соответствующей
статье
сайта, но они не столь актуальны, поскольку есть более насущный материал:
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
40
1.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Сначала быстренько вспомним, что такое
частные производные
и полный
дифференциал функции двух переменных. Рассмотрим простую функцию:
y
x
xy
y
x
y
x
F
z
2 2
)
;
(
и найдём её частные производные первого порядка:
y
F
F
x
F
F
y
x
,
– в диффурах больше «в почёте» их дробные обозначения. Повторяем основное правило:
– если мы берём производную по «икс», то «игрек» считается константой:
1 2
0 1
0 2
)
(
2 2
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
x
F
x
– если мы берём производную по «игрек», то константой уже считается «икс»:
1 2
1 0
2 0
)
(
2 2
x
y
x
y
y
x
xy
y
x
y
F
y
Полный дифференциал имеет вид:
dy
y
F
dx
x
F
dF
, в данном случае:
dy
x
y
dx
y
x
dF
)
1 2
(
)
1 2
(
Пример 26
Решить дифференциальное уравнение
0
)
1 2
(
)
1 2
(
dy
x
y
dx
y
x
Не ожидали? =)
Данное уравнение имеет вид
0
dy
y
F
dx
x
F
, то есть его левая часть является полным дифференциалом функции
C
y
x
xy
y
x
y
x
F
2 2
)
;
(
(единственное, ещё
приписали константу
C
). Отсюда и название –
уравнение в полных дифференциалах
Как решить диффур в полных дифференциалах?
Очевидно, нужно выполнить некоторые обратные действия, чтобы восстановить исходную функцию
)
;
;
(
С
y
x
F
z
и записать общий интеграл
0
)
;
;
(
С
y
x
F
, который и является решением ДУ. Не так давно я что-то там дифференцировал. Какое действие является обратным? Правильно, интегрирование.
А теперь, пожалуйста, забудьте задачку про частные производные и готовый ответ.
Ведь когда нам предложено произвольное дифференциальное уравнение, то мы ещё не
знаем о том, что это уравнение в полных дифференциалах. И поэтому сначала имеет смысл «покрутить-повертеть» исходное уравнение:
0
)
1 2
(
)
1 2
(
dy
x
y
dx
y
x
Вдруг тут можно разделить переменные
? Или уравнение является однородным
? А может здесь «спрятан» какой-то другой тип уравнения? – не так давно я зашифровал в такой форме даже уравнение Бернулли
!
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
41
И только после этих безуспешных попыток проверяем:
а не является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах? Чтобы выполнить эту проверку, выпишем из уравнения
0
)
1 2
(
)
1 2
(
dyxydxyx множители, находящиеся при дифференциалах:
1 2
,
1 2
xyQyxP –
строго обозначая их буквами «пэ» и «ку», и строго в таком порядке! Это стандарт.
Теперь найдём следующие частные производные:
1 0
1 0
)
1 2
(
1 0
1 0
)
1 2
(
xyxyxQyxyPЕсли xQyP
(наш случай), то левая часть ДУ является полным дифференциалом
dyFdxFdFyx
некоторой функции
F (а равенство вышенайденных производных – есть не что иное, как равенство смешанных производных 2-го порядка: yxxyFF
).
Ну а коль скоро уравнение
0
)
1 2
(
)
1 2
(
dyxydxyx имеет вид
0
dyyFdxxF, то:
1 2
yxxF1 2
xyyFТаким образом, нам
известны две частные производные, и задача состоит в том, чтобы найти функцию
)
;
;
(
СyxF и приравнять её к нулю, то есть записать общий интеграл
0
)
;
;
(
СyxF. Существуют два зеркальных способа решения, и мы пойдём более привычным путём, и именно начнём с «иксовой» производной
1 2
yxxFНижнюю производную
1 2
xyyF пока запишем на листочек и спрячем в карман.
Да-да –
прямо так и сделайте! Я подожду….
