Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 9 из 15

Неоднородное уравнение
решить труднее.
И интуиция нас опять не подводит!
Для решения данного диффура существует универсальный
метод вариации
произвольных постоянных
, но он отличается сложностью и громоздкостью, и поэтому на практике (если это возможно) используют
метод подбора
, который я и рассмотрю в рамках настоящего курса. Этот метод работает лишь для некоторых функций
)
(x
f
Алгоритм решения
состоит из трёх этапов:
1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения
. Да-да, взять уравнение
)
(x
f
qy
y
p
y





, откинуть правую часть:
0





qy
y
p
y
– и найти общее решение, чем мы только и занимались в предыдущем параграфе. Общее решение однородного уравнения я привык обозначать буквой
Y
2) Наиболее трудный этап. Точнее говоря, замысловатый и даже приключенческий.
Необходимо ПОДОБРАТЬ частное решение
y

неоднородного уравнения. Отсюда и название метода. Как подобрать? – об этом в практических примерах
Внимание!
В ваших лекциях, методичках, практических занятиях общее решение
однородного уравнения
Y
и подобранное частное решение неоднородного уравнения
y

,
скорее всего, обозначаются не так. В частности, популярна версия:
OO
y
– общее решение однородного уравнения;
ЧН
y
– частное решение неоднородного уравнения
Я «намертво» привык к обозначениям Y ,
y

, которые легче нарисовать, и буду
использовать именно их.
3) На третьем шаге надо составить общее решение y неоднородного уравнения.
Это совсем легко:
y
Y
y



. Совершенно верно – следует просто приплюсовать завоёванные трофеи. Вариант обозначения:
OН
y
– общее решение неоднородного ур-я.
Если изначально в условии сформулирована задача Коши (найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям), то добавляется четвёртый этап:
4) Нахождение частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Схема нахождения частного решения рассмотрена в Примерах
43
-
44
, и здесь её принципы сохраняются.
По существу, вся новизна здесь состоит в Пункте 2, однако хватит лирики, …какой ужас – целая страница получилась! – срочно переходим к физике:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
62
Пример 45
Решить дифференциальное уравнение
x
y
y
16 8
4





, поначалу я буду нумеровать этапы решения:
1)Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.
Берём наш неоднородный диффур
x
y
y
16 8
4





и обнуляем правую часть:
0 4




y
y
Составим и решим характеристическое уравнение:
0
)
4
(
0 4
2








4
,
0 2
1




– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:
const
C
C
e
C
C
Y
x



2 1
4 2
1
,
где
,
2) Теперь нужно подобрать частное решение
y

неоднородного уравнения
x
y
y
16 8
4





. И
вопрос, который вызывает затруднения чаще всего
:
В каком виде нужно искать частное решение
y

?
Прежде всего, смотрим на нашу правую часть:
x
x
f
16 8
)
(


. Тут у нас многочлен первой степени и по идее, частное решение тоже следует искать в виде линейного многочлена
B
Ax
y



, где
B
A,
– пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). То есть, нам нужно посмотреть на правую часть неоднородного уравнения и «собезьянничать» её, но уже с неопределёнными коэффициентами.
Вариант подбора, который «сразу приходит в голову», я неформально буду называть «заготовкой» или первоначальной версией подбора. Почему первоначальной?
Потому что она может измениться. А может и нет. От чего это зависит?
В общем
решении
Y
и в подбираемом частном решении
y

не должно быть подобных членов
(например, двух констант, членов
x
C
*
и
Ax
,
x
e
С
2
*
и
x
Ae
2
,
x
x
C
3
cos
*
и
x
Ax
3
cos
, и т.д. –
они отличаются ТОЛЬКО множителем-константой. В противном случае члены не
подобны, например:
x
e
С
*
и
x
Ae

,
x
x
C
3
cos
*
и
x
Ax
2
cos
,
x
C
3
cos
*
и
x
Ax
3
cos
)
Смотрим на общее решение
x
e
C
C
Y
4 2
1


и на нашу «заготовку»
B
Ax
y



И там и там есть «одинокая» константа, и поэтому «заготовка» не годится.
Чтобы
избежать подобных членов, ВСЮ первоначальную версию подбора следует
домножить на «икс»
:
Bx
Ax
B
Ax
x
y




