_Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve. Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие

• Название: Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие
• Дата: 21.04.2022
• Размер: 5.79 Mb.
• Имя файла: _Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve.pdf
• Тип: Учебное пособие; #488492
• страница: 5 из 13

Глава 5 ОБЫКНОВЕННЫЕ ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ
5.1 ВВЕДЕНИЕ
Как мы видели, основные задачи финансовой математики связаны с расчетами эквивалентности различных серий финансовых обязательств в связи с тем, что денежные суммы в различное время стоят по-разному. сегодняшние 100 рб эквивалентны 105 рб через год при норме процента 5% годовых. Подобно этому дом, который стоит 120 млн рб при оплате наличными, может быть куплен за 20 млн рб наличными и ежеквартальными платежами по 2154,8 тыс рб в течение 20 лет при норме процента 6% , конвертируемых поквартально. Основным средством решения таких задач финансовой математики является уравнение эквивалентности. Для численного решения задач разработаны формулы и составлены таблицы, позволяющие быстро получать решения в стандартных ситуациях. Когда встречаются нестандартные ситуации рекомендуется пытаться расчленить исходную задачу на стандартные, для решения которых уже можно пользоваться имеющимися таблицами или формулами. Это позволяет составлять достаточно компактные таблицы, позволяющие при отсутствии средств вычислительной техники довольно быстро решать разнообразные задачи. Конечно, когда средства вычислительной техники являются доступными, численное решение таких задач не является сложной проблемой.
Аннуитет был определен как последовательность платежей, обычно равной величины, делаемых через равные промежутки времени. Он был назван простым аннуитетом, если интервал платежа точно совпадает с периодом конверсии; в противном случае он называется общим аннуитетом. Например, предположим, что Иванов вносит вклады по 50 тыс рб на счет в сберегательном банке в конце каждого квартала. Если банк начисляет проценты поквартально, вклады образуют простой аннуитет. Если банк использует другой период конверсии, вклады образуют общий аннуитет.
Внимательный читатель заметит, что общий аннуитет мог бы быть исследован путем замены данной нормы процента на эквивалентную, составляемую с желаемой частотой. Это так, но новая рента может оказаться такой, для которой не составлены таблицы аннуитетов, что не позволит удобным образом решить задачу для заданного аннуитета.
Поэтому возникает задача замены данного общего аннуитета такими
65

эквивалентными обыкновенными простыми аннуитетами, для которых можно было бы эффективно воспользоваться имеющимися таблицами или формулами. Еще раз подчеркнем, что будем рассматривать только общие аннуитеты с платежами в конце интервалов платежа.
5.2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ОБЩИХ АННУИТЕТОВ
В ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ
Введем обозначения :
W - платежи общего аннуитета;
p - количество платежей общего аннуитета в год;
i - норма процента за период конверсии;
m - число периодов начисления процента в год;
R - платежи обыкновенного простого аннуитета, который является эквивалентной заменой общего аннуитета, делаемые m раз в год.
Если аннуитет заменяется другим аннуитетом, то очевидно должны быть выполнены следующие два условия : a) норма процента должна быть той же самой или эквивалентной; b) стоимости обоих аннуитетов должны быть одинаковыми в любой момент времени.
Обыкновенный общий аннуитет с платежами W , делаемыми p раз в год, и нормой процента i за период конверсии с m периодами конверсии в год и обыкновенный простой аннуитет с платежами R , делаемыми m раз в год удобно представить на временных диаграммах :
0 1/p 2/p 3/p ... (p-1)/p 1
W W W ... W W
0 1/m 2/m ... (m-1)/m 1
R R ... R R
Для того, чтобы эти аннуитеты были эквивалентными, определим норму процента i' за интервал платежа общего аннуитета, которая эквивалентна норме i за период начисления процента. Тогда
( см. раздел 2.6 )
(1 + i')
р
= (1 + i)
т
. (1)
66

