Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 10 из 15

Ответ:
const
C
C
e
C
x
C
x
y
x










2 1
3 1
2 2
,
где
,
2
Прямо таки маленькое математическое событие под названием «Воссоединение членов многочлена» =)
Возможно, у вас возник вопрос:
а что произойдет, если мы будем подбирать
частное решение в некорректном виде? Вот только что мы его искали в виде
x
e
Ax
y
3 2


, а что будет, если попробовать «первоначальную» версию
x
Ae
y
3


?
Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные
y
y



,

, провести подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт – у нас не получится красивого финального равенства
x
x
e
Ae
3 3
2

, грубо говоря, «ничего не сойдётся»:
x
x
x
Ae
y
Ae
y
Ae
y
3 3
3 9

3







подставляем эти штуки в левую часть диффура:
0 9
3 6
9

9

6

3 3
3









x
x
x
Ae
Ae
Ae
y
y
y
– в результате чего получился ноль, и поэтому в конце мы не можем приписать правую часть неоднородного уравнения, ибо:
Таким образом, попытка подобрать частное решение в виде
x
Ae
y
3


не увенчалась успехом.
И если вам встретится (или уже встретился) подобный казус,
то знайте
– вы изначально пытались подобрать частное решение НЕ В ТОМ виде.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
67
Переходим к следующему типовому случаю и заодно вспомним задачу Коши:
Пример 50
Найти частное решение уравнения
x
xe
y
y
2 4



, удовлетворяющее начальным условиям
2
)
0
(
,
16 1
)
0
(




y
y
Ход решения такой же, но в конце добавляется дополнительный пункт:
1) Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:
0 4
0 4
2






y
y
i
2 2
,
1



– получены сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
x
C
x
C
Y
2
sin
2
cos
2 1


2) Подбираем частное решение
y

. Поскольку в правой части неоднородного уравнения
x
xe
y
y
2 4



находится многочлен 1-й степени, умноженный на экспоненту, то в качестве первоначальной версии подбора рассматриваем
x
e
B
Ax
y
2
)
(



,
Теперь смотрим на нашу «заготовку»
x
x
Be
Axe
y
2 2



и на общее решение
x
C
x
C
Y
2
sin
2
cos
2 1


. Очевидно, здесь нет подобных членов, и поэтому домножать
y

на
«икс» НЕ НАДО. Таким образом, первоначальная версия подбора принимается в качестве рабочего варианта.
Найдём производные:
x
x
x
x
e
B
A
Ax
e
B
Ax
Ae
e
B
Ax
y
2 2
2 2
)
2 2
(
)
(
2
)
)
((











x
x
x
x
e
B
A
Ax
e
B
A
Ax
Ae
e
B
A
Ax
y
2 2
2 2
)
4 4
4
(
)
2 2
(
2 2
)
)
2 2
((













И подставим
y

и
y


в левую часть неоднородного уравнения:








x
x
e
B
Ax
e
B
A
Ax
y
y
2 2
)
(
4
)
4 4
4
(

4

x
x
x
e
x
e
B
A
Ax
e
B
Ax
B
A
Ax
2 2
2
)
0
(
)
8 4
8
(
)
4 4
4 4
4
(










– после максимальных упрощений приравниваем результат к правой части. Обращаю ваше внимание, что
отсутствующие коэффициенты многочлена правой части равны нулю.
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и составляем систему:






0 8
4 1
8
B
A
A
, из которой следует, что
16 1
0 8
8 1
4 8
1








B
B
A
Таким образом:
x
x
e
x
e
B
Ax
y
2 2
16 1
8
)
(






 



при этом степени многочлена пропускать нельзя! (в нашем случае – константу)
То есть, если в правой части ДУ находится неполный многочлен, например,
x
e
x
x
f



)
1
(
)
(
2
, то в подборе всё равно прописываем все его степени:
x
e
C
Bx
Ax
y




)
(

2

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
68 3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:
const
C
C
e
x
x
C
x
C
y
Y
y
x






