СтатистикаЛевина 2012. Е. И. Левина статистика учебное пособие кемерово 2012 1 Рецензенты
 Скачать 4.61 Mb.
|
|
величины сравнения 1 2 3 Центральный ФО 196 558,9 196 558,9/ 22 407 = 8,77 Северо-Западный ФО 100 087,7 100 087,7/ 22 407 = 4,47 Южный ФО 57 665,3 57 665,3/ 22 407 = 2,57 Северо-Кавказский ФО 22 407 1 Приволжский ФО 179 794,7 179 794,7/ 22 407 = 8,02 Уральский ФО 170 147,6 170 147,6/ 22 407 = 7,59 Сибирский ФО 210 776,2 210 776,2/ 22 407 = 9,41 Дальневосточный ФО 39 685,1 39 685,1/ 22 407 = 1,77 Определите относительные величины сравнения по каждому субъекту РФ, приняв за базу сравнения потребление электроэнергии по Северо-Кавказскому ФО. Таким образом, относительные величины – один из важнейших способов обобщения и анализа статистической информации. Цели и направления исследования определяют выбор вида относительных величин. 3.2. Средние величины и показатели вариации 3.2.1. Средняя величина, ее сущность Средняя величина – это обобщающая количественная 83 характеристика признака в статистической совокупности, выражающая характерную, типичную величину признака в расчете на единицу совокупности. Величина, для которой исчисляется средняя (так называемый осредненный признак, обозначается . Отдельные варианты этой величины – Средняя обозначается – . Средняя величина обладает таким свойством, что в ней погашаются случайные отклонения индивидуальных величин от основного типа. Иона выступает как характеристика общих черт явлений, типичных свойств. Так как средняя величина является обобщающей характеристикой, она не может и не должна сходиться со всеми фактическими индивидуальными значениями, но ее величина лежит в пределах Основным условием правильного применения средней величины является однородность совокупности, в которой составные элементы сходны между собой по существенным для данного исследования признакам, относятся к одному типу. Средняя, вычисленная для неоднородной совокупности, то есть такой, в которой объединены качественно различные явления, не имеет смысла. Большое значение имеет и выбор формулы средней, по которой правильно можно ее вычислить. Для правильного выбора формы средней лучше всего использовать среднее исходное соотношение ( ), то есть логическую формулу средней. Например, чтобы определить среднюю урожайность (ср.ур): а) если в исходной формуле известны числитель и знаменатель, тов этом случае используется средняя агрегатная , где – средняя агрегатная б) если в исходной формуле неизвестен числитель (валовой сбор, то его выражают на основе известных значений (3.10) (3.11) (3.12) 84 где – средняя арифметическая взвешенная ; в) если в исходной формуле неизвестен знаменатель посевная площадь, то его выражают на основе известных значений где – средняя гармоническая взвешенная. 3.2.2. Виды средних величин Из всего многообразия средних величин наиболее часто в статистике применяются средняя агрегатная, средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая. Применение той или иной формы зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее необходимо рассчитать. Средняя агрегатная. Вычисляется по формуле где – объемный показатель – вес признака, частота, численность. Формула агрегатной средней используется, если известны значения числителя и знаменателя в логической формуле (СИС). Если известны фонд оплаты труда (ФОТ) и численность в отдельных цехах (участках, то средняя заработная плата по предприятию определяется по формуле (3.17) (3.16) (3.14) (3.15) (3.13) 85 Таблица 3.1 Фонд оплаты труда ООО Вымпел № цеха ФОТ, тыс. р. Численность, чел. 1 530 550 2 470 450 Средняя арифметическая и ее свойства. Средняя арифметическая − одна из наиболее распространенных форм средней величины. Средняя арифметическая используется, если в логической формуле расчета показателя неизвестен числитель. Она применяется в виде простой и взвешенной средней арифметической. Формула простой , где – отдельные значения признака – число единиц совокупности. Часто в совокупности отдельные варианты могут принимать одинаковые значения, которые можно объединить в группы, подсчитав их численность, поэтому в этом случае осуществляется переход к средней взвешенной. Ее можно определить как частное отделения суммы произведения вариантов и их численностей частот) – , на сумму численностей (частот) – , где – значения вариантов (показателей – численность частота, вес) каждого варианта (группы. Основой для вычисления простой арифметической служат первичные записи результатов наблюдения, а для взвешенной – обработанный материал, сгруппированные данные по количественному признаку. Простая средняя вычисляется в тех случаях, когда веса отсутствуют или их очень трудно определить, или если численность отдельных групп (вариантов) не слишком отличается. В других случаях ее применение приводит к очень (3.19) (3.20) (3.18) 86 грубым ошибкам. Простая средняя соответствует простой совокупности объектов, в которой нет групп. Средняя взвешенная – отражает сложное строение совокупности, в ней учитывается удельный вес отдельных групп в совокупности. Средняя арифметическая имеет ряд свойств, которые находят практическое применение 1 свойство. От увеличения (уменьшения) всех вариантов осредняемой величины враз их средняя величина соответственно увеличивается (уменьшается) враз свойство. От уменьшения (увеличения) веса каждого варианта враз средняя не меняется. 3 свойство. Величина средней зависит не от абсолютных значений весов отдельных вариантов, а от пропорций между ними. Отношения отдельных частот к представляют долю отдельных вариантов в совокупности , где – удельный вес, часть, доля. Поэтому вместо абсолютного значения можно брать веса вариантов, выраженные в долях или %, тогда 4 свойство. Если уменьшить (увеличить) все варианты осредненного признака на постоянное число ( ), то средняя уменьшается (увеличивается) на тоже число. ; (3.21) (3.22) (3.23) (3.24) (3.25) 87 5 свойство. Средняя, умноженная на численность всей совокупности, равна сумме произведения каждой варианты на ее численность. ; 6 свойство. Сумма отклонений индивидуальных значений от их средней арифметической равна нулю так как (свойство 5) То есть, если взять отклонения каждого варианта от средней величины и взвесить по численности, а затем сложить, то получим нуль. 7 свойство. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от их средней арифметической меньше, чем сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от любой другой величины Использование свойств средней арифметической позволяет значительно упростить ее вычисления. Упрощенный способ расчета средней арифметической, называемый способом моментов (первого порядка, состоит в следующем - уменьшим все значения вариантов на величину , в качестве которой обычно принимается наиболее часто встречающееся значение признака ; - все полученные отклонения разделим на какое-нибудь общее кратное (обычно величину интервала) число, тоже и для весов, то есть ; ; - рассчитаем среднюю арифметическую условных значений ( ): ; (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) (3.30) 88 ; - на основании свойств средней арифметической, для того чтобы ее общее значение не изменялось, нужно условную среднюю увеличить враз и на , то есть Средняя гармоническая. Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда в логической формуле расчета показателя неизвестен знаменатель. Средняя гармоническая вычисляется из обратных значений признака и может также быть а) простой где – обратные значения вариантов признака – число вариантов б) взвешенной где – объемный показатель Применяется средняя гармоническая в тех случаях, когда непосредственные данные о весах отсутствуют, а известны варианты осредняемого признака ( ) и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением ( ). Пример Имеются следующие данные о валовом сборе и урожайности Показатель Валовой сбор (ц) Урожайность (ц/га) – х 1 участок 110 22 2 участок 650 26 3 участок 600 30 где площадь определяется (3.32) (3.33) (3.31) 89 Подставляем в исходную формулу. Средняя геометрическая. Средняя геометрическая используется в статистике в основном для вычисления темпов роста в динамическом ряду. В зависимости от имеющихся исходных данных может использоваться формула двух видов 1. Если расчет ведется исходя из коэффициентов (темпов) роста, найденных по отношению к предыдущему периоду цепных, то где – цепные темпы роста. Если в распоряжении имеются абсолютные уровни ряда или базисный темп роста, то есть завесь период, то где , – начальные и конечные абсолютные значения уровней ряда – базисный темп роста заданный период. Например в 2000 г. ВП – 120 млрд р. в 1995 г. ВП – 100 млрд р. Средняя хронологическая. Средняя хронологическая используется для вычисления средней величины из уровней моментного ряда динамики и может быть а) простой где – абсолютные значения уровней для моментного ряда, ( ) – характеризует продолжительность периода (например, за год , то месяцев (3.34) (3.35) (3.36) 90 б) взвешенной где – период времени, отделяющий один уровень ряда от другого. Средняя взвешенная используется, если неравные интервалы времени между уровнями неравны и известно время, в течение которого сохранялось каждое значение . 