Если теперь приравнять аннуитеты в конце года, получим
R s
m i
= W s
p i
. (2)
Заменяя функции составных платежей s
m i
и s
p i
их явными выражениями в обеих частях (2), будем иметь
(
)
(
)
R
i
i
W
i
i
m
p
1 1
1
+
-
=
+ ¢ -
¢
1
. (3)
С помощью
(1)
это равенство упрощается к виду
R/i = W/i' . (4)
Разрешая
(1) относительно
i' находим, что
i' = (1 + i)
т/р
- 1 ,
Подставляя это в (4) окончательно получаем
(
)
R W
i
i
m p
=
+
-
1 1
. (5)
Дробь в правой части этого равенства является обратным значением функции s
п i
для дробного параметра n = m/p .
Так что справедливы равенства
R W
s
m p i
=
1
и W
R
. (6)
s
m p i
=
Понятно, что значение дроби
m/p в общем случае может быть любым.
Однако практически встречается один из следующих вариантов : a)
m/p является целым числом : в этом случае для анализа общего аннуитета можно использовать обычные таблицы для целочисленных значений параметра; b)
m/p является дробью вида k/12 , k = 1, 2, 3, 4 или 6 , поскольку такие дроби встречаются довольно часто для них также составлены соответствующие таблицы функций составных платежей.
67

ПРИМЕР 1 Сидоров получает пенсию 5 млн рб в конце каждого года.
Какие ежемесячные выплаты эквивалентны этой сумме, если деньги стоят
j
12
= 6% ?
РЕШЕНИЕ Здесь
W = 5 млн рб, p = 1, i = 1/2 % , m = 12 и нужно определить
R .
0 (1 год) 1 5 млн
0 1 2 ... 11 12
R R ... R R
Использование равенства
(6)
дает
R = 5000 / s
1 2 0 5 %
,
= 405,35 тыс рб .
Таким образом, Сидоров мог бы получать ежемесячно 405350 рб вместо получения 5 млн рб в конце года. Такой результат получился бы, если бы мы воспользовались уравнением эквивалентности с датой сравнения в конце года.
ПРИМЕР 2 Заменить платежи по 500 тыс рб в конце каждого квартала на полугодовые платежи, если норма процента 5% ,
m = 2 .
РЕШЕНИЕ Мы имеем
W = 500000 , p = 4 , i = 2,5 % и m = 2.
0 1 2 3 4 500т 500т 500т 500т
0 1 2
R R
Из уравнения
(6)
получаем
R = 500/ s
1 2 2 5 %
,
= 500 × 2,01242284 = 1006,2 тыс рб .
68

Таким образом, полугодовые платежи 1006,2 тыс рб эквивалентны поквартальным платежам 500 тыс рб при норме процента
j
2
= 5 % .
5.3 ИТОГОВАЯ СУММА И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ
ОБЫКНОВЕННОГО ОБЩЕГО АННУИТЕТА
Идея определения итоговой суммы и настоящей стоимости обыкновенного общего аннуитета остается прежней : преобразовать обыкновенный общий аннуитет в эквивалентный ему обыкновенный простой аннуитет и затем определить требуемую характеристику известными методами для простых аннуитетов. Проблемой, таким образом, является лишь преобразование общего аннуитета в простой. Как только это сделано, анализ простого аннуитета происходит стандартными способами. Никаких дополнительных трудностей не возникает и в случае отсроченных общих аннуитетов. Они преобразовываются в простые тем же самым образом. Покажем это на примерах.
ПРИМЕР 1 Иванов вносит в банк по 1 млн рб в конце каждого квартала при норме процента
j
1
= 4% . Какая сумма будет у него в банке через пять лет ?
РЕШЕНИЕ Составим сравнительную временную диаграмму, на основе которой будет легко сделать преобразование общего аннуитета в простой.
W = 1 млн, p = 4 , m = 1 , i = 4% .
0 1 2 3 4 1 1 1 1 0 ( 1 год ) 1
R
Из уравнения
(6)
имеем
R = 1000000 / s
1 4 4 %
= 1000000 × 4,059510 = 4059510 рб .
Аннуитет продолжается в течение пяти периодов начисления, поэтому
S = R s
5 4 %
= 4059510 × 5,41632256 = 21987615 рб.
69

ПРИМЕР 2 Найти настоящую стоимость серии полугодовых платежей по 5 млн рб в течение 8 лет, первый платеж в конце пятого года, если норма процента
j
4
= 5% .
РЕШЕНИЕ Снова изображаем исходные данные на сравнительной временной диаграмме продолжительностью 1 год.
W = 5 млн, p = 2 ,
m = 4 , i = 1,25 % .
0 1 2 5 5 0 1 2 3 4
R R R R
Опять используем уравнение
(6) и получаем равенство
R = 5000000/ s
2 1 2 5 %
,
= 5000000 × 0,49689441 = 2484472 рб, которое определяет квартальные платежи, эквивалентные полугодовым выплатам по 5 млн рб. Срок аннуитета равен 8 лет ( 32 периода конверсии ) и отсрочен на 4,5 года ( 18 периодов конверсии ).
Используя ранее разработанную технику расчетов находим настоящую стоимость
A
A = 2484472 ( а
5 0 1 2 5 %
,
- а
1 8 1 2 5 %
,
) =
= 2484472 ( 37,01287574 - 16,02954893 ) = 52132488 рб.
Заметим, что после получения эквивалентного простого аннуитета, единицей времени становится период начисления процентов.
5.4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АННУИТЕТОВ В ОБЩИЕ
Иногда появляется необходимость перевода обыкновенных простых аннуитетов в обыкновенные общие аннуитеты. Преобразование можно сделать достаточно просто с помощью второго равенства
(6)
и таблиц функций составных платежей. Такая задача появляется, когда требуется
70

найти платежи общего аннуитета. Идея нахождения общего аннуитета состоит в определении простого аннуитета, который мог бы быть использован для выполнения намеченных целей, а затем преобразования этого простого аннуитета в эквивалентный общий аннуитет.
ПРИМЕР Дом, оцененный в 120 млн рб, продается за 20 млн рб наличными и последовательность одинаковых полугодовых платежей в течение следующих 20 лет. Какими должны быть платежи при норме процентов a)
j
1
= 4,5 % , b)
j
4
= 4.5 % ?
РЕШЕНИЕ a) Сначала решим задачу о простом аннуитете : какие понадобятся ежегодные платежи ? В этом случае в качестве ежегодных платежей простого аннуитета должны быть
R = 100 млн / а
2 0 4 5 %
,
= 100 × 0,07687614 = 7687614 рб.
Теперь преобразуем простой аннуитет в требуемый общий аннуитет.
Мы имеем
R = 7687614 , m = 1, p =2 , i = 4,5 % .
0 ( 1 год ) 1
R
0 1 2
W W
Из второго уравнения
(6)
получаем эквивалентные полугодовые платежи
W
W = R s
0 5 4 5 %
,
,
= 7687614 × 0,49449811 = 3801511 рб. b) Как и в предыдущем случае, сначала находим платежи простого аннуитета, выплачиваемые поквартально,
R = 100 млн / а
8 0 1 1 2 5 %
,
= 100 × 0,01902323 = 1902323 рб.
Теперь преобразуем этот простой аннуитет, выплачиваемый поквартально, в общий аннуитет с полугодовыми платежами
71

