_Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve. Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие
 Скачать 5.79 Mb.
|
|
Глава 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 2.1 СОСТАВНОЙ ИТОГ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ Когда процент периодически добавляется к основной сумме и эта новая сумма используется, как основная для следующего временного периода и эта процедура повторяется определенное число периодов, окончательный итог называется составным итогом. Разность между составным итогом и первоначальной основной суммой называется сложным процентом. Период времени между двумя последовательными начислениями процентов называется периодом начисления процентов или периодом конверсии и может быть установлен любой удобной временной продолжительности. В качестве периода конверсии обычно берется целый делитель года, такой как месяц, квартал, 6 месяцев или год. Норма процента обычно рассчитывается на годовой основе и при начислении процентов должна изменяться до нормы процента на период инверсии. ПРИМЕР Найти составной итог в конце 1 года при основной сумме 50000 рб, если при начислении используется норма процента 7%, конвертируемая поквартально. РЕШЕНИЕ Слова 7%, конвертируемые (или составляемые) поквартально, означают 1,75% за квартал ( 3 месяца ). Таким образом, в конце первого квартала 1,75% от 50000 рб добавляются к основной сумме, увеличивая ее до итоговой суммы первого периода 50875 рб. Эта сумма является основной для второго периода. В конце второго квартала к ней добавляются 1,75% от 50875 рб, давая новый итог 51765,31 рб в конце второго периода и основную сумму для третьего периода. В конце третьего периода к основной сумме этого периода добавляются 1,75% от 51765,31 рб процентов третьего периода, приводя к итоговой сумме 52671,20 рб третьего квартала. И, наконец, в конце года 1,75% от 52671,20 рб добавляются к основной сумме четвертого квартала, образуя составной итог года (четырех квартальных периодов) 53592,95 рб. Сложный процент за год равен 3592,95 рб, что на 92,95 рб больше суммы, которая получилась бы при использовании простого процента. Прямой метод начисления процентов по периодам конверсии, использованный в примере, является утомительным, когда число 17 периодов становится больше. Поэтому имеет смысл сформулировать более быстрые способы получения итоговой суммы, одинаково удобные для произвольного числа периодов конверсии. 2.2 ОБОЗНАЧЕНИЯ Будем использовать следующие обозначения : P - первоначальная основная сумма или настоящая стоимость S . S - составной итог для P , или итог на конец срока. n - количество процентных периодов (периодов конверсии). m - количество периодов конверсии за 1 год. j - норма процента, которая конвертируется m раз в году. i - норма процента за период конверсии: всегда i = j/m. Годовая норма j называется годовой номинальной нормой (ставкой) или более кратко номинальной ставкой, так как она является нормой, используемой только в рассматриваемой сделке. Норма i = j/m всегда используется при начислении итоговой суммы. Обычно используются следующие версии обозначений номинальной ставки, которые поясним примером : j = 0,15 или ( 15%, m = 3 ) или ( j = 15%, m = 3 ) означают, что годовая номинальная норма 15% конвертируется 3 раза в год и что i = 0,05 является нормой процента за 4-месячный период. 2.3 ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА СОСТАВНОГО ИТОГА Если P обозначает основную сумму в начале первого периода начисления процента и i является нормой процента за период конверсии, тогда процент, начисленный в конце первого периода, равен Pi и итог первого периода равен P + Pi или P(1 + i). Таким образом, итог периода конверсии в (1 + i) раз больше основной суммы этого периода. Подобные рассуждения показывают, что итог в конце любого периода конверсии в (1 + i) раз больше основной суммы этого периода конверсии, так что итог в конце второго периода равен P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i) 2 , а в конце n периодов конверсии имеем итоговую сумму, равную S = P(1 + i) n (1) Это равенство называется основной формулой сложного процента. Получение всякого результата, связанного со сложными процентами, 18 прямо или косвенно использует эту формулу. Заметим, что в (1) используется четыре величины, так что если любые три из них известны, четвертая может быть найдена из этого уравнения. 