3.2.3. Структурные средние В экономических расчетах кроме алгебраических средних используются еще две особые разновидности средних величин, которые вытекают из характеристики статистических рядов, их условно можно назвать структурными средними, Под модой ( ) понимается вариант, который чаще всего встречается в данном статистическом ряду. Под медианой ( ) понимается значение варианта, расположенного в его середине, то есть такое, которое делит ряд по численности на две равные части. Способ определения и зависит от вида ряда 1. Если ряд представляет отдельные дискретные значения, то структурные средние определяются исходя из понятия, то есть (то есть значение варианта, имеющего наибольшую частоту. Прежде чем найти значение , необходимо найти ее номер, причем а) если всем единицам ряда придать порядковый номер, то номер медианы, в ряду с нечетным числом вариантов, определяется как например, , то , то есть й вариант в ряду. Тогда то есть , то есть – это вариант, стоящий подданным номером б) если вариант – четное число, то медиану определяют как среднюю из двух центральных вариантов, порядковые номера (3.37) 91 которых и Например, если , то , , то есть Показатели Значения Всего Заработная плата, р. 203 214 232 255 264 276 Численность, чел. 1 1 5 3 2 2 14 (так как ), и , то есть 7 и 8 чел. (заработная плата го чел, (заработная плата го чел, , 2. Если динамический ряд представлен в виде интервалов то есть не дискретный, а интервальный, то для вычисления моды ( Mo ) и медианы ( Me ) прибегают к следующим формулам ; где – нижняя граница модального, медианного интервалов соответственно – шаг, величина интервала и – частота предшествующего и последующего за модальным интервалов – частота модального, медианного интервала соответственно – сумма накопленных (куммулятивных) частот в интервалах, предшествующих медианному. Модальный интервал – это тот, где наибольшая частота медианный интервал – это тот, где накопленная частота превышает половину общей совокупности. ив отличие от алгебраических средних, являющихся в значительной мере абстрактными характеристиками, выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами этого ряда. Поэтому они имеют (3.38) (3.39) 92 большое практическое применение (например, чтобы определить наиболее ходовой размер обуви одежды, средняя арифметическая, дающая абстрактную величину, не подходит и используется ). 3.2.4. Вариация и ее показатели Вариацией признака называется изменение его у единиц совокупности. Элементы совокупности характеризуются различными количественными значениями признака, их изменение порождается разнообразием условий, окружающих фактов, воздействующих на элементы (например, вариация оценок на экзамене порождается различными способностями студентов, затратами на подготовку, социально-бытовыми условиями и т. д. Измерение вариации позволяет определить степень воздействия на данный признак других признаков. Вариация может быть в пространстве и во времени (например, изменяется урожайность по районам или водном районе по годам. Показатели вариации относят к числу обобщающих показателей, они измеряют вариацию в совокупности явлений. Значение показателей вариации состоит в следующем - они дополняют среднюю величину, за которой скрываются индивидуальные значения - характеризуют степень однородности статистической совокупности поданному признаку - характеризуют границы вариации признака - соотношение показателей вариации характеризует взаимосвязь между признаками. В статистике чаще всего используются следующие показатели вариации 1. Размах вариации ( ). 2. Среднее абсолютное отклонение ( ). 3. Среднее квадратичное отклонение ( ). 4. Дисперсия ( ). 