Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 13 из 15

Ответ:
2
)
1
(
4


x
y

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
84
Пример 21.
Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным,
проведём замену
v
u
v
u
y
uv
y







:
x
e
x
uv
x
v
u
v
u
x







2 3
)
1
(
)
(
x
e
x
uv
x
v
xu
v
u
x







2 3
)
1
(
(раскрыли только левые скобки!)
x
e
x
v
x
v
x
u
v
u
x







2 3
)
)
1
(
(
Составим и решим систему:










x
e
x
v
u
x
v
x
v
x
2 3
0
)
1
(
.
Из первого уравнения найдем v :
x
x
v
dx
x
v
x
dx
x
v
dv
v
x
dx
dv
x
ln ln
1 1
ln
)
1
(
)
1
(








 











x
x
x
x
x
e
x
e
e
e
v









1
ln ln
Примечание
: здесь использовано основное логарифмическое тождество:
x
e
e
e
x
x
x
1 1
ln ln ln
1





Подставим найденную функцию во второе уравнение:
C
x
dx
x
u
x
dx
du
e
x
e
x
u
x
x
x










3 2
2 2
3 3
3 1
Таким образом, общее решение:
const
C
где
e
x
C
x
e
x
C
x
uv
y
x
x















,
1
)
(
2 3
Найдем частное, соответствующее заданному начальному условию:
1 0
1
)
1
(
)
1
(
1









C
e
C
e
C
y
Ответ:
x
e
x
x
y









1 2

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
85
Пример 23.
Решение: представим уравнение в виде
2 1
y
x
y
y





.
Данное ДУ является уравнением Бернулли, разделим обе части на
2
y :
1
)
1
(
1 2





x
y
y
y
Проведем замену
z
y
y
y
y
z
z
y











2 2
1
:
1 1






x
z
z
1 1




x
z
z
Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:
v
u
v
u
z
uv
z







1 1






x
uv
v
u
v
u
1 1












x
v
v
u
v
u
Составим и решим систему:










1 0
1
v
u
x
v
v
Из первого уравнения найдем v :
1


x
v
dx
dv




1
x
dx
v
dv
1
ln ln


x
v
1


x
v
– подставим во второе уравнение:
1
)
1
(



x
u
1 1


x
dx
du
C
x
x
dx
u






1
ln
1
Таким образом:
)
1
(
)
1
(ln






x
C
x
uv
z
Обратная замена
z
y
1

и общее решение:
const
C
где
x
C
x
y






,
)
1
(
)
1
(ln
1
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
1 1
1 1
)
0
(
1
)
0
(









C
C
C
y
Ответ:


)
1
(
1 1
ln
1





x
x
y

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
86
Пример 25.
Решение: Данное уравнение является уравнением Бернулли. Разделим
обе части на y :
2 4
x
y
y
y
y
x



2 4
x
y
y
y
x



при этом очевидно, что
0

y
является решением исходного уравнения.
Проведём замену
z
y
y
y
y
z
z
y









2 2
:
2 4
2
x
z
z
x



Полученное линейное неоднородное уравнение решим методом вариации
произвольной постоянной:
1) Найдём общее решение соответствующего линейного однородного уравнения:
const
C
где
x
C
z
x
C
z
C
x
z
x
dx
z
dz
z
dx
dz
x
z
z
x
z
z
x

















,


ln ln

ln ln
2
ln
2 2
0 2
0 4
2 2
2
2) В неоднородном уравнении
2 4
2
x
z
z
x



проведём замену
ux
x
u
ux
z
ux
z
2
)
(
2 2
2








:
2 2
2 4
)
2
(
2
x
ux
ux
x
u
x




C
x
x
dx
u
x
dx
du
u
x
x
u
x
x
ux
ux
u
x













ln
2 1
2 1
2 1
1 2
2 4
4 2
2 3
2 2
2 3
Таким образом:
2 2
ln
2 1
x
C
x
ux
z










Обратная замена
y
z

:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
87
C
x
x
y
x
C
x
y











ln
2 1
ln
2 1
2 2
Ответ: общий интеграл:
const
C
где
C
x
x
y



,
ln
2 1
2
, ещё одно решение:
0

y
Пример 28.
Решение: проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных
дифференциалах:
xy
x
Q
y
x
y
P
6 6
,
3 3
6 2
2





