Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Дата: 19.06.2022
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: intensiv_diffury.pdf
• Тип: Методичка; #604390
• страница: 4 из 15

И опасность третья:
сейчас мы разделили обе части на x и поэтому нужно проверить, не является ли
0

x
решением исходного уравнения
0 2




y
xy
y
x
:
0 0
0



y
– неверное равенство, ответ «нет».

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
21
Кроме того, мы сбросили в знаменатель t , а значит, проверке подлежит функция
0 0




y
x
y
t
. Подставляем её вместе с её производной
0
)
0
(




y
в исходное уравнение:
0 0
0 0



– получено верное равенство, значит,
0

y
– это одно из решений
ДУ, и мы его рискуем потерять.
Берём это на заметку и интегрируем обе части:
C
x
t
x
dx
t
dt







ln
2
Упрощать тут нечего, поэтому проводим обратную замену
x
y
t

:
C
x
x
y


ln
, если
0

x
. Привыкаем к виду
C
y
x
F

)
;
(
!
Аналогично, от 2-го уравнения
0 2



t
x
t
переходим к уравнению
x
dx
t
dt



2
,
сохраняя «минус» при корне
, и после интегрирования и обратной замены получаем:
C
x
t




ln
C
x
x
y



ln
, если
0

x
Обе «ветки» решения можно записать единым общим интегралом:
C
x
x
y
x



ln sgn
, где «сигнум икс» – это специальная функция, которая возвращает знак «икс»:
1
sgn

x
, если
0

x
,
0
sgn

x
, если
0

x
и
1
sgn


x
, если
0

x
Допустима и запись
C
x
x
y



ln
, но она требует дополнительных письменных комментариев.
И на финишной черте вспоминаем о решении
0

y
. В общий интеграл оно не
вошло, и поэтому его нужно дополнительно указать в ответе: общий интеграл:
const
C
C
x
x
y
x




где
,
ln sgn
, ещё одно решение:
0

y
Если по условию требуется найти частное решение, например, с начальным условием
1
)
1
(



y
, то следует выбрать нужную ветку:
C
x
x
y



ln
(т.к.
0 1



x
) и выполнить подстановку:
1
ln
1 0
1 1
ln
1 1


















x
x
y
C
C
C
– искомый частный интеграл. Впрочем, задачу Коши в однородных уравнениях почему-то
(уж не знаю почему) предлагают крайне редко.
Продолжаем, сейчас будет становиться
всё жарче
и жарче!

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
22
Пример 13
Решить дифференциальное уравнение
0
)
2
(
2 2



dy
x
dx
xy
y
Это очень интересный пример, прямо целый триллер! Сначала убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность:


0
)
2
(
0
)
2
(
0
)
2
(
0
)
(
)
2
)
((
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2














dy
x
dx
xy
y
dy
x
dx
xy
y
dy
x
dx
xy
y
dy
x
dx
y
x
y










0
)
2
(
2 2



dy
x
dx
xy
y
– в результате получено исходное ДУ, значит, оно является однородным.
Особенность этого уравнения состоит в том, что оно содержит готовые дифференциалы, и его можно решить модифицированной заменой:
tdx
xdt
dy
tx
y




Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим обе части уравнения на
dx
:
0 2
0
)
2
(
2 2
2 2







y
x
xy
y
dx
dx
dy
x
dx
dx
xy
y
И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Нулевому дифференциалу
0

dx
соответствует
С
x

– семейство прямых, параллельных оси
OY
Являются ли они решениями нашего ДУ? Подставим в него
С
x

и
0
)
(


С
d
dx
:
0 0
0
)
2
(
2 2
2





dy
C
dy
C
Сy
y
Данное равенство справедливо, если
0

С
, то есть, при делении на
dx
мы рисковали потерять корень
0

x
, и мы его потеряли – так как он УЖЕ не
удовлетворяет полученному уравнению
0 2
2 2




y
x
xy
y
Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение
0 2
2 2




y
x
xy
y
, то о корне
0

x
речи бы не шло.
Продолжаем решение стандартной заменой
t
x
t
y
tx
y





,
:
0
)
(
2
)
(
2 2






t
x
t
x
tx
x
tx
после подстановки упрощаем всё, что можно упростить:
0
)
(
2 2
2 2
2





t
x
t
x
t
x
x
t
0 0
2 2
2









t
x
t
t
t
x
t
t
t

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
23
Разделяем переменные:
x
dx
t
t
dt
t
t
dx
dt
x




)
1
(
2
И вот здесь снова СТОП: при делении на
)
1
(
t
t

мы рискуем потерять сразу две функции. Так как
x
y
t

, то это функции:
x
y
x
y
t
y
x
y
t











1 0
1 0
0 0
Очевидно, что первая функция является решением уравнения
0 2
2 2




y
x
xy
y
Проверяем вторую – подставляем
x
y

и её производную
1
)
(




x
y
:
0 2
0 1
2 2
2 2
2 2








x
x
x
x
x
x
x
0 0

– получено верное равенство, значит, функция
x
y

тоже является решением дифференциального уравнения.
И при делении на
)
1
(
t
t

мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти.
Берём всё это на заметку и интегрируем обе части:




x
dx
t
t
dt
)
1
(
Интеграл левой части можно решить методом выделения полного квадрата, но в диффурах удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов.
Разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
1
)
1
(
)
1
(
1 1