Действие первое. Поскольку в нашем распоряжении есть частная производная
1 2
yxxF, то нужная нам функция
F восстанавливается с помощью обратного действия –
частного интегрирования по «икс». Интегрирование осуществляется по тому же принципу, что и нахождение частных производных.
Когда мы берём интеграл по «икс», то переменная «игрек» считается константой, распишу очень подробно:
)
(
)
(
2 2
2
)
1 2
(
2 2
yxxyxyxxyxdxdxyxdxdxyxF
, где
)
(
y
– некоторая,
пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек».
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
42
Правильно ли найден интеграл? Выполним проверку, т.е. возьмём частную производную по «икс»:
1 2
0 1
2
)
)
(
(
2
y
x
y
x
y
x
xy
x
F
x
x
– получена исходная подынтегральная функция, в чём и требовалось убедиться
Примечание
: надеюсь, всем понятно, почему
0
)
)
(
(
x
y
– функция
)
( y
зависит
только от «игрек», а, значит, считается константой.
Действие второе. Берем «недоделанный» результат
)
(
2
y
x
xy
x
F
и дифференцируем его по «игрек»:
)
(
)
(
0 0
)
)
(
(
2
y
x
y
x
y
x
xy
x
y
F
y
y
y
Функцию
)
( y
мы пока не знаем, но производная-то по «игрек» у неё существует, и поэтому запись
)
( y
y
– совершенно законна.
Действие третье. Перепишем результат предыдущего пункта:
)
( y
x
y
F
y
и достаем из широких штанин листочек с производной:
1 2
x
y
y
F
Приравниваем одно с другим:
1 2
)
(
x
y
y
x
y
и уничтожаем всё, что можно уничтожить:
1 2
)
(
y
y
y
Находим функцию
)
( y
, для этого нужно взять интеграл по «игрек»:
C
y
y
dy
y
y
2
)
1 2
(
)
(
И заключительное действие: подставим завоеванный трофей
C
y
y
y
2
)
(
в
«недоделанный» результат
)
(
2
y
x
xy
x
F
:
C
y
y
x
xy
x
F
2 2
и приравняем эту функцию к нулю, получая тем самым:
Ответ: общий интеграл:
const
C
С
y
x
xy
y
x
где
,
0 2
2
Проверка уже выполнена в самом начале параграфа: находим частные производные функции
F
и составляем полный дифференциал
dy
F
dx
F
dF
y
x
– в результате должна получиться левая часть исходного ДУ. Кроме того, можно прямо продифференцировать общий интеграл, ибо он представляет собой множество неявных функций одной
(независимой) переменной:
0
)
1 2
(
)
1 2
(
0
)
1 2
(
)
1 2
(
0 0
1 2
2
)
0
(
)
(
2 2
y
x
dx
dy
x
y
y
x
y
x
y
y
y
x
y
y
y
x
С
y
x
xy
y
x
0
)
1 2
(
)
1 2
(
dx
y
x
dy
x
y
– исходное ДУ, что и требовалось проверить.
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
43
Проделаем всё то же самое, только короче:
Пример 27
Решить дифференциальное уравнение
0
)
4 6
(
)
4 3
3
(
2 2
dy
y
xy
dx
x
y
x
Решение: после неутешительного анализа на «другие типы», проверим, не является ли данный диффур уравнением в полных дифференциалах. Выписываем множители при дифференциалах:
y
xy
y
xy
Q
x
y
x
P
4 6
)
4 6
(
,
4 3
3 2
2
Внимание!
Не теряем «минус» при записи
Q
!
Найдём частные производные:
y
y
y
xy
x
Q
y
y
x
y
x
y
P
x
y
6 0
6
)
4 6
(
6 0
6 0
)
4 3
3
(
2 2
x
Q
y
P
, значит, левая часть уравнения
0
)
4 6
(
)
4 3
3
(
2 2
dy
y
xy
dx
x
y
x
является полным дифференциалом некоторой функции F , то есть уравнение имеет вид:
0
dy
y
F
dx
x
F
В данном случае:
x
y
x
x
F
4 3
3 2
2
– будем работать с этой производной.
y
xy
y
F
4 6
– про эту производную пока забываем.
