Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 6 из 15

Пример 21
Найти частное решение ДУ
x
e
x
y
x
y
x





2 3
)
1
(
,
0
)
1
(

y
Какие трудности встречаются в ходе решения линейного неоднородного
уравнения? Основной камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно сложный интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении функции u (в то время как с нахождением функции v обычно проблем не возникает).
Второй момент касается вообще всех диффуров, а именно их «внешнего вида». Он зачастую обманчив:
не редкость, когда «страшный» диффур на самом деле оказывается несложным,
а «легкий» на вид диффур вызывает мучительную боль за бесцельно прожитые часы
Ну вот, например:
2 3
2 2
y
x
xy
y



…это простое уравнение? Как вы думаете?
Вперёд! – оно нас уже заждалось:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
34
1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли
Не путать с методом Бернулли. Данное уравнение по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка:
n
y
x
q
y
x
p
y
)
(
)
(




с теми же частными разновидностями:
)
(x
p
или
)
(x
q
может быть числом, а у производной может присутствовать множитель
)
(x
r
Характерным признаком, по которому можно определить
уравнения Бернулли
, является наличие функции «игрек» в степени «эн»:
n
y , при этом
1

n
(иначе получится
уравнение с разделяющимися переменными
) и
0

n
(т.к. получится как раз
линейное
неоднородное ДУ
).
Степень n может быть не только положительной, но и отрицательной, например:
y
y
1 1


, а также обыкновенной дробью, например:
y
y

2 1
Если
0

n
, то уравнение Бернулли имеет очевидное решение
0

y
, которое
«теряется» в ходе использования типового алгоритма:
Пример 22
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
2 3
2 2
y
x
xy
y



,
1
)
0
(

y
И вопрос на засыпку: с чего начать решение? С проверки нельзя ли разделить переменные
! Нельзя. Так же очевидно, что уравнение не однородно
, и по причине множителя
2
y – не линейно
. Данный диффур имеет «классический» вид
n
y
x
q
y
x
p
y
)
(
)
(



уравнения Бернулли.
Как решить дифференциальное уравнение Бернулли?
Уравнение Бернулли сводится к
линейному неоднородному уравнению
с
помощью замены, и алгоритм решения незамысловат:
На первом шаге необходимо избавиться от «игрека» в правой части. Для этого сбрасываем
2
y в низ левой части и проводим почленное деление:
3 2
2 2
x
y
xy
y



– вот здесь-то как раз и теряется решение
0

y
. Но в нашем случае это не имеет особого значения, поскольку требуется решить задачу Коши:
3 2
2 2
x
y
x
y
y



Теперь надо избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
35
Для этого проводим замену:
)
(
1
x
z
y

, то есть меняем дробь с «игреком» на функцию «зет». Найдём её производную, распишу очень подробно:
2 2
1
)
(
1
y
y
y
y
y
y
z




















, откуда выразим
z
y
y




2
Таким образом, в результате замены
z
y
y
z
y





2
,
1
уравнение
3 2
2 2
x
y
x
y
y



превращается в уравнение:
3 2
2
x
xz
z




из эстетических соображений сменим знаки:
3 2
2
x
xz
z




В результате получено линейное неоднородное уравнение с той лишь разницей, что вместо привычного «игрека» у нас буква «зет».Дальше алгоритм работает по накатанной колее, проводим стандартную замену
v
u
v
u
z
uv
z







:
3 3
2
)
2
(
2 2
x
xv
v
u
v
u
x
xuv
v
u
v
u












Составим и решим систему:









3 2
0 2
x
v
u
xv
v
Из первого уравнения найдем v :
2
ln
2 2
x
v
xdx
v
dv
xv
dx
dv








2
x
e
v


– подставляем найденную функцию во второе уравнение:
3 2
2
x
e
u
x





2 3
2
x
e
x
dx
du


(*)
2 2
3




dx
e
x
u
x
Этот интеграл берётся по частям, и вместо занятых u и v , я буду использовать буквы «а» и «бэ»:
2 2
2 2
)
(
2 2
2 2
2
x
x
x
x
e
x
d
e
dx
xe
b
dx
xe
db
xdx
da
x
a














и по формуле




bda
ab
adb
:
C
e
e
x
x
d
e
e
x
dx
xe
e
x
x
x
x
x
x
x












2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
)
(
2
(*)

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
36
Таким образом:
1
)
(
2 2
2 2
2 2











x
Ce
e
C
e
e
x
uv
z
x
x
x
x
Но это ещё далеко не всё, вспоминаем, что
z
y

1
и выполняем обратную замену:
const
C
x
Ce
z
y
x






где
,
1 1
1 2
2
– общее решение.
Обратите внимание, что решение
0

y
в это семейство не вошло, но сейчас данный факт не актуален, поскольку нам нужно решить задачу Коши, а именно найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию
1
)
0
(

y
:
0 1
1 1
1 0
1
)
0
(
2 0








С
C
Ce
y
Ответ: частное решение:
2 1
1
x
y


Проверка здесь весьма простА:
1)
1 0
1 1
)
0
(
2



y
– начальное условие выполнено.
2) Найдём
2 2
2 2
2 2
2 2
)
1
(
2
)
2 0
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1 1
1
x
x
x
x
x
x
x
y























и подставим
2 2
2
)
1
(
2
,
1 1
x
x
y
x
y





в исходное уравнение
2 3
2 2
y
x
xy
y



:
2 2
3 2
2 3
2 2
3 2
2 2
2 2
3 2
2 2
)
1
(
2
)
1
(
2 2
2
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2 2
1 1
2 1
1 2
)
1
(
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x























