Цифровые измерительные устройства. Цифровые Измерительные Устройства. Цифровые измерительные устройства теоретические основы цифровой измерительной техники
 Скачать 1.94 Mb.
|
|
2.4.2. Идеальная дискретизация: спектральный подход Как было сказано в разделе 2.1, при теоретическом анализе дискретизации основным вопросом является следующий: возможно ли по последовательности отсчетов восстановить исходную непрерывную сигнальную функцию с заданной точностью? При спектральном подходе рассматривается преобразование спектра сигнала при дискретизации и возможность последующего восстановления первоначального спектра. Дискретизация в математической трактовке есть умножение сигнальной функции u(t) на бесконечную дискретизирующую последовательность дельта-функций: При этом предполагается, что дельта-функции следуют друг за другом с постоянной частотой дискретизации (иначе говоря, частотой запусков АЦП) f д = 1/T д , где T д = t j – t ( j – 1) , а j означает номер отсчета в их бесконечной последовательности. ∑ − = ). ( ) ( ) ( j д t t t u t u δ 88 Спектр произведения есть свертка спектров сомножителей. Спектр сигнала u(t) в общем случае непериодического сигнала непрерывен, а дискретизирующая последовательность, будучи периодической, имеет дискретный спектр. Известно, что он состоит из составляющих на частотах mf д , где m пробегает весь бесконечный ряд отрицательных и положительных целых чисел, включая нуль, причем все составляющие одинаковы по интенсивности. Свертка непрерывной функции с дискретной может быть получена как сумма «копий» непрерывной функции, расположенных в точках существования дискретной функции. Такая операция со спектрами показана на рис. 2.25. Здесь полужирная кривая, симметричная относительно оси ординат, изображает спектральную плотность дискретизируемого сигнала u(t); жирные вертикальные отрезки символизируют три из бесконечного числа спектральных компонент дискретизирующей последовательности; тонкие кривые – «копии» исходного спектра. Сумма функций, изображенных полужирной и тонкими линиями, образует искомую свертку – спектральную плотность сигнала u д (t), или иначе говоря последовательности выборок. Из рисунка ясно, что восстановить исходный спектр – это значит убрать появившиеся копии, что возможно, если он не перекрывается с ближайшими слева и справа копиями. А это в свою очередь требует, чтобы исходная спектральная плотность обращалась в нуль при f ≥ 0,5f д и f ≤ – 0,5f д . Если последние неравенства выполнены (достаточно одного из них, так как спектры симметричны), то исходный спектр может быть теоретически точно восстановлен с помощью идеального фильтра нижних частот с характеристикой пропускания, показанной на рисунке полужирной прерывистой линией. Полученный результат образует содержание известной теоремы Котельникова (в зарубежных источниках – теоремы Найквиста), которую можно сформулировать следующим образом: сигнал с ограниченным спектром может быть точно восстановлен по последовательности дискретных отсчетов, если частота дискретизации не менлее, чем в два раза превышает граничную частоту спектра исходного сигнала. Эта теорема очень важна для ЦИТ, так как устанавливает нижний предел частоты запусков АЦП при заданных спектральных характеристиках сигнала, если от АЦ преобразования требуется полная передача формы сигнала. В ряде случаев форму сигнала сохранять не нужно, – например, если задачей эксперимента является нахождение функции распределения или просто среднеквадратичного значения случайно меняющегося напряжения. Тогда можно выбирать более низкую частоту запусков. S 2,5f д f 1,5f д – 0,5f д 0,5f д 2f д f д 0 Рис. 2.25 89 Если условие теоремы не выполняется, исходный спектр и его копии перекрываются, и при попытке восстановить исходный сигнал его форма, как правило (исключением является рассмотренное ниже стробоскопическое преобразование), искажается. Это называется наложением спектров, в английской терминологии aliasing (в технической документации можно встретить попытки его русской транскрипции: «элайзинг») Отметим, что теорема Котельникова реально выполняется только приближенно, поскольку из теории спектров известно, что сигнал с ограниченным спектром должен быть неограниченным по длительности (как в сторону будущего, так и в сторону прошлого), а на практике всегда приходится действовать с конечным массивом отсчетов. К тому же идеальный фильтр нижних частот физически нереализуем. Погрешность, связанную с конечностью массива, можно трактовать как результат наложения спектров (поскольку спектр ограниченного по длительности сигнала теоретически неограничен по частоте) или как результат отбрасывания вклада отдаленных отсчетов бесконечно длящегося сигнала, не вошедших в используемый массив. Метод стробоскопического преобразования применяется для аналоговой или цифровой регистрации высокочастотных периодических сигналов с «растяжением времени». Если обозначить период исследуемого сигнала T x , то соотношение для выбора периода дискретизации T д = 1/f д можно записать следующим образом: где m – натуральное число, а n д – число точек регистрации на периоде сигнала (не обязательно целое). На рис. 2.26 приведен пример стробоскопической дискретизации для m = 1 и n д = 11 (при таком малом n д получается невысокое качество воспроизведения– см. ниже раздел 2.4.2). Жирными точками обозначены отсчеты; соединяющая их прерывистая линия приближенно воспроизводит форму сигнала в растянутом масштабе времени (на рисунке поместилась только часть растянутого периода). При стробоскопическом АЦ преобразовании требования к быстродействию цифровой части АЦП снижаются по сравнению с требованиями теоремы Котельникова, но его входные аналоговые цепи должны пропускать высокочастотный исследуемый сигнал без искажений. , ) / 1 ( x д д T n m T + = u Рис. 2.26 t 90 2.4.2. Идеальная дискретизация: временной подход При временнòм подходе восстановление исходного непрерывного сигнала по последовательности дискретных отсчетов рассматривается как задача интерполяции, экстраполяции или приближения функции. При интерполяции требуется, чтобы восстанавливающая функция проходила через все точки отсчетов; при экстраполяции – по крайней мере через некоторые; в задаче приближения допускаются отклонения всех точек отсчетов от восстанавливающей функции (эти отклонения могут быть оправданы, если отсчеты содержат случайные погрешности). При этом в реальной аппаратуре восстановление может и не осуществляться, но все равно оно гипотетически рассматривается, поскольку допускаемая погрешность восстановления является критерием для выбора частоты дискретизации. В качестве восстанавливающих функций часто выбирают полиномы вида u(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 +… Самыми простыми методами являются экстраполяция полиномами нулевого порядка вида u(t) = a 0 и интерполяция полиномами первого порядка вида u(t) = a 0 + a 1 t. При экстраполяции полиномами нулевого порядка – одночленами вида u(t) = a 0 – каждый полученный отсчет нужно запомнить и хранить до получения следующего отсчета. Максимальная погрешность восстановления получается в конце интервала дискретизации T д . Для ее оценивания представляют исходную сигнальную функцию на интервале дискретизации двумя членами разложения в степенной ряд (это оправдано малостью допускаемой погрешности восстановления). Тогда погрешность получится как возможное изменение сигнальной функции в течение этого интервала: ∆ д = │du/dt│ max T д При интерполяции полиномами первого порядка – двучленами вида u(t) = a 0 + a 1 t – каждые два соседних отсчета соединяют прямыми линиями (как было сделано на рис. 2.26). Для расчета погрешности восстановления представляют исходную сигнальную функцию на интервале дискретизации тремя членами разложения в степенной ряд. Максимум погрешности получается в середине интервала и оценивается как ∆ д = ⅛ │d 2 u/dt 2 │ max T д 2 . Эту формулу для погрешности линейной интерполяции, давно известную в математике, применил к ЦИТ ленинградец В.Н.Хлистунов в своей книге 1966 года; поэтому ее нередко называют формулой Хлистунова. Именно ей наиболее часто пользуются для оценивания необходимой частоты дискретизации, хотя, конечно, известно множество других способов восстановления – в частности, сплайнами. Применим, например, «формулу Хлистунова» к сигналу синусоидальной формы где U m – амплитуда, ω = 2π/T x – угловая частота, а T x – период сигнала, и найдем относительную погрешность восстановления. Поскольку вторая производная ; 2 sin sin ) ( t T U t U t u x m m π ω = = t T T U dt t u d x x m π π 2 sin 4 ) ( 2 2 2 2 − = 91 находится точно в противофазе с сигналом, максимальная относительная погрешность оказывается отрицательной и одинаковой по модулю на всех интервалах дискретизации: где n д = T x /T д есть число точек отсчета на периоде сигнала. Если, скажем, задаться δ д = 1 %, получится n д = 22,2 ≈ 22 точки на периоде. Проф. П.В.Новицкий рекомендовал студентам запомнить это число. Полезно сопоставить несколько оценок числа n д для синусоидального сигнала. По теореме Котельникова должно быть n д > 2. При нахождении действующего значения сигнала u rms по формуле правильный результат получается уже в случае, когда n д = 3 (но при условии, что n д целое). Человек способен «узнать» синусоиду, как показали специальные эксперименты, при n д ≥ 5 (не обязательно целом). Наконец, как было показано выше, для восстановления сигнала линейной интерполяцией с допускаемой погрешностью 1 % требуется n д ≥ 22,2. Ясно, что теорема Котельникова для измерительных задач дает слишком грубую оценку частоты дискретизации. Ее можно рассматривать как оценку этой частоты снизу. Интересно отметить, что рассмотренные выше методы восстановления сигнала во временной области путем простейшей экстраполяции или интерполяции можно трактовать и как фильтрацию (напомним, что фильтр нижних частот фигурировал в объяснении теоремы Котельникова). Очевидно, что фильтр с прямоугольной импульсной реакцией (весовой функцией) длительностью T д , на вход которого поступает последовательность выборок сигнала с тем же интервалом дискретизации T д , выдаст на выходе последовательность примыкающих друг к другу прямоугольных реакций, в точности совпадающую с результатом экстраполяции полиномами нулевого порядка. Можно считать также, что он выполняет ступенчатую интерполяцию с задержкой на T д /2. Аналогично фильтр с треугольной весовой функцией длительностью 2T д реализует линейную интерполяцию с задержкой на T д (рис. 2.27). = ∑ = д n j j д rms u n u 1 2 1 , 2 8 4 ) ( 8 / ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 д д x д д n T T T t u dt t u d π π δ = = = 2T д t jd t j u t Рис. 2.27 б) 1 h τ а) 92 Как показано на рисунке, фильтр с треугольной импульсной реакцией h(τ) длительностью 2T д (рис. 2.27, а), имеющий на входе последовательность выборок сигнала, в ответ на каждую выборку, приходящую в момент t j , выдаст треугольный импульс u(t j )h(t – t j ), имеющий максимум, равный амплитуде выборки, в момент t jd = t j + T д . Суммирование всей последовательности этих перекрывающихся треугольных импульсов с максимумами, равными амплитудам выборок (рис. 2.27, б), как легко убедиться, действительно даст частично видимую на рисунке прерывистую ломаную линию, соответствующую линейной интерполяции исходного сигнала, задержанного на T д Отметим, что эта задержка, различная для разных способов восстановления, неизбежна только при фильтрации в реальном времени. В ряде случаев фильтрации подвергается заранее зарегистрированный массив отсчетов. При такой апостериорной фильтрации, когда суммирование отсчетов, умноженных на значения весовой функции фильтра, выполняется вычислительными средствами, нетрудно совместить точки интерполяции восстановленного сигнала с моментами соответствующих отсчетов и тем самым формально устранить задержку. Важно, что такое расчетное совмещение можно выполнить и в том случае, если весовая функция фильтра начинается в «минус бесконечности». Таким свойством обладает, в частности, весовая функция идеального фильтра нижних частот, что и объясняет его физическую нереализуемость. На рис. 2.28 показана эта весовая функция, расположенная на оси времени так, что τ = 0 соответствует ее максимальному значению h d = 1 (индекс d введен для напоминания о том, что весовая функция задержана). В математическом виде эта функция, для обозначения которой часто используют символ sinc, в обозначениях рисунка 2.28 выглядит так: Если совместить точку τ = 0 с моментом появления очередной выборки, нули функции совпадут с моментами появления всех остальных выборок, так что отдельные весовые функции при суммировании «не помешают» друг другу. Это, между прочим, подтверждает независимость выборок сигнала, получаемых с частотой, вдвое большей граничной частоты его спектра: любое h d 3T д –3T д τ 1 –T д –2T д 2T д T д 0 Рис. 2.28 / ) / sin( д д d T T h πτ πτ = 93 множество таких выборок определяет некоторый сигнал с ограниченным спектром. Таким образом оказывается возможным расчетное апостериорное восстановление исходной сигнальной функции во временной области «по Котельникову». Отметим, что ряд Σu j h d (t –t j ) обычно непосредственно используется в приводимых в литературе доказательствах теоремы Котельникова. С функцией sinc, являющейся Фурье-образом прямоугольной функции, нам еще придется столкнуться в разделе 2.5, но в прямо противоположной ситуации: здесь прямоугольная функция была частотной характеристикой, а функция sinc – временнòй, а в разделе 2.5 частотной характеристикой будет функция sinc, поскольку прямоугольная функция будет играть роль весовой функции во временной области. 2.4.3. Реальная дискретизация; погрешность датирования Выше в разделе 2.4.1 «опрос» сигнальной функции при АЦ преобразовании отождествлялся с запуском АЦП. Теперь, при рассмотрении реальных операций получения информации о сигнале, удобно ввести другой термин – обращение к сигналу. Под обращением к сигналу будем иметь в виду взаимодействие АЦП с источником сигнала, в результате которого АЦП, обычно в дискретные моменты времени, получает информацию о состоянии сигнальной функции. По характеру обращения к сигналу, необходимого для получения очередного кодового результата, АЦП различных принципов действия ведут себя по-разному. Существуют АЦП, требующие однократного обращения к сигналу в предопределенный момент. К ним относятся, например, АЦП считывания, упомянутые выше в разделе 1.5.3. Эти, наиболее быстродействующие АЦП содержат «линейку» компараторов, число которых равно требуемому числу кодовых переходов на характеристике преобразования. Компараторы одновременно сравнивают преобразуемое напряжения с множеством напряжений, соответствующих точкам кодовых переходов. Как правило, на АЦП считывания подают непрерывную последовательность тактовых импульсов, и определенный перепад каждого из этих импульсов «защелкивает» кодовую комбинацию на выходе компараторов, которая затем преобразуется в комбинацию выходного кода. Таким образом, этот перепад играет роль сигнала запуска, с которым по времени совпадает (с точностью до задержки в компараторах) обращение к сигналу. Известны АЦП, выполняющие однократное обращение к сигналу в момент времени, который нельзя указать заранее. Таков редко применяемый сейчас время-импульсный АЦП с разверткой. На рис. 2.29 показаны два цикла развертки, с которой сравнивается Рис. 2.29 u t t (j+1) t d(j+1) t j t dj 94 изменяющееся во времени преобразуемое напряжение (полужирная линия). Интервалы времени от момента запуска каждой развертки до момента, когда ее напряжение сравнивается с преобразуемым, измеряются обычным методом (см. выше раздел 1.5.4). Ясно, что каждый кодовый результат соответствует состоянию сигнальной функции не в момент запуска (например, |