_Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve. Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие
 Скачать 5.79 Mb.
|
|
Глава 6 АМОРТИЗАЦИЯ И ПОГАСИТЕЛЬНЫЕ ФОНДЫ 6.1 АМОРТИЗАЦИЯ ДОЛГА Первоначально слово амортизация означало ликвидацию долга любыми способами. В современном использовании термин амортизация означает погашение долга, основной суммы и процентов, путем последовательности обычно одинаковых платежей. Таким образом, каждый платеж содержит уплату процентов, накопившихся за неоплаченную основную сумму в течение предшествующего временного периода, а также возмещение части неоплаченной основной суммы. Поскольку платежи обычно являются равными, они образуют аннуитет. ПРИМЕР 1 Долг 100 млн рб необходимо амортизировать равными платежами в конце каждого года в течение 5 лет. Если процент за неоплаченную основную сумму начисляется по 5% эффективно, найти сумму каждого платежа. Составить расписание, показывающее, какая часть основной суммы возмещена, и какая часть основной суммы остается неоплаченной на конец года. РЕШЕНИЕ Сначала найдем, какими должны быть платежи. Так как пять платежей образуют обыкновенный аннуитет с настоящей стоимостью 100 млн рб ( первоначальная задолженность ), мы имеем 100 = R а 5 5% или R = 100 / а 5 5% = 23097,5 тыс рб. Теперь составим расписание, показывающее процесс амортизации долга. Так как исходная сумма долга 100 млн рб использовалась заемщиком в течение первого года, процент, полагающийся в конце этого года равен 100 × 0,05 млн рб = 5 млн рб. Так как платеж составляет 23,0975 млн рб, 18,0975 млн рб из этих денег возмещает основную сумму. Поэтому задолженность в конце года сводится к 100 - 18,0975 = 81,9025 млн рб 77 и эта сумма является неоплаченной частью основной суммы в течение второго года. В конце второго года полагаются проценты с суммы 81,9025 млн рб, то есть 81,9025 × 0,05 млн рб = 4,0951 млн рб . Платеж остается прежним 23,0975 млн рб, что дает возможность свести задолженность по основной сумме к 81,9025 - (23,0975 - 4,0951) = 62,9001 млн рб . Такая вычислительная процедура повторяется для последующих трех лет, в течение которых долг должен быть полностью ликвидирован. Нижеследующая таблица дает полное представление о процессе погашения долга Конец Процент Годовой Возмещенная Неоплаченная года 5% в год платеж сумма сумма 0 100000000 1 5000000 23097500 18097500 81902500 2 4095100 23097500 19002400 62900100 3 3145000 23097500 19952500 42947600 4 2147400 23097500 20950100 21997500 5 1099900 23097400 21997500 0 Всего 15487400 115487400 100000000 Итог в конце таблицы желателен для целей проверки. Полная сумма столбца «Возмещенная сумма» должна совпадать с первоначальной задолженностью. Точно также, сумма столбца «Годовые платежи» должна совпадать с суммарным процентом плюс сумма столбца «Возмещенная сумма» . Другой тип задачи амортизации появляется, когда размер платежей задан и нужно найти сколько платежей нужно сделать и каким должен быть последний платеж. Рассмотрим эту задачу на примере. ПРИМЕР 2 Долг 100 млн рб при норме процента j 2 = 6% будет амортизирован платежами по 20 млн рб в конце каждых 6 месяцев пока не 78 будет возмещен. Составить расписание амортизации, показывающее процесс полного погашения долга. РЕШЕНИЕ Процент, полагающийся в конце первых 6 месяцев, равен 100 × 0,03 = 3 млн рб. Платеж 20 млн рб, сделанный в это время, выплатит процент и уменьшит неоплаченную часть основной суммы долга на 17 млн рб. Таким образом, первый платеж уменьшит долг до 83 млн рб. Далее процедура вычисления повторяется и результаты сводятся в таблицу Конец Процент Выплата Возмещаемая Неоплаченная периода (3%) за период сумма сумма 0 100,000 1 3,000 20,000 17,000 83,000 2 2,490 20,000 17,510 65,490 3 1,965 20,000 18,035 47,455 4 1,424 20,000 18,576 28,879 5 0,866 20,000 19,134 9,745 6 0,292 10,037 9,745 0 Всего 10,037 110,037 100,000 ------------------------------------------------------------------------------------------------ Как видим заключительный платеж составляет только 10,037 млн рб, так как эта сумма полностью ликвидирует долг. Рассмотренные примеры показывают, что задачи, касающиеся амортизации, по существу, являются задачами об аннуитетах с известной настоящей стоимостью, а расписание амортизации является просто записью, которая показывает распределение по времени выплат процентов и возмещений основной суммы долга. 6.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОПЛАЧЕННОЙ СУММЫ ДОЛГА Когда погашается долг, неоплаченная сумма долга после любого заданного числа платежей может найдена путем составления расписания амортизации. Когда число платежей велико, составление полного расписания становится утомительным и желательно иметь способы его ускорения. Как мы увидим, для этих целей можно использовать соответствующее уравнение стоимостей. 