2
)
(

– это правило универсально, оно работает и в остальных тематических задачах.
Если изначально подобных членов нет, то домножать
y

на x , понятно, не надо.
При этом степени пропускать нельзя! – даже если в правой части находится неполный многочлен. Так, если
x
x
f
16
)
(


, то выдвигаем ту же версию
B
Ax
y



; если
2 3
)
(
x
x
f

, то
C
Bx
Ax
y



2

; если
x
x
x
f


3 2
)
(
, то
D
Cx
Bx
Ax
y




2 3

и т.д.
То есть, во всех случаях прописываем ВСЕ степени многочлена.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
63
Итак, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
Bx
Ax
y


2

Найдем первую и вторую производную:
A
B
Ax
y
B
Ax
Bx
Ax
y
2
)
2
(

2
)
(

2











и подставим их в левую часть неоднородного уравнения
x
y
y
16 8
4





:
x
B
Ax
A
B
Ax
A
y
y
16 8
4 8
2
)
2
(
4 2

4












– после максимальных упрощений сразу приравниваем
B
Ax
A
4 8
2


к правой части исходного уравнения.
Теперь приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях: и составляем систему линейных уравнений. Уравнения обычно записывают в порядке убывания степеней, в данном случае – начиная с «иксовых» коэффициентов:








8 4
2 16 8
B
A
A
Система получилась устная, и из неё следует, что
1
,
2



B
A
– подставляем найденные коэффициенты в «заготовку»
Bx
Ax
y


2

:
x
x
y


2 2

частное решение неоднородно уравнения.
3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:
const
C
C
x
x
e
C
C
y
Y
y
x







2 1
2 4
2 1
,
где
,
2

Ответ: общее решение:
const
C
C
x
x
e
C
C
y
x





2 1
2 4
2 1
,
где
,
2
Ещё перед записью общего решения (пунктом 3) целесообразно провести
«быструю» проверку. Сначала проверяем, правильно ли мы решили квадратное уравнение, после чего первая часть ответа
x
e
C
C
4 2
1

(общее решение однородного
уравнения) будет гарантировано правильной.
Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное
решение)
x
x
y


2 2

. Это тоже просто. Берём первую и вторую производную:
4

,
1 4






y
x
y
и подставляем их в левую часть исходного уравнения
x
y
y
16 8
4





:
x
x
x
y
y
16 8
4 16 4
)
1 4
(
4 4

4












– в результате получена правая часть уравнения, значит, частное решение подобрано верно.
Тренируемся самостоятельно!
Пример 46
Решить дифференциальные уравнения а)
4 3
2





y
y
y
, б)
3 8
4
x
y
y



Здесь в явном виде присутствует функция «игрек» и в ходе подбора частного решения, помимо производных
y
y



,

, в левую часть нужно подставлять и сам подбор
y

Если возникла какая-то загвоздка – не теряйте времени и сверяйтесь с образцом, который я постарался расписать максимально подробно.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
64
Перейдём к рассмотрению, может быть, самого распространенного случая – когда в правой части находится экспонента:
Пример 47
Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения
x
e
y
y
y






51 10 6
Решение начинается стандартно:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
0 10 6





y
y
y
Составим и решим характеристическое уравнение:
4 40 36 0
10 6
2







D


i
i




3 2
2 6
2
,
1

– получены сопряженные комплексные корни, которые лучше незамедлительно проверить. Опытные читатели могут подставить их в характеристическое уравнение, но более лёгкий способ – это просто ВНИМАТЕЛЬНО его решить ещё раз. Чтобы в общем решении наверняка не было ошибок:
)
sin cos
(
2 1
3
x
C
x
C
e
Y
x


2) На втором шаге выполняем подбор частного решения
y

неоднородного уравнения
x
e
y
y
y






51 10 6
Сначала выясним, в каком виде его нужно искать. Смотрим на правую часть уравнения и выдвигаем первоначальную гипотезу: раз в правой части находится экспонента, умноженная на константу:
x
e

51
, то частное решение нужно искать в
«родственном» виде
x
Ae
y



, где
A
– пока ещё неизвестный коэффициент.
Теперь смотрим на общее решение
)
sin cos
(
2 1
3
x
C
x
C
e
Y
x


– в нём НЕТ члена вида
x
e
C

*
, а значит, первоначальную версию
x
Ae
y



домножать на «икс» НЕ НУЖНО и она принимается в качестве рабочего варианта.
Найдём производные, они здесь простецкие:
x
x
Ae
Ae
y







