Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 15 из 15

проверку, найдём:
x
x
y
x
x
x
y
12
)
3 6
(

3 6
)
3 2
(

2 2
3















и подставим
x
x
y
3 2

3



и
x
y
12




в левую часть неоднородного уравнения
3 8
4
x
y
y



:
3 3
3 8
12 8
12
)
3 2
(
4 12

4

x
x
x
x
x
x
x
y
y












– получена правая часть
исходного уравнения, значит, частное решение
x
x
y
3 2

3



найдено правильно.
3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:
const
C
C
где
x
x
e
C
e
C
y
Y
y
x
x








2 1
3 2
2 2
1
,
,
3 2

Ответ: общее решение:
const
C
C
где
x
x
e
C
e
C
y
x
x






2 1
3 2
2 2
1
,
,
3 2

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
95
Пример 48.
Решение: 1) Найдем общее решение соответствующего однородного
уравнения:
0 12 7





y
y
y
Составим и решим характеристическое уравнение:
0 12 7
2





1 1
48 49





D
D
2 1
7 2
,
1



3 1


,
4 2


– получены различные действительные значения, которые
удовлетворяют характеристическому уравнению (не забываем проверить!).
Таким образом:
x
x
e
C
e
C
Y
4 2
3 1


2) Выполним подбор частного решения
y

. Поскольку в правой части исходного
уравнения
x
e
y
y
y
4 3
12 7





находится экспонента, умноженная на константу, то в
качестве первоначальной версии подбора выдвигаем
x
Ae
y
4


. Теперь смотрим на общее
решение однородного уравнения – в нём уже есть подобный член:
Поэтому первоначальную версию следует домножить на «икс» и искать частное
решение в виде:
x
x
Axe
Ae
x
y
4 4




, где
A
– пока еще неизвестный коэффициент.
Используя правило
v
u
v
u
uv





)
(
дифференцирования произведения, найдём
первую и вторую производную:
x
x
x
x
e
A
Ax
Axe
Ae
Axe
y
4 4
4 4
)
4
(
4
)
(








x
x
x
x
e
A
Ax
e
A
Ax
Ae
e
A
Ax
y
4 4
4 4
)
8 16
(
)
4
(
4 4
)
)
4
((










Подставим
x
Axe
y
4


,
x
e
A
Ax
y
4
)
4
(




и
x
e
A
Ax
y
4
)
8 16
(




в левую часть
исходного уравнения
x
e
y
y
y
4 3
12 7





и проведём максимальные упрощения:










x
x
x
Axe
e
A
Ax
e
A
Ax
y
y
y
4 4
4 12
)
4
(
7
)
8 16
(

12

7

x
x
x
e
Ae
e
Ax
A
Ax
A
Ax
4 4
4 3
)
12 7
28 8
16
(







– после чего приравняем
результат к правой части исходного уравнения.
Из последнего равенства
x
x
e
Ae
4 4
3

автоматически получаем
3

A
–
подставляем найденное значение в наш подбор:
x
x
xe
Axe
y
4 4
3



– искомое частное
решение.
Быстренько выполним проверку, а именно найдём
x
x
x
e
x
xe
e
y
4 4
4
)
3 12
(
12 3






,
x
x
x
e
x
e
x
e
y
4 4
4
)
24 48
(
)
3 12
(
4 12







и подставим их вместе с
x
xe
y
4 3


в левую часть:











x
x
x
xe
e
x
e
x
y
y
y
4 4
4 3
12
)
3 12
(
7
)
24 48
(

12

7

x
x
e
e
x
x
x
4 4
3
)
36 21 84 24 48
(






– в результате получена правая часть
уравнения, что и требовалось проверить.
3) Составляем общее решение неоднородного уравнения:
x
x
x
xe
e
C
e
C
y
Y
y
4 4
2 3
1 3






, которое можно было, в принципе, сразу записать в
ответ: общее решение:
const
C
C
где
xe
e
C
e
C
y
x
x
x




2 1
4 4
2 3
1
,
,
3

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
96
Пример 51.
Решение: найдём общее решение соответствующего однородного
уравнения
0 2




y
y
. Составим и решим характеристическое уравнение:
0
)
2
(
0 2
2








0
,
2 2
1





– различные действительные корни, поэтому:
2 2
1
C
e
C
Y
x



Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
x
e
Bx
Ax
y
2 2
)
(




Примечание:
первоначальная версия подбора
x
x
x
Be
Axe
e
B
Ax
y
2 2
2
)
(








подлежит домножению на x , так как в общем решении
Y
есть подобный член:
x
e
C
2 1

.
Найдём производные:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
B
A
Bx
Ax
Ax
e
B
Bx
Ax
Ax
B
A
Ax
e
B
Bx
Ax
Ax
e
B
A
Ax
e
B
Bx
Ax
Ax
y
e
B
Bx
Ax
Ax
e
Bx
Ax
e
B
Ax
e
Bx
Ax
y
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
)
4 2
4 8
4
(
)
2 4
4 4
2 2
4
(
)
2 2
2
(
2
)
2 2
4
(
)
)
2 2
2
((

)
2 2
2
(
)
(
2
)
2
(
)
)
((





















































и подставим их в левую часть неоднородного уравнения
x
e
x
y
y
2
)
4 4
(
2






:



























x
x
x
e
B
Bx
Ax
Ax
B
A
Bx
Ax
Ax
e
B
Bx
Ax
Ax
e
B
A
Bx
Ax
Ax
y
y
2 2
2 2
2 2
2
)
2 4
4 4
4 2
4 8
4
(
)
2 2
2
(
2
)
4 2
4 8
4
(

2

x
x
e
x
e
B
A
Ax
2 2
)
4 4
(
)
2 2
4
(








– после максимальных упрощений
приравниваем результат к правой части.
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:
1 4
2 2
4 4










A
B
A
A
– подставляем во 2-е уравнение:
1 4
2 2





B
B
Таким образом:
x
x
e
x
x
e
Bx
Ax
y
2 2
2 2
)
(
)
(







Общее решение неоднородного уравнения:
const
C
C
где
e
x
x
C
e
C
y
Y
y
x
x









2 1
2 2
2 2
1
,
,
)
(

Найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Применяем к общему решению условие
1
)
0
(

y
:
1 0
)
0 0
(
)
0
(
2 1
2 1
0 2
2 0
1










C
C
C
C
e
C
e
C
y
Найдём производную:
x
x
x
x
x
e
x
x
e
x
e
C
e
x
x
C
e
C
y
2 2
2 2
1 2
2 2
2 1
)
(
2
)
1 2
(
2
)
)
(
(

















и применим к ней начальное условие
1
)
0
(



y
:
1 1
2 0
2
)
1 0
(
2
)
0
(
1 0
0 1












C
e
e
C
y
Составим и решим систему:









1 1
2 1
1 2
1
C
C
C
, откуда следует, что
1
,
0 2
1


C
C
– подставляем найденные
значения в общее решение
x
x
e
x
x
C
e
C
y
2 2
2 2
1
)
(






Ответ: частное решение:
x
e
x
x
y
2 2
)
(
1





© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
97
Выполним проверку. Проверим выполнение начального условия
1
)
0
(

y
:
1 0
1
)
0 0
(
1
)
0
(
0 2






e
y
– выполнено.
Найдём производную:














x
x
x
e
x
x
e
x
e
x
x
y
2 2
2 2
2
)
(
2
)
1 2
(
0
)
)
(
1
(
x
x
e
x
x
e
x
x
x
2 2
2 2
)
1 4
2
(
)
2 2
1 2
(










и проверим выполнение начального
условия
1
)
0
(



y
:
1
)
1 0
0
(
)
0
(
0







e
y
– выполнено.
Найдём вторую производную:


















x
x
x
e
x
x
e
x
e
x
x
y
2 2
2 2
2
)
1 4
2
(
2
)
0 4
4
(
)
)
1 4
2
((
x
x
e
x
x
e
x
x
x
2 2
2 2
)
6 12 4
(
)
2 8
4 4
4
(











и подставим её вместе с
x
e
x
x
y
2 2
)
1 4
2
(






в левую часть исходного уравнения:













x
x
e
x
x
e
x
x
y
y
2 2
2 2
)
1 4
2
(
2
)
6 12 4
(
2
x
x
e
x
e
x
x
x
x
2 2
2 2
)
4 4
(
)
2 8
4 6
12 4
(











– в результате получена правая
часть исходного уравнения.
Вывод: задание решено верно.
Пример 53.
Решение: найдем общее решение соответствующего однородного
уравнения:
0 1
0 2






y
y
i


2
,
1

– характеристическое уравнение имеет сопряженные, чисто мнимые
комплексные корни, поэтому:
x
C
x
C
Y
sin cos
2 1


.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
x
Bx
x
Ax
y
sin cos



Примечание:
первоначальная версия
x
B
x
A
y
sin cos



подлежит домножению
на «икс», поскольку в общем решении
Y
уже есть подобные члены.
Найдём производные:
x
B
Ax
x
Bx
A
x
Bx
x
B
x
Ax
x
A
y
sin
)
(
cos
)
(
cos sin sin cos











x
A
Bx
x
B
Ax
x
B
Ax
x
A
x
Bx
A
x
B
y
sin
)
2
(
cos
)
2
(
cos
)
(
sin sin
)
(
cos















Подставим
y

и
y


в левую часть неоднородного уравнения
x
y
y
cos
2



:











x
Bx
x
Ax
x
A
Bx
x
B
Ax
y
y
sin cos sin
)
2
(
cos
)
2
(


x
x
A
x
B
cos
2
sin
2
cos
2



– приравниваем результат к правой части.
Приравниваем коэффициенты при соответствующих тригонометрических
функциях:












0 1
0 2
2 2
A
B
A
B
Примечание
:
0 2


A
– по той причине, что в правой части отсутствует синус,
и формально его можно записать с нулевым коэффициентом:
x
x
x
f
sin
0
cos
2
)
(



Таким образом:
x
x
x
x
x
x
x
Bx
x
Ax
y
sin sin
1
cos
0
sin cos








.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
98
Проверка найденного частного решения:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
sin cos
2
sin cos cos
)
cos
(sin

cos sin
)
sin
(















Подставим
x
x
y
sin


и
x
x
x
y
sin cos
2




в левую часть исходного уравнения
x
y
y
cos
2



:
x
x
x
x
x
x
y
y
cos
2
sin sin cos
2








– в результате получена правая часть, в
чём и требовалось убедиться.
Составим общее решение неоднородного уравнения:
x
x
x
C
x
C
y
Y
y
sin sin cos

2 1





Ответ: общее решение:
const
C
C
где
x
C
x
x
C
y




2 1
2 1
,
,
sin
)
(
cos
Пример 55.
Решение:
а) составим и решим характеристическое уравнение:
0
)
2
)(
2
)(
2
(
0
)
2
)(
2
(
0 2
)
(
0 4
2 2
2 2
2 2
4


















2 2
,
1



,
i
2 4
,
3



– получены два различных действительных корня и два
сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение
const
C
C
C
C
где
x
C
x
C
e
C
e
C
y
x
x






4 3
2 1
4 3
2 2
2 1
,
,
,
),
2
sin(
)
2
cos(
б) Составим и решим характеристическое уравнение:
0
)
1
(
0 5
5 6








0 5
,
4
,
3
,
2
,
1


,
1 6


– получены пять кратных нулевых корней и действительный
корень
1 6


Ответ: общее решение
const
C
C
C
C
C
C
где
e
C
x
C
x
C
x
C
x
C
C
y
x







6 5
4 3
2 1
6 4
5 3
4 2
3 2
1
,
,
,
,
,
,