_Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve. Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие
 Скачать 5.79 Mb.
|
|
Глава 3 УРАВНЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 3.1 ДАТИРОВАННЫЕ СУММЫ Использование значений денежных сумм без указания даты, когда они должны использоваться, является бессмысленным. Очевидно, что 1000 рб наличными в настоящее время предпочтительнее, чем 1500 рб, обещанные через 50 лет. Сумма платежа вместе с датой погашения называется датированной суммой. Например, 10000 рб, полагающиеся 7 июля 1995 г., являются датированной суммой. Когда необходимо сравнивать датированные суммы, нужно обязательно знать норму процента. Если человек имеет возможность в течение некоторого времени инвестировать свои деньги, получая 8% годовых, говорят, что его деньги стоят j 1 = 8% . При такой норме 1000 рб, полагающиеся через три года, и 1360,49 рб ( = 1000 × (1,08) 4 ), полагающиеся через 7 лет, могут рассматриваться как эквивалентные, так как после получения через три года 1000 рб можно в течение следующих четырех лет при норме 8% годовых накопить 1360,49 рб. Точно также 793,83 рб, ( = 1000 × (1,08) -3 ), имеющиеся в настоящее время, эквивалентны 1000 рб через три года. В общем случае датированные суммы сравниваются по следующему правилу эквивалентности: сумма P , полагающаяся на данную дату, эквивалентна при данной норме сложного процента i сумме S , полагающейся на n периодов конверсии позже, если является справедливым хотя бы одно из следующих равенств: S = P(1 + i) п или P = S(1 + i) -п Таким образом, накопление или дисконтирование могут рассматриваться как простое преобразование заданной датированной суммы к другой дате. Преобразование делается в соответствии со следующей временной диаграммой: Прошлая дата Настоящая дата Будущая дата D(1 + i) -п D D(1 + i) п 27 Прошлая и будущая суммы эквивалентны датированной сумме D. Важным и полезным свойством эквивалентных датированных сумм является следующее свойство 1 : при данной норме сложного процента если A эквивалентно B и B эквивалентно C , то A эквивалентно C. Для доказательства этого утверждения мы расположим данные на временной диаграмме следующим образом : 0 a b c P A B C где 0 означает настоящее время и a , b, c представляют числа периодов конверсии от настоящего времени до соответствующих дат погашения. Если A эквивалентно B , то B = A(1 + i) b-a Если B эквивалентно C , то C = B(1 + i) c-a Исключая из этих равенств сумму B , получим, что C = A(1 + i) b-a (1 + i) c-b = A(1 + i) c-a Полученный результат является условием эквивалентности датированных сумм A и C. Это свойство не имеет места для норм простого процента и норм простого дисконта. Поэтому понятие эквивалентности для этих норм не применяется. ПРИМЕР 1 Долг 10000 рб следует выплатить через 10 лет. Если деньги стоят j 1 = 5% , найти эквивалентный долг через a) 1 год , b) 15 лет. РЕШЕНИЕ Построим временную диаграмму 0 1 10 15 P X 10000 Y Согласно правилу эквивалентности X = 10000 × (1,05) -9 = 6446,1 полагается через 1 год 28 Y = 10000 × (1,05) 5 = 12762,8 полагается через 15 лет Иллюстрацией эквивалентности X и Y может служить применение свойства 1, так как (6446,1)(1,05) 14 = 12762,8. ПРИМЕР 2 Вексель на 10000 рб со сложным процентом при j 4 = 6% за три года должен быть погашен через три года. Какая сумма, полагающаяся через 8 лет, эквивалентна этой сумме при j 2 = 4% ? РЕШЕНИЕ Данная сумма, датированная на конец третьего года, равна 10000 × (1,015) 12 = 11956,2 рб. Расположим данные на временной диаграмме соответствующим образом 0 6 16 11956,2 X Здесь 6 и 16 представляют количества полугодовых периодов начисления, начиная с начального момента. Искомая сумма получается путем накопления основной суммы 11956,2 рб за 10 периодов начисления при норме 2% за период, то есть X = 11956,2 × (1,02) 10 = 14574,5 полагается через 8 лет. 3.2 СЕРИИ ДАТИРОВАННЫХ СУММ Сумма двух или большего числа датированных сумм, погашаемых в различные даты, практически не имеет смысла. Например, предположим, что 20000 рб погашается через два года, а 30000 рб