2.4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СОСТАВНОГО ИТОГА Когда P, n и i даны, составной итог можно вычислить. Для наиболее употребительных целочисленных значений величин n и i составлены таблицы выражения (1 + i) п , которое принято называть множителем накопления. Если такие таблицы имеются под рукой, по ним находится требуемый множитель накопления, и он умножается на величину основной суммы, что даст необходимый результат : требуемый итог. Таблицы могут не содержать заданных целочисленных значений величин n и i , тогда использование таблиц несколько усложняется, но является все-таки возможным. Предположим, что норма процента i табулирована, а значение n находится за пределами таблицы. В этом случае следует представить n как сумму целочисленных величин n 1 и n 2 , n = n 1 + n 2 , таких, что n 1 и n 2 табулированы и для каждого из них по таблице найти значения соответствующих множителей накопления: и Перемножение этих множителей и даст требуемый множитель накопления (1 + i) ( ) 1 1 + i n ( ) 1 2 + i n п . Если значение n настолько велико, что не представляется в виде суммы двух табулированных величин, нужно представить его в виде суммы трех, четырех или другого необходимого числа табулируемых величин. Далее определяются множители накопления, соответствующие слагаемым, и необходимый множитель накопления определяется как произведение множителей накопления, найденных из таблицы. Предположим теперь, что величина n табулирована, но норма процента i принимает нецелое значение, промежуточное между имеющимися в таблице. Тогда можно использовать интерполяцию для получения приближенного значения требуемого множителя накопления. Она заключается в следующем. Пусть заданная норма процента i попадает между соседними в таблице значениями i 1 и i 2 , i 1 < i < i 2 . Из этого следует, что для заданного n (1 + i 1 ) п < (1 + i) п < (1 + i 2 ) п Обозначим через X приближенное значение величины (1 + i) п 19 В этих условиях составляется пропорция для величины X , ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) X i i i i i i i n n - + - = + - + - 1 1 1 1 1 2 1 2 1 n , из которой искомая величина X находится в виде : ( ) ( ) ( ) ( ) X i i i i i i i n n = + + - - + - + 1 1 1 1 1 2 1 2 1 n = ( ) ( ) = - - + + - - + i i i i i i i i i i n n 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 ПРИМЕР Найти приближенное значение итоговой суммы при накоплении процентов основной суммы 10000 рб в течение 20 лет при норме процента i = 5,2%. РЕШЕНИЕ Из таблицы для множителей накопления имеем : i 0,055 0,050 (1 + i) 20 2,9178 2,6533 В этом случае i 1 = 0,050, i = 0,052, i 2 = 0,055. (i 2 - i)/(i 2 - i 1 ) = 3/5 = 0,6 . (i - i 1 )/(i 2 - i 1 ) = 2/5 = 0,4 . Поэтому приближенное значение X величины (1 + 0,052) 20 вычисляется следующим образом X = ( 0,6 )( 2,6533 ) + ( 0,4 )( 2,9178 ) = 2,7591 Таким образом, итоговая сумма S приблизительно равна S = 10000 × 2,7591 = 27591 рб. Когда необходимо найти множитель накопления для значений i и n , которых в таблице нет, приходится вычислять этот множитель непосредственно. При этом удобно вычислить сначала логарифм множителя накопления по формуле 20 log(1 + i) п = n log(1 + i). В предыдущем примере это привело бы к результату log(1 + 0,052) = 20 log( 1,052 ) = 20 × 0,0693 = 1,0139 что дает величину множителя накопления равную 2,7562 и итоговую сумму 27562 рб. Этот результат показывает, в частности, точность вычисления по приближенной формуле. Погрешность составляет 29 рб, то есть 0,00105 или 0,105% от итоговой суммы. В заключение заметим, что интерполяция является достаточно громоздкой процедурой и ею следует пользоваться только в тех случаях, когда под рукой есть таблицы и нет калькулятора, который мог бы возводить числа в произвольную степень. Если таковой имеется, лучше не использовать таблицы, а вычислять итоговую сумму по формуле (1) 2.5 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И СЛОЖНЫЙ ДИСКОНТ Часто необходимо знать, какая основная сумма P , инвестированная теперь, при данной норме процента даст накопление до заданной итоговой суммы S к заданной более поздней дате. В этих условиях P называется настоящей стоимостью суммы S . Другими словами, настоящая стоимость P на данную дату для суммы S на более позднюю дату является основной суммой, которая, будучи инвестированной в данную дату при заданной норме процента, даст итог S в эту более позднюю дату. Разность S - P называется сложным дисконтом от суммы S , а процесс определения настоящей стоимости называется дисконтированием. Вычисление настоящей стоимости ( или дисконтирование суммы S ) означает просто решение уравнения (1) относительно P , когда S , i и n заданы. Решение уравнения (1) дает P = S/(1+ i) п = S(1+ i) -п . (2) Стоящий в знаменателе множитель накопления может быть вычислен способами, описанными в предыдущем параграфе. Тем не менее и в этом случае в руководствах по финансовым расчетам приводятся таблицы обратных значений множителей накопления (1 + i) - п , которые принято называть множителями дисконтирования. 