Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 11 из 15

Ответ:
const
C
C
x
x
x
C
x
C
e
y
x





2 1
2 1
,
где
,
2
sin
5 2
cos
)
2
sin
2
cos
(
Простенькое уравнение для самостоятельного решения:
Пример 53
x
y
y
cos
2




© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
71
И некоторые более редкие случаи я разберу в обзорном порядке:
x
x
y
y
3
sin
2 9



Теперь смотрим на общее решение
x
C
x
C
Y
3
sin
3
cos
2 1


и на «заготовку»
x
D
x
Cx
x
B
x
Ax
y
3
sin
3
sin
3
cos
3
cos





. Подобные члены виднЫ невооруженным глазом, и поэтому ВСЮ первоначальную версию подбора следует домножить на «икс»:


x
Dx
Cx
x
Bx
Ax
x
D
Cx
x
B
Ax
x
y
3
sin
)
(
3
cos
)
(
3
sin
)
(
3
cos
)
(

2 2









Другой случай – когда в правой части находится экспонента, умноженная на тригонометрическую функцию, например:
x
e
y
y
y
x
2
sin
5 2





Следует отметить, что здесь нам «светит» нахождение громоздких производных
y
y



,

и весёлая подстановка. Однако это ещё половина счастья. По той причине, что
)
2
sin
2
cos
(
2 1
x
C
x
C
e
Y
x


. А посему ВСЯ «заготовка» подлежит домножению на «икс»:
)
2
sin
2
cos
(
)
2
sin
2
cos
(

x
Bx
x
Ax
e
x
B
x
A
e
x
y
x
x





Но такая жесть, конечно, встречается очень редко. Впрочем, и она нипочём – с хорошими навыками интегрирования и повышенным уровнем внимания. Существует ещё бОльшая жесть вроде
x
x
e
x
f
x
2
sin
)
(

, но её совсем не припомню.
Иногда в правой части неоднородного уравнения находится «ассорти», например:
x
e
x
y
y
3 18 3
sin
18 9





В подобных случаях частное решение неоднородного уравнения удобно разделить на две части:
2 1



y
y
y


и провернуть алгоритм дважды – для подбора
x
Bx
x
Ax
y
3
sin
3
cos

1


и для
x
Ce
y
3 2


, после чего просуммировать найденные решения.
Как быть если в правой части находится какая-либо функция другого вида? Если это гиперболический синус
)
(ax
sh
или косинус
)
(ax
ch
, то раскладываем их по известным формулам в сумму двух экспонент; в других же случаях применяют универсальный
метод
вариации произвольных постоянных
, но такое задание ввиду его громоздкости вряд ли предложат в вашей отчётной работе.
Правило: если в правой части находится синус, умноженный на многочлен ИЛИ косинус того же аргумента, умноженный на многочлен той же степени (например,
x
x
3
cos
)
1
(

), ИЛИ их сумма, то во всех трёх случаях в качестве первоначального варианта подбора рассматриваем «полный комплект», в нашем примере:
x
D
Cx
x
B
Ax
y
3
sin
)
(
3
cos
)
(





, где
D
C
B
A
,
,
,
пока ещё неизвестные коэффициенты, при этом степени многочленов пропускать нельзя!
Правило: если в правой части находится такое произведение ИЛИ произведение этой же экспоненты на косинус такого же аргумента (например,
x
e
x
2
cos
3

), ИЛИ ЖЕ сумма таких слагаемых (например,
)
2
sin
2
cos
2
(
2
sin
2
cos
2
x
x
e
x
e
x
e
x
x
x



), то во всех
трёх случаях первоначальная версия подбора имеет вид:
)
2
sin
2
cos
(

x
B
x
A
e
y
x



© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
72
2.4. Коротко о линейных уравнениях более высоких порядков
Всё очень и очень похоже. Они тоже бывают однородные и неоднородные. Так,
линейное однородное ДУ 3-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
0







qy
y
p
y
r
y
, где
q
p
r
,
,
– конкретные числа.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как нетрудно догадаться, выглядит так:
0 2
3




q
p
r



, и оно в любом случае имеет ровно три корня.
Пусть, например, все корни действительны и различны:
5
;
1
;
3 3
2 1







