Блицкурс Дифференциальные уравнения
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
Ответ: общий интеграл: const C C x x y arctg где , 1 ln ) ( 2 И, разумеется, здесь НЕ НАДО выражать «игрек» в явном виде, ибо получится трэш (вспоминаем третий технический совет). Обратите внимание, что условие этой задачи не требуется проверки. Но я настоятельно рекомендую по возможности ВСЕГДА проверять решение. Ну а зачем пропускать возможные ошибки там, где их можно 100% не пропустить?! Поэтому дифференцируем полученный ответ: 0 1 1 2 0 1 1 1 ) ( 1 2 0 1 1 1 ) ( ) ( 1 1 0 ) 1 (ln ) ( ) ) ( ( ) ( ) 1 ln ) ( ( 4 2 2 2 2 2 2 2 x x y y y x x y y y x y y x x y arctg C x x y arctg Приводим дроби к общему знаменателю, после чего знаменатель испаряется (можно сказать, что мы «поднимаем» его наверх правой части и умножаем на ноль): 0 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 4 4 x y y x x y y 0 ) 1 ( ) ( 2 4 y x y y xy – получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 15 Пример 8 Найти частное решение ДУ. 0 cos sin cos sin 2 2 x x y y y , 0 2 y Это пример для самостоятельного решения. Единственная поправка в термине – здесь получится общий интеграл, а посему нужно исхитриться найти не частное решение, а частный интеграл . Полное решение и ответ в конце книги. Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот как раз парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую прорешать эти уравнения, независимо от уровня вашей подготовки – это позволит размяться и вспомнить основные методы нахождения интегралов: Пример 9 Решить дифференциальные уравнения а) 0 ) 1 ( dx e ydy e y x ; б) ) 1 ( 3 2 y x y x y Если на чём-то появился «затык», то не теряйте время и обращайтесь к образцу, где я проставил ссылки на нужные темы и уроки. Кроме того, «внешний вид» ваших ответов может отличаться от «внешнего вида» моих ответов – как вы заметили, общий интеграл можно записать не единственным способом. В этой связи возьмите на заметку важную вещь: Если ваш ответ не совпал с заранее известным ответом (задачника, например), или вам выдала «не тот» ответ какая-нибудь программа – то это ещё не значит, что ваш ответ неправильный! Особенно часто мои читатели приводят аргумент «но программа же не тот ответ выдаёт!». Да, возможно, читатель и в самом деле ошибся, но здесь я всегда замечаю следующее: 1) программу мог написать «на коленке» какой-нибудь студент, 2) и даже в «серьёзных» программах бывают ошибки, а в задачниках – опечатки (последнее довольно часто), 3) зачастую машина решит вам так – как не станет решать ни один человек :) – наверное, все сталкивались с забавным автоматическим переводом текста на другой язык, вот и здесь так же. …Хотя, прогресс, на месте не стоИт. Поэтому более высокий приоритет (и авторитет) имеет ручная проверка! Да, конечно, иногда встречаются «тяжёлые случаи», но это скорее исключение, чем правило. Но я-то не буду томить вас долгими ожиданиями – прямо сейчас, с энтузиазмом и восторженными глазами, мы перейдём к изучению следующего параграфа ^:^ © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 16 1.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка В чём отличие однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере: Пример 10 Решить дифференциальное уравнение x y xe y y x Однако не спешим. Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? Правильно – нужно проверить, а нельзя ли в нём разделить переменные ? Попробуйте мысленно или на черновике попереносить слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки, поперекидывать их по правилу пропорции…. После непродолжительных и тщетных попыток, вы придёте к выводу, что «школьными» действиями переменные тут разделить нельзя. Возникает вопрос – как же решить этот диффур? Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так: В исходное уравнение x y xe y y x : вместо x подставляем x ; вместо y подставляем y ; производную не трогаем: x y xe y y x Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным. Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени: x y xe y y x Теперь в правой части выносим лямбду за скобки: ) ( x y xe y y x В результате параметр исчез как сон, как утренний туман: x y xe y y x – и мы получили исходное уравнение. Вывод: данное уравнение является однородным. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 17 Как решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка? У меня очень хорошая новость. Абсолютно все такие уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены. Функцию «игрек» нужно заменить произведением некоторой функции t (тоже зависящей от «икс») и «икса»: x x t y ) ( , или короче: tx y Используя правило дифференцирования произведения, найдём производную: t x t t x t x t x t tx y 1 ) ( ) ( ) ( Теперь подставляем tx y и t x t y в исходное уравнение x y xe y y x : x tx xe tx t x t x ) ( Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь: tx y и, соответственно, t x t y После подстановки проводим максимальные упрощения: ) ( ) ( t e t x t x t x t e t t x t t e x t В результате получено уравнение с разделяющимися переменными. Далее алгоритм работает по накатанной колее. Поскольку t – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью dx dt t Таким образом, наше уравнение приобретает вид: t e dx dt x Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»: x dx dt e t Переменные разделены, интегрируем: x dx dt e t Согласно моему первому техническому совету, константу можно «оформить» под логарифм: C x e t ln ln © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 18 После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна: Если tx y , то x y t В данном случае получаем: Cx e x y ln Ответ: общий интеграл: const C Cx e x y где , ln Общее решение однородного уравнения почти всегда записывают в виде общего интеграла. Дело в том, что в большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего получается громоздкий и корявый ответ. В нашем примере общее решение выразить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла: Cx x y Cx e x y ln ln ln ln ln Cx x y ln ln – ну, ещё куда ни шло, хотя всё равно смотрится кривовато. Полученный ответ нетрудно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл: x x y x y e C Сx x y x y e Cx Сx x y e Cx e x y x y x y x y 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ln 2 2 Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на 2 x : x y x y x y e x y x y x y x y e x x x x y x y e ) ( 1 ) ( 2 2 2 x y xe y y x – в результате получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 19 Кстати, в разобранном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл: Cx e x y ln . Это не ошибка, но лучше таки представить его в виде C y x F ) ; ( . И для этого сразу после интегрирования, константу следовало записать без логарифма: С x e t ln , чтобы получить общий интеграл в «классическом» виде: const C С x e x y где , ln Многие составители задачников и методичек прямо указывают на соблюдение «приличий», и я – не исключение:) Пример 11 Проверить на однородность и решить дифференциальное уравнение x y xtg y y x , ответ представить в виде C y x F ) ; ( . Выполнить проверку. Следует отметить, что многие однородные ДУ проверить не так-то просто – для этого требуется весьма и весьма приличная техника дифференцирования. Но по возможности всегда проверяйте! А теперь обещанный важный момент , о котором я упомянул в самом начале книги, выделю его жирными чёрными буквами: если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель (не константу) в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения! Так, в процессе решения уравнения y y x ( Пример 1 ) «игрек» оказывается в знаменателе: x dx y dy , но 0 y , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение Cx y при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, так как 0 x не удовлетворяет исходному диффуру. Аналогичная история с уравнением 0 ) 1 2 ( сtgx y y ( Пример 3 ), в ходе решения которого мы «сбросили» 1 2 y в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли 2 1 y решением данного диффура. Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл x C y sin 1 2 при 0 C И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто ;) «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». Однако, в Примерах 10 - 11 «сброс» икса тоже оказался безопасен, ибо там есть x y e и x y tg , а посему сразу понятно, что 0 x не может быть решением. Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они: © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 20 Пример 12 Решить уравнение 0 2 y xy y x И перед тем, как решать, СТОП, не торопимся, а мысленно либо на черновике анализируем: нельзя ли разделить переменные? Нет, нельзя. Проверим уравнение на однородность, для этого ВМЕСТО x подставляем x и ВМЕСТО y подставляем y : 0 2 0 2 0 2 2 y xy y x y xy y x y y x y x выносим «лямбду» за скобки, после чего она испаряется: 0 ) 2 ( y xy y x 0 2 y xy y x – получено исходное ДУ, значит, оно является однородным. В реальной практике на чистовике такую проверку проводить не нужно (если специально не просят), и очень быстро вы приноровитесь выполнять её устно. Проведём типовую замену, а именно подставим tx y и t x t y в исходное уравнение: 0 2 ) ( tx tx x t x t x И первая опасность нас поджидает совсем не в делении. Дело в том, что x x 2 , и этот факт очень легко упустить из виду: 0 2 0 2 2 t x x t tx t x tx x t x Вспоминаем, как раскрывается модуль: 0 если , 0 если , x x x x x Таким образом, у нас получается два уравнения: 0 2 0 2 2 t x t t x x t , если 0 x , и 0 2 0 ) ( 2 2 t x t t x x t , если 0 x Уравнения отличаются знАком при корне и, по существу, достаточно решить одно из них. Решим 1-е уравнение: t dx dt x 2 x dx t dt 2 – при этом у корня нужно сохранить знак : в уравнении 0 2 t x t перед ним знак «плюс», и перед интегрированием тоже «плюс»! |