Электропривод. Электрический привод
 Скачать 5.41 Mb.
|
|
1.1.3. Приведение жёсткостей связей При передаче моментов и усилий элементы кинематической цепи привода деформируются. Величина деформации в соответствии с законом Гука пропор- циональна передаваемому усилию, а её характер зависит от конструкции звена. Зубья шестерён изгибаются, валы скручиваются, цепи и тросы растягиваются. В конечном счете, это приводит к угловым или линейным перемещениям. При рассмотрении задачи приведения моментов и усилий к валу двигателя были введены понятия передаточного числа и радиуса приведения: 1 1 / n n j = ω ω и 1 1 / n n r v = ω . (1.20) Угловая и линейная скорости движения являются производными от соответст- вующих перемещений по времени. Пользуясь выражениями (1.20), соотноше- ния перемещений можно представить как: 1 1 1n n n d dt d j dt d d ϕ ϕ = ⋅ = ϕ ϕ и 1 1 1 n n n dl dt dl r dt d d = ⋅ = ϕ ϕ При линейных кинематических связях 1 const n j = и 1 const n r = , поэтому формулы приведения перемещений имеют вид 12 1 1 1 1 1 1 ; / n n n n n n n n n n n n n n l l j j r l r ′ ϕ ϕ ′ ′ = = ⇔ ϕ = ϕ = = ⇔ ϕ = ′ ϕ ϕ ϕ ϕ (1.21) Рассмотрим кинематическую цепь привода на рис. 1.4, а. Она состоит из двигателя Дв, соединённого с исполнительным механизмом ИМ двухступенча- тым редуктором. Все элементы кинематической цепи обозначены номерами. Закрепим жёстко вал ИМ и приложим со стороны двигателя момент M. В ре- зультате деформации его вал повернётся на угол / M c ϕ = , где / c M = ϕ – жёсткость всей кинематической цепи в Нм/рад, равная вращаю- щему моменту, необходимому для закручивания вала на один радиан. Угол ϕ является суммой углов закручивания всех элементов кинематиче- ской цепи, т.е. 12 23 34 45 56 ′ ′ ′ ϕ = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ , (1.20) где pq ′ ϕ – углы закручивания связей между элементами p и q, приведённые к валу двигателя. На вал, соединяющий двигатель и первое зубчатое колесо, а также на зуб- чатую пару первого и второго колеса действует момент двигателя M. Дефор- мация обоих элементов происходит от- носительно одной и той же оси, поэтому 12 12 / M c ϕ = и 23 23 / M c ϕ = . Момент, дей- ствующий на вал между третьим и чет- вёртым колесом, равен 34 23 13 M M j M j = ⋅ = ⋅ , поэтому истин- ный угол его закручивания равен 34 34 34 / M c ϕ = , а угол, приведённый к ва- лу двигателя – 2 34 34 13 34 13 34 13 34 / / j M j c M j c ′ ϕ = ϕ = = ⋅ Так как третье и четвёртое колесо соединены общим валом, то угол закру- чивания в паре четвёртого и пятого колёс приводится к валу двигателя анало- гичным передаточным числом, т.е. 2 45 13 45 / M j c ′ ϕ = ⋅ Угол закручивания вала ИМ с учётом момента 56 23 45 15 M M j j M j = ⋅ ⋅ = ⋅ , действующего на эту связь, равен 56 56 56 15 56 / / M c M j c ϕ = = ⋅ . Тогда приведён- ный угол – 2 56 56 15 15 56 / j M j c ′ ϕ = ϕ = ⋅ Подставляя полученные углы деформации в (1.20), получим 2 2 2 13 13 15 12 23 34 45 56 12 23 34 45 56 1 1 1 1 1 1 1 M j j j M M c c c c c c c c c c c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ϕ = = + + + + = + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ′ ′ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Отсюда жёсткость всей кинематической цепи на рис. 1.4, а Рис. 1.4. 