
2 1
2
x
C
x
C
e
y
x
– и не так уж «плохо» оно и выглядит ;)
То есть, общее решение в любом случае существует. Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.
И, как подсказывает интуиция, если существует однородное уравнение, то должно существовать и
НЕ
однородное уравнение:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
61
2.3. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
Оно отличается ненулевой правой частью:
)
(x
f
qy
y
p
y





, где
p
и
q
, как мы оговорили ранее – постоянные коэффициенты, а
)
(x
f
– функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае
)
(x
f
может быть функцией-константой, отличной от нуля.
Какая догадка сразу приходит в голову?