5. Коэффициенты вариации ( ). Размах вариации ( ) – это разность между максимальными минимальным значениями признака. Он характеризует предел изменения признака, (имеет туже размерность, что и сам признак Среднее абсолютное (линейное) отклонение ( ) – это средняя арифметическая из абсолютных отклоненных значений признака всех единиц совокупности (так как сумма индивидуальных отклонений в силу свойств средней равна нулю, то берут абсолютную величину простая взвешенная , где – частота, вес отдельных вариантов. Среднее абсолютное отклонение, также как и размах, – число именованное, размерность его соответствует размерности признака. Среднеквадратическое отклонение ( ) – является характеристикой рассеивания, имеет туже размерность, что и признаки представляет собой корень квадратный из среднего квадрата отклонений значения признака от их средней величины. простая, взвешенная Или где – средняя квадрата значений признака (то есть средняя из квадратов – квадрат средней величины признака. При его определении принимаются в расчет все отклонения значений признака (так как , поэтому возводят в квадрат. Между средним абсолютными средним квадратическим (3.40) (3.41) (3.42) (3.43) (3.44) 94 отклонением существует следующее примерное соотношение если фактическое распределение близко к нормальному. Чем меньше величина среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность. Дисперсия ( ) – вычисляется для всей статистической совокупности в целом как средний квадрат отклонений значения признака от общей средней, измеряет степень колеблемости признака, его вариацию, порождаемую всей совокупностью действующих на него факторов, и определяется простая взвешенная Дисперсия имеет ряд свойств, которые находят практическое применение 1 свойство. Уменьшение (увеличение) всех значений признака на одну и туже величину ( ) не меняет величины так как разность между новым значением признака и новой средней остается без изменения , тогда отсюда то есть 2 свойство. Уменьшение (увеличение) всех значений признака враз уменьшает (увеличивает) дисперсию враз тогда Согласно свойству средней (3.45) (3.46) (3.47) (3.48) 95 то есть На основании данных свойств разрабатывается упрощенный метод вычисления дисперсии с помощью способа моментов (2 порядка а) исходные значения вариант признака заменяют условными где – обычно значение признака, которое чаще всего встречается в совокупности, – величина интервала, кратное число б) определяется дисперсия условной величины ( ): исходя из свойств дисперсии. в) определяется дисперсия исходного признака Коэффициенты вариации являются относительной мерой вариации и представляют собой отношение именованного показателя вариации ( ) и средней величины (или ). Таким образом, в принципе возможен расчет девяти коэффициентов вариации. Коэффициенты вариации дают представление о степени однородности совокупности. Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше варианты признака отличаются один от другого по величине, тем, следовательно, однороднее совокупность. Коэффициенты вариации, будучи относительной величиной, абстрагируют различия абсолютных величин вариации различных признаков и дают возможность сравнения их. То есть с помощью коэффициентов вариации можно сравнивать размеры вариации одного признака в нескольких совокупностях. Чаще всего на практике используются коэффициенты вариации, которые определяются следующим образом а) ; (3.49) (3.50) (3.51) 96 б) ; в) При этом из них чаще всего используется 3.3. Задачи по теме ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Относительные и средние величины. Относительные и абсолютные величины. Задача 1. Имеются следующие данные о поставках молочной продукции в магазины города Наименование продукции Объем поставки, т Коэффициенты перевода к цельномолочной продукции Молоко, жирность 2,5 % 296,6 1 Молоко, жирность 3,2 % 220,4 1,5 Кефир 76,2 1,1 Ряженка 24,7 2 Сметана 232,8 8,5 Творог 88,6 6,5 Творожные изделия 6,2 5,4 Определите общий объем поставки. Задача 2. За отчетный период предприятие произвело следующие виды продукции Наименование продукции Объем производства, кг Мыло хозяйственное 40% 187 Мыло хозяйственное 60% 55 Мыло туалетное 165 Порошок стиральный 340 Определите общий объем произведенной предприятием продукции в условно-натуральных единицах измерения. За условную единицу измерения принимается мыло хозяйственное 40 %. Задача 3. Производство легковых автомобилей по РФ характеризуется следующими данными (тыс. шт) Показатель 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Легковые автомобили Вычислите относительную величину динамики с переменной постоянной базой сравнения. Проверьте их взаимосвязь. |