0 1 2 3 4
R R R R
0 1 2
W W
Из второго уравнения
(6) получаем эквивалентные полугодовые платежи общего аннуитета
W = R s
2 1 1 2 5 %
,
= 1902323 × 2,0112500 = 3826047 рб .
5.5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ОБЩЕГО
АННУИТЕТА
Простейший способ определения нормы процента для общего аннуитета состоит в определении нормы процента для простого аннуитета на интервал платежа, а затем преобразовании этой нормы в эквивалентную норму на требуемый период начисления процентов.
При этом в отсутствии вычислительных средств снова можно для получения приближенного решения воспользоваться методом линейной интерполяции и таблицами функций составных платежей.
ПРИМЕР Обыкновенный аннуитет на 750 тыс рб поквартально на 7 лет может быть куплен за 15750 тыс рб. Какая номинальная норма, конвертируемая ежемесячно, использована для реализации инвестиции покупателя ?
РЕШЕНИЕ Сначала решим задачу простого аннуитета : какой должна быть поквартальная норма
i начисления процентов ?
Для этой вспомогательной задачи используем равенство
750 а
i
2 8
= 15750 или а
i
2 8
= (1 - (1 +
i)
-28
)/
i = 21.
Если под рукой нет вычислительных средств для численного решения этого уравнения, воспользуемся интерполяцией при помощи таблиц.
Составим следующую вспомогательную табличку (для рассматриваемого
72

примера анализ основывается на первых трех строчках этой вспомогательной таблицы )
i
2 %
i
2,25 %
j
12 0,0795
j
12 0,0893
а
i
2 8 21,2813 21,0000 20,6078
j
2 0,0808
j
2 0,0910
Пропорция линейной интерполяции для
i имеет вид
i
-
-
=
-
-
=
0 02 0 0225 0 02 21 0000 21 2813 20 6078 21 2813 0 2813 0 6735
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, что дает
i = 0,02104 или i = 2,1 % . Однако нам нужно определить не i , а
j
12
, которая должна быть связана с
i соотношением эквивалентности
( 1 +
j
12
/ 12 )
12
= ( 1 +
i )
4
Разрешая его относительно
j
12
получим
j
12
= 12 ((1 +
i )
1/3
- 1) .
Вычисление по этой формуле дает
j
12
= 0,0835764 . Если возведение в дробную степень вызывает затруднение, можно далее воспользоваться приведенной выше вспомогательной табличкой, составляя новую пропорцию линейной интерполяции
j
12 0 0795 0 0893 0 0795 21 0000 21 2813 20 6078 21 2813 0 2813 0 6735
-
-
=
-
-
=
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, что дает
j
12
= 0,0835932 или 8,36 % . Как видим, точность интерполяции в этом примере равна 0,0000168 .
ПРИМЕР 2 Решить предыдущий пример, если норма процента конвертируется по полугодиям.
РЕШЕНИЕ Процесс решения точно такой же, как и в предыдущем случае, только вместо
j
12
необходимо использовать
j
2
, так что соотношение эквивалентности принимает вид
73

(1 +
j
2
/2)
2
= (1 +
i)
4
или
j
2
= 2 ((1 +
i)
2
- 1) .
Поскольку норма процента
i остается прежней, получим
j
2
= 0,0850452 . Можно использовать линейную интерполяцию и в этом случае. Для этого дополним вспомогательную табличку предыдущего примера четвертой строчкой, дающей сведения о
j
2
. Соответствующая пропорция имеет вид
j
2 0 0808 0 0910 0 0808 21 0000 21 2813 20 6078 21 2813 0 2813 0 6735
-
-
=
-
-
=
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, что приводит к результату
j
2
= 0,0850602 . Точность линейной интерполяции в данном случае равна 0,0000150 .
5.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ОБЩЕГО АННУИТЕТА
Для определения срока общего аннуитета следует так же как и ранее сначала преобразовать его в эквивалентный простой аннуитет и затем уже рассмотренными способами определить срок полученного простого аннуитета. Обычно для завершения аннуитета заключительные платежи устанавливаются несколько меньшими, чем регулярные. Техника определения заключительных платежей ранее была рассмотрена, поэтому здесь мы остановимся только на определении количества платежей аннуитета, показав это на примере.
ПРИМЕР Сколько ежемесячных платежей по 500 тыс рб каждый потребуется для ликвидации долга 10 млн рб , если норма процента равна 6% ,
m = 2 и первая выплата делается через месяц после займа ?
РЕШЕНИЕ Данный аннуитет эквивалентен обыкновенному простому аннуитету с полугодовыми платежами
R , связанными с платежами общего аннуитета
W = 500 тыс рб соотношением
R = W
1 1 6 3%
s
= 500000 × 6,07456894 = 3037284 рб .
Срок аннуитета определяется из свойств функции составного платежа
а
п i
, которая удовлетворяет равенству
3,037284 а
п 3 %
= 10 которое приводит к нелинейному уравнению относительно
n
74

а
п 3 %
= (1 - (1 + 0,03)
-п
) / 0,03 = 3,2924 .
Откуда
(1,03)
п
= 1,1095971 или
n =
(
)
( )
log ,
log ,
11095971 1 03
= 3,518 .
Здесь
n является числом полугодовых периодов, этому соответствует n = 21,1098 месяцев . Если удобнее не вычислять логарифмы, а воспользоваться таблицами, составим вспомогательную табличку для построения интерполяционного решения. Она примет вид
Месяцев 24
?
18
Полугодий
4
?
3
а
п 3 %
3,7171 3,2924 2,8286
Пропорция линейной интерполяции для
n в месяцах
п
-
-
=
-
-
=
18 24 18 3 2924 2 8286 3 7171 2 8286 0 4638 0 8885
,
,
,
,
,
,
дает
n = 21,1320 , то есть точность определения срока при помощи линейной интерполяции в данном случае равна 0,0222 месяцев.
УПРАЖНЕНИЯ 5
1. Найти ежемесячный аннуитет, эквивалентный аннуитету 2 млн рб в квартал. Процентная ставка
j
12
= 5% .
2. Найти ежемесячный аннуитет, эквивалентный полугодовым выплатам
50 млн рб при процентной ставке
j
12
= 4% .
3. Аннуитет по 1,5 млн рб в квартал заменяется ежегодными платежами.
Насколько большими будут они при процентной ставке 6% за год ?
4. Преобразовать общий аннуитет с полугодовыми платежами по 10 млн рб в простой аннуитет а) если деньги стоят
j
1
= 6% , б) если деньги стоят
j
4
= 6% .
5. Преобразовать общий аннуитет с ежеквартальными платежами по 5 млн рб в простой аннуитет а) если деньги стоят
j
12
= 5% , б) если деньги стоят 5% в год.
6. Найти простой аннуитет при
j
4
= 4% , эквивалентный платежам 15 млн рб каждые 5 лет.
75

7. Иванов вносит 25 тыс рб в конце каждого месяца в фонд, возмещающий с процентной ставкой
j
2
= 3% . Какая сумма будет на счету у Иванова через 5 лет ,
8. Дом может быть куплен за 20 млн рб наличными и по 0,7 млн рб ежемесячно в течение 20 лет. Какой является стоимость дома наличными, если процентная ставка равна 5% в год ?
9. Иванов имеет 10 млн рб в сберегательном банке, который выплачивает проценты по ставке
j
12
= 3% . Если он продолжит вкладывать по 1 млн рб в конце каждого квартала, какую сумму он будет иметь на счете через 5 лет ?
10. По контракту будут делаться платежи по 250 тыс рб в конце каждых 6 месяцев в течении 10 лет и еще один платеж 10 млн рб в конце срока.
Какова настоящая стоимость контракта, если деньги стоят 4% в год ?
11. Заменить аннуитет по 10 млн рб в год на эквивалентный общий аннуитет, выплачиваемый а) поквартально, б) помесячно, в) через каждые полгода, если процентная ставка равна 6% годовых.
12. Цена автомобиля равна 27,5 млн рб наличными. Покупателю дается кредит на эту покупку за 9,5 млн рб. Расчет должен быть произведен за
30 месяцев равными ежемесячными взносами. Какими будут эти платежи, если процентная ставка равна 5% годовых ?
13. Сумма 500 млн рб инвестируется сегодня для того, чтобы обеспечить человеку ежегодные поступления в течение 20 лет, первый платеж должен быть получен через 15 лет, начиная от сегодняшнего дня. Найти величину годовых поступлений, если процентная ставка равна
j
4
= 3%.
14. Долг 100 млн рб выплачивается посредством 48 равных ежемесячных взносов, первый делается через 25 месяцев от сегодняшнего дня.
Какими будут платежи, если процентная ставка равна
j
2
= 5% .
15. Сумма аннуитета, выплачивающего по 10 млн рб через каждые полгода, в конце 35 лет равна 2000 млн рб. Найти процентную ставку
j
12 16. Машина стоимостью 100 млн рб приобретается выплатой 10 млн рб наличными и десятью полугодовыми платежами по 10 млн рб. Найти процентную ставку
j
2 17. Найти годовую ставку при которой серия ежеквартальных депозитов по 2 млн рб даст итоговую сумму 90 млн рб через 8 лет.
18. Итоговая сумма пятнадцатимесячного аннуитета равна 10 млн рб. Если процентная ставка равна
j
2
= 5% , найти число полных платежей.
19. Сколько ежемесячных платежей по 1 млн рб необходимо, чтобы выплатить долг 40 млн рб, если процентная ставка равна 5% годовых ?
20. Настоящая стоимость аннуитета, выплачивающего поквартально 2,5 млн рб, равна 25 млн рб. Если процентная ставка равна
j
12
= 3% , найти количество полных платежей.
76

Если процентная ставка
j
12
= 8% , какими должны быть ежемесячные платежи?
5. Некто будет выплачивать долг 60 млн рб с процентной ставкой
j
4
= 6% равными ежеквартальными платежами в течении 8 лет. Какими будут эти платежи?
6. Известно, что оборудование нужно заменять через 15 лет после установки, стоимость замены 150 млн рб. Какую сумму нужно инвестировать компании в конце каждого года для того, чтобы заменить оборудование, если инвестиции приносят проценты 4% годовых ?
7. Цветной телевизор стоит 7,5 млн рб и покупается за 1,5 млн рб наличными и одинаковые ежемесячные взносы в течение 2,5 лет. Если процентная ставка равна
j
12
= 5% , какими будут платежи ?
8. По страховому договору выплачивается пособие 100 млн рб наличными или ежеквартальный аннуитет сроком 10 лет , эквивалентный этой сумме при
j
4
= 4% . Найти ежеквартальные платежи аннуитета.
9. Некто занимает 100 млн рб под проценты
j
2
= 5% и начинает выплачивать долг полугодовыми взносами по 5 млн рб. После 10 платежей он желает изменить размер платежей, чтобы ликвидировать долг пятнадцатью взносами. Какими должны быть новые платежи ?
10. Сумма аннуитета по 10 млн рб в год равна 150 млн рб. Процентная ставка равна 4% годовых. Найти число полных платежей и величину заключительного частичного платежа, если он необходим.
11. Настоящая стоимость аннуитета 1 млн рб в квартал равна 5 млн рб.
Если процентная ставка равна
j
4
= 4% , найти число полных платежей и заключительный частичный платеж.
12. Усадьба стоимостью 250 млн рб покупается за 20 млн рб наличными и ежеквартальные платежи по 5 млн рб так долго, сколько необходимо.
Если процентная ставка равна
j
4
= 4,5% , найти количество полных платежей и заключительный частичный платеж.
13. Ежемесячный журнал стоит 2,5 тыс рб в розничной продаже.
Двухлетняя подписка, однако, стоит всего 20 тыс рб. Если за подписку журнала нужно платить на месяц раньше поступления первого номера, с какой процентной ставкой
j
12
«работают» подписные 20 тыс рб.
14. Иванов занял 100 млн рб у Петрова и подписал контракт, обещая выплачивать по 6 млн рб процентов в конце каждого года в течение 10 лет, срока выплаты основной суммы долга. Петров сразу же продал этот контракт в банк, который выплачивает 4% годовых за его инвестиции.
Сколько выплатил банк за контракт и какова прибыль Петрова ?
64