_Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve. Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие
 Скачать 5.79 Mb.
|
|
Глава 7 ВЕЧНАЯ РЕНТА 7.1 ОБЫКНОВЕННАЯ ПРОСТАЯ И ОБЩАЯ ВЕЧНЫЕ РЕНТЫ Вечная рента - это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного срока. Имеется много примеров вечных рент: возможно, простейшим будет платежи процентов от любой суммы денег, инвестированной в производство. Конкретизирующие определения, такие как простой, общий, обыкновенный, отсроченный и т.д., при применении к вечным рентам имеют тот же самый смысл, который имели эти термины при описании аннуитетов. Таким образом, обыкновенная простая вечная рента является серией периодических платежей, выплачиваемых в концах последовательных периодов начисления процентов, которая должна продолжаться вечно. Не трудно сразу сообразить, что итоговая сумма вечной ренты не имеет смысла, так как платежи продолжаются неограниченно долго. Однако, настоящая стоимость вечной ренты любого типа является конечной суммой, которая может быть быстро найдена, как только будет известна необходимая информация. Для краткости в дальнейшем изложении мы будем опускать в названии вечной ренты слово вечная, понимая всюду под термином рента вечную ренту. Пусть A будет настоящей стоимостью обыкновенной простой ренты, i будет нормой процента за период, при которой инвестируется A , и пусть R будет платежом ренты. Тогда A должно быть эквивалентна серии платежей R , показанной на временной диаграмме 0 1 2 3 4 5 ... R R R R R ... A Так как A будет порождать платежи процентов Ai в конце каждого периода начисления и будет продолжать это делать с нормой i пока будет оставаться инвестированной, из этого следует, что R = Ai , или A = R / i . (1) 101 Ясно, что если две из трех величин A , R и i известны, третья может быть найдена из (1). Выражение (1) может быть получено также как предельный случай аннуитета, когда n неограниченно возрастает. Для ограниченных n мы имели равенство A = R а п i = R (1 - (1 + i) -п )/i . Для любых положительных i слагаемое (1+i) -п = 1/(1+i) п стремится к нулю, когда n неограниченно возрастает и выражение для текущей стоимости аннуитета сводится к (1) ПРИМЕР 1 Сколько денег потребуется, чтобы установить постоянную премию за лучшую научную работу по 7,5 млн рб в конце каждого года, если инвестированные деньги дают 3% эффективно ? РЕШЕНИЕ Ясно, что платежи будут образовывать обыкновенную простую ренту и мы имеем R = 7,5 и i = 0,03 . Тогда A = R/i = 7,5 / 0,03 = 250 млн рб . Часто, как и в случае с аннуитетами, период платежа отличается от периода начисления процентов. Когда это случается, рента называется общей рентой. Ее анализ, по существу, проводится так же, как и в случае с общими аннуитетами. Общая рента преобразуется в эквивалентную простую ренту по тем же самым формулам, которые использовались в случае аннуитетов. Формула R = W / s m p i , (2) которая была получена в параграфе 5.2 , не зависит от числа рассматриваемых периодов начисления процентов и поэтому так же справедлива для рент как и для аннуитетов. Следовательно, обыкновенная общая рента может быть преобразована в простую ренту с помощью (2), после чего (1) используется для определения текущей стоимости. ПРИМЕР 2 Для оплаты обслуживания железнодорожного переезда требуется 1 млн рб в конце каждого месяца. Какую сумму следует 102 инвестировать железнодорожной компании, чтобы на получаемые проценты поддерживать обслуживание переезда? Деньги стоят 3% эффективно. РЕШЕНИЕ 1 млн рб в конце каждого месяца образуют обыкновенную общую ренту. Железная дорога должна заплатить сумму, равную текущей стоимости этой ренты. Если R обозначает платеж эквивалентной простой ренты, тогда из (2) R = 1 / s 1 1 2 3 % = 1 ´ 12,164119 = 12,164119 млн рб . Из равенства (1) следует, что A = R/i = 12,164119 / 0,03 = 405,4706 млн рб . 7.2 ПОЛАГАЮЩИЕСЯ РЕНТЫ Когда платежи ренты поступают в начале каждого интервала платежа, рента называется полагающейся рентой. Так как эта ситуация может рассматриваться как комбинация немедленного платежа R (или W) и обыкновенной ренты с такими же платежами, ясно, что настоящая стоимость полагающейся ренты просто на R (или W) больше, чем дается формулами предыдущего параграфа. Поэтому настоящая стоимость простой полагающейся ренты вычисляется по формуле A = R + R/i (3) и настоящая стоимость общей полагающейся ренты находится из A = W + R/i = W + W/(i s m p i ) , (4) как это следует из (2) Иногда желательно выразить настоящую стоимость общей полагающейся ренты в несколько другой форме. Для этого из (4) получим выражение Ai = W (i + 1/ s m p i ) = W / а m p i 103 Но из формулы (1) R = Ai . Поэтому общая полагающаяся рента с платежами W может быть заменена эквивалентной простой рентой с платежами R , определяемыми по формуле R = W / а m p i . (5) Настоящая стоимость ренты в таком случае определяется из (1) . Следует иметь ввиду, что значения R , используемые в формулах (2) и (4), не являются одними и теми же. Когда R вычисляется из (2) , первый платеж W не используется и поэтому A = W + R/i . Однако, когда R вычисляется по (5), первый платеж используется тоже и в терминах этого R мы имеем A = R/i . Уравнение (5) является справедливым для преобразования общих полагающихся аннуитетов в простые аннуитеты и будет рассмотрено в последующем. ПРИМЕР Местные власти и государство совместно содержат деревянный мост. Местные власти платят 50 млн рб каждые три года в качестве своей доли для замены моста. Если новый мост нужен сейчас и деньги стоят 5% эффективно, какую сумму могла бы заплатить местная власть за строительство моста из стали и бетона, если государство согласно заплатить затраты на все будущие замены моста. РЕШЕНИЕ Местные власти могут позволить себе заплатить настоящую стоимость ренты (при норме j 1 = 5% ), образованной трехлетними платежами по 50 млн рб. Она является общей полагающейся рентой^ так как мост нужен сейчас. Величина m/p является отношением периодов начисления процентов к интервалам платежей и равна, следовательно, 3/1; W = 50 , i = 0,05 . a) Если мы рассматриваем полагающуюся ренту как немедленный платеж 50 млн рб, за которым следует обыкновенная рента, тогда R = W / s m p i = 50 / s 3 5 % = 50 ´ 0,31720856 = 15,860428 . Текущая стоимость ренты в этом случае получается из (4) A = W + R/i = 50 + 15,860428/0,05 = 367,2086 млн рб . b) Если мы используем (5) для замены полагающейся ренты на обыкновенную простую ренту, мы получим 104 R = W / а m p i = 50 / а 3 5 % = 50 ´ 0,36720856 = 18,360428 Настоящая стоимость ренты теперь дается равенством (1) A = R/i = 18,360428 / 0,05 = 367,2086 млн рб . 7.3 ДРУГОЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ОБЩЕЙ РЕНТЫ Когда впервые описывались общие аннуитеты, отмечалось, что они могут анализироваться путем замены данной нормы процента на эквивалентную норму, согласованную с частотой платежей, становясь, таким образом, простыми аннуитетами. Однако недостатком такого подхода был тот факт, что новая норма обычно оказывается нетабулируемой и появляются трудности в оценивании функций составных платежей аннуитета. Так как оценивание простой ренты не требует знания функций составных платежей, этот недостаток исчезает. Таким образом, другой способ анализа общих вечных рент является следующим : общая вечная рента преобразовывается в простую вечную ренту заменой данной нормы процента на эквивалентную норму, согласованную с частотой платежей. Проиллюстрируем этот подход на примерах. ПРИМЕР 1 Решить пример 2 параграфа 7.1 путем замены данной годовой нормы на эквивалентную месячную норму. РЕШЕНИЕ Пусть i обозначает месячную норму, эквивалентную 3% годовых. Тогда (1 + i) 12 = 1,03 , 1 + i = (1,03) 1/12 = 1,00246627 . i = 0,00246627 в месяц. Теперь мы имеем обыкновенную простую ренту, состоящую из платежей по 1 млн рб в месяц при месячной норме процента i = 0,00246627. Поэтому (как и раньше) A = R/i = 1/0,00246627 = 405,4706 млн рб. ПРИМЕР 2 Решить пример из параграфа 7.2 путем замены данной годовой нормы на эквивалентную ренту, соответствующую трехлетнему сроку. 105 РЕШЕНИЕ Пусть i будет нормой, соответствующей трехлетнему сроку, которая эквивалентна 5% годовых. Тогда 1 + i = (1,05) 3 = 1,157625 , i = 0,157625 за 3 года. Теперь мы имеем простую полагающуюся ренту, состоящую из платежей по 50 млн рб в начале каждого трехлетнего срока и нормой процента i = 0,157625 за этот срок. Поэтому A = R + R/i = 50 + 50/0,157625 = 367,2086 млн рб. Сравнение двух использованных методов анализа общей ренты показывает, что метод замены нормы процента формально проще. Главным его недостатком является необходимость применения вычислительных средств. 7.4 КАПИТАЛИЗАЦИЯ Слово капитализация имеет несколько значений. В этой главе оно будет обозначать процесс определения настоящей стоимости серии периодических платежей, которые продолжаются неограниченно долго. Таким образом, капитализировать доход (или расход) при данной норме процента означает найти настоящую стоимость вечной ренты, которая будет обеспечивать необходимые платежи. Например, доход 1 млн рб, полагающийся в конце каждого месяца, капитализированный при 3 процентах, m = 12, равен 400 млн рб, так как эта сумма является настоящей стоимостью вечной ренты, которая будет обеспечивать 1 млн рб в конце каждого месяца, если инвестирована при j 12 = 3 процента. В современной экономической теории капитализация является крайне важным инструментом оценивания различных активов и обязательств, одним из наиболее важных применений является определение капитализированной стоимости инвестиций активов, обычно называемой капитализированной стоимостью. Капитализированная стоимость активов определяется как первоначальная стоимость плюс настоящая стоимость неограниченного числа возобновлений. Настоящая стоимость неограниченного числа возобновлений является текущей стоимостью вечной ренты, которая будет обеспечивать необходимые возобновляемые платежи. Отсюда, если C является первоначальной стоимостью и K является капитализированной стоимостью, тогда 106 K = C + A , (6) где A является настоящей стоимостью вечной ренты, необходимой для возобновляемых платежей, и определяется равенством (1) . Если норма процента такова, что рента является простой рентой, R рассматривается как возобновляемая стоимость и мы имеем K = C + R/i . (7) Если однако рента является общей рентой, W принимается в качестве возобновляемой стоимости и R , используемое в (7), вычисляется по формуле (2) ПРИМЕР 1 Промышленная компания первоначально заплатила за сверла 20 млн рб, после чего в конце каждого месяца компания платит по 10 млн рб за возобновление сверл из-за их износа и поломок. Если деньги стоят 4,5 % эффективно, найти капитализированную стоимость сверл. РЕШЕНИЕ Платежи по 1 млн рб в конце каждого месяца образуют общую ренту. Если R является платежом эквивалентной простой вечной ренты, тогда R = 1/ s 1 12 4 5% , = 1 ´ 12,24553306 = 12,245533 млн рб. K = C + R/i = 2 + 12,245533 / 0,045 = 274,122950 млн рб. Если первоначальная стоимость C является той же самой, что и стоимость замены, вычисление можно немного упростить путем рассмотрения первоначальной стоимости, как первого платежа полагающейся вечной ренты. Следующий пример иллюстрирует эту возможность. ПРИМЕР 2 Найти капитализированную стоимость машины, которая стоит 50 млн рб и подлежит замене по той же самой стоимости в конце каждого десятилетнего периода. Деньги стоят 4% эффективно. РЕШЕНИЕ Представим платежи на временной диаграмме 0 10 20 30 40 ... 50 50 50 50 50 ... K 107 Эта общая полагающаяся рента с платежами по 50 млн рб может быть заменена простой рентой с платежами R , где R = W/ а m p i = 50/ а 10 4% = 50 ´ 0,12329094 = 6,164547 . Тогда, поскольку K является настоящей стоимостью этой ренты K = R/i = 6,164547 / 0,04 = 154,11367 млн рб . В теории капитализации часто встречается термин периодическая инвестиционная стоимость. Периодическая инвестиционная стоимость активов определяется как периодический процент на капитализированную стоимость. Например, если капитализированная стоимость активов при j 4 = 4% равна 100 млн рб, то поквартальная инвестиционная стоимость равна 1 млн рб. Таким образом, если обозначить периодическую инвестиционную стоимость символом H , тогда H = Ki = Ci + R , (8) где K , C , R и i имеют тот же смысл, что и ранее. Периодическая инвестиционная стоимость имеет более простую интерпретацию. Если K является капитализированной