, тогда общее решение запишется следующим образом:
const
C
C
C
e
C
e
C
e
C
y
x
x
x





3 2
1 5
3 2
3 1
,
,
где
,
Если один корень действительный
2 1


, а два других – сопряженные комплексные
i
5 3
3
,
2



, то общее решение записываем так:
const
C
C
C
x
C
x
C
e
e
C
y
x
x




3 2
1 3
2 3
2 1
,
,
где
),
5
sin
5
cos
(
Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Знакомый малыш
0


y
имеет характеристическое уравнение
0 3


с тремя совпавшими нулевыми корнями
0 3
,
2
,
1


, поэтому его общее решение записываем так:
const
C
C
C
x
C
x
C
C
y




3 2
1 2
3 2
1
,
,
где
,
Если характеристическое уравнение
0 2
3




q
p
r



имеет три кратных ненулевых корня, например,
1 3
,
2
,
1



, то общее решение, соответственно, такое:
const
C
C
C
e
x
C
xe
C
e
C
y
x
x
x







3 2
1 2
3 2
1
,
,
где
,
Оформим решение «цивилизованно»:
Пример 54
Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка
0




y
y
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
0
)
1
(
0 2
3








0 1


,
i


3
,
2

– получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение
const
C
C
C
x
C
x
C
C
y




3 2
1 3
2 1
,
,
где
,
sin cos
Подобные уравнения вполне могут быть предложены для решения, и поэтому немного разовьём тему:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
73
Линейное однородное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами
q
p
r
s
,
,
,
имеет вид:
0








qy
y
p
y
r
y
s
y
IV
, и соответствующее характеристическое уравнение
0 2
3 4





q
p
r
s




всегда имеет ровно четыре корня.
Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных диффуров младших порядков. Единственное, закомментирую тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Если они равны нулю, то это в точности тривиальное уравнение
0

IV
y
с общим решением:
const
C
C
C
C
x
C
x
C
x
C
C
y





4 3
2 1
3 4
2 3
2 1
,
,
,
где
,
Если, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых ненулевых корня, например,
3 4
,
3
,
2
,
1


, то общее решение запишется так:
const
C
C
C
C
e
x
C
e
x
C
xe
C
e
C
y
x
x
x
x





4 3
2 1
3 3
4 3
2 3
3 2
3 1
,
,
,
где
,
Пример 55
Решить уравнения а)
0 4


y
y
IV
, б) да чего тут мелочиться, сразу 6-го порядка:
0


V
VI
y
y
Догадайтесь самостоятельно! И да, потренируйтесь в проверке, она, кстати, помогает в сомнительных случаях. Решения и ответы в конце книги.
Линейное НЕоднородное уравнение 3-го и более высоких порядков отличается, как легко догадаться, ненулевой правой частью
)
(x
f
и его алгоритм решения будет точно
таким же, как и для уравнений второго порядка. С той поправкой, при подборе частного решения
y

и при проверке придётся находить дополнительные производные.
Фанаты могут ознакомиться с соответствующей статьёй сайта, но это уже диффуры
«третьей категории» важности.
И я вас поздравляю!
Теперь вы сможете решить почти любое ДУ вашей отчётной работы!
Более подробную информацию и дополнительные примеры можно найти в соответствующем разделе портала mathprofi.ru (ссылка на карту сайта), при этом следующим пунктом целесообразно изучить
системы дифференциальных уравнений
(если они есть в вашей учебной программе).
Из прикладной литературы рекомендую следующие книги:
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, в Сети есть полный решебник этого задачника;
М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко Дифференциальные уравнения, где разобраны более редкие уравнения и методы решения, которых вообще нет на сайте.
Желаю успехов!