79 Неоплаченная сумма долга на любую дату представляет собой невозмещенный баланс долга. Точно так же на любую дату настоящая стоимость платежей, которые еще не сделаны, представляет собой невозмещенный баланс долга. Таким образом, мы получаем следующее соотношение эквивалентности : неоплаченная сумма долга на любую заданную дату эквивалентна сумме платежей, которые должны быть сделаны. ПРИМЕР 1 Долг 100 млн рб будет амортизироваться платежами в конце каждого квартала в течение 12,5 лет. Если деньги стоят 3,5 % , m = 4, найти неоплаченную часть долга в конце седьмого года. РЕШЕНИЕ Способ 1. Сначала определим необходимые амортизационные платежи. Платежи образуют обыкновенный аннуитет с текущей стоимостью 100 млн рб, поэтому 100 = R а 50 7 8% / значит R = 100 / а 50 7 8% / = 2,4779 . Так как неоплаченная часть долга в конце 7-го года эквивалентна платежам, которые должны быть сделаны, мы представим на временной диаграмме только платежи последних пяти с половиной лет. 28 29 30 31 ... 49 50 R R R ... R R P Равенство стоимостей дает P = R а 22 7 8% / = 2,4779 × 19,93310 = 49,3923 млн рб. Способ 2. Другой способ определения неоплаченной части долга основан на использовании временной диаграммы платежей первых семи лет 0 1 2 3 ... 27 28 R R R ... R R+P 100 млн 80 Заметим, что на временной диаграмме в конце седьмого года помещено P, обозначающее остающиеся платежи. Теперь мы составим уравнение стоимостей на конец 7-го года в качестве даты сравнения. Это даст P + R s 50 7 8% / = 100 × (1,00875) 28 Разрешая его относительно P , мы получим P = 100(1,000875) 28 - 2,4779 s 50 7 8% / = 49,3923 млн рб . При определении неуплаченной части долга мы использовали два подхода. В первом использовалась заключительная часть временной диаграммы и платежи, еще не сделанные. Такой способ иногда называют методом перспективы, так как он использует будущие операции по выплате долга. Во втором способе используется начальная часть временной диаграммы и платежи, которые уже сделаны. Так как этот способ использует уже выполненные операции по выплате долга, его иногда называют ретроспективным методом. Когда все платежи одинаковые, обычно проще использовать первый метод, так как неоплаченная часть долга в любой момент времени совпадает с настоящей стоимостью аннуитета, состоящего из платежей, которые еще предстоит сделать. Таким образом, сразу после k-го платежа неоплаченная часть долга равна P = R a n k i - . (1) Однако когда заключительный платеж отличается от регулярных, обычно проще использовать второй способ, поскольку сразу после k-го платежа неоплаченная часть долга равна P = A(1 + i) k - R s k i . (2a) Используя тождество (1 + i) k = 1 + i s n k i - , мы можем переписать предыдущее равенство в более простом виде P = A - (R - Ai) s k i . (2b) 81 ( При вычислении по этой формуле, к тому же, достаточно пользоваться одной таблицей. ) Эта формула показывает также , что выплаченная сумма долга равна ( R - Ai) s k i ПРИМЕР 2 Долг 300 млн рб и проценты при j 12 = 6% амортизируются платежами по 5 млн рб в конце каждого месяца до полного погашения долга. Найти неоплаченную часть долга в конце третьего года. РЕШЕНИЕ Так как число платежей и величина заключительного платежа неизвестны, проще использовать ретроспективный метод. Пусть P обозначает неоплаченную часть долга в конце третьего года. Тогда P эквивалентно всем платежам, сделанным после трех лет, и может быть использовано для обозначения всех этих платежей на временной диаграмме 0 1 2 3 ... 35 36 5 5 5 ... 5 5+P 300 Записывая уравнение эквивалентности с использованием конца 36-го периода в качестве даты сравнения, получим P + 5 s 36 0 5% , = 300 × (1,005) 36 Производя вычисления, получим P = 162,324 млн рб. Метод амортизации часто используется при ликвидации долга, возникающего из-за покупки собственности. При этом неоплаченная часть долга часто упоминается как доля покупателя. Выплаченная часть долга вместе с наличным платежом, если он был, называется долей покупателя. Таким образом мы получаем соотношение Доля покупателя + Доля продавца = Стоимость собственности (3) Слова «стоимость собственности» относится к первоначальной продажной цене, которая может быть или не быть ее настоящей рыночной стоимостью. ПРИМЕР 3 Дом стоимостью 100 млн рб продается за 30 млн рб наличными и серию платежей ежемесячными взносами в течение 15 82 лет. Если норма процента равна j 12 = 6% , найти доли продавца и покупателя в стоимости дома в конце шестого года после сделки. РЕШЕНИЕ Так как амортизируется 70 млн рб 70 = R а 180 1 2% / или R = 70 / а 180 1 2% / = 0,5907 , которые ежемесячно выплачиваются. Неоплаченная часть стоимости дома в конце 6 лет может быть найдена или методом перспективы или ретроспективным методом, но метод перспектив в этом случае будет проще. Представим выплаты за последние 9 лет на временной диаграмме 72 73 74 75 ... 179 180 R R R ... R R P Приравнивание стоимостей дает P = R а 180 1 2% / = 0,5907 × 83,29342446 = 49,2014 млн рб, которые являются неоплаченной частью стоимости дома, или долей продавца в конце 6 лет. Так как первоначальная цена дома была 100 млн рб, доля покупателя равна 100 - 49,2014 = 50,7986 млн рб. ПРИМЕР 4 Петров купил участок земли стоимостью 100 млн рб, заплатив 40 млн рб наличными и остальное ежемесячными взносами по 0,5 млн рб до полной выплаты стоимости участка. Если норма процента равна 5% эффективных, найти долю Петрова в конце десятого года. РЕШЕНИЕ Так как число платежей неизвестно, удобней использовать ретроспективный метод. Платежи по 0&5 млн рб образуют общий аннуитет, поэтому мы сначала найдем эквивалентный годовой аннуитет. Таким образом, мы имеем R = W/ s m p i = 0,5 / s 1 2 5 % = = 0,5 × 12,27257753 = 6,136289 млн рб, 83 как годовые платежи, эквивалентные ежемесячным по 0,5 млн рб. Представим платежи для первых 10 лет на диаграмме 0 1 2 3 4 ... 9 10 R R R R ... R R 60 млн На диаграмме R является годовым платежом и P является неоплаченной частью стоимости участка в конце 10 лет и заменяет все последующие платежи. Выписывая уравнение эквивалентности на дату сравнения в конце 10 лет, получим P + R s 1 0 5 % = 60 × (1,05) 10 , откуда P = 60 × 1,62889463 - 6,136289 × 12,57789254 = 20,5521 Тогда доля Петрова Доля покупателя = 100 - 20,5521 = 79,4479 млн рб . 6.3 ПОКУПКА В РАССРОЧКУ При покупке товара в рассрочку покупатель, по существу, реализует амортизацию долга, вызванного приобретением товара. Очевидно, что платежи рассрочки эквивалентны цене товара при некоторой норме процента. Однако, принимаемая норма процента редко когда обеспечивает эквивалентность обоих возможностей (оплата наличными или путем рассрочки). В самом деле, способ, при помощи которого определяются платежи, обычно неявно использует норму процента. Имеется два традиционно используемых способа определения платежей так, чтобы норма процента не проявлялась. Один из них называется план завышения, другой - план текущей платы. При использовании плана завышения торговец устанавливает цену товара для продажи в рассрочку и делает скидку с этой установленной цены, если товар покупается за наличные деньги. Например, набор мебели продается за 300 млн рб наличных денег. Торговец устанавливает цену 84 360 млн рб, допуская продажу за 120 млн рб наличными и выплату остатка ( 240 млн рб ) взносами по 20 млн рб в месяц в течение года. Если покупатель желает купить за наличные, ему дается скидка 16 2/3 % от установленной цены. Таким образом, ему делается скидка 60 млн рб и он заплатит за мебель 300 млн рб. Следует заметить, что завышение равно 60/300 = 20 % от цены продажи за наличные, в то время как скидка равна 60/360 = 16 2/3 % от установленной цены. Когда используется план текущей платы, дается цена товара за наличные. Платежи взносов определяются следующим образом : обычно требуется умеренная оплата наличными, после вычета которой текущая выплата добавляется к неоплаченному остатку для получения той суммы, которую необходимо выплатить взносами рассрочки. Текущая плата обычно берется как определенный процент от неоплаченного остатка. Сумма, полученная добавлением текущей цены к неоплаченному остатку, делится на определенное число взносов обычно равной величины. При использовании одного из этих планов подлинная норма процента определяется через уравнение эквивалентности, устанавливающее, что цена продажи за наличные равна взносу наличными плюс текущая стоимость аннуитета, который образуют платежи рассрочки. То есть Наличная цена = Наличный взнос + R а п i Это уравнение разрешается относительно а п i и норма процента определятся путем решения соответствующего нелинейного уравнения или приближенно линейной интерполяцией с использованием таблиц. ПРИМЕР 1 Найти норму процента j 12 выплачиваемого покупателем, который использует описанный выше план рассрочки. РЕШЕНИЕ Представим на временной диаграмме данные, характеризующие две рассмотренные возможности 0 1 2 3 ... 11 12 120 20 20 20 ... 20 20 300 85 Пусть i будет месячной нормой процента, которая обеспечивает эквивалентность этих двух возможностей. Уравнение эквивалентности с днем продажи в качестве даты сравнения дает 300 = 120 + 20 а i 1 2 и а i 1 2 = 9,00 . Решение уравнения такого типа ранее уже рассматривалось, поэтому мы приведем лишь результат j 12 = 56,79 % . ПРИМЕР 2 Товары стоимостью 54 млн рб наличными покупаются по плану текущей платы: требуется наличный взнос 14 млн рб, после выплаты которого к стоимости добавляется 20% неоплаченного остатка и эта сумма делится на 12 равных ежемесячных взносов. Какую номинальную норму процента при m = 12 предусматривает план рассрочки? РЕШЕНИЕ После выплаты наличного взноса 14 млн рб остается неоплаченными 40 млн рб. Добавка текущей платы равна 20% от 40 млн рб или 8 млн рб. Таким образом, 48 млн рб должны быть выплачены взносами рассрочки, так что каждый ежемесячный платеж равен 4 млн рб. Две возможности приобретения товара на временной диаграмме изображаются следующим образом 0 1 2 3 4 ... 11 12 14 4 4 4 4 ... 4 4 54 Пусть i будет месячной нормой процента, которая делает эти две возможности эквивалентными. Выпишем уравнение эквивалентности с днем продажи в качестве даты сравнения 54 = 14 + 4 а i 1 2 или а i 1 2 = 10,00 . Решение этого уравнения дает результат j 12 = 35,08 % . Существует много вариаций описанных планов рассрочки. Например, по одному из рекламных объявлений товары почтой продаются согласно следующему плану платежей 86 Таблица платежей (К заявке прилагается не менее 10% от стоимости товара) -------------------------------------------------------------------- Неоплаченный Добавление Ежемесячный остаток (тыс рб) к платежу платеж -------------------------------------------------------------------- 400,1 - 450 40 50 450,1 - 500 45 50 500,1 - 550 50 50 550,1 - 600 55 60 600,1 - 650 60 60 -------------------------------------------------------------------- 6.4 ПОГАСИТЕЛЬНЫЕ ФОНДЫ Простейшей формой погасительного фонда является сберегательный фонд, в котором платежи делаются регулярно одинаковыми вкладами. Он создается для накопления определенной суммы денег на определенную дату. Таким образом, он отличается от обычного сберегательного фонда только тем, что он создается для накопления определенной суммы на определенную дату и что в фонд делаются регулярные платежи. Погасительные фонды устанавливаются с определенной датой окончания так, чтобы выплатить долг, который приходится на некоторую дату в будущем; чтобы купить машину для замены старой, когда она износится; или чтобы возместить сумму, инвестированную в рудник, когда его шахта минералов истощилась. Расписание, показывающее как такой фонд накапливал необходимую сумму, рассмотрим на примере. ПРИМЕР Сумма 500 млн рб понадобится через пять лет. Если деньги могут быть инвестированы, чтобы накапливать 5% эффективно, найти сумму денег, которая должна вкладываться в фонд в конце каждого года, чтобы накопить необходимую сумму, и составить расписание, показывающее рост фонда. РЕШЕНИЕ 500 млн рб является итоговой суммой обыкновенного аннуитета с пятью годовыми платежами. Поэтому 87 500 = R s 5 5 % и R = 500 / s 5 5 % = 90,487 млн рб. Теперь сконструируем расписание. В конце первого года делается вклад 90,408 млн рб. В конце второго года делается такой же вклад. В то же самое время, однако, первый вклад накапливает проценты в течение этого года, следовательно, сумма фонда увеличится на 90,487 × 0,05 = 4,524 млн рб. Таким образом, полное увеличение в конце второго года 90,487 + 4,524 = 95,011 млн рб и фонд будет содержать 185,498 млн рб. Эта процедура повторяется и результаты сводятся в таблицу. ---------------------------------------------------------------------- Конец Процент Увеличение Сумма года Вклад фонда фонда фонда ---------------------------------------------------------------------- 1 90,487 0 90,487 90,487 2 90,487 4,524 95,011 185,498 3 90,487 9,275 99,762 285,260 4 90,487 14,263 104,750 390,010 5 90,487 19,501 109,988 499,998 Всего 452,435 47,563 499,998 --------------------------------------------------------------------- Суммирование по столбцам делается только в целях проверки. Точность окончательного результата повысилась бы, если бы вклады делались не с точностью до одной тысячи рублей, а с точностью до одного рубля. Иногда необходимо знать, какая сумма будет в фонде на некоторую определенную дату. Обращаясь к таблице, мы, конечно, найдем ответ, вместе с тем следует упомянут, что этот результат получился бы также как сумма аннуитета, периодические платежи которого совпадают с вкладами погасительного фонда, и сроком которого является желаемая дата. Например, в рассмотренном примере сумма фонда в конце третьего года равна 90,487 s 3 5 % = 285,260 млн рб. 88 6.5 МЕТОД ПОГАСИТЕЛЬНОГО ФОНДА ПОГАШЕНИЯ ДОЛГА Метод амортизации при погашении долга часто создает проблему для заимодавца денег. Его основная сумма возмещается ему малыми суммами через короткие интервалы. Так как не всегда удобно выгодно инвестировать малые суммы, ему очень хотелось бы иметь некоторые из возмещенных сумм незанятыми в течение некоторого времени до того, как они смогут быть реинвестированы. По этой причине заимодавцы иногда требуют, чтобы вся основная сумма возмещалась целиком в конце срока ссуды. Обычно проценты не накапливаются, а выплачиваются в конце каждого периода начисления. Например, банк может ссудить 100 млн рб на 5 лет с нормой процентов 6% эффективно и требует, чтобы они были возмещены следующим образом % в конце каждого года должны быть выплачены 6 млн рб процентов, а в конце пятого года дополнительно к процентам, полагающимся к этому сроку, должна быть выплачена вся основная сумма 100 млн рб. Когда деньги занимаются только что описанным способом, заемщик обычно готовится к окончательной ликвидации долга, образовывая погасительный фонд. Обычно платежи погасительного фонда делаются в те же самые дни, в какие выплачиваются проценты за занятую сумму долга. Когда делается таким образом, сумма этих двух платежей называется периодическими издержками долга. ПРИМЕР Иванов занимает 100 млн рб при 6% эффективных. Иванов будет выплачивать проценты в конце каждого года и создаст погасительный фонд для возмещения основной суммы. Какие необходимы годовые платежи, если фонд накапливает проценты 4% эффективно ? Какими являются годовые издержки фонда ? Какую сумму будет содержать погасительный фонд в конце шестого года ? РЕШЕНИЕ Так как погасительный фонд через десять лет должен образовать итоговую сумму 100 млн рб при 4% годовых 100 = R s 1 0 4 % и R = 100 / s 1 0 4 % = 8,3291 млн рб. Проценты за долг в конце каждого года будут равны 6% от 100 млн рб, то есть 6 млн рб. Полные годовые издержки долга, следовательно, равны 89 E = 8,3291 + 6 = 14,3291 млн рб. В конце 6-го года фонд будет содержать сумму обыкновенного аннуитета шести платежей, накапливаемых при 4% годовых. S = 8,3291 s 6 4 % = 55,2467 млн рб. 6.6 СРАВНЕНИЕ ПОГАСИТЕЛЬНЫХ ФОНДОВ И АМОРТИЗАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГА Теперь очевидно, что опытный заимодавец денег обычно будет устанавливать немного более низкую норму процента, когда используется метод погасительного фонда для погашения долга, чем он бы установил, если бы долг амортизировался. Также ясно, что заемщик хотел бы использовать план, который бы обеспечивал ему наименьшие издержки. Так как обычно имеется несколько различных возможностей занять деньги, заемщику важно определить, какая из возможностей займа будет наиболее дешевой. Метод определения наиболее подходящей возможности займа состоит просто в вычислении периодических издержек долга при различных вариантах. ПРИМЕР Петров хочет занять 100 млн рб на 10 лет. Национальный банк ссужает деньги за 6% эффективных и позволяет амортизировать долг годовыми платежами. Государственный банк ссужает деньги за 5% эффективных, предусматривая ежегодную выплату только процентов и возмещение основной суммы в конце 10-летнего срока. Если используется вторая возможность, Петров может установить погасительный фонд, который накапливает 3% эффективно. Какой будет экономия в каждом году при выборе наиболее подходящей возможности ? РЕШЕНИЕ Если деньги заняты в Национальном банке, 100 млн рб являются настоящей стоимостью аннуитета из 10 платежей. Если R равно необходимому годовому платежу, то 100 = R а 1 0 6 % и R =100 / а 1 0 6 % = 13,5868 млн рб. Годовые издержки долга для Петрова в этом случае одинаковы и равны 13,5868 млн рб. Если используется Государственный банк, Петров должен платить 5 млн рб процентов ( 5% от 100 млн рб ) и должен также вносить годовой вклад в погасительный фонд с целью погашения 90 основной суммы долга. Для определения вклада в погасительный фонд мы имеем 100 = R s 1 0 3 % и R = 100 / s 1 0 3 % = 8,7231 млн рб. Отсюда, годовые издержки второго плана будут E = 5 + 8,7231 = 13,7231 млн рб. Сравнивая годовые издержки для двух выриантов, мы видим, что Петров сэкономит 13,7231 - 13,5868 = 0,1363 млн рб ежегодно, взяв долг в Национальном банке и амортизируя его. 6.7 АМОРТИЗАЦИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ РАЗЛИЧНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ Для малых ссуд законодательство многих стран предусматривает возможность использования двух или более норм процента в зависимости от размера ссуды. Например, компания может установить 2% в месяц на неоплаченную основную сумму 1 млн рб или меньше, и только 1% в месяц на превышение неоплаченной основной суммы над 1 млн рб. Таким образом, если в этих условиях было занято 2,5 млн рб, две нормы процента использовались бы пока неоплаченный остаток не был сведен до 1 млн рб или меньше, после чего использовалась бы только одна норма процента. Подобным образом можно было бы использовать три или даже более норм процента. Будем использовать следующие обозначения A - первоначальная полная сумма ссуды. A 1 - сумма долга, которая амортизируется первой. A 2 - сумма долга, которая амортизируется второй. i 1 - норма процента, выплачиваемого за A 1 i 2 - норма процента, выплачиваемого за A 2 I 1 = A 1 i 1 , I 2 = A 2 i 2 и I = I 1 + I 2 . n - полное число платежей. n = n 1 + n 2 n 1 - число платежей, требуемых для амортизации A 1 n 2 - число дополнительных платежей, требуемых для амортизации A 2 R - периодические платежи, которые погашают долг. 91 P t - неоплаченная основная сумма сразу же после t-го платежа . Сначала получим формулы для неоплаченной основной суммы для произвольного момента времени t . В течение первой стадии амортизации, для t £ n 1 , платежом R выплачивается процент I 2 за A 2 и амортизируется A 1 ( или немного более, чем A 1 ) при i 1 При ретроспективном методе неоплаченная часть основной суммы будет, следовательно, равна P = A 2 +A 1 (1 + i 1 ) t - ( R - I 2 ) s t i Однако, так как (1 + i) t = 1 + i s t i , предыдущее равенство может быть написано в более простом виде P t = A - (R - I) s t i 1 t = 1, 2, ... , n . После того, как n 1 платежей сделаны, используется только одна норма процента и неоплаченная часть основной суммы по методу перспективы равна P t = R a n t i - 2 t = n 1 , n 1 + 1 , ... Так как обе формулы имеют место при t = n 1 , они могут быть приравнены друг другу при этой дате и равенство может быть разрешено относительно R , что даст R A Is a s n i n i n i = + æ èç ö ø÷ + æ èç ö ø÷ 1 1 2 2 1 1 . (5) Для того, чтобы определить n 1 и n 2 , мы заметим, что так как R должно быть достаточно большим, чтобы выплатить I 2 и амортизировать A 1 при i 1 в n 1 периодах R ³ I 2 + A 1 / a n i 1 1 92 Более того, так как первые n 1 платежей сокращают долг до A 2 или менее, R не будет превышать платежи, необходимые для амортизации A 2 при i 2 в n 2 периодах. Поэтому R £ A 2 / a n i 2 2 = I 2 + A 2 / s n i 2 2 по одному из тождеств для функций составных платежей. Объединяя оба неравенства, получим неравенство А s n i 1 2 2 £ А a n i 2 1 1 (6) в котором n 1 является наименьшим целым числом, которое удовлетворяет неравенству (6). Для того, чтобы избежать процедуры выбора численных значений n 1 и n 2 в неравенстве (6), мы можем сначала оценить их следующим образом : так как а п i £ n £ s п i , неравенство (6) может быть заменено более слабым неравенством A 1 n 2 < A 2 n 1 , которое легко приводит к неравенствам n 1 > nA 1 / A и n 2 < nA 2 / A . (7) На практике, n 1 и n 2 оцениваются из (7), затем определяются точно из (6) , после чего R вычисляется из равенства (5) ПРИМЕР 1 Сберегательный банк установил процентную ставку 3% в месяц на невыплаченную основную сумму 1 млн рб или меньше и 1% в месяц на превышение невыплаченной основной суммы над 1 млн рб. Если 2,5 млн рб заимствованы в этом банке и возмещаются шестью ежемесячными одинаковыми платежами, найти величину платежа и составить расписание амортизации. РЕШЕНИЕ Здесь A 1 = 1,5 , A 2 = 1 , A = 2,5 , i 1 = 1% , i = 3% и n = 6. Сначала мы используем неравенство (7) для оценки n 1 и n 2 n 1 > nA 1 / A = (6 ´ 1,5)/2,5 = 3,6 и n 2 = n - n 1 < 2,4 . 93 Далее мы проверим удовлетворяют ли n 1 = 4 и n 2 = 2 неравенству (6) и поскольку это выполняется, считаем эти значения зафиксированными. Теперь вычисляем R из (5). R A Is a s n i n i n i = + æ èç ö ø÷ + æ èç ö ø÷ = 1 1 2 2 1 1 2 5 0 0 4 5 4 1 % 2 3 % 4 1 % , , + æ èç ö ø÷ + æ èç ö ø÷ = s a s = 0,4491 млн рб . В заключение составляем расписание амортизации Конец периода Процент (3%) Процент (1%) Периодич. платеж Выплаченная осн. сумма Невыплаченная осн. сумма 0 1 2 3 4 5 6 Всего 3,00 3,00 3,00 3,00 2,58 1,31 15,89 1,50 1,10 0,69 0,28 3,57 0,4491 0,4491 0,4491 0,4491 0,4491 0,4491 2,6946 0,4041 0,4081 0,4122 0,4163 0,4233 0,4360 2,5000 2,5000 2,0959 1,6878 1,2756 0,8593 0,4360 0 Для того чтобы сравнить планы погашения долга, использующие несколько различных норм, с планами, использующими только одну норму, или другими планами, удобно определить норму доходности плана. По определению она равна норме процента, которая соответствовала простому аннуитету с теми же самыми платежами, сроком и настоящей стоимостью. Она находится путем решения уравнения A = R а п i относительно i , как это рассматривалось ранее в параграфе 4.9 . ПРИМЕР 2 Найти норму доходности амортизационного плана примера 1 РЕШЕНИЕ Пусть i будет нормой доходности, тогда 2,5 = 0,4491 а i 6 а i 6 = 2,5 / 0,4491 = 5,5667 94 и с помощью интерполяции находим i = 2,185 % в месяц . В планах с несколькими процентными ставками i 1 почти всегда меньше, чем i 2 и это будет предполагаться в будущем. Норма доходности будет всегда принимать значения между используемыми нормами и можно показать, что она больше, чем I/A . Когда план использует три ставки, наши обозначения дополнятся величинами A 3 , i 3 и n 3 , смысл которых очевиден. Как и до сих пор сначала амортизируется A 1 , затем A 2 и A 3 в последнюю очередь. Невыплаченная часть основной суммы в течение первой фазы будет равна P t = A 2 + A 3 + A 1 (1 + i 1 ) t - ( R - I 2 - I 3 ) s t i 1 , что может быть упрощено, как в случае двух ставок, P t = A - ( ) R I s t i - 1 t = 1, 2, ... , n В течение первой фазы обычно амортизируется больше, чем A 1 , так что обычно меньше, чем A P n 1 2 + A 3 . Если мы введем величину A 2 * = - A P n 1 3 , которая выражается явно в виде A 2 * = A 1 + A 2 - ( ) R I s п i - 1 1 , тогда оставшаяся задача ( после n 1 платежей ) является задачей с двумя нормами, рассматривающей A 2 * и A 3 при нормах i 2 и i 3 с n 2 и n 3 платежами. Поэтому неоплаченная часть основной суммы в течение второй фазы может быть представлена в виде P t = A 2 * + A 3 - ( ) R I s t п i - - * 1 2 , где I* = A 2 * i 2 + I 3 для t = n 1 +1 , n 2 +2, ... , n 1 +n 2 В течение заключительной фазы, как и в случае двух норм, P t = R a n t i - 3 t = n 1 +n 2 , ... , n - 1. Так как последние два равенства справедливы для t = n 1 + n 2 , приравнивая их правые части, получим уравнение для определения R . В полученное равенство 95 R a n i 3 3 = A 2 * + A 3 - ( ) R I s п i - * 2 2 мы подставим для A 2 * и I* их явные значения через исходные обозначения. Не выписывая получившееся довольно громоздкое выражение, отметим, что оно может быть упрощено путем использования тождеств для функций составных платежей и позволит выразить R в следующем виде ( ) ( ) R A A i i a Is a i a s n i n i n i n n i n i = + - + + + + - 3 3 2 2 2 2 1 1 3 3 2 2 2 1 1 1 . (8) Для того, чтобы определить n 1 , n 2 и n 3 , план с тремя нормами сравнивается с различными планами с двумя нормами с теми же самыми суммой и сроком. Вот эти планы : 1. Амортизировать ( A 1 + A 2 ) и А 3 при нормах r 1 и i 3 с числом платежей ( n 1 + n 2 ) и n 3 , где r 1 лежит между i 1 и i 2 2. Амортизировать A 1 и ( A 2 + A 3 ) при i 1 и r 2 с числом платежей n 1 и ( n 2 + n 3 ) , где r 2 лежит между i 2 и i 3 Неравенства (6) и (7) применяются к планам с двумя нормами и из (7) просто следует, что n 1 > nA 1 /A и n 3 < nA 3 /A , (9) в то же время использование неравенства (6) дает ( A 1 + A 2 ) s п i 3 3 £ A 3 а п п r 1 2 1 + где i 1 < r 1 < i 2 (10a) A 1 s n п r 2 3 2 + £ (A 2 + A 3 ) а п i 1 1 где i 2 < r 2 < i 3 (10b) Как эти неравенства могут быть использованы для определения n 1 , n 2 и n 3 покажем на примере. ПРИМЕР 3 Банк требует 3% в месяц за неоплаченную часть основной суммы 2 млн рб или меньше, 2% в месяц за превышение 2 млн рб, но не более 3 млн рб, и 1% в месяц за всю сумму выше 3 млн рб. Если в этом банке берется заем 4 млн рб и возмещается месячными платежами в 96 течение года, найти величину платежа и составить расписание амортизации. Найти норму доходности. РЕШЕНИЕ Здесь A 1 = 1, A 2 = 1, A 3 = 2, i 1 = 1% , i 2 = 2%, i 3 = 3%, n = 12 . Использование неравенства (9) дает n 1 > (12 ´ 1)/4 = 3 и n 3 < (12 ´ 2)/4 = 6 Поэтому n 1 равно 4 или более и n 3 равно 5 или менее. Далее, используя неравенства (10a) и (10b) мы получим 2 s п 3 3 % £ 2 а п п r 1 2 1 + где 1% < r 1 < 2% 1 s n п r 2 3 2 + £ 3 а п 1 1 % где 2% < r 2 < 3% Используя таблицы можно проверить, что n 1 + n 2 = 7 является наименьшим целым, которое удовлетворяет первому неравенству для любого значения r 1 между 1% и 2% . Аналогично из второго неравенства мы найдем, что n 1 = 4 . Таким образом, n 1 = 4 , n 2 = 3 , n 3 = 5 . Значение R теперь находится путем использования формулы (8) ( ) R a s a a s = + + + + = - 4 0 02 0 09 1 02 0 3928 3 2% 4 1% 5 3% 3 3 2% 4 1% , , , , Расписание амортизации представляется таблицей Конец периода Процент 3% Процент 2% Процент 1% Платеж Основная сумма выплач. невыплач. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Всего 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,054 0,0438 0,0333 0,0226 0,0115 0,5852 0,02 0,02 0,02 0,02 0,0154 0,0091 0,0026 0,1071 0,01 0,007 0,0039 0,0008 0,0217 0,3928 0,3928 0,3928 0,3928 0,3928 0,3928 0,3928 0,3928 0,3928 0,3928 0,3928 0,3928 4,7136 0,3028 0,3058 0,3089 0,3120 0,3174 0,3237 0,3302 0,3388 0,3490 0,3595 0,3702 0,3813 3,9996 4,0 3,6972 3,3914 3,0825 2,7705 2,4531 2,1294 1,7992 1,4604 1,1114 0,7519 0,3817 0 97 Несовпадение итогового результата с 4,0 объясняется тем, что платежи определялись с точностью до 100 рб. Вычисления с точностью до 1 рб дали бы более точный результат. Для вычисления нормы доходности мы имеем 0,3928 а i 1 2 = 4 , а i 1 2 = 4/0,3928 = 10,1833 и путем интерполяции получим i = 2.62 % в месяц. В большинстве случаев неравенства (10a) и (10b) будут единственным образом определять n 1 , n 2 и n 3 . Однако, возможно, что для получения единственного решения нам необходимо будет более точно знать r 1 и r 2 . Имеется простой способ определения