1) Если
x
y
x
x
F
4 3
3 2
2
, то:
)
(
2 3
)
(
2 4
3 3
3 4
3 3
)
4 3
3
(
2 2
3 2
2 3
2 2
2 2
y
x
xy
x
y
x
x
y
x
xdx
dx
y
dx
x
dx
x
y
x
F
где
)
( y
– некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек».
Напоминаю, что когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой и выносится за значок интеграла.
2) Берём «недоделанный» результат предыдущего пункта
)
(
2 3
2 2
3
y
x
xy
x
F
и дифференцируем его по «игрек»:
)
(
6
)
(
0 6
0
)
)
(
2 3
(
2 2
3
y
xy
y
xy
y
x
xy
x
y
F
y
y
y
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
44 3) Переписываем трофей предыдущего пункта
)
(
6
y
xy
y
F
y
и вспоминаем про «забытую» производную:
y
xy
y
F
4 6
Приравниваем и упрощаем:
y
y
y
xy
y
xy
y
y
4
)
(
4 6
)
(
6
Примечание
: на практике решение обычно записывают короче, объединяя пункты
№ 2 и 3:
y
xy
y
xy
y
xy
y
x
xy
x
y
F
y
y
y
4 6
)
(
6
)
(
0 6
0
)
)
(
2 3
(
2 2
3
, то
есть сразу же после нахождения производной приравнивается «забытая» производная.
В последнем равенстве
y
xy
y
xy
y
4 6
)
(
6
происходит взаимоуничтожение
слагаемых, откуда следует:
y
y
y
4
)
(
.
Восстанавливаем функцию
)
( y
интегрированием по «игрек»:
C
y
C
y
ydy
y
2 2
2 2
4 4
)
(
В «недоделанный» результат
)
(
2 3
2 2
3
y
x
xy
x
F
пункта № 1 подставляем найденную функцию
C
y
y
2 2
)
(
:
C
y
x
xy
x
F
2 2
2 3
2 2
3
и приравниваем уже доделанный результат к нулю:)
Ответ: общий интеграл:
const
C
C
y
x
xy
x
где
,
0 2
2 3
2 2
2 3
Константу можно записывать и в правой части, но тогда возникает заморочка с её переобозначением, и поэтому лично я привык оставлять ответ именно в таком виде. Долой приличия, да здравствует удобство! :) Решение должно быть со всеми удобствами, рядом с метро, в центре.
Выполним проверку. Найдём частные производные первого порядка функции
F
:
x
y
x
x
y
x
C
y
x
xy
x
x
F
x
4 3
3 0
0 4
3 3
)
2 2
3
(
2 2
2 2
2 2
2 3
)
4 6
(
4 6
0 4
0 6
0
)
2 2
3
(
2 2
2 3
y
xy
y
xy
y
xy
C
y
x
xy
x
y
F
y
Составим дифференциальное уравнение
0
dy
y
F
dx
x
F
:
0
)
4 6
(
)
4 3
3
(
2 2
dy
y
xy
dx
x
y
x
Получено исходное ДУ, значит, задание выполнено правильно.
Второй способ состоит в дифференцировании общего интеграла:
)
0
(
)
2 2
3
(
2 2
2 3
C
y
x
xy
x
– с тем же итоговым результатом.
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
45
И по «горячим следам»
решаем самостоятельно!
Пример 28
0
)
6 6
(
)
3 3
6
(
2 2
dy
xy
x
dx
y
x
y
и выполнить проверку.
Образец решения я записал максимально коротко и без пунктов, то есть приблизил его к «боевым» условиям – примерно так нужно оформлять задачу на практике.
Многочлены хорошо, а другие функции – лучше. Рассмотрим ещё пару примеров.
Пример 29
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
0 1
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
x
dy
e
x
dx
e
x
y
y
…ну а кому сейчас легко?