21 2.6 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ Очевидно, что знание годовой номинальной нормы процента бессмысленно, если не задана частота конверсий. Вместе с тем часто желательно знать полное годовое приращение на каждый рубль первоначальной основной суммы. Для этого вводится новое понятие - годовая эффективная норма. Годовая эффективная норма r , соответствующая заданной номинальной норме j , конвертируемой m раз в год, - это полная сумма процентов, начисленных за год на каждый рубль основной суммы (капитала), имевшейся в начале года. Для определения годовой эффективной нормы, соответствующей заданной номинальной норме j , конвертируемой с заданной частотой m , достаточно найти накопленную за год сумму при номинальной норме и приравнять ее к сумме, накопленной при эффективной норме r . Сумма, которую накопит 1 рб за 1 год при норме j , конвертируемой m раз, равна (1 + i) т , где i = j/m . При эффективной норме r 1 рб за 1 год накопит сумму (1 + r) . Приравнивая эти суммы, имеем 1 + r = (1 + i) m = (1 + (j/m)) m (3) Равенство (3) связывает три величины, так что если две из них заданы, то третья может быть из него определена. ПРИМЕР 1 Какая эффективная годовая норма соответствует номинальной норме j = 0,06 (6% , m = 3) ? РЕШЕНИЕ 1 рб за год обеспечит итоговую сумму (1 + (0,06)/3) = (1 + 0,02) = 1,0612 Поэтому годовая эффективная норма равна 6,12%. ПРИМЕР 2 Найти годовую номинальную норму, конвертируемую поквартально, соответствующую эффективной норме 6% . РЕШЕНИЕ В этом случае m = 4 , r = 0,06 . 1 + r = 1,06 = (1 + i) 4 22 Отсюда log(1 + i) = (1/4) log(1,06) = 0,01457 или 1 + i = 1,01467. Наконец j = mi = 4 × 0,01467 = 0,0587. Любые две нормы процента, номинальные или эффективные, которые дают одну и ту же составную итоговую сумму в конце года называются годовыми эквивалентными или, более кратко, эквивалентными. Например, номинальная норма, конвертируемая ежемесячно, и другая номинальная норма, конвертируемая поквартально, являются эквивалентными, если они приводят к одной и той же итоговой сумме в конце года, то есть j 12 и j 4 эквивалентны, если справедливо равенство (1 + j 12 /12) 12 = (1 + j 4 /4) 4 Поскольку эквивалентные нормы дают одинаковую итоговую сумму за год ( а значит и за любое количество лет ) при любой основной сумме, логично принять следующий принцип : в математике финансов всегда разрешается заменять заданную норму процента на эквивалентную ей. Важность этого принципа будет ясной из последующего. Например, если норма процента в какой-либо задаче равна j 12 = 0,05 , она может быть заменена нормой процента j 4 = 0,0502 . 2.7 СОСТАВНОЙ ИТОГ И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЛЯ ДРОБНЫХ ПЕРИОДОВ ВРЕМЕНИ Утверждение типа «сложный процент при норме j 1 = 0,08 за 15 месяцев» не имеет смысла для введенных определений, поэтому должно быть принято какое-либо соглашение как его понимать. Естественным путем является замена данной нормы другой, эквивалентной ей, которая конвертировалась бы через период, кратный 15 месяцам. Например, подошла бы норма, конвертируемая поквартально. Тогда исходное утверждение заменяется на следующее: «сложный процент при норме j 4 = 0,0777 за 5 кварталов» . ПРИМЕР 1 Найти составную итоговую сумму, если 10000 рб накапливает проценты в течение 15 лет и 3 месяца при норме j = 6% . РЕШЕНИЕ Первый шаг - это замена нормы j 2 = 6% на конвертируемую поквартально, так как заданное время 15 лет и 3 месяца состоит из 61 квартала. Пусть i будет норма процента за квартал, эквивалентная j 2 = 6% . Тогда (1 + i) 4 = ( 1,03 ) 2 или 1 + i = ( 1,03 ) 1/2 23 Накопление процентов в течение 61 квартала при норме i S = 10000 × (1 + i) 61 Подставляя значение (1 + i) в это выражение, получаем S = 10000 × ( 1,03 ) 61/2 = 24634 рб При получении этого результата можно было бы использовать таблицы множителей накопления, используя i = 0,03 и n = 30,5 по схеме рассмотренной ранее. Рассмотренный пример дает естественную основу для следующего правила: точный (или дисконтированный) метод накопления или дисконтирования состоит в использовании основных уравнений (1) и (2) несмотря на то, является или нет временной интервал целым числом периодов конверсии, Можно показать, что точное правило всегда дает тот же результат, который получается путем замены данной нормы процента на эквивалентную норму, для которой время накопления (дисконтирования) состоит