Главная страница
Навигация по странице:

  • Приравниваем к нулю то, что находится в скобках

  • Именно в таком порядке

  • Из второго уравнения находим функцию

  • Пример 16 Найти общее решение дифференциального уравнения 2 2 x xe xy y Решение

  • В чём особенность решения линейных неоднородных уравнений 1-го порядка

  • В начале решения крайне желательно указывать тип уравнения

  • Блицкурс Дифференциальные уравнения


    Скачать 1.82 Mb.
    НазваниеБлицкурс Дифференциальные уравнения
    Дата19.06.2022
    Размер1.82 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаintensiv_diffury.pdf
    ТипМетодичка
    #604390
    страница5 из 15
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
    Как решить линейное неоднородное уравнение 1-го порядка?
    Существуют два способа решения, и сначала я познакомлю вас с наиболее распространённым
    методом Бернулли
    . Он более чёткий, более простой и в очередной раз приносит нам отличную новость! Линейное дифференциальное уравнение тоже можно решить одной-единственной заменой:
    )
    (
    )
    (
    x
    v
    x
    u
    y


    , где u и v – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс».
    Коль скоро, у нас произведение
    uv
    y

    , то по правилу дифференцирования произведения:
    v
    u
    v
    u
    uv
    y







    )
    (

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    27
    Подставляем
    uv
    y

    и
    v
    u
    v
    u
    y





    в уравнение
    x
    e
    y
    y



    :
    x
    e
    uv
    v
    u
    v
    u





    Все дальнейшие действия, как вы правильно догадались, будут посвящены отысканию функций «у» и «вэ».
    После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах:
    У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:
    x
    e
    v
    v
    u
    v
    u





    )
    (
    Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:
    Приравниваем к нулю то, что находится в скобках:
    0



    v
    v
    (первое уравнение)
    Если
    0



    v
    v
    , тогда наш страх
    x
    e
    v
    v
    u
    v
    u





    )
    (
    заметно уменьшается:
    x
    e
    u
    v
    u




    0
    x
    e
    v
    u


    – это второе уравнение.
    Уравнения записываем в систему:








    x
    e
    v
    u
    v
    v
    0
    Именно в таком порядке – чтобы не путаться. Система опять же решается стандартно.
    Сначала из первого уравнения находим функцию
    )
    (x
    v
    . Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными
    , поэтому его решение я приведу без комментариев:
    x
    e
    v
    x
    v
    dx
    v
    dv
    v
    dx
    dv
    v
    v









    ln
    0
    Функция v найдена. Обратите внимание, что константу
    C
    на данном этапе мы не приписываем.
    Далее подставляем найденную функцию
    x
    e
    v

    во второе уравнение системы
    x
    e
    v
    u


    :
    x
    x
    e
    e
    u



    Да это даже не удовольствие – это мечта!

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    28
    Из второго уравнения находим функцию
    )
    (x
    u
    :
    1 1



    dx
    du
    u
    C
    x
    dx
    u




    Функция u найдена. А вот здесь уже добавляем константу
    C
    Опс. А задача-то решена! Вспоминаем, с чего всё начиналось:
    uv
    y

    Обе функции найдены:
    x
    e
    v

    C
    x
    u


    Записываем общее решение:
    const
    C
    e
    C
    x
    uv
    y
    x





    где
    ,
    )
    (
    В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:
    Ответ: общее решение
    const
    C
    xe
    Ce
    y
    x
    x



    где
    ,
    Проверка выполняется по знакомой технологии, берём ответ
    x
    x
    xe
    Ce
    y


    и находим производную:
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    xe
    e
    Ce
    e
    x
    e
    x
    e
    C
    xe
    Ce
    y













    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    Подставим
    x
    x
    xe
    Ce
    y


    и
    x
    x
    x
    xe
    e
    Ce
    y




    в исходное уравнение
    x
    e
    y
    y



    :
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    e
    e
    e
    xe
    Ce
    xe
    e
    Ce
    e
    xe
    Ce
    xe
    e
    Ce