Решение: после предварительного анализа, проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах. Выпишем члены при дифференциалах:
2 2
2 1
,
)
1
(
)
1
(
2
x
e
Q
x
e
x
P
y
y
и найдём частные производные:
2 2
2 2
2 2
2 2
)
1
(
2
)
0
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2
x
xe
e
x
x
e
x
x
x
e
x
y
P
y
y
y
y
y
y
– обратите внимание, как за знак производной выносятся целые выражения с
«мёртвыми» переменными:
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
)
1
(
2
)
2 0
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
)
1
((
1
x
xe
x
x
e
x
x
e
x
e
x
e
x
Q
y
y
x
y
x
y
x
y
x
Q
y
P
, значит, уравнение
0 1
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
x
dy
e
x
dx
e
x
y
y
является ДУ в полных дифференциалах и имеет вид:
0
dy
y
F
dx
x
F
То есть, в нашем распоряжении оказываются частные производные первого порядка:
2 2
)
1
(
)
1
(
2
x
e
x
x
F
y
– работаем с этой производной
2 1
x
e
y
F
y
– про эту производную пока забываем
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
46
Если
2 2
)
1
(
)
1
(
2
x
e
x
x
F
y
, то:
)
(
1 1
)
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 2
2 2
y
x
e
y
x
e
x
x
d
e
x
dx
e
x
F
y
y
y
y
Здесь
)
1
(
y
e
является константой, которая вынесена за знак интеграла, а сам интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала.
Находим частную производную по «игрек»:
2 2
2 1
)
(
1
)
(
1 1
x
e
y
x
e
y
x
e
y
F
y
y
y
y
y
Это стандартное короткое оформление задания, когда после нахождения производной сразу приравнивается «забытая» производная
2 1
x
e
y
F
y
Из последнего равенства
2 2
1
)
(
1
x
e
y
x
e
y
y
y
следует, что
0
)
(
y
y
, это простейший интеграл:
const
C
dy
y
0
)
(
Подставляем найденную функцию
C
y
)
(
в «недоделанный» результат
)
(
1 1
2
y
x
e
F
y
и записываем
ответ: общий интеграл:
const
C
C
x
e
y
где
,
0 1
1 2
И как всегда – приятная неожиданность! Научимся решать задачу «зеркальным» способом, а именно:
2 2
)
1
(
)
1
(
2
x
e
x
x
F
y
– про эту производную пока забываем
2 1
x
e
y
F
y
– и начинаем «пляску» от «игрековой» производной.
Так как
2 1
x
e
y
F
y
, то
)
(
1 1
1 1
2 2
2
x
x
e
dy
e
x
x
dy
e
F
y
y
y
, где
)
(x
– пока
ещё неизвестная функция, зависящая только от «икс».
Дифференцируем появившуюся функцию по «икс»:
)
(
2
)
1
(
)
(
)
)
1
((
)
(
1 2
2 1
2 2
x
x
x
e
x
x
e
x
x
e
x
F
x
y
x
x
y
x
y
2 2
2 2
)
1
(
2 2
)
(
)
1
(
2
x
xe
x
x
x
xe
y
x
y
– и приравниваем полученную производную к
«забытой» производной.
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
47
В правой части последнего равенства выполняем почленное деление (это можно было сделать сразу):
2 2
2 2
2 2
)
1
(
2
)
1
(
2
)
(
)
1
(
2
x
xe
x
x
x
x
xe
y
x
y
уничтожаем несладкую парочку:
2 2
)
1
(
2
)
(
x
x
x
x
и восстанавливаем функцию «фи»:
C
x
x
x
d
x
xdx
x
2 2
2 2
2 2
1 1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
)
(
– после чего подставляем её в
«недоделанную» функцию
)
(
1 2
x
x
e
F
y
:
C
x
x
e
F
y
2 2
1 1
1
Ответ: общий интеграл:
const
C
C
x
e
y
где
,
0 1
1 2
«Зеркальный» способ решения ни в коем случае не лишний и нисколько не экзотичен. На «традиционном» пути запросто может встретиться трудный или даже
ОЧЕНЬ трудный интеграл, и тогда альтернативный вариант окажется просто спасением!
И, кроме того, второй способ может показаться вам удобнее чисто субъективно.
Пример 30
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
0
sin
2
sin
2 2
dy
y
x
y
dx
x
y
x
Решайте так, как вам удобно! Но на всякий-то случай пройдите обоими путями ;)
Кроме того, существуют уравнения, сводящиеся к уравнению в полных дифференциалах, которые решаются
методом интегрирующего множителя
. Но вероятность встречи с ними крайне мала, и поэтому мы продолжаем.
Полного вам дифференциала во второй части книги!
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
48
2. Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид:
0
)
...,
,
,
,
,
,
(
)
(
n
y
y
y
y
y
x
F
и обязательно содержит производную «энного порядка»
)
(n
y
и НЕ содержит производные более высоких порядков.
Так, простейшее уравнение 2-го порядка
0
)
,
,
,
(
y
y
y
x
F
выглядит так:
0
y
, простейшее уравнение 3-го порядка
0
)
,
,
,
,
(
y
y
y
y
x
F
– так:
0
y
и т.д.
Принцип точно такой же: решить ДУ высшего порядка – это значит, найти
множество функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество называют общим интегралом
0
)
...,
,
,
,
,
(
2 1
n
C
C
C
y
x
F
(или общим решением), которое содержит ровно «эн» констант. Придавая им различные значения, мы можем получить бесконечно много частных интегралов (решений) дифференциального уравнения.
Капитан Очевидность говорит нам о том, что существуют разные типы уравнений высших порядков, и мы незамедлительно приступаем к их изучению.
2.1. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Уже из самого названия становится понятно, что такие сводятся к уравнениям более низкого порядка. Различают три подтипа таких диффуров, и чтобы не плодить трёхуровневое меню, я буду использовать словесную нумерацию:
Подтип первый.
Уравнения, разрешимые повторным интегрированием
Данное уравнение имеет вид
)
(
)
(
x
f
y
n
, где
)
(x
f
зависит только от «икс», и в тривиальном случае представляет собой константу.
Чтобы решить такое уравнение, нужно n раз проинтегрировать правую часть.
Пример 31
x
x
y
2 2
Решение: данное дифференциальное уравнение имеет вид
)
(x
f
y
. Интегрируем правую часть, понижая порядок уравнения до 1-го:
1 2
3 1
2 3
2 3
2 1
2 3
1
)
2
(
C
x
x
C
x
x
dx
x
x
y
, или короче:
1 2
3 3
C
x
x
y
Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:
2 1
3 4
2 1
3 4
1 2
3 3
12 3
4 3
1 3
C
x
C
x
x
C
x
C
x
x
dx
C
x
x
y
Ответ: общее решение:
const
C
C
C
x
C
x
x
y
2 1
2 1
3 4
,
где
,
3 12
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
49
Проверяются такие уравнения обычно очень легко. В данном случае нужно лишь найти вторую производную:
1 2
3 1
2 3
2 1
3 4
3 1
0 3
3 1
4 12 1
3 12
C
x
x
C
x
x
C
x
C
x
x
y
x
x
x
x
C
x
x
y
2 0
2 3
3 1
3 1
2 2
1 2
3
В результате получено исходное дифференциальное уравнение
x
x
y
2 2
, значит, общее решение найдено правильно.
Пример 32
Решить дифференциальные уравнения
0
в)
,
2
sin б)
,
3
a)
y
x
x
y
y
Это примеры для самостоятельного решения, … не тушуемся – решаем!
Нахождение частного решения (задача Коши) имеет свои особенности:
Пример 33
Найти частное решение ДУ, соответствующее заданным начальным условиям
2 1
)
0
(
,
4 1
)
0
(
,
8 9
)
0
(
,
2
y
y
y
e
y
x
И одна из особенностей такова:
каков порядок уравнения – столько и
начальных условий
. Уравнение третьего порядка – три начальных условия. Это, кстати, касается и других типов диффуров, и если у вас начальных условий меньше, то в условии вашей задачи опечатка. Точнее, недопечатка.
Решение: данное уравнение имеет вид
)
(x
f
y
, а значит, нам нужно последовательно проинтегрировать правую часть три раза.
Сначала понижаем порядок уравнения до второго:
1 2
2 2
1
C
e
dx
e
y
x
x
Интеграл принёс нам константу
1
C . В уравнениях рассматриваемого типа рационально сразу же применять подходящие начальные условия.
Итак, у нас найдено
1 2
2 1
C
e
y
x
, и, очевидно, к полученному уравнению подходит начальное условие
2 1
)
0
(
y
. В соответствии с этим условием:
1 2
1 2
1
)
0
(
1 1
C
C
y
Таким образом:
1 2
1 2
x
e
y
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
50
На следующем шаге берём второй интеграл, понижая порядок уравнения до первого:
2 2
2 4
1 1
2 1
C
x
e
dx
e
y
x
x
Выползла константа
2
C , с которой мы немедленно расправляемся. Возникла тут у меня забавная ассоциация, что я злой дед Мазай с одноствольным ружьём. Ну и действительно, константы «отстреливаются», как только покажут уши из-под интеграла.
В соответствии с начальным условием
4 1
)
0
(
y
:
0 4
1 0
4 1
)
0
(
2 2
C
C
y
Таким образом:
x
e
y
x
2 4
1
И, наконец, третий интеграл:
3 2
2 2
2 8
1 4
1
C
x
e
dx
x
e
y
x
x
Для третьей константы используем последний патрон
8 9
)
0
(
y
:
1 8
9 0
8 1
)
0
(
3 3
C
C
y
Зайцы плачут, заряды были с солью
Ответ: частное решение:
1 2
8 1
2 2
x
e
y
x
Выполним проверку, благо, она ненапряжная и чёткая:
1) Проверяем начальное условие
8 9
)
0
(
y
:
8 9
1 0
8 1
)
0
(
y
– выполнено.
2) Находим производную:
x
e
x
e
x
e
y
x
x
x
2 2
2 2
4 1
0 2
2 2
8 1
1 2
8 1
Проверяем начальное условие
4 1
)
0
(
y
:
4 1
0 4
1
)
0
(
y
– выполнено.
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
51 3) Находим вторую производную:
1 2
1 4
1 2
2
x
x
e
x
e
y
Проверяем начальное условие
2 1
)
0
(
y
:
2 1
1 2
1
)
0
(
y
– выполнено.
4) Найдем третью производную:
x
x
x
e
e
e
y
2 2
2 0
1 2
1
Получено исходное дифференциальное уравнение
x
e
y
2
Вывод: задание выполнено верно.
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Пример 34
Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, и выполнить проверку
6 3
y
x
,
0
)
1
(
y
,
5
)
1
(
y
,
1
)
1
(
y
Решение и ответ в конце книги.
Время от времени в дифференциальных уравнениях рассматриваемого типа приходится находить более трудные интегралы: использовать метод замены переменной,
интегрировать по частям, прибегать к другим ухищрениям. Но это уже всё зависит от вашей техники интегрирования и к сегодняшней теме не относится.
Подтип второй.
В уравнении в явном виде отсутствует функция y .
Простейшее уравнение этого подтипа в общем виде выглядит так:
0
)
,
,
(
y
y
x
F
– всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде, но он обязательно всплывёт в ходе решения.
Кроме того, вместе с «игреком» в явном виде может отсутствовать первая производная:
0
)
,
,
(
y
y
x
F
– это уже уравнение третьего порядка.
Может дополнительно отсутствовать и вторая производная:
0
)
,
,
(
IV
y
y
x
F
– уравнение четвертого порядка.
И так далее. Думаю, вы увидели закономерность, и теперь сможете без труда определить такое уравнение в практических примерах. Заостряю внимание, что во всех этих уравнениях обязательно присутствует независимая переменная «икс».
На самом деле есть общая формула и строгая формулировка, но от них легче не станет, и поэтому мы сразу переходим к практическим вопросам:
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
52
Как решать такие уравнения?
Они решаются с помощью очень простой замены.