стоимостью активов, тогда K будет сохранять стоимость актива неограниченно. С другой стороны , K , инвестированная теперь при норме i , будет давать Ki , как выплаты процентов, неограниченно. Отсюда если K используется для сохранения стоимости с определенного актива, выплаты процентов Ki являются потерянными как доход и логически могут рассматриваться как периодическая инвестиционная стоимость собственно активов. Такое же заключение может быть получено путем анализа формулы H = Ci + R . Слагаемое Ci представляет потери процентов из-за того, что собственник использовал деньги на приобретение активов, а не на инвестирование при норме i . Кроме того, если W является стоимостью замены активов в конце их использования, то R = W / s m p i , помещаемое в сберегательный фонд в конце каждого периода начисления процентов, будет накапливать основную сумму, которая в противном случае была бы потеряна, когда активы достигнут конца своего использования. Таким образом, Ci теряются как процент и выплата R, необходимая для сохранения первоначального капитала нетронутым, содержит реальную 108 периодическую стоимость, обязанную деньгам, инвестированным в актив, а не денежную инвестицию, и поэтому называется периодической инвестиционной стоимостью. ПРИМЕР 3 Какова полугодовая инвестиционная стоимость водяного котла, который первоначально стоит 1 млн рб и который необходимо заменять каждые 10 лет за 0,9 млн рб, если деньги стоят j 2 = 4% ? РЕШЕНИЕ Стоимости замены 0,9 млн рб сначала преобразуем в эквивалентную серию платежей в концах периодов начисления процентов. Из равенства (2) R = W/ s m p i = 0,9 / s 20 2% = 0,037 млн рб . Таким образом, 20 полугодовых платежей по 0,037 млн рб , внесенные в сберегательный фонд, будут приносить сумму 0,9 млн рб в конце 10- летнего периода и вместе со старым котлом позволят купить новый котел или возместить первоначальную основную сумму. Потери процентов каждого периода равны Ci = 1 ´ 0.02 = 0.02 млн рб. Отсюда H = Ci + R = 0,02 + 0,037 = 0,057 млн рб является полугодовой инвестиционной стоимостью собственно котла. 7.5 СРАВНЕНИЕ АКТИВОВ НА ОСНОВЕ ИНВЕСТИЦИОННОЙ СТОИМОСТИ Бизнесмены часто сталкиваются с решением проблемы, связанной с тем, какая из нескольких машин обеспечивает наибольшую экономичность при длительном использовании, или когда заменить старое оборудование новым или следует ли ремонтировать используемую машину или купить новую. Для решения таких проблем нужен какой- нибудь метод сравнения стоимостей различных активов. Все машины постепенно теряют свою стоимость в связи с износом и темп этих потерь не одинаков для различных машин. Поэтому не является адекватным простое сравнение их по первоначальной стоимости. Однако, так как деньги, истраченные на машину, являются инвестицией, мы можем сравнить две различных машины, которые делают одну и ту же работу, путем сравнения их капитализированных стоимостей или их периодических инвестиционных стоимостей. 109 ПРИМЕР 1 Одна машина стоит 10 млн рб и должна заменяться через 10 лет, на что затрачивается 8 млн рб. Другая машина для тех же целей имеет первоначальную стоимость 13 млн рб и должна заменяться через 15 лет работы, что потребует 10 млн рб. Если деньги стоят 5% эффективно, какая машина требует меньше затрат при длительном использовании ? РЕШЕНИЕ Сравнение капитализированных стоимостей. По методу предыдущего параграфа мы найдем, что капитализированные стоимости машин равны соответственно K = 22,7207 млн рб и K = 22,2685 млн рб. Поэтому вторая машина дешевле при длительном использовании. Если мы вычислим годовую инвестиционную стоимость каждой из двух машин, мы получим H = 1,1360 млн рб и H = 1,1134 млн рб. Следовательно, первая машина стоит на 22600 рб больше за год, чем вторая машина. ПРИМЕР 2 Машина, стоящая 200 млн рб, будет использоваться в течение 40 лет после чего может быть продана на металлолом за 10 млн рб. Какую сумму компания может позволить себе заплатить за другую машину для тех же целей, которая бы после использования в течение 25 лет при замене не давала никаких денег при утилизации ? Считать, что деньги стоят 4% эффективно. РЕШЕНИЕ Две машины