основы фин менеджмента. Финансы и кредит и Бухгалтерский учёт, анализ и аудит Хабаровск Издательство тогу 2012 2
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
3.2. Методы оценки стоимости денег во времени с учетом изменения нормы прибыли на рынке ссудного капитала Простые проценты Метод наращения по простым процентам В нижеприведённых расчётах примем следующие обозначения. Условные обозначения P – первоначальная сумма денег S – будущая стоимость денег I – сумма процентов начисленных завесь период времени D – сумма дисконта T – количество дней в году t – период (срок) финансовой операции измеренный в месяцах, кварталах, днях n – количество интервалов по которым осуществляется расчет процентных платежей за период i – используемая процентная ставка d – используемая учетная ставка j – используемая номинальная ставка 32 i – эффективная ставка m – число интервалов начисления в году f – номинальная учетная ставка процентов. 1 Наращение по обыкновенной ставке процентов При расчете суммы простого процента в процессе наращения стоимости используются следующие формулы I = P × n × I или I = S – P . Итак исходя из определения компаундинга будущую стоимость денег можно рассчитать двумя способами 1) S = P + I; 2) S = P × (1+ni), если n измерено в годах, а если в месяцах или днях внутри общего периода начисления, то формула примет вид (1 ) t S P i T Множитель (1 + ni) или называют коэффициентом наращения суммы простых процентов. Его значение всегда больше 1. Способы расчётов по схеме простых процентов Различают 3 варианта расчета 1) точные проценты сточным числом дней ссуды и точным числом дней в году (британская практика расчетов 2) обыкновенные проценты сточным числом дней ссуды и приближенным числом дней в году (французская практика 3) приближенные проценты с приближенным числом дней ссуды и приближенным числом дней в году (германская практика. Пример 3.1 Кредит в сумме 1 000 000 р. выдан 2 марта по 11 декабря под 18 % годовых год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов расчета простых процентов. Рассчитать доход банка и сравнить результаты расчетов. Дано P = 1 000 000 р. i = 0,18 1 t = 280 2 t = 284 Решение По формуле i T t P S 1 1) Точные проценты 33 1 T = 366 2 T = 365 1 , 1139672 18 , 0 366 284 1 1000000 1 S I 1 = 1139672,1 – 1 000 000 = 139672,1 S - ? I - ? 2) Обыкновенные проценты 8 , 1140054 18 , 0 365 284 1 1000000 2 S I 2 = 1 140 054,8 – 1 000 000 = 140054,8 3) Приближенные проценты 2 , 1138082 18 , 0 365 280 1 1000000 3 S I 3 = 1 138 082,2 – 1 000 000 = 138 082,2 По расчетам видно, что для банка более выгодно применять точные проценты, а для заемщика - приближенные. 2 Наращение попеременной ставке Процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях часто предусматривают дискретные, изменяющиеся во временные процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы будет иметь вид S = P (1 + n 1 i 1 + n 2 i 2 + …) = P (1 + ∑n t i t ). (3.4) Пример 3.2 Банк предлагает вкладчику следующие условия по срочному годовому депозиту. Первое полугодие ставка 10 %, а каждый следующий квартал она возрастает на 1 % в III квартале и на 2 % в IV квартале от базовой. Определить какая сумма будет на счете вкладчика, если он размещает 500 000 р. Дано P=500 000 р. 1 i = 0,1 2 i = 0,11 1 t = 6 мес. 3 ; 2 t = 3 мес. T = 12 мес. Решение По формуле k k i T t i T t i T t i T t P S 1 3 3 2 2 руб 12 , 0 12 3 11 , 0 12 3 1 , 0 12 6 1 500000 I = 53 750 р. S - ? I - ? 34 3 Реинвестирование по простым процентам Сумма депозита, полученная в конце периода, как и сумма начисленных на неё процентов, может быть вновь инвестирована под другую процентную ставку. Такой процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в течение периода. При этом наращенная сумма для всего срока находится по формуле S = P (1 + n 1 i 1 ) (1+n 2 i 2 )… = ПР × (1 + n t i t ) = P × П (1 + n t i t ) Дисконтирование и учет по простым процентам На практике часто приходится решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму P. В этом случае процент в виде разницы D=S - P называют дисконтом. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом. Дисконт, как скидка с конечной суммой долга определяеться через процентную ставку и является абсолютной величиной. В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Величина Р эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной S по стоимости. 1. Математическое дисконтирование Расчет текущей стоимости денег при заданной их будущей стоимости осуществляется двумя способами 1) P = S - D; 2) P = S × диск. ni S ni S P 1 1 1 Дисконт в этом случае можно определить по формуле 1 1 1 S D S S S ni ni Множитель 1 1 ni называется коэффициентом дисконтирования суммы простых процентов. Его значения всегда меньше 1. 35 Пример 3.3 Кредит выдан подставку годовых на срок 250 дней. Рассчитайте сумму полученную заемщиком, и сумму дохода банка, если требуется возвратить 500 000 р. Дано S = 500 000 р. i = 0,29 t = 250 дн. T = 365 дн. Решение По формуле р = 500 000 – 417 142,9 = 82 857,1 р. P - ? I - ? 2. Банковский или коммерческий учет Операция учета заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца, который является кредитором по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, те. приобретает учитывает) его с дисконтом. Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка. Размер дисконта удерживаемого банком будет равен d n S D , d T t S D , Множитель (1 - nd) называют дисконтным множителем. Срок n измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения. Формула дисконтирования по учетной ставке Пример 3. 4 Переводной вексель выдан на 10 000 долл. США с оплатой 15 октября текущего года. Векселедержатель учел его в банке 15 августа текущего года по учетной ставке 12 % годовых. Какую сумму он получит и сколько составит доход банка Дано S = 10 000 $ t = 60 дн. T = 365 дн. d = 0,12 Решение По формуле d T t S P 1 $ 7 , 9802 12 , 0 365 60 1 10000 P D = 10 000 – 9 802,7 = 197,3 $ P - ? D - ? 36 Учетная ставка может также использоваться для наращения стоимости денег, те. для определения S при заданном P. В этом случае используется формула nd P nd P S 1 Пример 3. 5 Первоначальная сумма долга равняется 250 000 р. Определить величину наращенной суммы через 215 дней, применив антисипативный способ начисления процентов. Годовая ставка – 30 %. Дано P = 250 000 р. t = 285 дн. T = 365 дн. d = 0,3 Решение По формуле d T t P S 1 9 , 326475 3 , 0 365 285 руб = 326 475,9 – 250 000 = 76 475,9 руб. S - ? I - ? В том случае если учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга, менеджер решает сразу две задачи 1) определяет конечную сумму долга на момент его погашения в процентах 2) рассчитывает сумму, полученную при учете, путем дисконтирования конечной суммой долга на учетной ставке, действующей на момент времени. Решение этих двух задач можно совместить водном расчете последующей формуле ) 1 )( 1 ( 2 1 1 2 d n i n P P , где P 2 – сумма, полученная при учете обязательства P 1 – первоначальная сумма капитала n 1 – общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты n 2 – срок с момента учета до погашения долга. Пример 3. 6 Платежное обязательство выдано на 3 месяца под 23 % годовых. Владелец обязательства уплатил его в банке задней до наступления срока платежа ставке 20 % годовых. Рассчитать сумму, полученную по векселю, и доход банка, если номинал платежного обязательства 500 000 р. Дано S = 500 000 р. i = 0,23 t 1 = 3 мес. t 2 = 45 дн. Решение По формуле 5 000 000 ( )=528 р. 37 T 1 = 12 мес. T 2 = 365 дн. D = 0,2 Р = S (1 – t 2 /T 2× d) = 528 750 (1 – 45/365× 0,23) = 515 712,3 р. D = 515 712,3 – 500 000 = 15 712,3 P - ? D- ? Пример 3.7 Платежное обязательство выдано на 3 месяца под 23 % годовых. Владелец обязательства уплатил его в банке задней до наступления срока платежа ставке 20 % годовых. Рассчитать сумму, полученную по векселю и доход банка, если номинал платежного обязательства 700 000 р. Дано P 1 = 700 000 руб. i = 0,23 t 1 = 3 мес. t 2 = 45 дн. T 1 = 12 мес. T 2 = 365 дн. d=0,2 Решение = 7000 000 ( )( ) = =700 000 1,0575 0,975 342 5 = 721 997,3 D = 721 997,3 – 700 000 = 21 997,3 руб. P 2 - ? D- ? Определение продолжительности финансовой операции (n) Часто в финансовых расчетах задача ставится так требуется найти временной интервал, за который исходная сумма при заданной ставке процентов вырастет до нужной величины, те. срок, обеспечивающий определенный дисконт с заданной величины, такая задача решается относительно n. Для этого применяются следующие формулы. 1) При использовании простой ставки наращения i: i P P S n ив днях T i p P S t 2) При использовании учетной ставки простых процентов d: d S P S n ив днях Таким образом, в обоих случаях T n t Определение уровня процентной ставки Уровень процентной ставки обычно служит мерой доходности отдельной финансовой операции, по нему делают выбор наиболее выгодных условий финансовой операции. 38 1) Простая процентная ставка определяется по формуле n p P S i или Пример 3. 8 Доллары США купили пор. за доллар, продали спустя 3 месяца за 29,6 р. за доллар. Определить доходность операции. Дано P = 28.3 р. S = р. T = 12 мес. t = мес. Решение По формуле T t p P S j % 37 , 18 1837 , 0 9 , 84 6 , 15 12 3 3 , 28 3 , 28 6 , 29 j j - ? 2) Учетная ставка простых процентов определяется по формуле n S P S d или Пример. 9 ГКО номиналом 200 000 р. со сроком обращения 6 месяцев, продается вдень выпуска пора через 30 дн. пор. Определить доходность облигации к погашению и текущую доходность. Дано S = 200 000 р. Р = 100000 р. Р 180000 р. t 1 = 6 мес. t 2 = 30 дн. T 1 = 12 мес. T 2 = 365 дн. Решение По формуле % 122 217 , 1 6000000 7300000 365 * 30 200000 180000 тек 0 , 2 600000 1200000 12 * 3 200000 100000 200000 пог d d тек. - ? d пог. - ? Напоминаем, что срок n в двух формулах имеет разный смысл в первом случае это весь срок операции, а во втором – оставшийся срок до погашения долга. 39 3.3. Сложные проценты 3.3.1. Методы наращения по сложным процентам 1. Наращение по обыкновенной ставке сложных процентов Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через 1 год сумма долга с присоединенными процентами составит ) 1 ( i P S , через 2 года Таким образом, получаем формулу наращения по сложным процентам n i P S ) 1 ( , где коэффициент наращения равный (1+i) n – множитель наращения сложных процентов он всегда больше 1. В практических расчетах в основном применяется дискретные проценты, те. проценты начисляются за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д. При использовании простых и сложных процентов необходимо помнить, что при сроке n<1 наращения по простым процентам дают больший результат, чем по сложным, а при n>1 – наоборот. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам над суммой, наращенной по сложным процентам при одинаковых процентных ставках, достигается при n = 1/2. Пример. 10 Сбербанк начисляет ежегодно по 8 % годовых. Клиент положил в этот банк 200 000 руб. Определите, какая сумма будет на его счете через 5 лет. Дано Р = 200 000 р. i = 0,08 n = 5 лет Решение По формуле n i P S ) 1 ( 5 08 0 1 000 200 S = 293 800 р. S - ? 2. Наращение по сложным процентам попеременной ставке В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид ) 1 )...( 1 ( ) 1 ( 2 Пример Вкладчику предлагают следующие условия по срочному пятилетнему депозиту. Если сумма вклада составит 100 000 р, проценты будут начисляться 40 - За первый год поставке- За второй - 8,0 % - За третий - 8,15 % - За четвертый - 8,2 % - За пятый - 8,5 %. Определить, какая сумма будет на счете вкладчика через 5 лети сколько составит его доход Дано P = 100 000 р. 1 i = 0,075 2 i = 0,08 3 i = 0,0815 4 i = 0,082 5 i = 0,085 Решение По формуле ) 1 )...