Пример 35
Найти общее решение дифференциального уравнения
)
1
(
9 1
x
x
y
y
Решение: в предложенном уравнении второго порядка в явном виде не участвует переменная
y
. Заменим первую производную
y
новой функцией
z
, которая зависит от
«икс»:
)
(x
z
y
Если
z
y
, то
z
y
Цель проведённой замены очевидна – понизить порядок уравнения:
)
1
(
9 1
x
x
z
z
Получено самое что ни на есть обычное линейное неоднородное ДУ 1-го порядка
, с той лишь разницей, что вместо привычной функции «игрек» у нас функция «зет». Для разнообразия я решу его методом вариации произвольной постоянной
:
1) Найдём общее решение соответствующего линейного однородного уравнения:
0 1
x
z
z
Разделяем переменные и интегрируем:
1
x
z
dx
dz
1
x
dx
z
dz
C
x
z
ln
1
ln ln
const
C
x
C
z
x
C
z
где
,
1
1
ln ln
2) Варьируя постоянную C
, в неоднородном уравнении проведём замену:
2 2
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
x
u
x
u
x
u
x
u
z
x
u
z
– подставляем «зет» и «зет штрих» в уравнение
)
1
(
9 1
x
x
z
z
:
)
1
(
9
)
1
(
)
1
(
1 2
2
x
x
u
x
u
x
u
Пара слагаемых в левой части испаряются, значит, мы на верном пути:
)
1
(
9 1
x
x
u
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
53
Разделяем переменные и интегрируем:
dxxduxdxdu2 2
)
1
(
9
)
1
(
9 1
3 1
3 2
)
1
(
3
)
1
(
3 1
9
)
1
(
9
CxCxdxxu
Таким образом:
1
)
1
(
3 1
)
1
(
3 1
1 2
1 3
xCxxCxxuzИтак, функция
z найдена, и тут на радостях можно забыть про одну вещь и машинально записать ответ. Нет-нет, ещё не всё. Вспоминаем, что в начале задания была выполнена замена
zy
, следовательно, нужно провести обратную замену
yz
:
1
)
1
(
3 1
2
xCxyОбщее решение восстанавливаем интегрированием правой части:
2 1
3 1
2 1
ln
)
1
(
1
)
1
(
3
CxCxdxxCxy
На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.
Ответ: общее решение:
constCCCxCxy
2 1
2 1
3
,
где
,
1
ln
)
1
(
В большинстве случаев проверить такие уравнения не составляет труда.
Находим первую и вторую производные от ответа:
2 1
1 2
1 2
2 1
3
)
1
(
)
1
(
6
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
3
)
1
ln
)
1
((
xCxxCxyxCxCxCxyи подставляем их в исходное уравнение
)
1
(
9 1
xxyy:
)
1
(
9
)
1
(
3
)
1
(
6
)
1
(
9
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
6
)
1
(
9 1
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
6 2
1 2
1 1
2 2
1
xxxxxCxxCxxxxCxxCx)
1
(
9
)
1
(
9
xx – в
результате получено верное равенство, значит, общее решение найдено правильно.
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
54
Если дано аналогичное уравнение с более «высокими» производными:
)
1
(
9 1
x
x
y
y
, то решение будет очень похожим.
В результате замены
z
y
z
y
мы получим то же самое линейное уравнение
)
1
(
9 1
x
x
z
z
, однако после обратной замены у нас нарисуется диффур
первого подтипа:
1
)
1
(
3 1
2
x
C
x
y
, который следует решить двукратным интегрированием правой части:
2 1
3 1
2 1
ln
)
1
(
1
)
1
(
3
C
x
C
x
dx
x
C
x
y
– в точности ответ предыдущей задачи, который нужно проинтегрировать ещё раз:
3 2
1 4
2 1
3
)
1 1
)(ln
1
(
4
)
1
(
1
ln
)
1
(
C
x
C
x
x
C
x
dx
C
x
C
x
y
Готово.
Всегда ли в результате таких замен получается линейное неоднородное уравнение
1-го порядка
? Нет, не всегда. Запросто может получиться уравнение с разделяющимися переменными
, однородное уравнение или какая-нибудь другая интересность:
Пример 36
Решить дифференциальное уравнение
y
x
y
x
cos
)
sin
1
(
Это пример для самостоятельного решения.
Что делать, если в уравнении рассмотренного подтипа требуется найти частное решение? Выгодно использовать ту же методику – последовательный «отстрел» констант.
Подтип третий.
В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует
независимая переменная x .
Такое уравнение решается с помощью замены
)
( y
z
y
, где
z
– функция, зависящая от «игрек». Следует отметить, что по правилу дифференцирования сложной функции:
)
(
)
(
)
(
y
z
y
z
y
y
z
y
, или, если короче, в дифференциальном уравнении нужно провести подстановку:
z
z
y
z
y
, не забывая по ходу решения, что
dy
dz
z
Встреча с такими диффурами в отчётной работе крайне маловероятна, и поэтому я воздержусь от конкретных примеров, но на всякий случай
вот ссылка
(см. низ статьи).
Вы готовы к новым свершениям? Впереди ключевые уравнения!
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
55
2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
В рамках данного курса мы будем рассматривать уравнения
с постоянными
коэффициентами
. Такое уравнение имеет вид:
0
qy
y
p
y
, где
p
и
q
– конкретные числа (постоянные коэффициенты), а в правой части – строго ноль.
Для того чтобы решить данное ДУ
, нужно составить так называемое
характеристическое уравнение
:
0 2
q
p
– это обычное квадратное уравнение с двумя корнями
2 1
,
, которые нам нужно найти (алгоритм я напомнил в Приложении Школьные формулы).
При этом возможны три случая:
Случай первый.
Характеристическое уравнение имеет два различных
действительных корня
Если характеристическое уравнение
0 2
q
p
имеет два различных действительных корня
1
,
2
(т.е., если дискриминант
0
D
), то общее решение однородного уравнения выглядит так:
x
x
e
C
e
C
y
2 1
2 1
, где
2 1
, C
C
– константы.
Если один из корней равен нулю, то решение очевидным образом упрощается; пусть, например,
0 1
, тогда общее решение:
x
x
x
e
C
C
e
C
e
C
y
2 2
2 1
2 0
1
Пример 37
Решить дифференциальное уравнение
0 2
y
y
y
Решение: составим характеристическое уравнение:
0 2
2
и вычислим его дискриминант (см. Приложение Школьные формулы):
0 9
8 1
D
, значит, уравнение имеет различные действительные корни.
Порядок корней не имеет значения, но обычно их располагают в порядке возрастания:
1 2
3 1
,
2 2
3 1
2 1
– для проверки подставляем найденные значения в квадратное уравнение и убеждаемся, что они «подходят».
Всё, что осталось сделать – записать ответ, руководствуясь формулой
x
x
e
C
e
C
y
2 1
2 1
Ответ: общее решение:
const
C
C
e
C
e
C
y
x
x
2 1
2 2
1
,
где
,
Не будет ошибкой, если записать общее решение «наоборот»:
x
x
e
C
e
C
y
2 2
1
, но, как я отметил выше, традиционным стилем считается расположить коэффициенты по возрастанию, сначала –2, потом 1.
© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
56
Как выполнить проверку? По большому счёту, достаточно проверить квадратное уравнение, т.е. подставить значения
1
,
2 2
1
в уравнение
0 2
2
, но я напомню и
общий принцип – найденное множество функций должно удовлетворять дифференциальному уравнению. Посмотрим, как это работает в нашем случае – берём ответ
xxeCeCy2 2
1
и находим производную:
xxxxeCeCeCeCy2 2
1 2
2 1
2
)
(
Далее находим вторую производную:
xxxxeCeCeCeCy2 2
1 2
2 1
4
)
2
(
и подставляем
xxeCeCy2 2
1
,
xxeCeCy2 2
1 2
и
xxeCeCy2 2
1 4
в левую 
Скачать 1.82 Mb.