)
(

x
x
Ae
Ae
y







)
(

и подставим
x
x
Ae
y
Ae
y







,

и
x
x
Ae
Ae
y







)
(

в левую часть неоднородного уравнения
x
e
y
y
y






51 10 6
:
x
x
x
x
x
e
Ae
Ae
Ae
Ae
y
y
y














51 17 10 6

10

6

– после упрощений приравниваем результат к правой части неоднородного уравнения.
Из последнего равенства
51 17

A
следует, что
3

A
. Таким образом, у нас нарисовалось частное решение
x
e
y


3

, которое тоже лучше сразу же проверить:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
65
Подставим
x
e
y


3

с очевидными производными
x
x
e
y
e
y







3

,
3

в левую часть исходного уравнения
x
e
y
y
y






51 10 6
:
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
e
e
y
y
y




















51 30 18 3
3 10
)
3
(
6 3

10

6

– получена правая часть уравнения, значит, частное решение найдено правильно.
3) Осталось с лёгким сердцем записать итоговый результат:
x
x
e
x
C
x
C
e
y
Y
y






3
)
sin cos
(

2 1
3
Ответ: общее решение:
const
C
C
e
x
C
x
C
e
y
x
x





2 1
2 1
3
,
где
,
3
)
sin cos
(
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 48
x
e
y
y
y
4 3
12 7





В случае затруднений сверяйтесь с образцом в конце книги. После чего рассмотрим ещё одну классику жанра:
Пример 49
Решить дифференциальное уравнение
x
e
y
y
y
3 9
6





Алгоритм решения полностью сохраняется:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
0 9
6 0
9 6
2










y
y
y
Как раз тот случай «озарения», по формуле
2 2
2
)
(
2
b
a
b
ab
a




:
0
)
3
(
2



3 2
,
1


– получены кратные действительные корни, поэтому общее решение:
x
x
xe
C
e
C
Y
3 2
3 1


2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение
y

. Смотрим на правую часть неоднородного уравнения
x
e
y
y
y
3 9
6





, после чего сразу появляется первая версия подбора:
x
Ae
y
3


. Но в общем решении Y уже есть подобный член:
x
e
C
3 1
, поэтому нашу версию нужно умножить на «икс»:
x
x
Axe
Ae
x
y
3 3




– однако и такой член тоже есть в общем решении:
x
xe
C
3 2
Что делать? Всё гениальное просто – ещё раз домножаем нашу «заготовку» на
«икс» и ищем решение в виде
x
x
e
Ax
Axe
x
y
3 2
3




– такого перца в общем решении
x
x
xe
C
e
C
Y
3 2
3 1


уже нет.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
66
Надеюсь, все приноровились применять правило
v
u
v
u
uv





)
(
устно:
x
x
x
x
e
Ax
Ax
e
Ax
Axe
e
Ax
y
3 2
3 2
3 3
2
)
2 3
(
3 2
)
(








x
x
x
x
e
A
Ax
Ax
e
Ax
Ax
e
A
Ax
e
Ax
Ax
y
3 2
3 2
3 3
2
)
2 12 9
(
)
6 9
(
)
2 6
(
)
)
2 3
((












Подставим
y

,
y


и
y


в левую часть исходного уравнения
x
e
y
y
y
3 9
6





и максимально упростим выражение:











x
x
x
e
Ax
e
Ax
Ax
e
A
Ax
Ax
y
y
y
3 2
3 2
3 2
9
)
2 3
(
6
)
2 12 9
(

9

6

x
x
x
e
Ae
e
Ax
Ax
Ax
A
Ax
Ax
3 3
3 2
2 2
2
)
9 12 18 2
12 9
(









– после упрощений приравниваем результат к правой части.
Из последнего равенства
x
x
e
Ae
3 3
2

следует, что:
2 1
1 2



A
A
– подставляем найденное значение в подбор
x
e
Ax
y
3 2


:
x
e
x
y
3 2
2 1


. Блиц-проверку выполните самостоятельно ;)
Собираем камни:
3)
x
x
x
e
x
xe
C
e
C
y
Y
y
3 2
3 2
3 1
2 1






– общее решение неоднородного уравнения, которое можно записать более стильно: