Электропривод. Электрический привод
 Скачать 5.41 Mb.
|
|
1.2. Статические характеристики рабочих машин Основной частью электрического привода, определяющей в значительной степени его свойства, является приводной двигатель и исполнительный меха- низм. Оба эти звена могут иметь различные исполнения, но для задач электро- привода главными являются зависимости вращающего момента от скорости или частоты вращения ( ) M f = ω , а также от угла поворота ( ) M f = α . Эти за- висимости называются механическими или статическими характеристиками. Для приводов линейных перемещений механическими характеристиками явля- ются зависимости силы от линейной скорости ( ) F f v = или перемещения ( ) F f s = Вращающий момент, который должен развивать двигатель для обеспече- ния заданного движения или усилия в статическом режиме называется статиче- ским моментом или моментом нагрузки c M . Иногда вместо момента нагрузки или силы задаются соответствующие зависимости мощности. Для обеспече- ния возможности обобщённого анали- за электроприводов выделяют ограни- ченное число типо- вых нагрузок и ис- пользуют для этого характеристики ( ) c M f = ω или ( ) c f M ω = Основными факторами, от которых зависит величина статического момен- та различных машин, являются скорость, путь, время и различные особенности технологических процессов, в которых используются машины. По характеру изменения статического момента все исполнительные механизмы можно разде- лить на пять классов. Рис. 1.9. 20 1-й класс включает рабочие машины, у которых статический момент оста- ётся практически постоянным ( const c M = ). По характеру взаимодействия с электроприводом силы и моменты этого класса делятся на активные или по- тенциальные и реактивные. Активными называются силы и моменты, создаваемые внешними по от- ношению к приводу источниками энергии и независящие от его движения. На рис. 1.9 показаны примеры таких нагрузок, создаваемые неуравновешенным (рис. 1.9, а) и уравновешенным (рис. 1.9, б) подъёмным механизмом. Нагрузоч- ный момент здесь создаётся силой тяжести груза и не зависит от направления и скорости движения. Для первого механизма он равен const c M GR mgR = = = , где: G – вес груза, m – его масса, а g – ускорение свободного падения. Механи- ческая характеристика представляет собой прямую линию, параллельную оси ординат. В уравновешенном подъёмном механизме на вал действуют разнонаправ- ленные моменты двух грузов, а результирующий момент равен их алгебраиче- ской сумме. Принимая положительным момент нагрузки, действующий в на- правлении движения часовой стрелки, результирующий момент можно опреде- лить как 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) const c M M M G R G R G G R m m gR = − = − = − = − = Если вес первого груза больше, чем вес второго, то на вал привода будет действовать положительный момент нагрузки 1 0 c M > . В противном случае момент нагрузки бу- дут отрицательным 2 0 c M < , а при равном весе грузом статиче- ский момент нагрузки будет нулевым. Реактивными на- зываются силы и мо- менты, возникающие как реакция на актив- ные воздействия. Эти нагрузки всегда действуют в направлении, противоположном движению элек- тропривода, т.е. изменяют своё направлении при изменении знака скорости. Силы и моменты сухого трения не зависят от величины скорости и скач- ком изменяют знак при изменении её направления sign c c M M = ω . На рис. 1.10, а показана механическая характеристика нагрузки типа сухо- го трения. В реальных устройствах обычно коэффициент трения покоя больше коэффициента трения движения. Поэтому в начале движения момент сопротив- Рис. 1.10. 21 ления больше и механическая характеристика вблизи нулевой скорости имеет импульсное возмущение, показанное на рис. 1.10, а штриховой линией. Реактивная нагрузка может быть несимметричной, т.е. момент нагрузки может быть разным при движении в различных направлениях. Например, мо- мент, создаваемый на валу шпинделя токарного станка при обработке детали резцом (рис. 1.10, б) – (1 sign ) / 2 c M F R = + ω При изменении направления вращения резец не касается детали, и момент нагрузки привода спадает до нуля. 2-й класс охватывает рабочие машины, статический момент которых зави- сит от скорости ( ) c M f = ω . Эта зависимость может быть выражена различно. В некоторых механизмах увеличение статического момента при возрастании ско- рости проявляется очень слабо, в других, напротив, момент возрастает очень резко. Тем не менее, все эти механизмы относятся к одному классу, т.к. мето- дика анализа процессов для них одинакова. Простейшей функцией от скорости вращения является линейная зависи- мость, называемая моментом вязкого трения (рис. 1.11, а): c M k = ω, где const k = – коэффициент вязкости. В электроприводе нагрузка типа вязкого трения встречается либо в виде линейной составляющей нагрузки типа сухого трения (рис. 1.11, в), либо как проявление сил внутреннего вязкого трения, связанных с деформацией упругих элементов, а также асинхронных моментов в машинах постоянного тока. Распространёнными на практике являются нагрузки, нелинейно зависящие от ско- рости вращения n c M k = ω , где 2 n ≥ . При 2 n = нагрузка назы- вается вентиляторной (рис. 1.11, б). Механическими ха- рактеристиками такого вида обладают машины, основан- ные на центробежном прин- ципе. Это центробежные вен- тиляторы, насосы, компрессо- ры. Более высокие показатели степени у механических ха- рактеристик гребных винтов и других механизмов, работаю- щих в условиях преодоления сопротивления газовой или жидкой среды. Рис. 1.11. 22 Строго говоря, механических характеристик механизмов, проходящих че- рез начало координат не существует, т.к. во всех устройствах кроме моментов, зависящих от скорости вращения, действуют силы и моменты трения. Поэтому общим выражением для механической характеристики нагрузки 2-го класса яв- ляется функция 0 ( ) n c M M f = + ω , где 0 M – момент сухого трения, а ( ) n f ω – некоторая функциональная зависи- мость от скорости вращения ω при 1 n ≥ . На рис. 1.11, г в качестве примера по- казана вентиляторная механическая характеристика с учётом трения в опорах. 3-й класс охватывает рабочие машины, статический момент которых зави- сит от пути, т.е. от угла поворота ротора электродвигателя ( ) c M f = ϕ . К этому типу относятся, прежде всего, рычажные, кулисные и кулачковые механизмы, как, например, различные поршневые машины, ножницы для резки металла, прессы, кантователи и др. Сюда относятся также подъёмники без уравновеши- вающего каната, в которых статический момент изменяется за счёт изменения длины и, соответственно, веса каната. 4-й класс включает в себя машины, статический момент которых зависит одновременно от скорости и от пути ( , ) c M f = ω ϕ . Типичным примером таких машин является электротранспорт, нагрузка которого в статическом режиме кроме сухого трения в опорах и о рельсы, а также сопротивления воздуха, из- меняющегося с изменением скорости движения, зависит также от уклона и кри- визны пути. Такой же характер нагрузки у привода рулевого устройства. 5-й класс охватывает механизмы, статический момент которых является функцией времени ( ) c M f t = . К этому классу, прежде всего, относятся меха- низмы, работающие под воздействием силы, изменяющейся во времени по пе- риодическому закону, а также механизмы, в которых нагрузка имеет случайный характер. К рабочим машинам со случайным характером нагрузки относятся механизмы дробления и измельчения различных материалов (глиномялки, кам- недробилки, шаровые мельницы и др.). 1.3. Уравнения движения электропривода Динамические процессы в приводе при постоянных параметрах кинемати- ческой цепи можно описать с помощью второго закона Ньютона для каждого тела, входящего в эту цепь. В случае трёхмассовой системы тел (рис. 1.1, а) на каждое из них действуют статические моменты сопротивления, моменты вязко- го трения и упругих сил, вызванные деформацией гибких связей, а также дина- мические моменты. Кроме того на первое тело действует вращающий момент двигателя. В форме Коши эта система уравнений имеет вид: 23 1 12 1 2 12 1 2 1 1 2 12 1 2 12 1 2 23 2 3 23 2 3 2 2 3 23 2 3 23 2 3 3 3 ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; c c c d M b c M J dt d b c b c M J dt d b c M J dt ω ⎫ − ω − ω − ϕ − ϕ − = ⎪ ⎪ ω ⎪ ω − ω + ϕ − ϕ − ω − ω − ϕ − ϕ − = ⎬ ⎪ ω ⎪ ω − ω + ϕ − ϕ − = ⎪⎭ (1.35) * где p p dt ϕ = ω ∫ – угловое положение p-го тела; p ω – угловая скорость p-го тела; M – вращающий момент двигателя; ( ) pq p q v pq b M ω − ω = – момент вязкого тре- ния связи между телами p и q; ( ) ( ) pq p q pq p q e pq c c dt M ϕ − ϕ = ω − ω = ∫ – момент упругих сил связи между телами p и q; c p M – момент сопротивления, дейст- вующий на тело p. На рис. 1.12, а показана структурная схема, соответствующая системе уравнений (1.35) в операторной форме, а на рис. 1.12, б структурная схема для случая пренебрежимо малых моментов вязкого трения ( 12 23 0 b b = = ), соответст- вующая операторным уравнениям 12 1 12 2 1 1 1 12 1 12 2 23 2 23 3 2 2 2 23 2 23 3 3 3 3 / / ; / / / / ; / / c c c M c p c p M J p c p c p c p c p M J p c p c p M J p − ω + ω − = ω ⎫ ⎪ ω − ω − ω + ω − = ω ⎬ ⎪ ω − ω − = ω ⎭ (1.36) Уравнения (1.36) позволяют проанализировать динамические особенности механической части электропривода. Электромагнитный момент двигателя M является управляющим воздействием системы на рис. 1.12, б, а статические моменты 1 2 , c c M M и 3 c M – возмущающими воздействиями. Из (1.36) можно * здесь и далее в разделе в математических выражениях опущены апострофы, означающие приведённые вели- чины, т.к. рассматривается только кинематическая цепь с приведёнными параметрами. Рис. 1.12. 24 найти операторное уравнение динамической механической характеристики первой массы ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 4 2 3 23 2 3 12 3 12 23 4 2 1 2 3 1 23 2 3 3 12 1 2 12 23 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) p W p M p J J p c J J c J c c M p p J J J p J c J J J c J J p c c J J J ω = = ⎡ ⎤ + + + + ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + + + + + + + ⎣ ⎦ (1.37) Характеристическое уравнение для функции (1.37) имеет вид ( ) ( ) ( ) 4 3 12 1 2 1 23 2 3 2 12 23 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 J c J J J c J J c c J J J p p p J J J J J J ⎡ ⎤ + + + + + + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Корнями этого уравнения являются 1 2,3 4,5 2 2 4 4 0; 1 1 ; 1 1 2 2 a b a b p p j p j a a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ± − − = ± + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , (1.38) где ( ) ( ) ( ) 3 12 1 2 1 23 2 3 12 23 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; J c J J J c J J c c J J J a b J J J J J J + + + + + = = При всех реальных сочетаниях параметров подкоренные выражения в (1.38) представляют собой действительные положительные числа, поэтому кор- ни уравнения можно представить как 1 2,3 1 4,5 2 0; ; p p j p j = = ± Ω = ± Ω . Отсюда следует, что при скачкообразном изменении электромагнитного момента M в системе возникают незатухающие колебания с частотами 1 Ω и 2 Ω . На самом деле колебания будут затухающими, т.к. рассмотренное характеристическое уравнение соответствует системе уравнений (1.36), в которой отсутствуют мо- менты вязкого трения, демпфирующие колебания. Рис. 1.13. 25 Уравнения для двухмассовой упругой системы можно получить из (1.35), полагая 2 3 2 3 ϕ = ϕ ⇒ ω = ω и присоединив маховую массу третьего тела ко вто- рому. Тогда уравнения движения в форме Коши примут вид: 1 12 1 2 12 1 2 1 1 2 12 1 2 12 1 2 2 2 ( ) ( ) ; ( ) ( ) , c c d M b c M J dt d b c M J dt ω ⎫ − ω − ω − ϕ − ϕ − = ⎪⎪ ⎬ ω ⎪ ω − ω + ϕ − ϕ − = ⎪⎭ (1.39) а в операторной форме – 12 1 2 12 1 2 1 1 1 12 1 2 12 1 2 2 2 2 ( ) ( ) / ; ( ) ( ) / c c M b c p M J p b c p M J p − ω − ω − ϕ − ϕ − = ω ⎫ ⎬ ω − ω + ϕ − ϕ − = ω ⎭ Структурные схемы, соответствующие этой системе уравнений с учётом и без учёта вязкого трения, показаны на рис. 1.13, а и б. Для исследования основных свойств двухмассовой системы исключим возмущающие воздействия, полагая 1 2 0 c c M M = = , и демпфирующий момент вязкого трения ( 12 0 b = ), а затем выполним эквивалентные преобразования структурной схемы, как это показано на рис. 1.13, в-ж. В результате мы полу- чим операторное уравнение динамической механической характеристики пер- вой и второй массы в виде 1 1 1 2 2 2 12 1 2 1 2 12 2 2 1 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( ); 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 J p c p W p M p M p J J J p p c J p W p W p M p M p J J J p p c J ω Σ Σ ω ω ω Σ Σ + ω = ⋅ = ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ω = ⋅ ⋅ = ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . (1.40) После этого из характеристического уравнения 2 1 2 12 1 0 J J J p p c J Σ Σ ⎡ ⎤ + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ найдём корни 12 1 2,3 12 1 2 0; c J p p j j J J Σ = = ± = ± Ω , (1.41) где 1 2 J J J Σ = + . Таким образом, в двухмассовой системе при скачках момента двигателя возбуждаются колебания с частотой 12 Ω . Если эта частота близка к одной из частот трёхмассовой системы, т.е. 12 1 12 2 Ω ≈ Ω ∨Ω ≈ Ω , то можно считать, что преобразование трёхмассовой системы к двухмассовой выполнено корректно и динамические свойства преобразованной системы хорошо отражают свойства исходной. Эти колебания вследствие исключения из исходных уравнений 26 демпфирующего момента также как в трёх- массовой системе будут теоретически неза- тухающими. Для анализа свойств двухмассовой системы тел введём следующие параметры: 1 / J J Σ γ = – соотношение масс; 12 12 12 1 2 2 c J c J J J Σ γ Ω = = – резонансная частота системы; 02 12 2 12 / / c J Ω = = Ω γ – резонансная час- тота второй массы при жёсткой заделке первой ( 1 J → ∞ ). Из уравнений (1.40) следует, что влия- ние упругости связи на движение привода уменьшается по мере увеличения ре- зонансной частоты, которая, в свою очередь, помимо жёсткости 12 c определяет- ся соотношением масс γ. При 12 Ω → ∞ характеристики (1.40) теряют полюс. На рис. 1.14 показаны кривые изменения резонансной частоты, отнесённой к жёст- кости связи, в функции соотношения масс при различных величинах первой массы. Из этого рисунка хорошо видно, что при 1,5 γ < резонансная частота резко возрастает и 1 12 γ→ ϖ ⎯⎯⎯ →∞ , а при 3 γ > соотношение масс практически не влияет на резонансную частоту. Значит в приводах, где 1 2 J J влиянием упру- гости можно пренебречь и рассматривать связь между звеньями как жёсткое соединение. Достаточным условием для исключения при анализе упругой связи является большая резонансная частота 12 Ω , значительно превосходящая полосу пропускания частот электропривода. В реальных приводах соотношение 1 2 J J встреча- ется достаточно часто, поэтому представление механиче- ской части привода звеном с жёсткими связями широко распространено. Из уравнений (1.39), полагая 1 2 1 2 1 2 ; J J J Σ + = ϕ = ϕ ⇒ ω = ω = ω, получим уравнение движения жестко связанной системы тел, называемое также основным уравнением движения (рис. 1.15): c d M M J dt Σ ω − = (1.42) где c M – суммарный статический момент, действующий на все элементы сис- темы; J Σ – суммарный момент инерции движущихся масс. Уравнение (1.42) имеет очень большое значение для анализа процессов в электроприводе. Оно правильно описывает движение механической части в среднем, поэтому позволяет по известному электромагнитному моменту двига- Рис. 1.14. Рис. 1.15. 