Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 5 из 15

Как решить линейное неоднородное уравнение 1-го порядка?
Существуют два способа решения, и сначала я познакомлю вас с наиболее распространённым
методом Бернулли
. Он более чёткий, более простой и в очередной раз приносит нам отличную новость! Линейное дифференциальное уравнение тоже можно решить одной-единственной заменой:
)
(
)
(
x
v
x
u
y


, где u и v – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс».
Коль скоро, у нас произведение
uv
y

, то по правилу дифференцирования произведения:
v
u
v
u
uv
y







)
(

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
27
Подставляем
uv
y

и
v
u
v
u
y





в уравнение
x
e
y
y



:
x
e
uv
v
u
v
u





Все дальнейшие действия, как вы правильно догадались, будут посвящены отысканию функций «у» и «вэ».
После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах:
У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:
x
e
v
v
u
v
u





)
(
Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:
Приравниваем к нулю то, что находится в скобках:
0



v
v
(первое уравнение)
Если
0



v
v
, тогда наш страх
x
e
v
v
u
v
u





)
(
заметно уменьшается:
x
e
u
v
u




0
x
e
v
u


– это второе уравнение.
Уравнения записываем в систему:








x
e
v
u
v
v
0
Именно в таком порядке – чтобы не путаться. Система опять же решается стандартно.
Сначала из первого уравнения находим функцию
)
(x
v
. Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными
, поэтому его решение я приведу без комментариев:
x
e
v
x
v
dx
v
dv
v
dx
dv
v
v









ln
0
Функция v найдена. Обратите внимание, что константу
C
на данном этапе мы не приписываем.
Далее подставляем найденную функцию
x
e
v

во второе уравнение системы
x
e
v
u


:
x
x
e
e
u



Да это даже не удовольствие – это мечта!

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
28
Из второго уравнения находим функцию
)
(x
u
:
1 1



dx
du
u
C
x
dx
u




Функция u найдена. А вот здесь уже добавляем константу
C
Опс. А задача-то решена! Вспоминаем, с чего всё начиналось:
uv
y

Обе функции найдены:
x
e
v

C
x
u


Записываем общее решение:
const
C
e
C
x
uv
y
x





где
,
)
(
В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:
Ответ: общее решение
const
C
xe
Ce
y
x
x



где
,
Проверка выполняется по знакомой технологии, берём ответ
x
x
xe
Ce
y


и находим производную:
x
x
x
x
x
x
x
x
xe
e
Ce
e
x
e
x
e
C
xe
Ce
y













)
(
)
(
)
(
)
(
Подставим
x
x
xe
Ce
y


и
x
x
x
xe
e
Ce
y




в исходное уравнение
x
e
y
y



:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
xe
Ce
xe
e
Ce
e
xe
Ce
xe
e
Ce











)
(
Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно.
Разбираем «на одном дыхании»:
Пример 16
Найти общее решение дифференциального уравнения
2 2
x
xe
xy
y




Решение: данное уравнение имеет «классический» вид
)
(
)
(
x
q
y
x
p
y




линейного уравнения. Проведем замену:
v
u
v
u
y
uv
y







и подставим
uv
y

и
v
u
v
u
y





в исходное уравнение
2 2
x
xe
xy
y




:
2 2
x
xe
xuv
v
u
v
u






После подстановки вынесем множитель за скобки, какие два слагаемых нужно мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все уже поняли:
2
)
2
(
x
xe
xv
v
u
v
u







© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
29
Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках:
0 2



xv
v
, автоматически получая и второе уравнение системы:
2 2
0
x
x
xe
v
u
xe
u
v
u








В результате:









2 0
2
x
xe
v
u
xv
v
Из первого уравнения найдем функцию v :
2
ln
2 2
2
x
v
xdx
v
dv
xdx
v
dv
xv
dx
dv










2
x
e
v


– без константы! Найденную функцию подставляем во второе уравнение системы
2
x
xe
v
u



:
2 2
x
x
xe
e
u





Теперь находим функцию u . Уравнение опять получилось простенькое:
x
dx
du

C
x
xdx
u




2 2
Обе функции найдены:
2
x
e
v


C
x
u


2 2
Таким образом, общее решение:
2 2
2
x
e
C
x
uv
y











Ответ: общее решение:
const
C
e
C
x
y
x











где
,
2 2
2
Без остановки решаем самостоятельно:
Пример 17
Найти общее решение дифференциального уравнения
x
ytgx
y
cos
1