( 1 ( ) 1 ( 2 1 k i i i P S ) 085 , 0 1 ( ) 082 , 0 1 ( ) 0815 , 0 1 ( ) 08 , 0 1 ( 075 , 0 1 000 100 S = 147 406,2 р. I = 147 406,2 – 100 000 = 47 406,2 р. 3. Наращение по номинальной ставке сложных процентов 1 m Пример Банк выплачивает 11 % годовых. Фирма держит на счете 5 000 000 р. с условием ежеквартального начисления процентов в течение 3 лет. Определить, какая сумма будет на счете фирмы и ее доход за период. Дано P = 5 000 000 руб. m = 4 n = 3 j = 0,11 Решение По формуле 1 m n i S P m 4 3 4 11 0 1 000 000 5 S 6 923 р. I = 6 923 918,8 – 5 000 000 = 923 р. S - ? I - ? Пример 3.13 Сбербанк начисляет ежегодно 10,5 % годовых. Фирма-клиент формирует в этом банке частный пенсионный фонд, на счете фирмы 250 000 000 р. Определить, какая сумма будет на счете фирмы через три года при следующих условиях начисления процентов 1) проценты начисляются один разв году 2) проценты начисляются ежеквартально 3) проценты начисляются непрерывно. 41 Дано P = 250 000 000 р. i = 0,105 n = 3 года M = 4 i = = j Решение 1) n i i P S ) 1 ( 3 ) 105 , 0 1 ( 250000000 i S 337 308 156,2 р. 2) n m j m i P S ) 1 ( 341 175 666 р. 3) n e P S 342 264 750 р. i S - ? j S - ? S - ? Вывод Таким образом, начисления процентов поставке сила роста более выгодны для фирмы. 4. Непрерывные проценты Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле Итак, чем больше m, тем меньше промежуток времени между моментами начисления процентов. В пределах при m → ∞ имеем lim (1 ) lim (1 ) n mn m m m j j S P P m m , Известно, что lim(1 ) lim (где е – основание натуральных логарифмов = 2,718 28, используя этот предел в формуле наращения, получим, что наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов поставке будет равна Для того чтобы отличить ставку непрерывных процентов отставок дискретных процентов, ее назвали силой роста и обозначили символом дельта – δ, тогда n S Pe , те. сила роста (δ) представляет собой номинальную ставку процентов при m → ∞. Начисление годовых процентов при дробном числе лет При дробном числе периодов проценты начисляются разными способами. а) По формуле сложных процентов n i P S ) 1 ( 42 б) По смешанному методу, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, аза дробное – простые где а – целое число лет b – дробная часть. Пример Вначале года вкладчик размещает в банке 120 000 р. под 10 % годовых. Банк осуществляет капитализацию процентов в конце каждого года. Какая сумма будет на счете вкладчика через 3 года и 100 дней База 365 дней. Дано P = 120 000 р. i = 0,1 n = 3 t = 100 дн. T = 365 дн. Решение По формуле ) 1 ( ) 1 ( i T t i P S n 9 , 095 164 1 , 0 365 100 1 1 , 0 1 000 120 руб - ? в) Иногда применяется метод, при котором за отрезок времени меньше периода начисления проценты не начисляются, те. a i P S ) 1 ( 3.3.2. Методы дисконтирования по сложным процентам 1. Математическое дисконтирование В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Исходя из формулы наращения сложных процентов, имеем n i S P ) 1 ( 1 , P = S × D где D = ) 1 ( 1 n называют множителем дисконтирования сложных процентов. Если проценты начисляются m разв году, то дисконтирование осуществляется по номинальной ставке сложных процентов Разность S – P называют дисконтом. 43 Пример 3.15 Банк начисляет 11,5 % годовых. Господин Федоров В. А. желает получить через 2 года 300 000 р. на подарок дочери к юбилею. Какую сумму он должен положить насчет сегодня Дано S = 300 000 руб. i = 0,115 n = 2 года Решение По формуле n i S P ) 1 ( 1 9 241307 ) 115 0 1 ( 000 300 руб = 300 000 – 241307,9 = 58692,1 руб. S - ? I - ? Если процент начисляется попеременной ставке, тов знаменателе возводить в степень нельзя, нужно перемножать скобки 1 Дисконтирование по силе роста осуществляется по формуле n S Pe |