будут экономически эквивалентны, если их годовые инвестиционные стоимости (или капитализированные стоимости) являются одинаковыми. Для первой машины мы имеем H 1 = Ci + R = 200 ´ 0,04 + 0,19 / s 40 4% = 9,999463 млн рб Пусть C будет первоначальной стоимостью второй машины. Тогда C является также стоимостью замены машины, так как ее утилизация ничего не стоит. Годовая инвестиционная стоимость второй машины равна H 2 = Ci + C/ s 25 4% = C/ а 25 4% . Приравнивание H 1 и H 2 дает C/ а 25 4% = 9,999463 и C = 9,999463 а 25 4% = 156212400 рб. 110 Этот пример может быть решен приравниванием капитализированных стоимостей двух машин. Однако формальная сторона расчетов несколько проще, когда используются периодические инвестиционные стоимости. 7.6 СРАВНЕНИЕ АКТИВОВ НА ОСНОВЕ СТОИМОСТИ ПРОДУКЦИИ При сравнении стоимости двух машин, которые выполняют одну и ту же работу, стоимость управления и эксплуатации так же важна, как и инвестиционная стоимость. Должно быть учтено также число изделий, которые будут произведены каждой машиной в течение временного периода. Так как может быть капитализирована любая последовательность периодических платежей, мы можем капитализировать стоимости эксплуатации и стоимости производства на единицу выпуска, или, что эквивалентно, мы можем найти периодические стоимости эксплуатации и производства на единицу выпуска. Эти капитализированные стоимости или соответствующие периодические стоимости обеспечивают базу для решения о том, которая из машин более экономична для использования. ПРИМЕР Машина, которая стоит 50 млн рб износится через 20 лет и будет утилизирована в это время за 5 млн рб. Ремонт будет стоить в среднем 3 млн рб в год. Расходы по эксплуатации, включая зарплату оператора, будут 4 млн рб в месяц. Другая машина будет производить в два раза больше изделий в год. Она стоит 500 млн рб и должна заменяться через 25 лет при стоимости 450 млн рб. Ремонт для этой машины будет в среднем стоить 2,5 млн рб в год и расходы по эксплуатации будут 5 млн рб в месяц. Если деньги стоят 5% эффективно, сколько будет сэкономлено денег в каждом году приобретением более экономичной машины ? РЕШЕНИЕ Пусть H , R и O будут эквивалентны годовым стоимостям при 5% годовых, соответственно, инвестиционной стоимости, стоимости ремонта и стоимости эксплуатации. Тогда H = 50 ´ 0,05 + 45/ s 20 5% = 2,5 + 1,3609 = 3,8609 млн рб R = 3 млн рб O = 4 / s 1 12 5% = 49,0903 млн рб. Полная стоимость годовой продукции для первой машины равна 111 H + R + O = 55,9512 млн рб . Мы повторим такие же вычисления для второй машины и получим H = 500 ´ 0,05 + 450/ s 25 5% = 34,4286 млн рб , R = 2,5 млн рб , O = 5 / s 1 12 5% = 61,3629 млн рб . Для второй машины H + R + O = 98,2915 млн рб . Так как производительность у второй машины в два раза больше, чем у первой, потребуется две машины первого типа, чтобы заменить одну машину второго типа. Годовая стоимость двух машин первого типа была бы 111,9024 млн рб. Это на 13,6109 млн рб больше, чем годовая стоимость второй машины и, следовательно, является той суммой, которая будет сэкономлена ежегодно каждой машиной второго типа, если она будет куплена. УПРАЖНЕНИЯ 7 1. Найти капитализированную стоимость и полугодовую инвестиционную стоимость машины, которая стоит 100 млн рб первоначально и нуждается в замене через каждые 15 лет по стоимости 80 млн рб , если деньги стоят 4% в год. 2. Сравнить при эффективных 4% капитализированные стоимости следующих двух машин: машина А стоит 50 млн рб и через 20 лет полностью теряет свою стоимость; машина В стоит 75 млн рб и будет стоить 5 млн рб через 25 лет. 3. Некто платит 40 млн рб за новый автомобиль. Если он содержит его в течение 4 лет, его продажная цена становится 10 млн рб. Какой должна быть продажная цена через 3 года, так чтобы продажа в это время была эквивалентна содержанию автомобиля 4 года при j 2 = 5% . 4. Иванов желает красить свой дом. Если использовать покраску класса А, она будет стоить 5 млн рб и продержится 4 года. Если использовать покраску класса В, она будет стоить 4 млн рб и продержится 3 года. Какой вариант будет дешевле, если деньги стоят 3% эффективно ? 112 |