погашается через пять лет. Сумма 20000 + 30000 = 50000 рб не связана с какой либо датой и поэтому мало о чем говорит. Однако, если все рассматриваемые суммы преобразовать в эквивалентные датированные суммы с одной и той же датой погашения, то сумма таких эквивалентных сумм приобретает смысл и называется датированной суммой серии. Она будет изменяться в зависимости от даты, к которой преобразованы эквивалентные суммы. Для различных датированных сумм одной и той же серии справедливо следующее свойство 2 : датированные суммы одной и той же серии, определенные для различных дат, являются эквивалентными. Доказательство дадим для серии из двух датированных сумм. Пусть A и B будут двумя датированными суммами, погашаемыми через a и b периодов начисления от настоящего времени. Пусть также U и V 29 будут двумя датированными суммами этой серии, определенными для дат u и v ( за единицу времени принимается период начисления ). Представим эти данные на временной диаграмме Время: 0 a b u v Суммы: A B U V Преобразовывая значения A и B ко времени u согласно правилу эквивалентности и суммируя результаты, получим датированную сумму серии, погашаемую через u периодов U = A(1 + i) u-a + B(1 + i) u-b Умножая обе части этого равенства на (1 + i) v-u и производя очевидные упрощения, получим другую датированную сумму серии, погашаемую уже через v периодов начисления, U(1 + i) v-u = A(1 + i) v-a + B(1 + i) v-b Но правая часть этого равенства в точности равна V, так что U(1 + i) v-u = V, и условие эквивалентности U и V выполняется, что и доказывает справедливость свойства 2 ПРИМЕР Если деньги стоят j 4 = 4% , найти одноразовую выплату, эквивалентную серии из 10000 рб, погашаемых через два года, и 15000 рб, погашаемых через 5 лет, для трех случаев погашения : a) в настоящее время; b) через 2 года; c) через пять лет. РЕШЕНИЕ Представим серию на временной диаграмме 0 8 20 10000 15000 Вычислим эквивалентные значения обоих сумм для трех требуемых временных сроков и сведем их в таблицу Настоящее Через Через время 2 года 5 лет Первая сумма 9234,83 10000,00 11268,25 Вторая сумма 12293,17 13311,74 15000,00 30 Сумма серии 21528,00 23311,74 26268,25 В соответствии со свойством 2 все три датированные суммы серии должны быть эквивалентными. Это можно проверить следующим образом. Представим суммы серии на временной диаграмме 0 8 20 21528,00 23311,74 26268,25 Поскольку 21528,00 × (1,1) 8 = 23311,74 , датированная сумма серии на настоящее время эквивалентна датированной сумме серии на конец второго года (8 периодов начисления). Подобным образом, 23311,74 × (1,1) 12 = 26268,25 означает, что вторая датированная сумма серии эквивалентна третьей и все три датированные суммы серии являются эквивалентными. Как уже было выше сказано , для сравнения двух итоговых сумм, погашаемых в различные даты, необходимо заменить их эквивалентными суммами, пересчитанными на одну и ту же дату. Величина разности полученных эквивалентных сумм будет различной в зависимости от использованной для сравнения даты. Также как и в случае сумм серий, разности, рассчитанные на различные даты, будут эквивалентными. Доказательство этого повторяет те же рассуждения, которые были использованы выше при анализе сумм серий на различные даты при рассмотрении свойства 2. ПРИМЕР Сравнить два обязательства: выплатить 20000 рб со сложным процентом на 2 года при норме j 4 = 5% через два года, и 10000 рб через 6 лет, если деньги стоят j 2 = 6% , рассматривая их стоимость в три различные момента времени: a) настоящее время; b) через два года; c) через 6 лет. РЕШЕНИЕ Датированная сумма первого обязательства в момент погашения равна 20000 × (1,0125) = 22089,72. Построим временную диаграмму ( время измеряется полугодиями ) : 0 4 12 22089,72 10000 31 Преобразуем эти две суммы к трем датам сравнения в соответствии с правилами эквивалентности и результаты сведем в таблицу, тогда получим Суммы Настоящее время Через 2 года Через 6 лет Первое обязательство Второе обязательство Разности 19626,43 7013,80 12612,63 22089,72 7894,09 14195,63 27982,60 10000,00 17982,60 Можно проверить, что разности эквивалентны при норме процента j 2 = 6% , учитывая следующие равенства : 12612,63 × (1,03) 4 = 14195,63 , 14195,63 × (1,03) 8 = 17982,60 . 