Главная страница
Навигация по странице:

  • Возможно, у вас возник вопрос

  • И если вам встретится (или уже встретился) подобный казус , то знайте

  • Ответ

  • Обязательно всё прорешиваем и во всём разбираемся: Пример 51

  • Пример 52 x x y y y 2sin2cos21 52Решение

  • Блицкурс Дифференциальные уравнения


    Скачать 1.82 Mb.
    НазваниеБлицкурс Дифференциальные уравнения
    Дата19.06.2022
    Размер1.82 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаintensiv_diffury.pdf
    ТипМетодичка
    #604390
    страница10 из 15
    1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15

    Ответ:
    const
    C
    C
    e
    C
    x
    C
    x
    y
    x

    


    





    2 1
    3 1
    2 2
    ,
    где
    ,
    2
    Прямо таки маленькое математическое событие под названием «Воссоединение членов многочлена» =)
    Возможно, у вас возник вопрос:
    а что произойдет, если мы будем подбирать
    частное решение в некорректном виде? Вот только что мы его искали в виде
    x
    e
    Ax
    y
    3 2



    , а что будет, если попробовать «первоначальную» версию
    x
    Ae
    y
    3


    ?
    Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные
    y
    y
    


    ,

    , провести подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт – у нас не получится красивого финального равенства
    x
    x
    e
    Ae
    3 3
    2

    , грубо говоря, «ничего не сойдётся»:
    x
    x
    x
    Ae
    y
    Ae
    y
    Ae
    y
    3 3
    3 9

    3



    



    подставляем эти штуки в левую часть диффура:
    0 9
    3 6
    9

    9

    6

    3 3
    3








    
    x
    x
    x
    Ae
    Ae
    Ae
    y
    y
    y
    – в результате чего получился ноль, и поэтому в конце мы не можем приписать правую часть неоднородного уравнения, ибо:
    Таким образом, попытка подобрать частное решение в виде
    x
    Ae
    y
    3


    не увенчалась успехом.
    И если вам встретится (или уже встретился) подобный казус,
    то знайте
    – вы изначально пытались подобрать частное решение НЕ В ТОМ виде.

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    67
    Переходим к следующему типовому случаю и заодно вспомним задачу Коши:
    Пример 50
    Найти частное решение уравнения
    x
    xe
    y
    y
    2 4


    
    , удовлетворяющее начальным условиям
    2
    )
    0
    (
    ,
    16 1
    )
    0
    (




    y
    y
    Ход решения такой же, но в конце добавляется дополнительный пункт:
    1) Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения:
    0 4
    0 4
    2




    

    y
    y
    i
    2 2
    ,
    1



    – получены сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
    x
    C
    x
    C
    Y
    2
    sin
    2
    cos
    2 1


    2) Подбираем частное решение
    y

    . Поскольку в правой части неоднородного уравнения
    x
    xe
    y
    y
    2 4


    
    находится многочлен 1-й степени, умноженный на экспоненту, то в качестве первоначальной версии подбора рассматриваем
    x
    e
    B
    Ax
    y
    2
    )
    (



    ,
    Теперь смотрим на нашу «заготовку»
    x
    x
    Be
    Axe
    y
    2 2



    и на общее решение
    x
    C
    x
    C
    Y
    2
    sin
    2
    cos
    2 1


    . Очевидно, здесь нет подобных членов, и поэтому домножать
    y

    на
    «икс» НЕ НАДО. Таким образом, первоначальная версия подбора принимается в качестве рабочего варианта.
    Найдём производные:
    x
    x
    x
    x
    e
    B
    A
    Ax
    e
    B
    Ax
    Ae
    e
    B
    Ax
    y
    2 2
    2 2
    )
    2 2
    (
    )
    (
    2
    )
    )
    ((











    x
    x
    x
    x
    e
    B
    A
    Ax
    e
    B
    A
    Ax
    Ae
    e
    B
    A
    Ax
    y
    2 2
    2 2
    )
    4 4
    4
    (
    )
    2 2
    (
    2 2
    )
    )
    2 2
    ((












    
    И подставим
    y

    и
    y
    

    в левую часть неоднородного уравнения:







    
    x
    x
    e
    B
    Ax
    e
    B
    A
    Ax
    y
    y
    2 2
    )
    (
    4
    )
    4 4
    4
    (

    4

    x
    x
    x
    e
    x
    e
    B
    A
    Ax
    e
    B
    Ax
    B
    A
    Ax
    2 2
    2
    )
    0
    (
    )
    8 4
    8
    (
    )
    4 4
    4 4
    4
    (










    – после максимальных упрощений приравниваем результат к правой части. Обращаю ваше внимание, что
    отсутствующие коэффициенты многочлена правой части равны нулю.
    Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и составляем систему:






    0 8
    4 1
    8
    B
    A
    A
    , из которой следует, что
    16 1
    0 8
    8 1
    4 8
    1








    B
    B
    A
    Таким образом:
    x
    x
    e
    x
    e
    B
    Ax
    y
    2 2
    16 1
    8
    )
    (






     



    при этом степени многочлена пропускать нельзя! (в нашем случае – константу)
    То есть, если в правой части ДУ находится неполный многочлен, например,
    x
    e
    x
    x
    f



    )
    1
    (
    )
    (
    2
    , то в подборе всё равно прописываем все его степени:
    x
    e
    C
    Bx
    Ax
    y




    )
    (

    2

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    68 3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:
    const
    C
    C
    e
    x
    x
    C
    x
    C
    y
    Y
    y
    x






     





    2 1
    2 2
    1
    ,
    где
    ,
    16 1
    8 2
    sin
    2
    cos

    4) и найдём частное решение, соответствующее заданным начальным условиям.
    Сначала применяем к общему решению начальное условие
    16 1
    )
    0
    (


    y
    :
    16 1
    16 1
    16 1
    8 0
    0 1
    )
    0
    (
    1 0
    2 1









     





    C
    e
    C
    C
    y
    , откуда сразу получаем
    0 1

    C
    Далее находим производную:
    x
    x
    e
    x
    e
    x
    C
    x
    C
    y
    2 2
    2 1
    16 1
    8 2
    8 1
    2
    cos
    2 2
    sin
    2





     






    и применяем к ней второе начальное условие
    2
    )
    0
    (


    y
    :
    1 2
    2 8
    1 8
    1 2
    16 1
    8 0
    2 8
    1 1
    2 0
    2
    )
    0
    (
    2 2
    2 0
    0 2
    1












     








    C
    C
    C
    e
    e
    C
    C
    y
    Надо сказать, с константами тут повезло – отыскались сразу. Чаще приходится составлять и решать систему двух уравнений. Ну а в том, что пришлось иметь дело с дробями, нет ничего необычного – это, скорее, дело обычное 
    Ответ: частное решение:
    x
    e
    x
    x
    y
    2 16 1
    8 2
    sin





     


    Выполним полную проверку. Сначала проверяем, выполняется ли начальное условие
    16 1
    )
    0
    (


    y
    :
    16 1
    16 1
    0 16 1
    8 0
    0
    sin
    )
    0
    (
    0










     


    e
    y
    – да, начальное условие выполнено.
    Находим производную от ответа:
    x
    x
    x
    e
    x
    x
    e
    x
    e
    x
    y
    2 2
    2 4
    2
    cos
    2 16 1
    8 2
    8 1
    2
    cos
    2







     




    и проверяем, выполняется ли начальное условие
    2
    )
    0
    (


    y
    :
    2 0
    1 2
    )
    0
    (





    y
    – да, второе начальное условие тоже выполнено.
    Берём вторую производную:
    x
    x
    x
    e
    x
    x
    e
    x
    e
    x
    y
    2 2
    2 4
    1 2
    2
    sin
    4 4
    2 4
    1 2
    sin
    4





     








    
    и подставляем её вместе с
    x
    e
    x
    x
    y
    2 16 1
    8 2
    sin





     


    в левую часть исходного уравнения:












     








     




    
    x
    x
    e
    x
    x
    e
    x
    x
    y
    y
    2 2
    16 1
    8 2
    sin
    4 4
    1 2
    2
    sin
    4 4
    x
    x
    x
    x
    xe
    e
    x
    x
    e
    x
    x
    e
    x
    x
    2 2
    2 2
    4 1
    2 4
    1 2
    4 1
    2 2
    sin
    4 4
    1 2
    2
    sin
    4
















     







     



    – в результате получена правая часть исходного уравнения, в чём и требовалось убедиться.
    Аналогично можно выполнить полную проверку любого общего решения с той лишь разницей, что не нужно проверять выполнение начальных условий. Но гораздо проще, конечно, «быстрая» проверка или, как я её жаргонно называю, проверка-«лайт».

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    69
    Обязательно всё прорешиваем и во всём разбираемся:
    Пример 51
    Решить задачу Коши, выполнить проверку
    1
    )
    0
    (
    ,
    1
    )
    0
    (
    ,
    )
    4 4
    (
    2 2








    

    y
    y
    e
    x
    y
    y
    x
    Образец я приблизил к чистовому варианту – примерно так нужно оформлять задачу. Не забываем о минимальных словесных комментариях, в которых, к слову, совсем не обязательно обосновывать вид, в котором вы подбираете частное решение
    y

    И в заключение параграфа рассмотрим не менее важные уравнения с тригонометрическими функциями в правой части:
    Пример 52
    x
    x
    y
    y
    y
    2
    sin
    2
    cos
    21 5
    2





    
    Решение: найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
    0 5
    2




    
    y
    y
    y
    Характеристическое уравнение:
    0 5
    2 2





    16 20 4




    D
    2 4
    2 2
    ,
    1
    i



    i
    2 1
    2
    ,
    1



    – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
    )
    2
    sin
    2
    cos
    (
    2 1
    x
    C
    x
    C
    e
    Y
    x


    внимательно перепроверяем квадратное
    уравнение, и убеждаемся, что ошибок мы не допустили.
    Теперь подбираем частное решение
    y

    неоднородного уравнения
    x
    x
    y
    y
    y
    2
    sin
    2
    cos
    21 5
    2