Bt
t
A
t
t
t
B
t
A
1 1
0









B
A
B
A
Таким образом:
1 1
1 1
1 1
)
1
(
1







t
t
t
t
t
t
– удобнее так.
Находим оставшиеся интегралы:
C
x
dt
t
t
ln ln
1 1
1











C
x
t
t
ln ln
1
ln ln




– так как у нас нарисовались одни логарифмы, то константу тоже заталкиваем под логарифм.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
24
Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить:
C
t
x
t
C
x
t
t
ln
)
1
(
ln ln ln
1
ln





Сбрасываем цепи:
C
t
x
t


)
1
(
И вот только теперь обратная замена
x
y
t

:
C
x
y
x
y
C
x
y
x
y
C
x
y
x
x
y










 
)
(
1
Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение
0

y
вошло в общий интеграл при значении
0

C
, а вот
x
y

– «пролетело мимо кассы», т.к. оказалось в знаменателе.
Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении
0

x
(«икс», к слову, тоже оказался внизу).
Ответ: общий интеграл:
const
C
C
x
y
x
y



где
,
)
(
. Ещё решения:
x
y
x


,
0
Здесь не так трудно выразить общее решение:
1
)
1
(
2 2
2 2














Cx
Cx
y
Cx
y
Cx
Cx
y
Cxy
Cx
Cxy
y
Cx
x
y
y
, но это уже «понты».
Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную:
2 2
2 2
2 2
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
(
1






















Cx
С
Cx
Cx
Cx
Cx
Cx
Cx
Cx
Cx
Cx
Cx
y
и подставим
2 2
2 2
)
1
(
1 2
,
1







Cx
x
C
Cx
Cx
y
Cx
Cx
y
в левую часть уравнения:

























2 2
2 2
2 2
2 2
2
)
1
(
1 2
1 2
1 2
Cx
x
C
Cx
Cx
x
Cx
Cx
x
Cx
Cx
y
x
xy
y
0
)
1
(
1 2
1 2
)
1
(
2 4
2 3
3 2
4 2









Cx
x
C
Cx
Cx
Cx
Cx
Cx
x
C
– в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить.

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
25
Тренируемся!
Пример 14
Решить дифференциальные уравнения а)
y
xy
y
x
y




2 2
б) и что-нибудь простенькое… вот:
0
)
(



ydx
dy
y
x
, а то вы больше не придёте к такому маньяку :) Выполнить проверку.
Однородность этих уравнений, думаю, всем виднА, но ни в коем случае не следует забывать и о Проверке № 0 ;) Ибо уравнение
x
y
y


тоже однородно, но в нём лучше разделить переменные
, дабы не блуждать в трёх соснах с первой любовью :) Решения и ответы в конце книги, и не забывайте, что «внешний вид» ваших решений и ответов не обязан совпадать с образцом. Проверка и ещё раз проверка!
Итак:
при неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне
мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то, деление на что-то, вынесение из-под корня / внесение под корень.
Так, например, при делении на
2 2
x
y

нужно проверить, не являются ли функции
x
y
x
y



,
решениями дифференциального уравнения. Если проводится замена
tx
y

, то легче лёгкого потерять одну из веток решения, поэтому не забываем про модуль:
1 2
2 2
2



t
x
x
x
t
, и после его раскрытия сохраняем знаки при корне, несоблюдение этого правила может закончиться фатальной ошибкой. В ряде случаев удаётся избавиться от функции
x
sgn или знаков

, но чтобы вас не путать, я опустил эти примеры.
При делении на разложимый на множители квадратный трёхчлен
5 6
2


y
y
есть все шансы потерять возможные корни
5
,
1




y
y
. В то же время при делении на
4 2

y
или неразложимый трёхчлен
2 2
2


y
y
надобность в такой проверке уже отпадает – по причине того, что эти делители не обращается в ноль.
Вот ещё одна опасная ситуация:
)(.......)
1
(
)(...)
1
(



y
y
Здесь, избавляясь от
1

y
, следует проверить, не является ли
1

y
решением исходного ДУ. Часто в качестве такого множителя встречается «икс», «игрек», и мы рискуем потерять
0
,
0


y
x
, которые могут оказаться решениями.
Потеря решения будет серьёзным недочётом
и основанием для незачёта задачи!
С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении
y
x
y
x
y
5 2
3




можно не беспокоиться о функции
5
x
y


, ибо она изначально «заявлена» в знаменателе.
Переходим к изучению третьего,
важнейшего типа дифференциального
уравнения:

© Емелин А., http://mathprofi.ru
, Высшая математика – просто и доступно!
26
1.4. Линейное неоднородное уравнение первого порядка
Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то перед нами с ОЧЕНЬ высокой вероятностью
линейное неоднородное
уравнение первого порядка.
Данное уравнение имеет следующий вид:
)
(
)
(
x
q
y
x
p
y




, где
)
(
),
(
x
q
x
p
– члены, зависящие только от «икс».
Как вариант:
1)
)
(x
q
может быть константой (конкретным числом):
k
y
x
p
y




)
(
;
2)
)
(x
p
может быть константой:
)
(x
q
ky
y



, простейшие случаи
)
(
,
)
(
x
q
y
y
x
q
y
y






;
3) и иногда рядом с производной красуется «иксовый» множитель:
)
(
)
(
)
(
x
q
y
x
p
y
x
r





– это тоже линейное неоднородное уравнение (опционально
)
(x
p
или
)
(x
q
может быть константой).
Разумеется, в практических примерах члены уравнения могут быть переставлены местами, но гораздо чаще они расположены в стандартном порядке:
Пример 15
Решить дифференциальное уравнение
x
e
y
y



Решение: неразделимость переменных и неоднородность этого уравнения совершенно очевидна, и перед нами линейное уравнение вида:
)
(x
q
y
y