y
xy
x
x
Q
y
y
y
x
y
y
P
x
y
6 6
)
6 6
(
6 6
6 0
6
)
3 3
6
(
2 2


















x
Q
y
P





, значит, данное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах и имеет вид:
0






dy
y
F
dx
x
F
, в нашем случае:
2 2
3 3
6
y
x
y
x
F





xy
x
y
F
6 6




Если
2 2
3 3
6
y
x
y
x
F





, то:
)
(
3 6
)
3 3
6
(
2 3
2 2
y
xy
x
xy
dx
y
x
y
F









xy
x
y
xy
x
y
xy
x
xy
y
F
y
y
6 6
)
(
6 6
)
)
(
3 6
(
2 3















C
dy
y
y
y






0
)
(
0
)
(


– подставляем в
)
(
3 6
2 3
y
xy
x
xy
F





.
Ответ: общий интеграл:
const
C
где
C
xy
x
xy





,
0 3
6 2
3
Проверка. Найдём частные производные:
xy
x
y
x
x
C
xy
x
xy
y
F
y
x
y
y
x
y
C
xy
x
xy
x
F
y
x
6 6
0 2
3 0
1 6
)
3 6
(
3 3
6 0
1 3
3 1
6
)
3 6
(
2 3
2 2
2 2
2 3

































и составим дифференциальное уравнение
0






dy
y
F
dx
x
F
:
0
)
6 6
(
)
3 3
6
(
2 2





dy
xy
x
dx
y
x
y
В результате получено исходное ДУ, значит, решение найдено правильно.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
88
Пример 30.
Решение: проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных
дифференциалах:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
sin cos sin
2
)
(sin sin
2 0
sin
2
sin
0 2
sin
2
sin sin
,
2
sin
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
y
x
Q
y
x
y
x
x
y
x
y
P
y
x
y
Q
x
y
x
P
x
x
y







































x
Q
y
P





, значит, данное дифференциальное уравнение является уравнением в
полных дифференциалах и имеет вид:
0






dy
y
F
dx
x
F
Способ первый:
x
y
x
x
F




2
sin
– работаем с этой производной,
2 2
sin
y
x
y
y
F




– про эту производную пока забываем.
Так как
x
y
x
x
F




2
sin
, то:
)
(
2 2
2
cos
2
sin
1 2
sin
2
y
x
y
x
xdx
xdx
y
dx
x
y
x
F


















Дифференцируем по
y
и приравниваем результат к «забытой» производной:
2 2
2 2
2
sin
)
(
2 2
cos
)
(
0 1
2 2
cos
)
(
2 2
2
cos
y
x
y
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
F
y
y
y



































Преобразуем правую часть с помощью формулы
2 2
cos
1
sin
2
x
x


:
2 2
2 2
2 2
2 1
)
(
2 2
cos
2 1
)
(
2 2
cos
2 2
cos
1
)
(
2 2
cos
y
y
y
y
x
y
y
y
y
x
y
x
y
y
y
x
y
y
y

















© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
89
Восстанавливаем функцию:
C
y
y
dy
y
y
y












2 1
2 2
1
)
(
2 2

– и подставляем её в
)
(
2 2
2
cos
2
y
x
y
x
F





:
C
y
x
x
y
C
y
x
y
x
C
y
y
x
y
x
F















2 2
2 2
2 2
2
sin
2 2
2
cos
1 2
2 1
2 2
2 2
cos
Ответ: общий интеграл
const
C
где
C
y
x
x
y





,
0
sin
2 2
2 2
Способ второй:
x
y
x
x
F




2
sin
– про эту производную пока забываем.
2 2
sin
y
x
y
y
F




– будем работать с этой производной.
Если
2 2
sin
y
x
y
y
F




, то:
)
(
sin
2
sin sin
2 2
2 2
2 2
x
y
x
y
y
dy
x
ydy
dy
y
x
y
F

















Найдём частную производную по x и приравняем её к «забытой» производной:
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
y
x
y
x
F
x
x
x





















2
sin
)
(
2
sin
)
(
cos sin
2 0
)
(
sin
2 2
2



Из последнего равенства следует, что:
C
x
xdx
x
x
x
x







2
)
(
)
(
2


– подставляем в «недостроенную» функцию
)
(
sin
2 2
2
x
y
x
y
F




:
C
y
x
x
y
C
x
y
x
y
F








2 2
2 2
2 2
sin
2 2
sin
2
Ответ: общий интеграл
const
C
где
C
y
x
x
y





,
0
sin
2 2
2 2
.