    )
    (
    Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно.
    Разбираем «на одном дыхании»:
    Пример 16
    Найти общее решение дифференциального уравнения
    2 2
    x
    xe
    xy
    y




    Решение: данное уравнение имеет «классический» вид
    )
    (
    )
    (
    x
    q
    y
    x
    p
    y




    линейного уравнения. Проведем замену:
    v
    u
    v
    u
    y
    uv
    y







    и подставим
    uv
    y

    и
    v
    u
    v
    u
    y





    в исходное уравнение
    2 2
    x
    xe
    xy
    y




    :
    2 2
    x
    xe
    xuv
    v
    u
    v
    u






    После подстановки вынесем множитель за скобки, какие два слагаемых нужно мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все уже поняли:
    2
    )
    2
    (
    x
    xe
    xv
    v
    u
    v
    u







    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    29
    Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках:
    0 2



    xv
    v
    , автоматически получая и второе уравнение системы:
    2 2
    0
    x
    x
    xe
    v
    u
    xe
    u
    v
    u








    В результате:









    2 0
    2
    x
    xe
    v
    u
    xv
    v
    Из первого уравнения найдем функцию v :
    2
    ln
    2 2
    2
    x
    v
    xdx
    v
    dv
    xdx
    v
    dv
    xv
    dx
    dv










    2
    x
    e
    v


    – без константы! Найденную функцию подставляем во второе уравнение системы
    2
    x
    xe
    v
    u



    :
    2 2
    x
    x
    xe
    e
    u





    Теперь находим функцию u . Уравнение опять получилось простенькое:
    x
    dx
    du

    C
    x
    xdx
    u




    2 2
    Обе функции найдены:
    2
    x
    e
    v


    C
    x
    u


    2 2
    Таким образом, общее решение:
    2 2
    2
    x
    e
    C
    x
    uv
    y


    


    





    Ответ: общее решение:
    const
    C
    e
    C
    x
    y
    x


    


    





    где
    ,
    2 2
    2
    Без остановки решаем самостоятельно:
    Пример 17
    Найти общее решение дифференциального уравнения
    x
    ytgx
    y
    cos
    1



    , выполнить проверку.

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    30
    Как видите, алгоритм довольно прост. В чём особенность решения линейных
    неоднородных уравнений 1-го порядка? Особенность состоит в том, практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие от тех же однородных уравнений
    , где общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде
    общего интеграла.
    Рассмотрим что-нибудь с дробями:
    Пример 18
    Найти частное решение дифференциального уравнения
    0 2
    2




    x
    e
    x
    y
    y
    , удовлетворяющее начальному условию
    e
    y

    )
    1
    (
    Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
    И сразу обратим внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого можно не делать, но я все-таки рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде
    )
    (
    )
    (
    x
    q
    y
    x
    p
    y




    :
    2 2
    x
    e
    x
    y
    y



    Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик. Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену
    v
    u
    v
    u
    y
    uv
    y






    ,
    :
    2 2
    x
    e
    x
    uv
    v
    u
    v
    u





    и типовой «вынос» за скобки:
    2 2
    x
    e
    x
    v
    v
    u
    v
    u






     



    Составим и решим систему:
    








    2 2
    0
    x
    e
    v
    u
    x
    v
    v
    Из первого уравнения найдем v :
    x
    v
    x
    v
    x
    v
    x
    dx
    v
    dv
    x
    v
    dx
    dv
    1
    ln ln ln ln ln ln
    1











    x
    v
    1

    – подставим найденную функцию во второе уравнение
    2 2
    x
    e
    v
    u


    системы:

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    31
    C
    e
    x
    d
    e
    dx
    xe
    u
    dx
    xe
    du
    e
    x
    dx
    du
    x
    x
    x
    x
    x









    2 2
    2 2
    2
    )
    (
    2 2
    2 1
    2
    (здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала)
    Обе функции найдены, таким образом, общее решение:
    const
    C
    x
    C
    e
    x
    C
    e
    uv
    y
    x
    x







    где
    ,
    1
    )
    (
    2 2
    На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию
    e
    y