3.3 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЕРИИ ПЛАТЕЖЕЙ Одной из наиболее важных проблем в математике финансов является замена данной серии платежей или других обязательств на эквивалентную серию. Например, холодильник стоит 3 млн рб. наличными. Однако его можно купить при помощи эквивалентной серии небольших ежемесячных платежей. Ранее мы рассматривали датированную сумму серии платежей или обязательств. При этом было видно, что сумма серии зависела от используемой нормы процента и даты, на которую вычислялась сумма. На основе правила эквивалентности для таких серий можно сформулировать следующее утверждение : при данной норме сложного процента две серии платежей являются эквивалентными, если датированные суммы этих серий на любую общую дату являются равными. Таким образом, если стоимость холодильника равна 3 млн рб , любая серия платежей, использованная при его покупке должна иметь стоимость на настоящий момент ( текущую стоимость ) 3 млн рб. Равенство, устанавливающее, что датированные суммы двух серий на общую дату равны, называется уравнением эквивалентности или равенством стоимостей. Дата, используемая в этом равенстве, называется датой сравнения. Из свойства 1 следует, что в качестве даты сравнения может быть использована любая дата. 32 ПРИМЕР 1 Петров имеет два векселя, подписанные Ивановым, один с датой погашения через три года на 100 тыс рб и второй на 200 тыс рб - через 8 лет. Петров с Ивановым договорились, что деньги стоят j 2 = 6% . Если Петров получит 50 тыс рб сейчас, сколько должен заплатить Иванов через 5 лет, погашая весь долг ? РЕШЕНИЕ Обозначим сумму, погашаемую через 5 лет через X . Задача состоит в определении X таким образом, чтобы серия «50 тыс рб сейчас и X через 5 лет» была бы эквивалентна при норме процента j 2 = 6% серии «100 тыс рб через 3 года и 200 тыс рб через 8 лет». Расположим данные на временной диаграмме, располагая каждую серию в отдельную строку и измеряя время полугодовыми периодами : 0 6 10 16 50 тыс X 100 тыс 200 тыс Теперь нужно выбрать дату сравнения. Может быть использована любая дата. Обычно выбирается самая поздняя. В нашем примере это 8 лет ( 16 полугодовых периодов ). Равенство эквивалентности получается путем преобразования всех сумм к дате сравнения и приравнивания датированных сумм серий. Это дает 50000(1,03) 16 + X(1,03) 6 = 100000(1,03) 10 + 200000 Вычисляя соответствующие множители накопления, получим 80235 + X(1,194052) = 134392 + 200000 Из этого равенства получаем, что X = 212852 рб. В данном примере более удобной датой сравнения была бы дата сравнения, совпадающая с выплатой X. Действительно, в этом случае она равна 5 лет ( 10 периодов ) и равенство эквивалентности приобретает вид X + 50000(1,03) 10 = 100000(1,03) 4 + 200000(1,03) -6 Вычислив процентные множители, получим выражение для X 33 X = 112551 + 167497 - 67196 = 212852 рб. ПРИМЕР 2 Если деньги стоят 5% эффективно, какие равные платежи через 1 год и 3 года будут эквивалентно заменяться следующей серией обязательств : выплатить 100000 рб через три года и 200000 рб с накопленным процентом через 4 года при норме j 2 = 6% ? РЕШЕНИЕ Обозначим через X сумму погашения при искомых платежах. Поместим исходные данные задачи на временной диаграмме, показывая платежи различных серий в различных строках 0 1 2 3 4 X X 100 тыс 200 тыс Выберем конец четвертого года в качестве даты сравнения, хотя любая другая дата была бы также возможной. Все суммы преобразовываются к дате сравнения и датированные суммы серий приравниваются, образуя уравнение эквивалентности. X(1,05) 3 + X(1,05) 1 = 100000(1,05) 1 + 200000(1,03) 8 или после вычисления множителей накопления X(1,157625) + X(1,05) = 105000 + 253354. Откуда X = 358354 / 2,207625 = 162326. Использование уравнений эквивалентности показывает, что они связывают величины трех типов : суммы погашения, даты погашения и нормы процентов. До сих пор мы использовали уравнения эквивалентности только для определения неизвестных значений сумм погашения. Вместе с тем на практике уравнения эквивалентности используются также для определения и других составляющих : даты погашения или нормы процента. Хотя техника использования уравнений в этих случаях остается прежней, имеются некоторые особенности в деталях. Рассмотрим это на примерах. ПРИМЕР 3 100 тыс рб погашается через 5 лет и 200 тыс рб погашается через 10 лет. Если деньги стоят j 1 = 4% . Через сколько лет оба платежа эквивалентно заменит выплата a) 250 тыс рб; b) 300 тыс рб ? 