_Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve. Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие
 Скачать 5.79 Mb.
|
|
Г. А. Медведев НАЧАЛЬНЫЙ КУРС ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Медведев Г. А. Начальный курс финансовой математики. [Электронный ресур]: Учебное пособие — Электрон. текст. дан. (6,1 Мб). — Мн.: “Электронная книга БГУ”, 2003. — Режим доступа: http://anubis.bsu.by/publications/elresources/AppliedMathematics/medvedev1.pdf МИНСК «Электронная книга БГУ» 2003 © Медведев Г. А., 2003 © Научно-методический центр «Электронная книга БГУ», 2003 www.elbook.bsu.by elbook@bsu.by Г.А. МЕДВЕДЕВ НАЧАЛЬНЫЙ КУРС ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ Москва ТОО «Остожье» 2000 УДК 51:336(075.3) ББК 22.1я721+65.9(2)26я721 М42 ПРИ УЧАСТИИ ООО «НОВОЕ ЗНАНИЕ» Рекомендовано к изданию Советом факультета прикладной математики и информатики и Советом специального факультета бизнеса и информационных технологий Белорусского государственного университета Медведев Г.А. М42 Начальный курс финансовой математики: Учеб.пособие.-М.: ТОО «Остожье»,2000. – 267с. ISBN 5-86095-117-5 В пособии излагаются основные методы финансовых расчетов, составляющих предмет финансовой математики. Для понимания этих методов достаточно иметь знания в объеме математики старших классов средней школы. Изложение материала в книге снабжено большим количеством примеров, которых достаточно для понимания этого материала и для иллюстрации расчетов. В книге приводятся упражнения по всем рассматриваемым разделам, что позволяет использовать ее в качестве учебного пособия для факультативного изучения финансовой математики в школах (лицеях или гимназиях), а также на первых курсах вузов на специальностях с экономическим или финансовым уклоном, например таких как «Актуарная математика», «Финансы и кредит», «Экономическая кибернетика» и др. Кроме того, книга может служить учебным пособием по дисциплине специализации «Основы математики финансов» в тех вузах, где такая дисциплина предусмотрена. УДК 51:336(075.3) ББК 22.1я721+65.9(2)26я721 ©Г.А.МЕДВЕДЕВ © ОФОРМЛЕНИЕ. ИЗДАТЕЛЬСТВО ISBN 5-86095-117-5 «НОВОЕ ЗНАНИЕ»,2000 ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время интерес к финансовой деятельности заметно вырос, однако культура финансовых расчетов еще невысока. Особенно это касается случаев, когда такие расчеты делаются при анализе платежей, которые разнесены во времени или составляют потоки (последовательности, серии) регулярно повторяющихся выплат. До последнего времени нашим обществом практически совершенно не использовались ценные бумаги, векселя и другие финансовые атрибуты; имеется слабое представление об определении их рыночной цены. Пока еще основная масса людей недостаточно информирована о разнообразных формах получения и использования процентных денег. Представляется целесообразным ознакомить широкого читателя с основами финансовых расчетов, составляющих предмет финансовой математики. Для понимания этих основ достаточно иметь знания в объеме математики старших классов средней школы. Поэтому предлагаемая читателю книга в первую очередь адресована старшим школьникам и студентам первых курсов и предназначена для ознакомления с математическими основами финансов, их применением для расчетов, считающихся обычными в странах с развитой финансовой культурой. Не секрет, что пока многие работники финансовых учреждений также недостаточно осведомлены об этом. Для них эта книга также будет полезной. Кроме того, каждому человеку, имеющему свободные деньги, следует уметь ими распорядиться с целью их приумножения. Эта книга научит их делать необходимые расчеты для достижения этой цели и производить правильный выбор, если имеются различные варианты. Изложение материала в книге сделано по уже сложившемуся классическому стандарту. Дается понятие о процентных деньгах; простых и сложных процентах; дисконтировании (учете изменения стоимости денег со временем из-за возможности получения процентов); эквивалентности платежей; аннуитетов (серий регулярных платежей) и вечных рент. Эти понятия используются для описания элементов практической финансовой деятельности, таких как оформление векселей и их купля/продажа; амортизация (постоянная выплата) долгов; купля/продажа в рассрочку; образование целевых денежных фондов; расчет инвестиций; оперирование с простейшими ценными бумагами-облигациями; определение их рыночной цены; амортизация и обесценивание оборудования. 3 В настоящее время литературы на русском языке по финансовой математике практически нет. Автору известно лишь руководство Е.М. Четыркина «Методы финансовых и коммерческих расчетов», Москва, Дело Лтд. 1995. Поэтому при написании этой книги автору пришлось использовать иностранные источники. Он опирался, в основном, на следующие учебники (перечислим их по возрастанию сложности) : 1. R. Cissell, H. Cissell, D. Flaspohler. Mathematics of Finance. Houghton Mifflin Company, Boston, 1990 (восьмое издание), 720 с. 2. P.Hummel, C. Seebeck. Mathematics of Finance. McGraw-Hill Inc., New York, 1980 (третье издание), 370 с. 3. S. Kellison. The Theory of Interest. Irwin Inc., Boston, 1991 (второе издание), 446 с. 4. H. Gerber. Life Insurance Mathematics. Springer-Ferlag, Berlin, 1996 (второе издание), 157 с. 5. J. McCutcheon, W. Scott. An Introduction to the Mathematics of Finance. Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996 (восьмое издание), 463 с. Предлагаемая читателю книга по уровню сложности занимает место между первым и вторым из этих учебников. Традицией финансовых работников является использование «Таблиц для финансовых расчетов». Вместе с тем появление и широкое распространение вычислительной техники в большой степени понизило роль этих таблиц, так как возможности компьютерного применения значительно шире, а получение результатов быстрее и удобнее. Поэтому при изложении уделяется некоторое внимание употреблению таблиц. К сожалению из-за ограниченности объема сами таблицы в книге не приводится, но в приложении приведено описание этих таблиц, а также приведены формулы, по которым они составляются. Так что каждый читатель, которому доступны даже простейшие вычислительные средства (от программируемых калькуляторов и выше) может сосчитать необходимые значения функций по приведенным формулам. Читатели, которым доступно использование персональных компьютеров, могут воспользоваться дискетой с компьютерной программой, которая специально подготовлена для работы с этой книгой и обеспечивает расчеты в более широком диапазоне, чем это позволяют сделать «Таблицы для финансовых расчетов». Профессор Медведев Г.А. Белорусский государственный университет 220050 г. Минск, пр. Ф. Скорины 4. Тел. (017) 2095448. 4 Глава 1. ПРОЦЕНТНЫЕ ДЕНЬГИ 1.1 ПРОЦЕНТЫ Всякий собственник, имеющий квартиру или гараж, которые он не использует, может сдать их в наем, получая за это определенную плату. Точно также человек, имеющий деньги, которые он не использует, может их дать взаймы другому лицу (или, используя более общий термин, - инвестировать) за определенное вознаграждение. Доход от инвестированного капитала или, в более узком смысле, вознаграждение за использование денег, называется процентными деньгами или кратко процентами. Сумма денег, данных взаймы, называется основной или капиталом. Обычно заем дается на определенное время - период. Сумма процентных и основных денег, полагающаяся в конце периода, называется итогом. В общем случае отношение процента за период к основной сумме (капиталу) называется нормой процента. Эта норма чаще всего выражается в форме процентов, при расчетах используются эквивалентные десятичные (реже - натуральные) дроби. При заключении конкретных сделок для обозначения нормы процентов обычно используется другое название - процентная ставка. ПРИМЕР Иванов взял в сберегательном банке ссуду 10000 рб. Если банк начисляет 250 рб процентных денег за использование этой суммы в течение 6 месяцев, какой будет норма процента за этот период ? РЕШЕНИЕ Обозначим норму процента за шести месячный период через i. Тогда i = 250/10000 = 0.025 = 2.5%. 1.2 ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ Пусть P будет основной суммой. r - нормой процента за 1год и t - продолжительность периода времени в годах. Если процент вычисляется по формуле I = Prt (1) и если процент выплачивается в конце периода времени, тогда выплачиваемые процентные деньги называются простым процентом. В этом случае норма процента за рассматриваемый период времени равна rt. Для простого процента норма, как правило, дается для периода продолжительностью 1 год. 5 Если S обозначает итоговую сумму, тогда S = P + I (2) Равенства (1) и (2) называются основными уравнениями простого процента. Любая задача для простых процентов может быть решена при помощи этих двух равенств. Следует заметить, что они содержат пять различных переменных, а именно S, P, I, r и t. Если любые три заданы (исключая случай задания трех первых одновременно), остальные две могут быть найдены с помощью (1) и (2). Для удобства можно добавить еще одно равенство. Если исключить из (1) и (2) переменную I, получим выражение итоговой суммы S через P, r и t. S = P(1 + rt) (3) Так как для простого процента r всегда дается как годовая норма, время t должно измеряться в годах. Когда время дается в месяцах, t равно числу месяцев, поделенному на 12. Когда время дается в днях, используется два различных способа для подсчета t. Чаще используется деление числа дней на 360. Если t вычисляется таким способом, полученный процент называется обыкновенным простым процентом. Второй способ - использовать деление числа дней на 365 (366 в високосном году). Если t вычисляется таким образом, полученный процент называется точным простым процентом. ПРИМЕР 1 Найти простой процент за ссуду 3000 рб на 5 месяцев при норме 0,07%. РЕШЕНИЕ Мы имеем P = 3000, r = 0,07 и t = 5/12. I = Prt = 3000 × 0,07 × (5/12) = 87,5 рб. ПРИМЕР 2 Найти точный простой процент и итоговую сумму, если 5000 рб даны взаймы на 100 дней при норме 4%. РЕШЕНИЕ P = 5000, r = 0,04 и t = 100/365 I = 5000 × 0,04 × (100/365) = 54,8 рб S = 5000 + 54,8 = 5054,8 рб. 6 ПРИМЕР 3 Человеку, который инвестировал 100000 рб, возмещены 101000 рб девяносто днями позже. С какой нормой зарабатывались эти деньги при обыкновенном простом проценте ? РЕШЕНИЕ P = 100000, S = 101000 и t = 90/360 = 1/4. Теперь, так как S = P + I , I = S - P = 101000 - 100000 = 1000. Но I = Prt , поэтому r = I/(Pt) = 1000/(100000 × (1/4)) = 0,04 = 4%. ПРИМЕР 4 Через 60 дней после займа Иванов выплатил ровно 10000 рб. Сколько было занято, если 10000 рб включают основную сумму и обыкновенный простой процент при 12% ? РЕШЕНИЕ S = 10000, r = 0,12 и t = 60/360 = 1/6. Подставляя эти значения в S = P(1 + rt) , получим 10000 = P × (1,02) откуда P = 10000/ 1,02 = 9804 рб. Для вычисления простых процентов без использования современной вычислительной техники применяются различные практические приемы. Наиболее известный из них - шести процентный способ, который основан на том, что на каждый рубль при норме 6% обыкновенный простой процент за 60 дней равен 0,01 рб. Теперь, приводя реальную норму к 6% и реальный период к 60 дням для определения обыкновенного простого процента достаточно перемножить эти приведенные величины и полученное произведение умножить на один процент от основной суммы. Полученный результат и будет обыкновенным простым процентом. Кроме этого для определения простых процентов не прибегая к вычислениям, используются таблицы. В финансовой математике часто можно решать поставленную задачу несколькими методами. В этих условиях всегда следует искать наиболее простой способ, который сократит и ваш труд и риск числовых ошибок. Решение задач несколькими способами часто является желательным с целью проверки результата. УПРАЖНЕНИЯ 1 (В этих и всех последующих упражнениях, когда результат не выражается целыми числами, вычисления производить с точностью до второго десятичного знака после запятой, если в условиях не оговорено другое.) 7 1. Выразить следующие проценты в виде соответствующих натуральных и десятичных дробей с точностью до четвертого десятичного знака : a) 4 %, b) 2 1/4 %, c) 3&2 % , d) 3 1/3 % , e) 0,8 % , f) 1/6 % . 2. Представить каждую из следующих дробей в виде процентов с точностью до сотой доли процента ; a) 0,035 , b) 3/40 , c) 0,04 (1/3) , d) 5/16 , e) 8,40/280 , f) 40/1250. 3. Найти значения 1 + rt и выразить результат в виде натуральных и десятичных дробей : a) r = 6%, t = 1/2; b) r = 1 1/4 %, t = 1/3; c) r = 5%, t = 3/4; d) r = 3.2, t = 1/12; e) r = 3.2%, t = 1/8. 4. Вычислить (1 + 0,07(7/12))5000 рб с точностью до 1 рб. 5. Найти простой процент для 7000 рб за 5 месяцев при 3%. 6. Вычислить 6000рб/(1 + 0,05(1/4)) с точностью до 1 рб. 7. Найти простой процент и итоговую сумму, если 7000 рб инвестируются на 4 месяца при 6 1/3 %. 8. Найти обыкновенный и точный простой процент для 4600 рб за 120 дней при 7% в обычном году. 9. Найти обыкновенный простой процент и итоговую сумму для 150000 рб при 5 1/4 % за 90 дней. 10. Банк начисляет 5 рб обыкновенного простого процента за использование 300 рб в течение 60 дней. Какова норма простого процента таких сделок ? 11. При приобретении товаров покупатель может заплатить или 500 рб сразу или 520 рб через 4 недели. Если он займет деньги, чтобы заплатить наличными, какая норма простого процента может быть допустима для возмещения займа ? 12. Найти P если S = 4800 рб, r = 7% и t = 1/4. 13. Найти S если P = 7000 рб, r = 8% и t = 1/6. 14. Какая основная сумма приведет к итогу 7800 рб за 5 месяцев, если норма процента равна 8% ? 15. Какая основная сумма приведет к итогу 13900 рб через 90 дней при норме 8% обыкновенного простого процента ? 16. Сколько дней понадобится, чтобы 7000 рб заработали 100 рб, если они инвестируются при 9% обыкновенного простого процента ? Найти точный и обыкновенный простые проценты : 17. P = 28000, r = 7%, t = 189 дней. 18. P = 96800, r = 6%, t = 227 дней. 19. P = 69500, r = 4,5%, t = 95 дней. 20. P = 18700, r = 12%, t = 128 дней. 8 1.3 ВРЕМЯ МЕЖДУ ДАТАМИ. ОФОРМЛЕНИЕ ВЕКСЕЛЕЙ Когда временной интервал дается не явно, а в форме промежутка между датами, обычно вычисляют точное число дней, включая первый или последний день, но не оба. Такой способ определяет так называемое точное время. Его легко определить, если обе даты относятся к одному и тому же году и имеется в наличии календарь, показывающий порядковый номер каждого дня года. Тогда достаточно из порядкового номера поздней даты вычесть порядковый номер ранней даты и результат даст продолжительность периода. В високосных годах порядковый номер дня после 28 февраля следует увеличивать на единицу. Упомянутый здесь календарь порядковых номеров дней года обычно содержится среди таблиц для финансовых расчетов, имеющихся в руководствах по финансовым и коммерческим расчетам. Другой способ подсчета количества дней между датами основан на предположении, что каждый месяц года состоит из 30 дней. Когда используется этот способ, получающийся результат называется приближенным временем. Независимо от того, каким образом рассчитывалось число дней временного периода, могут начисляться обыкновенные или точные простые проценты. Поэтому возможны четыре различных варианта числового выражения простого процента. Сочетание точного времени и точного простого процента практически не встречается. Чаще всего встречается случай, когда используется точное время и обыкновенный простой процент. Этот вариант часто называется правилом банкиров. В дальнейшем мы будем всегда подразумевать именно этот способ расчетов, если не будет оговорено другое. ПРИМЕР 1 Ссуда была выдана 10 марта и возвращена 17 ноября. Найти a) точное время, b) приближенное время периода. РЕШЕНИЕ a) 10 марта является 69-ым днем года, а 17 ноября является 321-ым днем года. Так что число дней точного времени равно 321 - 69 = 252. b) При определении приближенного времени для удобства составим следующую табличку 9 Дата Месяц День 17 ноября 11 17 10 марта 3 10 Разность 8 7 Разность равна 8 месяцев и 7 дней или 247 дней, если считать, что в каждом месяце по 30 дней. ПРИМЕР 2 Ссуда была выдана 20 октября 1993 года и возмещена 15 июня 1995 года. Найти a) точное время, b) приближенное время периода. РЕШЕНИЕ a) 20 октября является 293-ым днем года, а 15 июня является 166-ым днем года. Определяемый период включает 365 - 293 = 72 дня 1993 года, 365 дней 1994 года и 166 дней 1995 года. Поэтому точное время периода равно 72 + 365 + 166 = 604 дня. b) При определении приближенного времени опять обращаемся к использованию вспомогательной таблицы Дата Год Месяц День 15 июня 1995 6 15 15 июня 1994 18 15 15 июня 1994 17 45 20 октября 1993 10 20 Разность 1 7 25 Приближенное время периода равно 1 год 7 месяцев и 25 дней или 360 + 210 + 25 = 595 дней. Оформление денежных отношений между партнерами финансовой сделки может производиться при помощи векселей (расписок), которые, по существу, являются письменными обязательствами заплатить определенную сумму денег в установленный срок. Дата, до которой деньги должны быть выплачены, называется датой погашения. Сумма денег, которая должна быть выплачена, называется суммой погашения. Хотя эти две характеристики являются наиболее существенными, обычно в тексте расписки содержится и другая информация, которая может оказаться необходимой. Во всяком случае, текст векселя должен быть составлен таким образом, чтобы на его основании дата и сумма 10 погашения могли бы быть однозначно определены. Например, предположим, что некто Иванов занял у Петрова 4000 рб и согласился вернуть долг с 76 рб процентов через 4 месяца. Тогда Иванов мог бы дать Петрову следующий вексель : **************************************************************** 10 октября 1994 г. Через четыре месяца после указанной даты я обязуюсь по требованию Петрова заплатить сумму 4000 рб и простые проценты в размере 5,7% годовых. (Подпись) Иванов **************************************************************** Такой вексель является обязательством Иванова заплатить Петрову 4076 рб 10 февраля 1995 г. Сумма 4000 рб называется лицевой суммой векселя, а 4-месячный период называется сроком векселя. Другой вексель, эквивалентный по смыслу и значению, приведенному выше, выглядит так: **************************************************************** 10 октября 1994 г. Через четыре месяца после указанной даты по требованию Петрова я обязуюсь заплатить сумму 4076 рб без процентов. (Подпись) Иванов ********************************************************** Когда срок векселя дан в месяцах, он обычно погашается в тот же самый день соответствующего месяца. Исключение составляет случай, когда дата погашения попадает на число месяца, которое не существует (например, 31 июня или 30 февраля). Тогда датой погашения считается последний день месяца. Если же срок векселя дан в днях, обычно рассчитывается точная дата выплаты занятых денег. Например, 80- дневный вексель, датированный 16 ноября, погашался бы 4 февраля. При таких расчетах снова был бы полезен календарь с порядковыми номерами дней года. ПРИМЕР 3 Установить дату погашения 60-дневной расписки, датированной 17 июля 1994 г. РЕШЕНИЕ 17 июля является 198-ым днем года. Добавляя 60 дней, получим 258-ой день года, которым является 15 сентября. Это и есть дата погашения. 11 1.4 ПРОСТОЙ ДИСКОНТ Дисконтом называют уменьшение суммы счета, расчета, долга и т.п. по какой либо причине. В математике финансов дисконтом является величина, вычитаемая из суммы погашения обязательства, когда обязательство принимается до даты его погашения. Сумма, остающаяся после вычитания дисконта из суммы погашения, называется выручкой. Например, предположим, что Иванов получил вексель от Петрова на 10000 рб, которые будут погашены через 5 месяцев. После этого Иванов продает этот вексель Сидорову за 9500. В этом случае дисконт равен 500 рб и выручка равна 9500 рб. Нормой дисконта для данного периода времени называется отношение дисконта за период к сумме погашения. Как и в случае простого процента, эта норма всегда дается в процентах или эквивалентных десятичных дробях и обычно рассчитывается на годовой основе. Пусть S обозначает сумму погашения, d - норма дисконта за 1 год и t - продолжительность периода времени в годах. Если дисконт вычисляется по формуле D = Sdt, (4) он называется простым дисконтом или, банковским дисконтом. Если P обозначает выручку, тогда P = S - D . (5) Для простого или банковского дисконта равенства (4) и (5) играют ту же самую роль, какую играют равенства (1) и (2) для простого процента. Если из (4) и (5) исключить D , получается выражение для выручки через величины S , d и t P = S (1 - dt). (6) Когда инвестор (в нашем примере Сидоров) покупает вексель до его даты погашения, он, по существу, ссужает деньги продавцу. То есть Сидоров практически ссудил Иванову 9500 рб на 5 месяцев и владеет векселем Петрова как ценной бумагой. В день погашения Сидоров получит от Петрова 10000 рб, так что Сидоров получит 500 рб прибыли за 12 инвестицию 9500 рб на 5 месяцев. Понятно, что 500 рб могут рассматриваться как простой процент за инвестированные 9500 рб. Таким образом, в день погашения дисконт на S становится процентом на P. Или по-другому, S - P может рассматриваться или как дисконт на S или как процент на P. Ясно, что норма дисконта и норма процента не будут одинаковыми. В рассмотренном примере норма дисконта равна (из D = Sdt) d = D/(St) = 500/(10000 × (5/12)) = 0,12 , в то время как норма процента равна (из I = Prt) r = I/(Pt) = 500/(9500 × (5/12)) = 12/95. Соотношение между нормой процента и нормой дисконта легко получается приравниванием правых частей равенств (1) и (4) и делением на t. Это дает Pr = Sd. (7) Ошибки в задачах, касающихся дисконта, обычно появляются из-за перепутывания норм r и d. Равенство (7) ясно показывает, что они не одинаковы и не являются взаимозаменяемыми. Когда вексель покупается до даты его погашения, цена P, которую инвестор будет платить, обычно определяется одним из двух следующих способов : a) Инвестор может установить, что используется данная норма дисконта d . В этом случае S, t и d известны и для нахождения P используется уравнение простого дисконта, P = S(1 - dt). b) Инвестор может установить норму процента r , которую он хотел бы реализовать за свою инвестицию. В этом случае S, t и r являются известными, так что для нахождения P должно быть использовано уравнение простого процента. Поэтому P = S/(1 + rt). Когда выручка от продажи векселя найдена одним из описанных способов, говорят, что вексель дисконтирован. Если используется способ a) , дисконт называется банковским дисконтом или дисконтом по норме дисконта . Если используется способ b) , дисконт называется дисконтом по норме процента или иногда истинным дисконтом. 13 Когда человек занимает деньги и дает свой вексель, по существу, он продает свой вексель на время до даты погашения. В примере предыдущего параграфа Иванов фактически продал Петрову за 4000 рб расписку о том, что через 4 месяца он выкупит ее за 4076 рб. 4000 рб являются выручкой. 76 рб можно рассматривать как дисконт от суммы погашения 4076 рб. 4 месяца спустя, когда Иванов возместит 4076 рб, 76 рб будут процентом для Петрова за его инвестицию 4000 рб на 4 месяца. Многие банки используют норму дисконта при выдаче любых ссуд. Однако при этом часто используется термин процент авансом в том же самом смысле, что и банковский дисконт. Например, Сидоров попросил ссуду 120000 рб на 60 дней в банке, который использует 7% - ную норму процента авансом. В банке вычисляют величину процента авансом по формуле D = Sdt , где S = 120000 , d = 0,07 и t = 1/6 , получая значение 1400 рб, и выдают Сидорову 118600 рб, являющиеся выручкой от ссуды. Понятно, что вексель Сидорова о возмещении 120000 рб через два месяца дисконтируется по способу a). Таким образом, термин процент авансом является синонимом банковского дисконта, а норма процента авансом является банковской терминологией нормы дисконта. ПРИМЕР 1 16 ноября 1994 Иванов продал сберегательному банку следующий вексель **************************************************************** 9 февраля 1994 Через год после указанной даты я обязуюсь выплатить по требованию Иванова 150000 рб и простой процент 6% годовых. Подпись Петров **************************************************************** Если сберегательный банк использует 7% - ную норму процента авансом, a) какой будет выручка, b) какую норму процента реализует банк при такой инвестиции ? РЕШЕНИЕ a) Вексель погашается 9 февраля 1995 г. за 159000 рб. С 16 ноября 1994 г. по 9 февраля 1995 г. пройдет 85 дней, так что S = 159000, t = 85/360 = 17/72, d = 0,07. D = Sdt = 159000 × 0,07 × (17/72) = 2627,92 рб, P = S - D = 159000 - 2627,92 = 156372,08 рб. 14 b) P = 156372,08, t = 17/72 и I = 2627,92. Из равенства (1) I = Prt имеем r = I/Pt = 2627,92/(156372,08 × (17/72)) = 0,0712. ПРИМЕР 2 Вексель на 10175 рб, погашаемый через 90 дней, продан банку, который установил 7%-ную норму простого процента при дисконтировании. Какой будет выручка ? РЕШЕНИЕ Здесь S = 10175 рб, t = 90/360 = 1/4 и r = 0,07 . По формуле (3) S = P(1 + rt) получаем P = S/(1 + rt) = 10175/(1 + (0,07 × (1/4)) = 10000 рб. ПРИМЕР 3 Иванов намеревается получить ссуду в сберегательном банке на 120 дней. Если банк начисляет 7% процента авансом, какую сумму должен просить Иванов, чтобы получить на руки 100000 рб ? РЕШЕНИЕ Нам нужно определить S , имея следующие данные P = 100000 рб, t = 120/360 = 1/3 и d = 0,07. Из формулы (6) имеем P = S(1 - dt), что дает S = P/(1 - dt) = 100000/(1 - (0,07 × (1/4))) = 101781,17. Простой дисконт, так же как простой процент, обычно используется только для краткосрочных периодов, как правило, не превышающих года. Чаще применяется норма дисконта d , хотя большое расхождение терминологии в различных текстах и финансовых учреждениях затрудняет временами понять, какая норма упоминается норма процента r или норма дисконта d . В последующем тексте процент авансом означает банковский дисконт и его не следует путать с процентом, который всегда рассчитывается на P и выплачивается в конце сделки. УПРАЖНЕНИЯ 1.2 1. S = 170000 рб, d = 5%, период - два месяца. Найти D и P. 2. S = 250000 рб, d = 7%, период от 15 мая до 26 июля. Найти D и P. 3. P = 250000 рб, d = 7%, период от 15 мая до 26 июля. Найти D и S. 4. Вексель с суммой погашения 100000 рб продан при норме дисконта 3,5% за 75 дней до даты погашения. Найти дисконт и выручку. 5. Найти выручку в условиях предыдущей задачи, если вместо нормы дисконта дана норма процента 3,5%. 15 6. Вексель с суммой погашения 60000 рб 15 августа продан за 590000 рб 16 июня. Какая норма дисконта была использована ? Какую норму процента реализовал покупатель в результате сделки ? 7. При получении товара торговец подписал вексель, обязуясь заплатить 240 млн рб через 60 дней. Найти выручку, если поставщик продает вексель банку, который использует 6,5%-ную норму дисконта. Какую прибыль получит поставщик, если товар стоит 190 млн рб ? 8. Инвестор ссудил 34 млн рб и получил вексель с обязательством заплатить эту сумму плюс 7% простых процентов через 90 дней. Вексель был немедленно продан банку, который начисляет 6% банковского дисконта. Сколько заплатил банк за вексель ? Какова прибыль инвестора ? Какую норму процента реализует банк при погашении векселя? 9. Банк заплатил 44000 рб за вексель с суммой погашения 45000 рб через 4 месяца. Какова норма дисконта ? Какова норма процента ? 10.В векселе содержится обязательство выплатить 600000 рб и обыкновенный простой процент при норме 5,5% через 60 дней. Он был дисконтирован при 6% банковского дисконта за 20 дней до погашения. Найти сумму погашения векселя и выручку от продажи. 11. 1 апреля 1994 г. Через 150 дней после указанной даты я обязуюсь заплатить Иванову 275000 рб и обыкновенный простой процент при 6% годовых. Подпись Петров Найти сумму погашения и дату погашения. Если расписка продана 31 мая 1994 г. при 5% банковского дисконта, найти выручку. 12. 1 июня 1994 г. Я Иванов обязуюсь выплатить Петрову ровно 10000 рб через 60 дней после указанной выше даты. Иванов 1 июня, когда Иванов подписал вексель, он получил 9500 рб. Какую процентную ставку обыкновенного простого процента установил Петров? Какая норма банковского дисконта дала бы такой же результат? 13.Просьба ссудить 50000 рб на 4 месяца поступила в банк, который начисляет 8% процента авансом. Определить дисконт. Чему равна выручка ссуды ? 14.Для того чтобы получить выручку 80000 рб, сколько нужно попросить в банке для 8-месячной ссуды, если банк начисляет 7% - ный банковский дисконт ? 16 |