 





2 1
2 2
1
,
где
,
16 1
8 2
sin
2
cos

4) и найдём частное решение, соответствующее заданным начальным условиям.
Сначала применяем к общему решению начальное условие
16 1
)
0
(


y
:
16 1
16 1
16 1
8 0
0 1
)
0
(
1 0
2 1









 





C
e
C
C
y
, откуда сразу получаем
0 1

C
Далее находим производную:
x
x
e
x
e
x
C
x
C
y
2 2
2 1
16 1
8 2
8 1
2
cos
2 2
sin
2





 






и применяем к ней второе начальное условие
2
)
0
(


y
:
1 2
2 8
1 8
1 2
16 1
8 0
2 8
1 1
2 0
2
)
0
(
2 2
2 0
0 2
1












 








C
C
C
e
e
C
C
y
Надо сказать, с константами тут повезло – отыскались сразу. Чаще приходится составлять и решать систему двух уравнений. Ну а в том, что пришлось иметь дело с дробями, нет ничего необычного – это, скорее, дело обычное 
Ответ: частное решение:
x
e
x
x
y
2 16 1
8 2
sin





 


Выполним полную проверку. Сначала проверяем, выполняется ли начальное условие
16 1
)
0
(


y
:
16 1
16 1
0 16 1
8 0
0
sin
)
0
(
0










 


e
y
– да, начальное условие выполнено.
Находим производную от ответа:
x
x
x
e
x
x
e
x
e
x
y
2 2
2 4
2
cos
2 16 1
8 2
8 1
2
cos
2







 




и проверяем, выполняется ли начальное условие
2
)
0
(


y
:
2 0
1 2
)
0
(





y
– да, второе начальное условие тоже выполнено.
Берём вторую производную:
x
x
x
e
x
x
e
x
e
x
y
2 2
2 4
1 2
2
sin
4 4
2 4
1 2
sin
4





 









и подставляем её вместе с
x
e
x
x
y
2 16 1
8 2
sin





 


в левую часть исходного уравнения:












 








 





x
x
e
x
x
e
x
x
y
y
2 2
16 1
8 2
sin
4 4
1 2
2
sin
4 4
x
x
x
x
xe
e
x
x
e
x
x
e
x
x
2 2
2 2
4 1
2 4
1 2
4 1
2 2
sin
4 4
1 2
2
sin
4
















 







 



– в результате получена правая часть исходного уравнения, в чём и требовалось убедиться.
Аналогично можно выполнить полную проверку любого общего решения с той лишь разницей, что не нужно проверять выполнение начальных условий. Но гораздо проще, конечно, «быстрая» проверка или, как я её жаргонно называю, проверка-«лайт».

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
69
Обязательно всё прорешиваем и во всём разбираемся:
Пример 51
Решить задачу Коши, выполнить проверку
1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
)
4 4
(
2 2










y
y
e
x
y
y
x
Образец я приблизил к чистовому варианту – примерно так нужно оформлять задачу. Не забываем о минимальных словесных комментариях, в которых, к слову, совсем не обязательно обосновывать вид, в котором вы подбираете частное решение
y

И в заключение параграфа рассмотрим не менее важные уравнения с тригонометрическими функциями в правой части:
Пример 52
x
x
y
y
y
2
sin
2
cos
21 5
2






Решение: найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
0 5
2





y
y
y
Характеристическое уравнение:
0 5
2 2





16 20 4




D
2 4
2 2
,
1
i



i
2 1
2
,
1



– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
)
2
sin
2
cos
(
2 1
x
C
x
C
e
Y
x


– внимательно перепроверяем квадратное
уравнение, и убеждаемся, что ошибок мы не допустили.
Теперь подбираем частное решение
y