из целого числа периодов конверсии, Таким образом, реально нет необходимости искать эквивалентную норму, поскольку конечный результат получается тот же самый. ПРИМЕР 2 Используя точный метод, найти текущую стоимость 50000 рб за 7 лет и 3 месяца до ее накопления с нормой процента j 1 = 5%. РЕШЕНИЕ Мы имеем S = 50000 , i = 0,05 , n = 7,25 . Отсюда P = 50000 × ( 1,05 ) - 7,25 = 35103,27 . Когда под рукой нет вычислительных средств, но есть таблицы множителей накопления ( дисконтирования ), можно в случае дробных продолжительностей использовать следующую аппроксимацию : для целой части периода конверсии найти составной итог накопления ( или текущую стоимость при дисконтировании ), а для дробной части использовать простую итоговую сумму ( или простое дисконтирование ), Так, в рассмотренном примере для 7 лет имеем 50000 × ( 1,05 ) -7 = 35534,06 затем осуществляем простое дисконтирование за 0,25 года P = 35534,06 × (1 - ( 0,05 )( 0,25 )) = 35089,88 . 24 Как видим, в этом примере абсолютная точность определения текущей стоимости равна 35103,27 - 35089,88 = 13,39 что дает относительную точность 0,00038 или 0,038% . Когда используется простой процент или простой дисконт при определении итоговой суммы или текущей стоимости для дробных сроков накопления или дисконтирования, процедура вычисления называется практическим методом и может быть сформулирована следующим образом. Для определения практическим методом итоговой суммы или настоящей стоимости за дробный временной интервал сначала выделяется дробная часть года и для нее определяется промежуточный итог ( в случае накопления ) или промежуточная настоящая стоимость ( в случае дисконтирования ). На втором этапе эти промежуточные значения принимаются в качестве исходных для задачи с остающимся временным интервалом, насчитывающим целое число периодов конверсии. Приведем формальное описание этого метода. В задаче определения итоговой суммы пусть P обозначает основную сумму, i - норму процента за период конверсии и временной интервал накопления равен n + t , где n - целое число периодов конверсии, а t - дробная часть периода конверсии, t < 1 . Сначала определяется промежуточный итог с использованием простого процента P(1 + it) Затем, используя технику сложных процентов и считая промежуточный итог основной суммой, находим окончательную итоговую сумму S = P(1 + it)(1 + i) п Рассуждая аналогично для определения настоящей стоимости можно получить формулу P = S(1 - it)(1 + i) - п Использование практического метода поясним на примере. Пусть необходимо определить итоговую сумму накопления для основной суммы 10000 рб при норме процента i = 10% за 4 года и 10 месяцев. Практический метод предлагает сначала найти промежуточный итог за 10 месяцев, используя технику простого процента, что дает 10000 × (1 + ( 0,1 )(10/12)) = 10833,33 , 25 Затем, рассматривая это как основную сумму, найдем накопление за 4 года, то есть 10833,33 × (1 + 0,1) 4 = 10833,33 × 1,4641 = 15861,08 Точное значение итоговой суммы при накоплении в течении 4 лет и 10 месяцев равно S = 10000 × (1 + 0,1) 4 + 10/12 = 15851,29 рб . Применение практического метода дает абсолютную точность 15861,08 - 15851,29 = 9,79 рб . Заметим, что применение практического метода оправдано только в тех случаях, когда под рукой нет вычислительных средств, позволяющих возводить числа в дробную степень, и есть таблицы множителей накопления и дисконтирования. В заключение обратим внимание еще раз на то, что формулы (1) и (2) связывают четыре величины S , P , n и i , так что если заданы S , P и n по ним можно определить норму процента i , обеспечивающую заданное накопление. Если заданы S , P и i , через них можно найти продолжительность временного интервала n , необходимого для достижения заданного накопления. УПРАЖНЕНИЯ 2 1. При какой номинальной ставке j 4 деньги удваиваются через 12 лет? 2. При какой номинальной ставке j 2 деньги удваиваются через 15 лет? 3. При данной процентной ставке j 2 10 млн рб прирастают до 25 млн рб через 20 лет. Какой является сумма в конце 10 лет? 4. При данной процентной ставке j 4 10 млн рб прирастают до 15 млн рб в конце 10 лет. Какой будет сумма в конце 6 лет? 5. Облигация стоит 18,75 млн рб и по ней выплачивается 25 млн рб через 10 лет. Какая процентная ставка j 2 обеспечит этот рост? 6. Найти годовую эффективную норму, соответствующую 1,5% , конвертируемым ежемесячно. 7. Сумма денег инвестируется при j 4 на один год. Какая ставка j 12 накопила бы такую же сумму в конце года? 8. 10 млн рб инвестируются на 5 лет при j 12 = 5% . Какая ставка j 4 накопит равную сумму через то же самое время? 26 |