13 12 23 34 45 56 1 1 1 1 1 1 c c c c c c = + + + + ′ ′ ′ . (1.21) Обобщая (1.21) на произвольное число n звеньев с учётом того, что 2 12 12 1 j j = = и 2 2 12 12 12 12 23 23 12 23 / ; / c c j c c c j c ′ ′ = = = = , получим 1 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 1 n n k k k k k k c c c c − = = − − ⎛ ⎞ = ⇔ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ′ ⎝ ⎠ ∑ ∑ , (1.22) где 2 ( 1) ( 1) 1( 1) / k k k k k c c j − − − ′ = – приведённая жесткость связи, а 1( 1) k j − – передаточное число кинематической цепи между точкой расположения упругой связи и ва- лом приведения, в данном случае валом двигателя. Предположим теперь, что связи в кинематической схеме привода абсолют- но жёсткие, а исполнительным механизмом является лебёдка с упругим тросом, жёсткость которого равна c. Эта схема приведена на рис. 1.4, б. Закрепим жёстко конец троса и приложим к валу двигателя момент M. Вращающий момент на валу барабана будет равен б 23 45 15 M M j j M j = ⋅ = ⋅ и бу- дет уравновешиваться моментом, создаваемым силой натяжения троса б / 2 / 2 M F D l cD = ⋅ = Δ ⋅ , где l Δ – удлинение троса под действием силы F. В ре- зультате вал барабана повернётся на угол б 2 / l D Δϕ = Δ , а вал двигателя на угол д б 15 15 2 / / j l j D M c′ Δϕ = Δϕ = Δ ⋅ = , где c′ – приведённая жесткость троса. При- равнивая вращающие моменты, действующие на барабан лебёдки, получим вы- ражение для удлинения троса 15 2M j l cD ⋅ Δ = и для угла поворота вала двигателя 2 15 д 2 4M j M cD c ⋅ Δϕ = = ′ , а затем выражение для жёсткости троса, приведённой к валу двигателя 2 2 15 2 D c c cr j ⎛ ⎞ ′ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (1.23) где 15 2 D r j = – радиус приведения Из выражения (1.23) следует, что при растяжении приведённая жесткость деформируемого звена вычисляется также как при кручении через квадрат пе- редаточного числа всех звеньев до вала двигателя. Но кроме этого для приведе- ния используется квадрат некоторой величины / 2 D , имеющей размерность длины, которая в данном примере имеет вполне ясный физический смысл, т.к. представляет собой радиус барабана лебёдки. 14 1.1.4. Получение расчётной схемы кинематической цепи Рассмотрим задачу получения рас- чётной кинематической схемы на примере привода лебёдки на рис. 1.5, а. Он состоит из двигателя Дв, соединённого клиноре- менной передачей с трёхступенчатым ре- дуктором Р, на выходном валу которого установлен барабан диаметром D. На кон- це троса лебёдки подвешен груз весом G перемещаемый со скоростью v. Ременная передача и трос лебёдки обладают жесткостями 1 c и 2 c значитель- но меньшими, чем жёсткость валов и зуб- чатых пар редуктора. Передаточное число ременной передачи равно отношению диаметров шкивов 2 1 12 1 2 D j D ω = = ω , (1.24) а передаточные числа ступеней редуктора отношению соответствующих чисел зубьев: 3 3 5 2 4 4 23 34 45 2 3 3 4 4 5 ; ; z z z j j j z z z ω ω ω = = = = = = ω ω ω , (1.25) Моменты инерции на рис. 1.5, а соответствуют индексам пяти осей враще- ния, относительно которых они определены. Для приведения этих значений к оси двигателя 1 нужно воспользоваться выражениями (1.16). Тогда 2 3 4 5 1 1 д ш1 2 3 4 5 2 2 2 2 12 13 14 15 ; ; ; ; J J J J J J J J J J J J j j j j ′ ′ ′ ′ ′ = = + = = = = , (1.26) где: д J и ш1 J – моменты инерции ротора двигателя и шкива ременной передачи на его ва- лу; 13 12 23 14 12 23 34 15 12 23 34 45 ; ; j j j j j j j j j j j j = = = – передаточные числа к валу двигателя. Момент инерции груза, приведённый к валу двигателя, в соответствии с (1.18) равен: 2 1 G G v J g ⎛ ⎞ ′ = ⎜ ⎟ ω ⎝ ⎠ . (1.27) Приведённый момент инерции жёстко связанных звеньев, расположенных между упругими связями, образуемыми ременной передачей и тросом лебёдки равен 25 2 3 4 5 J J J J J ′ ′ ′ ′ ′ = + + + . (1.26) Рис. 1.5. 15 Угол деформации ремней передачи равен углу поворота шкива на валу двигателя, поэтому коэффициент приведения жёсткости этой связи равен еди- нице, т.е. 1 1 c c ′ = . Жёсткость троса лебёдки приводится к валу двигателя в соот- ветствии с выражением (1.23) 2 2 2 15 2 D c c j ⎛ ⎞ ′ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (1.27) Определим теперь статический момент, приведённый к валу двигателя. На первый вал (вал двигателя) при вращении действует момент трения в опорах, о воздух и на шкиве ременной передачи 1 c M . На стальные валы действуют моменты трения в опорах и в связях, которые можно привести к валу двигателя в соответствии с (1.5): 2 3 4 5 2 3 4 5 12 12 13 13 14 14 15 15 ; ; ; c c c c c c c c M M M M M M M M j j j j ′ ′ ′ ′ = = = = η η η η , где 12 η – КПД ременной передачи; 23 34 45 , , η η η – КПД зубчатых передач. Отсю- да приведённый статический момент, создаваемый жёстко соединёнными звеньями 25 2 3 4 5 c c c c c M M M M M ′ ′ ′ ′ ′ = + + + . (1.28) Усилие, создаваемое грузом на тросе лебёдки, приводится к валу двигателя в соответствии с выражением (1.8) 1 1б cG v M G ′ = ω η , (1.29) где 1б η – КПД барабана лебёдки, учитывающий потери при наматыва- нии/сматывании троса. Таким образом, с помощью выражений (1.24 …1.29) можно определить па- раметры расчётной кинематической схемы на рис. 1.5, б. 1.1.5. Экспериментальное определение моментов инерции Значения моментов инерции роторов электродвигателей обычно приводят в спра- вочных данных. При отсутствии этой инфор- мации момент инерции можно определить экспериментально методом крутильных коле- баний, маятниковых колебаний, методом па- дающего груза и др. При использовании метода крутильных колебаний ротор двигателя подвешивают за конец вала на тонкой жёсткой проволоке (рис. 1.4). Затем его закручивают из положения рав- новесия на некоторый угол и после отпускания подсчитывают число n полных колебаний за Рис. 1.4. 16 возможно больший промежуток времени t. При малом затухании период коле- баний равен: 2 t J T n k = = π , где k – полярный момент кручения проволоки, равный моменту, необходимому для её закручивания на один радиан. Если k известно, то момент инерции рото- ра 2 2 4 T J k = π Значение k можно определить по размерам проволоки: 4 2 Er k l π = , где E – модуль кручения для материала проволоки, а r и l – радиус и длина. Можно определить значение k также экспериментально, если измерить мо- мент M при закручивании проволоки на угол α. Тогда / k M = α . Проще определить момент инерции по методу крутильных колебаний на основании двух опытов. Вначале измерить период колебаний 1 T по описанной методике, а затем закрепить на роторе какое-либо тело с известным моментом инерции J + (например, диск, как показано на рис. 1.4, б) и снова измерить пе- риод 2 T . Тогда искомый момент инерции J определится как: 2 1 2 2 2 1 T J J T T + = − В методе маятниковых колебаний ротор прикрепляют к отрезку угловой стали так, чтобы вершину уголка можно было использовать в качестве опоры- призмы, относительно которой совершаются колебания. Оба конца уголка ук- ладывают на плоские горизонтальные металлические опоры (рис. 1.5). Ротор выводят из положения равновесия и измеряют период колебаний T . Если момент инерции уголка пренебрежимо мал, то момент инерции ротора относительно оси колебаний можно определить как 2 2 4 a GaT J ≈ π , где G – вес ротора; a – расстояние от точки опоры до оси ротора (практически радиус ротора). Для определения момента инерции ротора относительно его собственной оси нужно найти квадрат радиуса инерции 2 2 2 4 aT g ρ = π , Рис. 1.5. 17 где g – ускорение свободного падения, а затем квадрат радиуса инерции отно- сительно собственной оси 2 2 2 0 a ρ = ρ − Тогда искомый момент инерции ротора будет равен ( ) 2 2 2 2 2 4 G aT a J a G g g ⎛ ⎞ = ρ − = − ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ Недостатками описанных выше методов является необходимость разборки двигателя. Метод падающе- го груза позволяет определить момент инерции ротора двигателя в сборе. На конец вала или на шкив радиусом r наматы- вают нить с закреплённым на конце грузом весом G (рис. 1.6). Затем груз отпускают и измеряют время t и высоту падения h Момент инерции вычисляется по формуле 2 2 1 2 G gt J r g h ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.1.6. Механизмы с переменными статическими моментами и инерционными свойствами В рассмотренных выше механизмах предполагалось, что статические моменты, массы, радиусы инерции и жё- сткости связей являются постоянными величинами. Одна- ко на практике очень часто встречаются машины, у кото- рых в процессе работы значения этих величин изменяют- ся, а также машины, у которых изменяются передаточные числа и радиусы приведения. Пример такого механизма показан на рис. 1.7. Здесь листовой материал или кабель сматывается с барабана с постоянной линейной скоростью v . При этом масса движущегося поступательного материала увели- чивается пропорционально скорости движения и времени п m pvt = , где p – удельная масса, а масса вращающегося материала пропорционально уменьша- ется в п m m m = − . При этом происходит уменьшение радиуса намотанного мате- риала ( ) 0 R t → и увеличение угловой скорости барабана ( ) / ( ) t v R t ω = → ∞ Следовательно, момент инерции барабана [ ] 2 в в ( ) ( ) / 2 J m t R t = уменьшается, как за счёт уменьшения массы материала, так и за счёт уменьшения радиуса инер- ции. В то же время приведённый к валу барабана момент инерции движущегося поступательно материала увеличивается [ ] [ ] 2 2 п п п ( ) / ( ) ( ) ( ) J m t v t m t r t = ω = за счёт увеличения массы и радиуса приведения. Рис. 1.6. Рис. 1.7. 18 Другим часто встречающимся механизмом, приводимым в движение элек- тродвигателями, является кривошипно-шатунный механизм, кинематическая схема которого показана на рис. 1.8, а Определим координаты движения ползуна при постоянной угловой скоро- сти вращения кривошипа. Полный ход ползуна равен 2 R . Исходные уравнения для определения его перемещения s можно получить из рисунка: cos cos ; ; sin sin x x y A R L s R L A B R L = ϕ + β = + − = ϕ = β (1.30) где x A и y B – координаты точек A и B по осям x и y соответственно. Обозначив отношение длины кри- вошипа к длине шатуна как / R L = λ , найдём из третьего равенства в (1.30) 2 cos 1 ( sin ) β = − λ ϕ и подставим это выражение в первое уравнение. Тогда перемещение ползуна получим в виде: 2 2 1 1 1 cos 1 sin s R ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = + − ϕ + − λ ϕ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ λ λ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (1.31) Обычно отношение λ находится в пределах 1/ 3 1/12 > λ > . В этом случае, не превышая 5% погрешности, выраже- ние (1.31) можно упростить ( ) 1 cos cos 2 4 4 s R λ λ ⎡ ⎤ ϕ = + − ϕ − ϕ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (1.32) Из (1.32) следует, что четверть пе- риода поворота кривошипа не соответ- ствует половине пути перемещения пол- зуна, т.к. при / 2 ϕ = π / 2 (1 / 2) s R R ϕ = π → = + λ > , т.е. за пер- вую четверть оборота вала кривошипа перемещение ползуна больше, чем за вторую четверть. Скорость движения ползуна легко найти дифференцированием выражения (1.32) с учётом того, что / d dt ω = ϕ – ( ) sin sin 2 2 ds d ds v R dt dt d ϕ λ ⎛ ⎞ ϕ = = ⋅ = ω ϕ + ϕ ⎜ ⎟ ϕ ⎝ ⎠ . (1.33) Рис. 1.8. 19 Отсюда радиус приведения к валу кривошипа ( ) ( ) sin sin 2 2 v r R ϕ λ ⎛ ⎞ ϕ = = ϕ + ϕ ⎜ ⎟ ω ⎝ ⎠ . (1.34) На рис. 1.8, б и в показаны в относительных единицах кривые изменения перемещения и скорости ползуна в зависимости от положения кривошипа. Таким образом, статическое усилие, действующее на ползун (поршень), и его масса приводятся к валу кривошипа посредством сложной нелинейной функции от угла поворота. Ещё более сложными функциями описывается дви- жение шатуна. На рис. 1.8, а штрихпунктирной линией показана траектория движения его центра массы (точка c). Поэтому в упрощённых расчётах массой шатуна обычно пренебрегают. |