34 РЕШЕНИЕ a) Пусть n обозначает искомый временной интервал для 250 тыс рб. Построим временную диаграмму 0 n 5 10 250 тыс 100 тыс 200 тыс Так как относительное положение n неизвестно, обычно предпочтительнее выбирать в качестве даты сравнения настоящее время. Преобразовывая все суммы к настоящему времени и составляя уравнение эквивалентности, получим равенство 250000(1,04) -п = 100000(1,04) -5 + 200000(1,04) -10 = 217305. Разрешая теперь это равенство относительно n , находим, что n = 3,578 лет, то есть примерно 3 года 6 месяцев и 28 дней. b) Процедура вычислений в этом случае точно такая же, как и в случае a). Уравнение эквивалентности получается следующим 300000(1,04) -4 = 100000(1,04) -5 + 200000(1,04) -10 = 217305 и разрешая его относительно n получим n = 8,226 лет или приблизительно 8 лет, 2 месяца и 21 день. Когда серия обязательств заменяется единственным обязательством с суммой погашения, равной сумме сумм погашения всех обязательств серии, время выполнения этого обязательства при эквивалентной замене называется средней датой погашения или датой эквивалентности. В решении b) последнего примера средняя дата погашения равна 8 лет 2 месяца и 21 день, начиная с настоящего момента. Хотя нахождение уравненной даты не представляет особых трудностей, можно упростить вычисления, если допустимо грубое приближение. Пусть S 1 , S 2 , S 3 , ... будут суммами погашения различных обязательств, погашаемых через n 1 , n 2 , n 3 , ... , периодов начисления, и пусть n будет числом периодов начисления до средней даты погашения. Тогда n может быть приблизительно определено по формуле 35 n n S n S n S S S S = + + + + + + 1 1 2 2 3 3 1 2 3 Эта формула может быть получена выписыванием уравнения эквивалентности для наиболее поздней в серии даты погашения в качестве даты сравнения и использования простого процента вместо сложного процента. ПРИМЕР 4 Использовать приближенную формулу для нахождения даты эквивалентности для случая b) предыдущего примера. РЕШЕНИЕ Согласно формуле п = ´ + ´ + = 5 100000 10 200000 100000 200000 25 3 , то есть приблизительно 8 лет и 4 месяца. ПРИМЕР 5 Какая эффективная норма процента обеспечивает эквивалентность двум следующим сериям обязательств: a) 30000 рб, погашаемых через два года, и 100000 рб, погашаемых через 4 года, и b) 40000 рб, погашаемых через год, и 80000 рб, погашаемых через три года ? РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме 0 1 2 3 4 30000 100000 40000 80000 Выберем в качестве даты сравнения конец четвертого года и составим уравнение эквивалентности 40000(1 + i) 3 + 80000(1 + i) 1 = 30000(1 + i) 2 + 100000. Для решения этого уравнения относительно i сократим обе части уравнения на 10000, перенесем все слагаемые, зависящие от i , в левую часть и обозначим ее через f(i) , тогда получим f(i) = 4(1 + i) 3 - 3(1 + i) 2 + 8(1 + i) = 10 36 нелинейное алгебраическое уравнение, решение которого в общем случае производится численными методами. Когда под рукой нет вычислительных средств, это уравнение может быть решено приближенно с использованием таблиц множителей накопления и метода интерполяции. В этом примере значение эффективной нормы процента равно приблизительно 0,0683 , то есть 6,83% . УПРАЖНЕНИЯ 3 1. Предположим, что деньги стоят j 2 = 3% . Найти датированную сумму на конец двенадцатого года, эквивалентную 20 млн рб в конце 4 лет. 2. Какая сумма денег на конец 4 лет эквивалентна 25 млн рб в конце 9 лет, если деньги стоят j 4 = 4,5% ? 