неоднородного уравнения
x
x
y
y
y
2
sin
2
cos
21 5
2






Теперь смотрим на «заготовку»
y

и на общее решение
x
e
C
x
e
C
Y
x
x
2
sin
2
cos
2 1


, в котором для наглядности я раскрыл скобки. В общем решении НЕТ членов вида
x
C
x
C
2
sin
,
2
cos
*
*
*
, а значит, первоначальную версию
x
B
x
A
y
2
sin
2
cos



домножать на
«икс» не нужно и она принимается в качестве рабочего варианта.
Найдем производные:
x
B
x
A
x
B
x
A
y
2
cos
2 2
sin
2
)
2
sin
2
cos
(








x
B
x
A
x
B
x
A
y
2
sin
4 2
cos
4
)
2
cos
2 2
sin
2
(









Правило: если в правой части находится сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента (в нашем случае аргумента
x
2
), ИЛИ одинокий косинус (например,
x
2
cos
10
и больше ничего), ИЛИ одинокий синус (например,
x
2
sin
3
и больше ничего), то
во всех трёх случаях в качестве первоначального варианта подбора рассматриваем сумму косинуса и синуса (того же аргумента) с двумя неопределенными коэффициентами. В нашей задаче:
x
B
x
A
y
2
sin
2
cos



, где
A
и
B
– пока ещё неизвестные коэффициенты.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
70
Подставим
y
y


,

и
y


в левую часть неоднородного уравнения
x
x
y
y
y
2
sin
2
cos
21 5
2






:














)
2
sin
2
cos
(
5
)
2
cos
2 2
sin
2
(
2 2
sin
4 2
cos
4

5

2

x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
y
y
y
раскрываем скобки:








x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
2
sin
5 2
cos
5 2
cos
4 2
sin
4 2
sin
4 2
cos
4
группируем слагаемые при косинусе и синусе:









x
B
A
B
x
A
B
A
2
sin
)
5 4
4
(
2
cos
)
5 4
4
(
x
x
x
B
A
x
B
A
2
sin
2
cos
21 2
sin
)
4
(
2
cos
)
4
(






– и после упрощений в скобках приравниваем результат к правой части неоднородного уравнения.
В последнем равенстве приравниваем коэффициенты при соответствующих
тригонометрических функциях и получаем систему:








1 4
21 4
B
A
B
A
Систему не возбраняется решить «школьным» методом (выразить, например, из
второго уравнения
1 4



A
B
– и подставить в первое уравнение), но чаще их решают
«вышматовским» способом. Умножим второе уравнение на 4 и выполним почленное сложение:
1 17 17 4
4 16 21 4













A
A
B
A
B
A
– подставим в любое, например, в первое уравнение:
21 4
1


B
5 20 4





B
B
, после чего подставляем найденные значения
A
и
B
в наш подбор:
x
x
x
B
x
A
y
2
sin
5 2
cos
2
sin
2
cos





– искомое частное решение.
Выполним «быструю» проверку, а именно, найдём производные:
x
x
x
x
y
x
x
x
x
y
2
sin
20 2
cos
4
)
2
cos
10 2
sin
2
(

2
cos
10 2
sin
2
)
2
sin
5 2
(cos
















и подставим их вместе с
x
x
y
2
sin
5 2
cos



в левую часть исходного уравнения:






















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
2
sin
25 2
cos
5 2
cos
20 2
sin
4 2
sin
20 2
cos
4
)
2
sin
5 2
(cos
5
)
2
cos
10 2
sin
2
(
2 2
sin
20 2
cos
4

5

2

x
x
2
sin
2
cos
21


– надо просто быть упрямым и уметь играть на скрипке дифференцировать =)
После чего мы практически стопроцентно можем быть уверены в правильности итогового результата:
x
x
x
C
x
C
e
y
Y
y
x
2
sin
5 2
cos
)
2
sin
2
cos
(

2 1






– общее решение неоднородного уравнения.