    )
    1
    (
    :
    0 1
    )
    1
    (
    2 1







    C
    e
    C
    e
    C
    e
    y
    Ответ: частное решение:
    x
    e
    y
    x
    2

    Ещё раз повторим алгоритм проверки частного решения. Сначала проверяем, действительно ли выполняется начальное условие
    e
    y

    )
    1
    (
    ?
    e
    e
    y


    1
    )
    1
    (
    2 1
    – да, начальное условие выполнено.
    Теперь берём полученный ответ
    x
    e
    y
    x
    2

    и находим производную. Используем правило дифференцирования частного:
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    )
    (
    )
    (
    x
    e
    e
    x
    e
    x
    x
    e
    x
    x
    e
    x
    e
    x
    e
    y
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x





















    Подставим
    x
    e
    y
    x
    2

    и
    2 2
    2 2
    x
    e
    e
    y
    x
    x



    в исходное уравнение
    0 2
    2




    x
    e
    x
    y
    y
    :
    0 2
    2 0
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2








    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    e
    x
    e
    x
    e
    e
    e
    x
    x
    e
    x
    e
    e
    0 0

    – получено верное равенство, в чём и хотелось убедиться.
    Пример 19
    Найти решение задачи Коши
    3
    )
    1
    (
    1 2





    x
    x
    y
    y
    ,
    2 1
    )
    0
    (

    y
    Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце книги.

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    32
    Не знаю, обратили вы внимание или нет, но всех задачах я «объявляю» тип дифференциального уравнения. Это не случайность!
    В начале решения крайне желательно указывать тип уравнения
    Это опять же не является каким-то строгим правилом, но «голое» решение могут запросто «завернуть» со вполне обоснованным вопросом: А почему вы здесь провели
    такую замену? Риск незачёта серьёзно увеличивается, если в вашей работе «одни формулы». Поэтому
    решение нужно обязательно снабжать словесными
    комментариями
    , пусть минимальными, в частности, указывать, что это за зверь.
    Перейдем к рассмотрению чуть более замысловатых уравнений:
    Пример 20
    Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения
    3 2
    2



    xy
    y
    x
    ,
    1
    )
    1
    (


    y
    Решение:в данном уравнении слагаемые снова не на своих местах, поэтому сначала максимально близко приближаем диффур к виду
    )
    (
    )
    (
    x
    q
    y
    x
    p
    y




    :
    3 2
    2



    xy
    y
    x
    Что в нём особенного? Во-первых, в правой части у нас константа
    3
    )
    (

    x
    q
    . Это допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель
    2
    x , который зависит только от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает быть линейным.
    Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом начале. Проведем замену
    v
    u
    v
    u
    y
    uv
    y







    :
    3 2
    )
    (
    2





    xuv
    v
    u
    v
    u
    x
    Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам слагаемых недоступно:
    3 2
    2 2





    xuv
    v
    u
    x
    v
    u
    x
    Вот теперь проводим вынесение множителя скобки:
    3
    )
    2
    (
    2





    v
    v
    x
    xu
    v
    u
    x
    Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию u , но еще и «икс». Всё,что можно вынести за скобки – выносим.
    Составим и решим систему:








    3 0
    2 2
    v
    u
    x
    v
    v
    x

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    33
    Из первого уравнения найдем v :
    2
    ln ln ln
    2
    ln
    2 2
    x
    v
    x
    v
    x
    dx
    v
    dv
    v
    dx
    dv
    x






    2
    x
    v

    – подставим во второе уравнение системы:
    3 2
    2



    x
    u
    x
    4 3
    x
    dx
    du

    3 4
    1 3
    x
    C
    x
    dx
    u




    Таким образом, общее решение:
    const
    C
    x
    Cx
    x
    x
    C
    uv
    y









     


    где
    ,
    1 1
    2 2
    3
    Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
    0 1
    1 1
    1 1
    )
    1
    (
    2









    C
    C
    C
    y
    Ответ: частное решение:
    x
    y
    1


    – проверка тут чуть ли не устная.
    Самостоятельно щёлкаем следующий орешек:
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15


    написать администратору сайта