, выполнить проверку.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
30
Как видите, алгоритм довольно прост. В чём особенность решения линейных
неоднородных уравнений 1-го порядка? Особенность состоит в том, практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие от тех же однородных уравнений
, где общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде
общего интеграла.
Рассмотрим что-нибудь с дробями:
Пример 18
Найти частное решение дифференциального уравнения
0 2
2




x
e
x
y
y
, удовлетворяющее начальному условию
e
y

)
1
(
Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
И сразу обратим внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого можно не делать, но я все-таки рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде
)
(
)
(
x
q
y
x
p
y




:
2 2
x
e
x
y
y



Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик. Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену
v
u
v
u
y
uv
y






,
:
2 2
x
e
x
uv
v
u
v
u





и типовой «вынос» за скобки:
2 2
x
e
x
v
v
u
v
u






 



Составим и решим систему:









2 2
0
x
e
v
u
x
v
v
Из первого уравнения найдем v :
x
v
x
v
x
v
x
dx
v
dv
x
v
dx
dv
1
ln ln ln ln ln ln
1











x
v
1

– подставим найденную функцию во второе уравнение
2 2
x
e
v
u


системы:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
31
C
e
x
d
e
dx
xe
u
dx
xe
du
e
x
dx
du
x
x
x
x
x









2 2
2 2
2
)
(
2 2
2 1
2
(здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала)
Обе функции найдены, таким образом, общее решение:
const
C
x
C
e
x
C
e
uv
y
x
x







где
,
1
)
(
2 2
На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию
e
y

)
1
(
:
0 1
)
1
(
2 1







C
e
C
e
C
e
y
Ответ: частное решение:
x
e
y
x
2

Ещё раз повторим алгоритм проверки частного решения. Сначала проверяем, действительно ли выполняется начальное условие
e
y

)
1
(
?
e
e
y


1
)
1
(
2 1
– да, начальное условие выполнено.
Теперь берём полученный ответ
x
e
y
x
2

и находим производную. Используем правило дифференцирования частного:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
)
(
)
(
x
e
e
x
e
x
x
e
x
x
e
x
e
x
e
y
x
x
x
x
x
x
x





















Подставим
x
e
y
x
2

и
2 2
2 2
x
e
e
y
x
x



в исходное уравнение
0 2
2




x
e
x
y
y
:
0 2
2 0
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2








x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e
e
e
x
x
e
x
e
e
0 0

– получено верное равенство, в чём и хотелось убедиться.
Пример 19
Найти решение задачи Коши
3
)
1
(
1 2





x
x
y
y
,
2 1
)
0
(

y
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце книги.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
32
Не знаю, обратили вы внимание или нет, но всех задачах я «объявляю» тип дифференциального уравнения. Это не случайность!
В начале решения крайне желательно указывать тип уравнения
Это опять же не является каким-то строгим правилом, но «голое» решение могут запросто «завернуть» со вполне обоснованным вопросом: А почему вы здесь провели
такую замену? Риск незачёта серьёзно увеличивается, если в вашей работе «одни формулы». Поэтому
решение нужно обязательно снабжать словесными
комментариями
, пусть минимальными, в частности, указывать, что это за зверь.
Перейдем к рассмотрению чуть более замысловатых уравнений:
Пример 20
Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения
3 2
2



xy
y
x
,
1
)
1
(


y
Решение:в данном уравнении слагаемые снова не на своих местах, поэтому сначала максимально близко приближаем диффур к виду
)
(
)
(
x
q
y
x
p
y




:
3 2
2



xy
y
x
Что в нём особенного? Во-первых, в правой части у нас константа
3
)
(

x
q
. Это допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель
2
x , который зависит только от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает быть линейным.
Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом начале. Проведем замену
v
u
v
u
y
uv
y







:
3 2
)
(
2





xuv
v
u
v
u
x
Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам слагаемых недоступно:
3 2
2 2





xuv
v
u
x
v
u
x
Вот теперь проводим вынесение множителя скобки:
3
)
2
(
2





v
v
x
xu
v
u
x
Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию u , но еще и «икс». Всё,что можно вынести за скобки – выносим.
Составим и решим систему:








3 0
2 2
v
u
x
v
v
x

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
33
Из первого уравнения найдем v :
2
ln ln ln
2
ln
2 2
x
v
x
v
x
dx
v
dv
v
dx
dv
x






2
x
v

– подставим во второе уравнение системы:
3 2
2



x
u
x
4 3
x
dx
du

3 4
1 3
x
C
x
dx
u




Таким образом, общее решение:
const
C
x
Cx
x
x
C
uv
y









 


где
,
1 1
2 2
3
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
0 1
1 1
1 1
)
1
(
2









C
C
C
y
Ответ: частное решение:
x
y
1


– проверка тут чуть ли не устная.
Самостоятельно щёлкаем следующий орешек: