Финансовая математика. Дата 1 дата начала операции
 Скачать 72.62 Kb.
|
|
Задание 1 Денежные средства в размере P рублей размещаются в виде рублевого депозита, на который начисляются простые проценты по ставке i%. Дата 1 – дата начала операции, Дата 2 – дата конца операции. Определить начисляемые проценты и наращенные суммы при начислении по британскому, французскому и германскому методу для двух случаев: 1) если депозит будет открыт и закрыт в 2020 году; 2) если депозит будет открыт и закрыт в 2018 году. Дата 1 – 13 января Дата 2 – 26 марта. Р= 300 000,00; i=4,5%=0,045 1) Депозит будет открыт 13 января 2020 года на 300 000 рублей под 4,5% сроком до 26 марта 2020 года. Так как процентная ставка отнесена к году, а время операции выражается в днях, то формула будет таковой: 𝐹𝑉=𝑃𝑉∗(1+𝑡/𝑇∗𝑖), где FV- наращенная сумма, PV- сумма вложенных средств; i- процентная ставка (отнесенная к расчётному периоду времени); n-продолжительность времени между началом и концом финансовой операции. Определим точное и приближенное число дней указанной операции. Точное число дней: 18 дней в январе (с 13 по 31); 28 дней в феврале 26 дней в марте, Из общего кол-ва вычитаем 1, так как день открытия и закрытия считается одним днем. В итоге получаем точное число: tт= 72. Приближенное число дней: 18 дней в январе; 27 дней в феврале; 26 дней в марте; Из общего количества дней вычитаем 1. Получаем приближенное число дней: tп=71 Так как 2020 год високосный, то точное число дней в году Тт=366, приближенное число дней в любом году равно Tп= 360. Таким образом, наращенные суммы будут равны: по германской практике: 𝐹𝑉=300 000,00∗(1+72/360∗0.045)=303 000,00руб. по французской практике: 𝐹𝑉=300 000,00∗(1+71/360∗0.045)=302 962,50 руб. по британской практике: 𝐹𝑉=300 000,00∗(1+71/366∗0.045)=302 913,93 руб. В данном случае точное и приближенное число дней операции разные. По этому наращенные суммы, рассчитанные по трем практикам отличаются. 2) Депозит будет открыт 09 января 2018 года на 140 000 рублей под 7,5% сроком до 27 марта 2017 года. Определим точное и приближенное число дней указанной операции. Точное число дней: 18 дней в январе (с 13 по 31); 28 дней в феврале 26 дней в марте, Из общего количества вычитаем 1, так как день открытия и закрытия считается одним днем. В итоге получаем точное число: tт= 72 Приближенное число дней: 18 дней в январе; 29 дней в феврале; 26 дней в марте. Из общего количества дней вычитаем 1. Получаем приближенное число дней: tп=73 Так как 2018 год не високосный, то точное число дней в году Тт=365, приближенное число дней в любом году равно Tп=360. Таким образом, наращенные суммы будут равны: по германской практике: 𝐹𝑉=300 000,00∗(1+73/360∗0.045)=303 000,00 руб. по французской практике: 𝐹𝑉=300 000,00∗(1+72/360∗0.045)=302 925,00руб. по британской практике: 𝐹𝑉=300 000,00∗(1+72/365∗0.045)=302 884,93 руб. Так как приближенное число дней всегда равно 360, но точное и приближенное число дней операции разные, то и наращенные суммы, рассчитанные по трем практикам, тоже будут отличаться.
Задание 2 Денежные средства в размере P рублей размещаются в виде рублевого депозита на один год с ежемесячным начислением процентов с капитализацией. Номинальная годовая ставка начисления процентов равна i%. Дата начала операции – Дата 1, год 2018. Операция прерывается раньше срока. Дата прерывания операции – Дата 2, год 2018. Определить начисляемые проценты и наращенные суммы, если, согласно договору, при досрочном расторжении должна быть применена схема: 1) дробного процента; 2) смешанного процента; 3) без начисления процентов за неполный последний период начисления. При расчетах неполного месяца считать, что в полном месяце30 дней. Дата 1 – 13 января Дата 2 – 26 марта. Р= 300 000,00; i=4,5%=0,045 1) Определим полное число месяцев между датами финансовой операции. С 13.01.2018 по 26.03.2018 пройдет 2 полных месяцев: 1. 09.01.2018 по 11.02.2018 (30) 2. 12.02.2018 по 13.03.2018 (30) 3. 13 дней Таким образом, n=73/30=2,43. Начисления процентов происходят ежемесячно, а в договоре зафиксирована годовая процентная ставка 4,5%. Тогда ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (то есть месяцу) будет равна i=0.045/12=0,00375. Наращенная сумма по дробной схеме начисления процентов: 𝐹𝑉=300 000.00∗(1+0,00375)73/30≈302 895,99 руб. То есть 26 марта 2018 года при дробной схеме начисления процентов, с рублевого депозита будет снята сумма в 302 895,99 рублей. 𝐼=302 895,99 −300 000.00=2895,99 руб. 2) Определим полное число месяцев между датами финансовой операции. С 13.01.2018 по 26.03.2018 пройдет 2 полных месяцев: 1. 09.01.2018 по 11.02.2018 (30) 2. 12.02.2018 по 13.03.2018 (30) 3. 13 дней, Значит r=13/30=0.43 Начисления процентов происходят ежемесячно, а в договоре зафиксирована годовая процентная ставка 4,5%. Тогда ставка, отнесенная к расчетному периоду времени (то есть месяцу) будет равна i=0.045/12=0,00375. Наращенная сумма по формуле смешанного процента равна: 𝐹𝑉=300 000.00∗(1+0.045/12)2∗(1+0.43∗0.045/12)≈302 896,51 руб. То есть 26 марта 2018 года с рублевого депозита будет снята сумма в 302 896,51 руб. I =302 896,51 - 300 000,00=2896,51 руб. 3)Определим полное число месяцев между датами финансовой операции. С 13.01.2018 по 26.03.2018 пройдет 2 полных месяцев: 1. 09.01.2018 по 11.02.2018 (30) 2. 12.02.2018 по 13.03.2018 (30) 3. 13 дней. Они не учитываются. Начисления процентов происходят ежемесячно, а в договоре зафиксирована годовая процентная ставка 9%. Тогда ставка, отнесенная к расчетному периоду времени ( то есть месяцу) будет равна i=0.09/12=0,0075. Наращенная сумма по схеме без начисления процентов за неполный последний период начисления будет равна: 𝐹𝑉=300 000.00∗(1+0.075/12)2≈302 254,22 руб. То есть 26 марта 2018 года при схеме без начисления процентов за неполный последний период, с рублевого депозита будет снята сумма в 302 254,22 руб. 𝐼=302 254,22 −300 000.00=2254,22руб. Результаты решения.