    
    Теперь смотрим на «заготовку»
    y

    и на общее решение
    x
    e
    C
    x
    e
    C
    Y
    x
    x
    2
    sin
    2
    cos
    2 1


    , в котором для наглядности я раскрыл скобки. В общем решении НЕТ членов вида
    x
    C
    x
    C
    2
    sin
    ,
    2
    cos
    *
    *
    *
    , а значит, первоначальную версию
    x
    B
    x
    A
    y
    2
    sin
    2
    cos



    домножать на
    «икс» не нужно и она принимается в качестве рабочего варианта.
    Найдем производные:
    x
    B
    x
    A
    x
    B
    x
    A
    y
    2
    cos
    2 2
    sin
    2
    )
    2
    sin
    2
    cos
    (








    x
    B
    x
    A
    x
    B
    x
    A
    y
    2
    sin
    4 2
    cos
    4
    )
    2
    cos
    2 2
    sin
    2
    (








    
    Правило: если в правой части находится сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента (в нашем случае аргумента
    x
    2
    ), ИЛИ одинокий косинус (например,
    x
    2
    cos
    10
    и больше ничего), ИЛИ одинокий синус (например,
    x
    2
    sin
    3
    и больше ничего), то
    во всех трёх случаях в качестве первоначального варианта подбора рассматриваем сумму косинуса и синуса (того же аргумента) с двумя неопределенными коэффициентами. В нашей задаче:
    x
    B
    x
    A
    y
    2
    sin
    2
    cos



    , где
    A
    и
    B
    – пока ещё неизвестные коэффициенты.

    © Емелин А., http://mathprofi.ru
    , Высшая математика – просто и доступно!
    70
    Подставим
    y
    y


    ,

    и
    y
    

    в левую часть неоднородного уравнения
    x
    x
    y
    y
    y
    2
    sin
    2
    cos
    21 5
    2





    
    :













    
    )
    2
    sin
    2
    cos
    (
    5
    )
    2
    cos
    2 2
    sin
    2
    (
    2 2
    sin
    4 2
    cos
    4

    5

    2

    x
    B
    x
    A
    x
    B
    x
    A
    x
    B
    x
    A
    y
    y
    y
    раскрываем скобки:








    x
    B
    x
    A
    x
    B
    x
    A
    x
    B
    x
    A
    2
    sin
    5 2
    cos
    5 2
    cos
    4 2
    sin
    4 2
    sin
    4 2
    cos
    4
    группируем слагаемые при косинусе и синусе:









    x
    B
    A
    B
    x
    A
    B
    A
    2
    sin
    )
    5 4
    4
    (
    2
    cos
    )
    5 4
    4
    (
    x
    x
    x
    B
    A
    x
    B
    A
    2
    sin
    2
    cos
    21 2
    sin
    )
    4
    (
    2
    cos
    )
    4
    (






    – и после упрощений в скобках приравниваем результат к правой части неоднородного уравнения.
    В последнем равенстве приравниваем коэффициенты при соответствующих
    тригонометрических функциях и получаем систему:








    1 4
    21 4
    B
    A
    B
    A
    Систему не возбраняется решить «школьным» методом (выразить, например, из
    второго уравнения
    1 4



    A
    B
    – и подставить в первое уравнение), но чаще их решают
    «вышматовским» способом. Умножим второе уравнение на 4 и выполним почленное сложение:
    1 17 17 4
    4 16 21 4













    A
    A
    B
    A
    B
    A
    – подставим в любое, например, в первое уравнение:
    21 4
    1


    B
    5 20 4





    B
    B
    , после чего подставляем найденные значения
    A
    и
    B
    в наш подбор:
    x
    x
    x
    B
    x
    A
    y
    2
    sin
    5 2
    cos
    2
    sin
    2
    cos





    – искомое частное решение.
    Выполним «быструю» проверку, а именно, найдём производные:
    x
    x
    x
    x
    y
    x
    x
    x
    x
    y
    2
    sin
    20 2
    cos
    4
    )
    2
    cos
    10 2
    sin
    2
    (

    2
    cos
    10 2
    sin
    2
    )
    2
    sin
    5 2
    (cos








    







    и подставим их вместе с
    x
    x
    y
    2
    sin
    5 2
    cos



    в левую часть исходного уравнения:





















    
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    y
    y
    y
    2
    sin
    25 2
    cos
    5 2
    cos
    20 2
    sin
    4 2
    sin
    20 2
    cos
    4
    )
    2
    sin
    5 2
    (cos
    5
    )
    2
    cos
    10 2
    sin
    2
    (
    2 2
    sin
    20 2
    cos
    4

    5

    2

    x
    x
    2
    sin
    2
    cos
    21


    – надо просто быть упрямым и уметь играть на скрипке дифференцировать =)
    После чего мы практически стопроцентно можем быть уверены в правильности итогового результата:
    x
    x
    x
    C
    x
    C
    e
    y
    Y
    y
    x
    2
    sin
    5 2
    cos
    )
    2
    sin
    2
    cos
    (

    2 1






    – общее решение неоднородного уравнения.
    1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15


    написать администратору сайта