диапазона значений этих норм. Если удовлетворительная аппроксимация R уже имеется, могут быть использованы формулы для неоплаченной части основной суммы, чтобы аппроксимировать n путем использования того факта, что A 1 или более амортизируется в течение первых n 1 периодов, а A 3 или менее амортизируется в течение последних n 3 периодов. Значения n 1 , n 2 и n 3 , полученные таким образом, затем используются для вычисления нового значения R и процедура повторяется. Когда новое R дает те же самые значения для n , которые уже были использованы при вычислении, процесс вычисления завершается. Очевидно, что для выполнения таких расчетов желательно иметь вычислительные средства, а не только таблицы. ПРИМЕР 4 Пусть A 1 = 10 , A 2 = 5 , A 3 = 5 , i 1 = 1% , i 2 = 3% , i 3 = 8% , n = 50. Найти R . РЕШЕНИЕ Из неравенства (9) мы имеем n 1 > nA 1 /A = (50 ´ 10)/20 = 25 n 3 < nA 3 /A = (50 ´ 5)/20 = 12,5 При вычислении R начнем с значений n 1 = 26 , n 2 = 12 и n 3 = 12 , которые выбраны вблизи границ, устанавливаемых неравенством (9) . Мы начинаем с наихудших оценок, чтобы показать несущественность начального выбора. Производя необходимые вычисления, получим R = 0,9311 в качестве первого приближения. Для получения уточненных значений n 1 , n 2 и n 3 мы используем приближенное значение R в 98 формулах неоплаченной части основной суммы. Возмещенная в течение первых n 1 периодов часть основной суммы равна ( ) R I s п i - 1 1 = 0,2811 s п 1 1 % ³ 10 ^ что дает s п 1 1 % ³ 35,5775 и это требует, чтобы n 1 ³ 31. Основная сумма, возмещенная в течение заключительных n 3 периодов равна R a n i 3 3 = 0,9311 a n 3 8 % £ 5 , откуда a n 3 8 % £ 5,3700 и это требует, чтобы n 3 £ 7 . Теперь пересчитываем R , используя значения n 1 = 31, n 2 =12 и n 3 = 7. Новое приближение R равно 0,9243. Значения s п 1 1 % и a n 3 8 % пересчитываются снова с учетом этого уточненного значения R . Это дает s п 1 1 % ³ 36,4564 и a n 3 8 % £ 5,4095 , что требует, чтобы n 1 ³ 32 и n 3 £ 7 . Опять вычисляем R на этот раз при n 1 = 31 , n 2 = 11 и n 3 = 7 . Новое значение R = 0,9243 оказывается таким же, как и на предыдущем этапе вычислений. Поэтому величину R можно считать вычисленной. В заключение заметим, что более удачный выбор исходных значений может уменьшить число итераций для достижения результата. Например, в нашем случае при начальном выборе n 1 = 30 , n 2 = 10 , n 3 = 10 для достижения результата потребовалось бы на одну итерацию меньше. На основе полученных значений параметров процесса амортизации может быть построена таблица амортизационного расписания ( в этом случае она будет громоздкой, так как должна предусматривать 50 периодов начисления процентов ). После того, как некоторое количество платежей уже сделано, может возникнуть вопрос : какой является остаточная стоимость сделки ? Заемщик может ликвидировать долг в любой день путем выплаты неоплаченной части основной суммы плюс, быть может, небольшую сумму в связи с прекращением сделки. Однако, когда амортизационный контракт продается одним инвестором другому, цена может 99 значительно отличаться от той, которая указана в амортизационном расписании как неоплаченная часть основной суммы. Например, предположим, что контракт, рассмотренный нами как амортизация долга в примере 3 , продается сразу же после четвертого платежа. Неоплаченная часть основной суммы в этот момент равна 2,7705 млн рб. Если контракт будет продан точно за эту цену, сделка будет такой же самой, как будто бы покупатель ссужает продавцу 2,7705 млн рб при точно таких же условиях, какие установлены в примере 3 , то есть 3% в месяц на первые 2 млн рб и 2% в месяц на остающиеся 0,7705 млн рб, которые должны быть погашены 8-ми месячными платежами. Можно показать, что норма доходности для восьми месячного контракта была бы 2,85 % в месяц, в то время как для первых 4 месяцев она была равна 2,21 % в месяц. Так как первоначальный собственник, возможно, имел некоторые издержки при получении контракта, он в праве думать, что если он продаст контракт за цену, указанную в расписании как неоплаченная часть основной суммы, покупатель оказался бы в лучшем положении, чем продавец. По этой и другим причинам контракты этого типа обычно продаются по цене, которая будет предусматривать некоторую компенсацию покупателю по определенной норме. ПРИМЕР 5 Какой должна бы быть цена контракта для примера 3 сразу же после четвертого платежа для того, чтобы она могла дать покупателю a) 2% в месяц, b) 1,5 % в месяц ? РЕШЕНИЕ a) Покупатель получает аннуитет из 8 месячных платежей по 0,3928. Для получения 2% в месяц цена должна быть A = R a n i = 0,3928 a 8 2 % = 2,8774 млн рб . b) Для получения 1,5 % в месяц цена должна быть A = 0,3928 a 8 1 5 % , = 2,9415 млн рб . 100 |