27 теля M и значениям c M и J Σ достоверно оценить ускорение и время переход- ных процессов привода, а также решить многие практические задачи даже в тех случаях, когда влияние упругих связей существенно. Однако уравнение (1.42) справедливо только при условии постоянства ма- ховых масс const J Σ = . Рассмотрим, например, кривошипно-шатунный меха- низм из раздела 1.1.6. Пренебрегая массой шатуна, кинетическую энергию сис- темы можно представить как 2 2 2 2 2 2 1 1 к ( ) ( ) 2 2 2 2 2 J mv J mr W J Σ ω ω ϕ ω ω = + = + = ϕ , (1.43) где: 1 J – момент инерции кривошипа и ротора двигателя; m – масса ползуна; ( ) r ϕ – радиус приведения к валу кривошипа (см. выражение (1.34); 2 1 ( ) ( ) J J mr Σ ϕ = + ϕ – суммарный приведённый момент инерции. Приведённый статический момент, создаваемый ползуном, также является функцией угла поворота кривошипа ϕ – [ ] 2 ( ) ( ) ( ) c c M F F s r ′ ϕ = + ϕ где: c F и ( ) F s – сила трения и рабочее усилие, действующее на ползун (пор- шень). Отсюда момент статической нагрузки на валу кривошипа 1 2 ( ) ( ) c c c M M M ′ ϕ = + ϕ Выберем в качестве обобщённой координаты угол ϕ и составим уравнение Лагранжа к к ( ) c W W d M dt ∂ ∂ ⎛ ⎞ − = ϕ ⎜ ⎟ ∂ω ∂ϕ ⎝ ⎠ Левая часть этого уравнения с учётом (1.43) и того, что / d dt ϕ = ω , преоб- разуется к виду: [ ] 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 d dJ d dJ d d dJ J J dt d dt dt d dt d d dJ dJ d dJ J J dt d d dt d Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ ⎡ ⎤ ϕ ω ω ϕ ϕ ϕ ϕ ω ϕ ω − = ϕ + − = ⎢ ⎥ ϕ ϕ ϕ ⎣ ⎦ ω ϕ ϕ ω ω ϕ ω = ϕ + ω − = ϕ + ϕ ϕ ϕ Отсюда уравнение движения привода кривошипно-шатунного механизма 2 ( ) ( ) ( ) 2 c d dJ M M J dt d Σ Σ ω ϕ ω − ϕ = ϕ + ϕ (1.44) Сопоставляя уравнения (1.42) и (1.44), нетрудно заметить, что при наличии нелинейных связей уравнение движения электропривода существенно услож- няется. Оно становится нелинейным дифференциальным уравнением с пере- менными коэффициентами, решение которого возможно только численными методами. В правую часть уравнения входит периодическая функция ( ) J Σ ϕ Она соответствует кажущемуся изменению маховой массы на валу кривошипа, вызванному изменением геометрии передаточного устройства. 28 При работе различных механизмов изменение момента инерции может быть вполне реальным. Оно может происходить за счёт изменения массы дви- жущихся тел, например, в приводе подъёмного крана, перемещающего различ- ные грузы. В этом случае приведённый момент инерции на валу двигателя бу- дет независимой от угла поворота вала двигателя функцией времени ( ) J t Σ и ле- вая часть уравнения Лагранжа примет вид [ ] ( ) ( ) ( ) d d dJ t J t J t dt dt dt Σ Σ Σ ω ω = + ω , а уравнение движения электропривода – ( ) ( ) ( ) c dJ t d M M t J t dt dt Σ Σ ω − = + ω (1.45) Статический режим работы электропривода соответствует условию / 0 d dt ω = . В соответствии с (1.42), для приводов с жёсткими линейными свя- зями это равносильно условию const c M M = = Однако условие / 0 d dt ω = не является достаточным для существования статического режима. Например, в кривошипно-шатунном механизме при ус- ловии / 0 const d dt ω = ⇒ ω = правая часть уравнения (1.44) является периоди- ческой функцией угла поворота кривошипа ϕ и, следовательно, времени, т.е. в приводе существует установившийся динамический процесс, при котором кри- вошип вращается с постоянной скоростью, а линейно движущиеся массы со- вершают возвратно-поступательное движение. При этом вращающий момент двигателя также является периодической функцией угла ϕ и времени 2 ( ) ( ) 2 c dJ M M d Σ ϕ ω = ϕ + ϕ Если c M M ≠ и / 0 d dt ω ≠ , то в приводе существует, либо динамический переходный процесс, либо установившийся динамический процесс. Устано- вившийся динамический процесс движения с периодически меняющейся ско- ростью может возникать в приводе после окончания переходного процесса, ес- ли действующие вращающие моменты содержат периодическую составляю- щую. |