Самая выгодная схема для вкладчика является смешанной, потому что процентов он получит больше. Задание 3 У банка имеется возможность кратковременного размещения средств по двум схемам: СХЕМА 1- выдать денежные средства в размере Р1 рублей на М1 месяцев и получить в конце операции Q1 рублей; СХЕМА 2 – выдать денежные средства в размере Р2 рублей на М2 месяцев и получить в конце операции Q2 рублей. Определить, какая из схем наиболее выгодна для банка, если операции оцениваются по правилу простого процента, по формуле: 𝑖𝑓=(𝐹𝑉/𝑃𝑉−1)/𝑛, где PV- сумма вначале сделки, FV- сумма в конце сделки, n-период сделки. Данные для расчета: М1=3 месяца; М2=11 месяцев; Р1=3 500 000,00 руб; Р2=5 400 000,00 руб.; Q1=4 900 000,00 руб.; Q2=8 800 00,00 руб. Рассчитываем эффективные ставки: СХЕМА 1: 𝑖𝑓1=(4 900 000,00 /3 500 000,00 −1)/3=0.1333=13,33 % СХЕМА 2: 𝑖𝑓2=(8 800 00,00 /5 400 000,00 −1)/11=0.0572=5,72% Для банка наиболее выгодной схемой является с наибольшей процентной ставкой в месяц. Эффективная ставка СХЕМЫ 1 – 13,33 % в месяц, а СХЕМЫ 2 – 5,72 % в месяц. Для банка наиболее выгодна СХЕМА 1, так как ее процентная ставка выше СХЕМЫ 2 на 7,61%. Для наглядности определим, годовые ставки указанных операций для продолжительности года 12 месяцев. СХЕМА 1 jf1 = 12* 0.1333=1.5996=160% в год; СХЕМА 2 jf2 = 12* 0.0572=0,6864=68,69% в год. Годовые ставки более наглядно показывают, что СХЕМА 1 для банка выгоднее, так как годовая ставка при первой схеме составляет 159,96%, а при второй схеме 68,69% в год, а это на 91,31% больше, чем при СХЕМЕ 2. Задание 4 В банк сделан вклад в размере Р рублей сроком на n лет по i% годовых. Проценты начисляются по схеме сложного процента. Определить, какая сумма будет возвращена в конце срока операции, если проценты начисляются и капитализируются: а) раз в год; б) раз в пол года; в) раз в квартал; г) раз в два месяца; д) раз в месяц; е) два раза в месяц; ж) раз в неделю (считать, что в году ровно 53 недели) з) раз в день (считать, что в году 365 дней) и) непрерывно Для всех указанных случаев определить эффективную годовую процентную ставку. Построить график зависимости эффективной процентной ставки от числа начислений процентов в год. Данные для расчета: Р=300 000 руб.; i=4,5%=0,045; n= 8 лет; m – число раз начисления и капитализации процентов. Во всех указанных случаях для расчета наращенной суммы используем правило сложно процента, расчеты производим по формуле: 𝐹𝑉=𝑃𝑉∗(1+𝑗/𝑚)𝑚∗𝑛 а) раз в год; m=1 𝐹𝑉=300000,00∗(1+0,045/1)1∗8≈426 630,18 руб. б) раз в пол года; m=2 𝐹𝑉=300000,00∗(1+0,045/2)2∗8≈428 286,44 руб. в) раз в квартал; m=4 𝐹𝑉=300000,00∗(1+0,045/4)4∗8≈429 135,42 руб. г) раз в два месяца; m=6 𝐹𝑉=300000,00∗(1+0,045/6)6∗8≈429 421,60 руб. д) раз в месяц; m=12 𝐹𝑉=300000,00∗(1+0,045/12)12∗8≈429 709,40 руб. е) два раза в месяц; m=24 𝐹𝑉=300000,00∗(1+0,045/24)24∗8≈429 853,91 руб. ж) раз в неделю; m=53 𝐹𝑉=300000,00∗(1+0,045/53)53∗8≈429 933,15 руб. з) раз в пол года; m=365 𝐹𝑉=300000,00∗(1+0,045/365)365∗8≈429 989,28 руб. и) непрерывно. Е=2,718281828 𝐹𝑉=𝑃𝑉∗𝑒𝑗∗𝑛 𝐹𝑉=300 000,00∗𝑒0.045∗8≈429 998,82 руб. Построим график наращенной суммы в зависимости от числа наращений в год (без учета последнего случая).  Как видно из графика, существенные изменения наращенной суммы происходит примерно до ежеквартальных начислений (m=4). При более частых начислениях наращенная сумма возрастает уже слабо. Рассчитаем эффективные процентные ставки: а) 𝑗𝑓=(426630,18/300 000,00)1/8−1≈0.045=4,5% б) 𝑗𝑓=(428286,43/300 000,00) 1/8−1≈0.045=4.55% в) 𝑗𝑓=(429135,42/300 000,00) 1/8−1≈0.045=4.58% г) 𝑗𝑓=(429421,59/300 000,00) 1/8−1≈0.045=4.59% д) 𝑗𝑓=(429709,39/300 000,00) 1/8−1≈0.045=4.60% е) 𝑗𝑓=(429853,9/300 000,00) 1/8−1≈0.046=4.60% ж)𝑗𝑓=(429922,84/300 000,00) 1/8−1≈0.046=4.60% з) 𝑗𝑓=(429988,44/300 000,00) 1/8−1≈0.046=4.60% Е=2,718281828 и) 𝑗𝑓=𝑒0.045−1≈0.0460=4,60%
|