3. Найти датированные суммы в конце 3 лет и в конце 10 лет, эквивалентные 10 млн рб на конец 5 лет, если деньги стоят 4% эффективно. Проверить, что эти суммы эквивалентны между собой. 4. Найти датированные суммы в конце 2 лет и в конце 8 лет, эквивалентные 20 млн рб на конец 4 лет, если деньги стоят j 2 = 3,5%. Проверить, что эти суммы эквивалентны между собой. 5. Найти датированную сумму на конец 3 лет при эффективных 6%, эквивалентную 10 млн рб с процентами за 10 лет при j 2 = 5% . 6. Найти датированную сумму на конец 2 лет при j 2 = 5% , эквивалентную 5 млн рб с процентами за 8 лет при j 4 = 4% . 7. Рассматриваются суммы 15 млн рб на конец 3 лет и 16 млн рб на конец 6 лет. Деньги стоят j 2 = 4,5% . Сравнить эти суммы в настоящее время и в конце трех лет. Убедиться, что разности между этими суммами для обоих сроков являются одинаковыми. 8. Рассматриваются суммы 10 млн рб на конец 4 лет и 15 млн рб на конец 10 лет. Деньги стоят j 1 = 5% . Сравнить эти суммы в настоящее время и в конце четырех лет. Убедиться, что разности между этими суммами для обоих сроков являются одинаковыми. 9. Деньги стоят j 4 = 3% . Найти датированную сумму в конце 5 лет для серии платежей: 10 млн рб через 6 лет и 20 млн рб через 10 лет. 10. Деньги стоят j 2 = 5% . Найти датированную сумму в конце 3 лет для серии платежей: 5 млн рб через 5 лет и 8 млн рб через 8 лет. 11. Деньги стоят j 2 = 4% . Найти датированную сумму в конце 6 лет для серии платежей: 10 млн рб через 3 года и 15 млн рб через 8 лет. 12. Деньги стоят j 1 = 6% . Найти датированную сумму в конце 7 лет для серии платежей: 6 млн рб через 2 года и 9 млн рб через 10 лет. 37 13. Найти датированную стоимость на настоящее время для следующего набора активов: 4 облигации по 1 млн рб с датами погашения через 3, 6, 9 и 12 месяцев, если деньги стоят j 4 = 4% . 14. Найти датированную стоимость на конец года для набора облигаций предыдущей задачи. 15. Найти эффективную ставку, при которой 10 млн рб теперь эквивалентны 20 млн рб через 14 лет. 16. Найти номинальную ставку для т = 12, при которой 5 млн рб на конец 5 лет эквивалентны 15 млн рб в конце 25 лет. 17. Долг 10 млн рб нужно вернуть через 3 года. Если сегодня выплачивается 2 млн рб в счет долга, какая одноразовая выплата через два года ликвидирует обязательство при стоимости денег j 4 = 6% ? 18. Некто занял 50 млн рб сегодня при j 4 = 5,5% . Он обещает возместить 10 млн рб через год, 20 млн рб через два года и остальное в конце третьего года. Каким будет это последнее возмещение ? 19. Фермер покупает товары стоимостью 10 млн рб. Он заплатил 2 млн рб сразу и заплатит на 5 млн рб больше через 3 месяца. Если процент начисляется на сумму неоплаченного баланса со ставкой j 12 = 6% , какой должна быть заключительная выплата в конце 6 месяцев ? 20. Иванов имел 10 млн рб на счету в сберегательном банке 10 лет назад. Сберегательный банк начисляет проценты согласно ставке j 2 = 3% . Иванов взял со счета 2 млн рб пять лет назад и 3 млн рб два года назад. Какая сумма сегодня лежит на счету Иванова ? 21. Петров делал следующие вклады в сберегательный банк, который начисляет проценты в соответствии со ставкой j 2 = 2,25% : 10 млн рб пять лет назад и 5 млн рб три года назад. Он брал со счета 2 млн рб год назад и планирует взять остальную сумму через год. Какую сумму он получит ? 22. Сидоров имеет 100 млн рб в сберегательном банке, который начисляет проценты со ставкой j 4 = 3% . Какие одинаковые взносы в конце каждого квартала нужно делать Сидорову, чтобы на его счету в банке через год было 300 млн рб ? 23. Контракт предполагает платежи по 1 млн рб в конце каждого квартала в течение следующего года и дополнительный заключительный платеж 5 млн рб в его конце. Какова стоимость этого контракта наличными, если деньги стоят j 4 = 5% ? 24. Вексель Иванова на 5 млн рб и пятилетний процент со ставкой j 2 = 5,5% нужно погасить через пять лет, а второй вексель на 10 млн рб при таких же условиях - через 10 лет. Он желает заплатить 2 млн рб сегодня и рассчитаться полностью двумя одинаковыми платежами в конце 5 лет и 10 лет. Если деньги стоят j 4 = 4% , какими будут эти платежи ? 38 |