2 2
3 2
2 3
)
1
(
2
)
1
(
2
x
x
x
x



– верное равенство.
Таким образом, частное решение найдено верно. При желании можно проверить и общее решение – с более громоздкими, но не сверхъестественными выкладками.
Самостоятельно:
Пример 23
0 1
2





y
x
y
y
,
1
)
0
(


y
Здесь перед решением удобно представить уравнение в «стандартном» виде уравнения Бернулли, т.е. перенести «игрек квадрат» направо.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
37
Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до неузнаваемости, например, то же уравнение
0 1
2





y
x
y
y
:
0
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1 1
2 2
2 2
2


















dx
y
xy
ydx
dy
x
dx
x
y
ydx
dy
x
dx
y
x
ydx
dy
y
x
y
dx
dy
И поэтому,
если предложенное вам уравнение «по виду» не подпадает ни под
один распространённый тип
, то имеет смысла пораскрывать скобки, попереставлять слагаемые и т.д., а там, глядишь, и вообще переменные разделить удастся!
А теперь предлагаю вашему вниманию ещё один «триллер»:
Пример 24
Найти решение ДУ
y
x
x
y
y
2 2



, соответствующее начальному условию
1
)
1
(

y
Корни, куда же без них
Решение: данное ДУ имеет «классический» вид
n
y
x
q
y
x
p
y
)
(
)
(




уравнения
Бернулли с той особенностью, что множитель
n
y «замаскирован» под корень.
Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на y :
x
x
y
y
y
y
y
x
y
x
y
y
2 2
2 2






здесь потеряно тривиальное решение
0

y
, но оно нас сильно не интересует.
Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом: и из вышесказанного следует замена:
z
y

Найдем производную:
y
y
y
z






2 1
)
(
, откуда выразим:
z
y
y



2

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
38
Таким образом, получаем уравнение:
x
x
z
z
2 2
2



каждое слагаемое которого можно «безболезненно» разделить на «двойку»:
x
x
z
z



И чтобы вы не заскучали, я расскажу о
методе вариации произвольной
постоянной
. Да не пугайтесь так ! – он интереснее замены
uv
z

:
1) Сначала найдём общее решение соответствующего
линейного однородного
уравнения. Грубо говоря, это то же уравнение с «отброшенным» членом
)
(x
q
:
0



x
z
z
Данное ДУ допускает разделение переменных, и мы без труда отыскиваем его общее решение:
const
C
x
C
z
x
C
z
C
x
z
x
dx
z
dz
x
z
dx
dz










где
,


ln ln

ln ln ln
2) Далее ВМЕСТО константы записываем пока ещё неизвестную функцию:
x
x
u
z


)
(
(это и называется варьировать постоянную), находим производную:
u
x
u
x
u
x
u
ux
z












)
(
)
(
)
(
и подставляем
ux
z

и
u
x
u
z




в неоднородное уравнение
x
x
z
z



:
x
x
ux
u
x
u




Если всё сделано правильно, то два слагаемых должны испариться, как оно и происходит в нашем случае:
x
x
u
x
u
u
x
u






тут ещё и «иксы» исчезают:
1

dx
du
в результате получилось примитивное уравнение с очевидным решением:
C
x
u
dx
du





Теперь вспоминаем, что
x
C
x
ux
z
)
(



, и в результате обратной замены
y
z

получаем общий интеграл
x
C
x
y



)
(
, из которого легко выразить и общее решение:
const
C
x
C
x
x
C
x
y







где
,
)
(
)
)
((
2 2
2

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
39
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию
1
)
1
(

y
:
1 1
)
1
(
)
1
(
2




C
y
…вот тебе и раз. Уравнение
1
)
1
(
2


C
имеет два корня
0
,
2



C
C
и в результате получаются… два частных решения?
Нет! Когда мы выражали общее решение, то выполнили возведение в квадрат, из-за чего у нас появился посторонний корень. Поэтому начальное условие
1
,
1


y
x
лучше подставить непосредственно в общий интеграл
x
C
x
y



)
(
:
1
)
1
(
1



C
0 1
1




C
C
– и помещаем этот ноль уже в общее решение
2 2
)
(
x
C
x
y



:
4 2
2
)
0
(
x
x
x
y




Легко видеть, что значению
2


C
соответствует частный интеграл
x
x
y



)
2
(
, и он не удовлетворяет начальному условию
1
)
1
(

y
Вот так-то оно бывает! – в однородных уравнениях мы «теряли» решения, а здесь, наоборот – «приобрели» лишнее. И как тут не вспомнить третий технический совет, где я не рекомендовал возводить в степени или извлекать корни из общего интеграла.
Ответ: частное решение
4
x
y

– проверку выполните сами, она тут устная.
И сейчас ещё один любопытный факт. Семейство кривых
x
C
x
y



)
(
(общий интеграл ДУ) располагается в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в каждой её точке. Образно говоря, графики функций
x
C
x
y



)
(
(при всех значениях константы) своими точками касания порождают решение
0

y
, которое, как заправский партизан засело в чаще леса и в общее решение не вошло.
Такое необычное решение называют
особым решением
дифференциального уравнения. В общем случае особое решение тоже является кривой, которая
огибает
«основное семейство». В рассмотренном же примере оно представляет собой прямую – ось
OX
, которая ассоциируется с «подставкой» под графики.
Пример 25
Решить дифференциальное уравнение
y
x
y
y
x
2 4



После сведения к неоднородному уравнению я использовал метод вариации
произвольной постоянной, но, разумеется, там годится и замена
ux
z

Иногда в уравнениях Бернулли встречаются и другие степени «игрека», например:
3 3
3
y
x
x
y
y



с заменой
z
y
y
z
y






2 1
1 3
2
или
1 2
)
cos
3 2
(
cos
3 2









y
x
e
x
y
y
x
с заменой
z
y
y
z
y




2 2
. Решения эти диффуров можно найти в