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
74
Решения и ответы
Пример 4.
Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные:
y
y
dx
dy
x
ln



x
dx
y
y
dy


ln
Интегрируем:




x
dx
y
y
dy
ln




x
dx
y
y
d
ln
)
(ln
C
x
y
ln ln ln ln



Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и
избавляемся от них:
C
x
y
ln
1
ln ln ln


x
C
y
ln ln ln

x
C
y

ln
Выражаем функцию в явном виде, используя
b
e
a
b
a



ln
:
const
C
где
e
y
x
C


,
– общее решение.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию
e
y

)
1
(
.
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
1 1




C
e
e
e
e
C
C
.
Способ второй:
1
)
1
(
1





C
e
e
e
y
С
C
Подставляем найденное значение константы
1

C
в общее решение.
Ответ: частное решение:
x
e
y
1

Выполним проверку. Сначала проверяем, действительно ли выполняется
начальное условие:
e
e
e
y



1 1
1
)
1
(
– да, начальное условие
e
y

)
1
(
выполнено.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
75
Теперь проверим, удовлетворяет ли вообще частное решение
x
e
y
1

дифференциальному уравнению. Находим производную:
2 1
1 1
1
)
(
x
e
x
e
e
y
x
x
x














Подставим полученное частное решение
x
e
y
1

и найденную производную
2 1
x
e
y
x



в исходное уравнение
0
ln



y
x
y
y
:
0 0
0 0
1 0
ln
1 1
1 1
2 1
1 1





















x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
e
x
x
x
x
x
x
x
Получено верное равенство, таким образом, решение найдено правильно.
Пример 6.
Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных.
Разделяем переменные и интегрируем:
dx
y
ydy
x
2 2
3 1




2 2
1 3
x
dx
y
ydy













2 2
2 1
3 2
3
x
dx
y
y
d
C
x
y




arcsin
3 2
Ответ: общий интеграл:
const
C
где
C
y
x




,
3
arcsin
2
Примечание
: тут можно получить и общее решение:
3
)
arcsin
(
3
)
arcsin
(
)
arcsin
(
3
arcsin
3 2
2 2
2 2
2














x
С
y
x
С
y
x
С
y
C
x
y
Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно,
поскольку такой ответ смотрится плохо.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
76
Пример 8.
Решение: данное ДУ допускает разделение переменных:
x
x
y
y
dx
dy
cos sin cos sin
2 2




x
xdx
ydy
y
2
sin cos cos sin
2



x
xdx
ydy
2
sin cos
2
sin


(использовали триг. формулу



2
sin cos sin
2

).
Интегрируем:




x
xdx
ydy
2
sin cos
2
sin




x
x
d
y
yd
2
sin
)
(sin
)
2
(
2
sin
2 1
Общий интеграл:
C
x
y



sin
1 2
cos
2 1
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному
начальному условию
0 2








y
. Подставляем в общий интеграл
2


x
и
0

y
:
2 3
1 2
1 1
2 1
1 1
1 2
1 2
sin
1 0
cos
2 1
















C
C
C
C

Ответ:
2 3
sin
1 2
cos
2 1



x
y
Пример 9.
а) Решение: данное уравнение допускает разделение переменных:







x
y
y
x
e
dx
dy
ye
dx
e
ydy
e
1
)
1
(
Левую часть
интегрируем по частям
:













vdu
uv
udv
e
v
dy
e
dv
dy
du
y
u
y
y
В интеграле правой части
проведем замену
:
1 1
1










t
dt
e
dt
dx
dx
e
dt
t
e
e
t
x
x
x
x
Таким образом:








)
1
(t
t
dt
dy
e
ye
y
y

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
77
Интеграл правой части можно решить
методом выделения полного квадрата
либо разложить дробь в сумму
методом неопределенных коэффициентов
, но она (дробь)
настолько проста, что подбор коэффициентов легко выполнить и устно:
*
ln
1
ln
)
1
(
1 1
1
C
t
t
y
e
dt
t
t
e
ye
y
y
y





















Обратная замена:
x
e
t


1
*
1
ln
1 1
ln
)
1
(
C
e
e
y
e
x
x
y









*
)
1
ln(
ln
)
1
(
C
e
e
y
e
x
x
y







*
)
1
ln(
)
1
(
C
e
x
y
e
x
y






