Блицкурс Дифференциальные уравнения
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
Вывод: частное решение найдено правильно. Переходим к более содержательным примерам. Пример 3 Решить уравнение 0 ) 1 2 ( сtgx y y , выполнить проверку Решение: переписываем производную в «диффурном» виде: 0 ) 1 2 ( сtgx y dx dy Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака: сtgx y dx dy ) 1 2 ( И перекидываем множители по правилу пропорции: ctgxdx y dy 1 2 Переменные разделены, интегрируем обе части: ctgxdx y dy 1 2 Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас. На всякий случай привожу гиперссылку на соответствующий раздел сайта и экстремально короткий курс по интегралам Догоняющие – да догонят :) Едем дальше: © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 9 Интеграл левой части легко найти подведением функции под знак дифференциала , с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приёмом – с помощью бородатой тригонометрической формулы и последующим применением того же метода: x xdx y dy sin cos 1 2 x x d y y d sin ) (sin 1 2 ) 1 2 ( 2 1 * ln sin ln 1 2 ln 2 1 C x y В результате у нас получились одни логарифмы, и, согласно моей первой технической рекомендации, константу тоже записываем под логарифм. Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств (см. Приложение Школьные формулы) максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно: * 1 2 1 ln sin ln 1 2 ln C x y x C y C x y sin ln 1 2 ln ln sin 1 ln 1 2 ln * * Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной: x C y sin 1 2 * , и сразу-сразу приводим общий интеграл к виду C y x F ) ; ( , коль скоро, это возможно: * sin 1 2 C x y , ибо всегда же выгодно порадовать профессора ;-) В принципе, это можно записать в ответ, но здесь ещё уместно возвести обе части в квадрат и переобозначить константу: Ответ: общий интеграл: const C C x y где , sin ) 1 2 ( 2 Можно ли выразить общее решение? Можно. Давайте выразим общее решение: 2 1 sin 2 1 sin 2 sin 1 2 sin ) 1 2 ( 2 2 2 2 x C y x C y x C y C x y Само собой, полученный результат годится для ответа, но обратите внимание, что общий интеграл смотрится компактнее, да и решение получилось короче. Третий технический совет: если для получения общего решения нужно выполнить значительное количество действий, то в большинстве случаев лучше воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Это же касается и «плохих» действий, когда требуется выразить обратную функцию, возвести в степень, извлечь корень и т.п. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и громоздко – с большими корнями, знаками и прочим математическим трэшем. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 10 Как выполнить проверку? Проверку можно выполнить двумя способами. Способ первый: берём общее решение 2 1 sin 2 2 x C y , находим производную 2 1 sin 2 2 x C y и подставляем их в исходное уравнение 0 ) 1 2 ( сtgx y y . Попробуйте самостоятельно! Второй способ состоит в дифференцировании общего интеграла. Фактически нам нужно найти производную неявно заданной функции : ) ( ) sin ) 1 2 (( 2 С x y Используем правило дифференцирования произведения (см. Приложение Таблица производных): 0 cos sin 2 ) 1 2 ( sin 2 0 ) (sin sin 2 ) 1 2 ( sin ) 0 2 ( 0 ) (sin ) 1 2 ( sin ) 1 2 ( 2 2 2 2 x x y x y x x y x y x y x y делим каждое слагаемое на x sin 2 : 0 cos ) 1 2 ( sin x y x y и на x sin : 0 ) 1 2 ( 0 sin cos ) 1 2 ( sin sin ctgx y y x x y x x y Получено в точности исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно. Пример 4 Найти частное решение дифференциального уравнения 0 ln y x y y , удовлетворяющее начальному условию e y ) 1 ( . Выполнить проверку. Решаем самостоятельно! – пробуем свои силы. Напоминаю, что решение задачи Коши состоит из двух этапов: 1) нахождение общего решения; 2) нахождение требуемого частного решения. Проверка тоже проводится в два этапа, нужно: 1) убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет начальному условию; 2) проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению. Если возникли затруднения, решайте по образцу Примера 2 . Ну и в лучших традициях – полное решение и ответ в конце книги. Ссылку специально не ставлю, чтобы не было искушения =) С боевым, а точнее, с учебным вас крещением! © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 11 Пример 5 Найти частное решение дифференциального уравнения 0 2 2 xdx dy e x y , удовлетворяющее начальному условию 2 ln ) 0 ( y . Выполнить проверку. Решение:Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы dy и dx , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные: dx xe dy e e xdx dy e xdx dy e e xdx dy e e x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 0 2 Интегрируем уравнение: dx xe dy e x y 2 2 Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берём методом подведения функции под знак дифференциала: ) ( 2 2 x d e dy e x y C e e x y 2 Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку правая часть не может быть отрицательной (почему?), то знак модуля будет излишним – ставим просто скобки: ) ln( ) ln( ln 2 2 C e y C e e x x y На всякий случай распишу: y y e y e y 1 ln ln Итак, общее решение: const C C e y x где ), ln( 2 Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию 2 ln ) 0 ( y . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух: ) ln( 2 ln 0 C e ) 1 ln( 2 ln C , откуда следует, что 1 C Более привычное оформление: 1 2 ln ) 1 ln( ) ln( ) 0 ( 0 C C C e y Подставляем найденное значение константы 1 C в общее решение и записываем ответ: частное решение: ) 1 ln( 2 x e y © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 12 Проверка. Сначала проверим, выполнено ли начальное условие 2 ln ) 0 ( y : 2 ln ) 1 1 ln( ) 1 ln( ) 0 ( 0 e y – гуд. Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение ) 1 ln( 2 x e y дифференциальному уравнению. Находим производную: ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ) 1 (ln( 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x e xe x e e e e e y Смотрим на исходное уравнение: 0 2 2 xdx dy e x y – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал dy : ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x e dx xe dy e xe dx dy e xe y после чего подставить ) 1 ln( 2 x e y и ) 1 ( 2 2 2 x x e dx xe dy в исходное уравнение 0 2 2 xdx dy e x y Но это несколько неуклюжий вариант, здесь сподручнее разделить обе части диффура на dx : dx dx xdx dx dy e x y 0 2 2 0 2 2 x y e x y и подставить в полученное уравнение ) 1 ln( 2 x e y и ) 1 ( 2 2 2 x x e xe y : 0 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 ) 1 ln( x e xe e x x x e x По свойству степеней, «разбираем» экспоненту на множители: 0 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2 ) 1 ln( x e xe e e x x x e x и используем основное логарифмическое тождество a e a ln : 0 2 2 0 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 2 2 x x x e xe e e x x x x 0 0 – получено верное равенство. Таким образом, частное решение найдено правильно. Пример 6 Найти общий интеграл уравнения 0 1 3 2 2 ydy x dx y , ответ представить в виде C y x F ) ; ( Это пример для самостоятельного решения. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 13 Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными? 1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: 0 5 2 2 2 y xy y x xy . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: 0 ) 5 ( ) 2 ( 2 x y y y x и отделить корни: 0 ) 5 ( 2 2 x y y y x . Как действовать дальше – понятно. 2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть пробелы в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то тогда пусть интегралы будут посложнее». 3) Преобразования с константой – это уже относится и к диффурам других типов. Как вы заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно. И некоторые преобразования не всегда понятны новичку. Рассмотрим еще один условный пример: * 2 3 ln 2 1 1 ln 2 1 C y x . В нём целесообразно умножить все слагаемые на два: * 2 2 3 ln 1 ln C y x . Полученная константа * 2C – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через * * C : * * 2 3 ln 1 ln C y x Да, и поскольку у нас одни логарифмы, то константу * * C целесообразно переписать в виде другой константы: C y x ln 3 ln 1 ln 2 Беда же состоит в том, что с индексами часто не заморачиваются и используют одну и ту же букву С . В результате запись решения принимает следующий вид: С y x С y x С y x ln 3 ln 1 ln 3 ln 1 ln 3 ln 2 1 1 ln 2 1 2 2 2 Что за дела?! Тут же ошибки! Формально – да. А неформально – ошибок нет, подразумевается, что при преобразовании константы С всё равно получается равноценная варьируемая константа. Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл С x x y y ln 2 3 . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому целесообразно сменить у всех множителей знаки: С x x y y ln 2 3 . Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать «минус цэ». Но «между строк» подразумевается, что «минус цэ» – это всё равно константа, которая с тем же успехом принимает то же множество значений, и поэтому ставить «минус» не имеет смысла. Я буду стараться избегать небрежного подхода и проставлять у констант разные индексы при их преобразовании, чего и вам советую делать. © Емелин А., http://mathprofi.ru , Высшая математика – просто и доступно! 14 Пример 7 Решить дифференциальное уравнение 0 ) 1 ( ) ( 2 4 y x y y xy Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные: 1 1 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 4 4 x xdx y ydy y x dx dy y x Интегрируем, при этом слева подводим функцию под знак дифференциала, а справа используем стандартный искусственный приём : C x x y arctg dx x y y d x dx x y ydy 1 ln ) ( 1 1 1 1 ) ( ) ( 1 ) 1 1 ( 1 2 2 2 2 2 4 Константу C тут не стОит определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится. |