_Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve. Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие

• Название: Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие
• Дата: 21.04.2022
• Размер: 5.79 Mb.
• Имя файла: _Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve.pdf
• Тип: Учебное пособие; #488492
• страница: 8 из 13

Глава 8 ОБЛИГАЦИИ
8.1 ВВЕДЕНИЕ
Когда большой корпорации необходимо занять очень большую сумму денег, такую как 500 млрд рб, обычно невозможно найти какую-то одну финансовую компанию или даже небольшую группу финансовых компаний, которые смогли бы ссудить целиком необходимую сумму денег. Поэтому деньги должны быть получены от большого числа инвесторов как крупных, так и мелких. Для удобства обращения с большим числом инвесторов корпорация печатает заранее большое количество контрактов (ценных бумаг), в каждом из которых указана сумма займа, дата возмещения займа, норма процента, по которой будет возмещаться заем, и даты, когда эти процентные платежи будут делаться. В каждом контракте также устанавливается, где платежи могут быть собраны, и какие гарантии компания предлагает, чтобы заем был возмещен. Такой контракт называется облигацией.
Так как облигации выпускаются для займа денег, используются многочисленные средства для привлечения инвесторов. Большинство облигаций выпускаются на предъявителя и могут передаваться от одного владельца другому по желанию. Преимуществом такой облигации является то, что она может быть продана владельцем в любой момент времени, когда он пожелает. Другие облигации являются именными и могут быть переданы только при соответствующем подтверждении и согласии выпустившей облигацию корпорации. Таким образом, владелец является защищенным от потерь или обмана. Для удобства получения процентов к большинству облигаций прилагаются датированные
купоны, которые можно обменять на наличные деньги в любом банке в указанную на купоне дату или позже. По некоторым именным облигациям выплата процентов владельцу делается по почте.
Введем некоторую терминологию, относящуюся к облигациям. Сумма денег, указанная в облигации, называется лицевой стоимостью или
номиналом. Она равна обычно от 5 до 50 млн рб. Дата возмещения займа называется датой выкупа. Сумма возмещения займа на дату выкупа называется ценой выкупа. Цена выкупа всегда близка к лицевой стоимости, в этом случае говорят, что облигация является выкупаемой
по номинальной стоимости. Некоторые облигации содержат условие, которое позволяет выпустившей ее корпорации выкупать облигации, то
113

есть выплатить заем, раньше даты выкупа. Такие облигации называются
отзываемыми. Например, облигация может быть выкуплена через 15 лет и отозвана в любое время после 10 лет. В большинстве отзываемых облигаций указывается, что если они отзываются до даты выкупа, они будут выкупаться с премией, то есть за более высокую цену, чем их лицевая стоимость. Например, облигация, выкупаемая за номинальную стоимость через 15 лет, может быть отозвана за 105 % от ее лицевой стоимости после 10 лет.
8.2 ИНВЕСТИЦИОННАЯ НОРМА
Теперь следует уяснить, что облигация является контрактом, который может быть передан от одного лица другому. Следует также уяснить, что владелец облигации, решивший ее продать, будет, естественно, продавать ее покупателю, предложившему наиболее высокую цену.
Следовательно, облигация очень редко продается за цену, в точности равную лицевой стоимости. На самом деле, когда облигации впервые предлагаются инвесторам, только в редких случаях выпускающая их корпорация получает лицевую стоимость облигаций. В связи с этим фактом появляются различные задачи, связанные с облигациями. В качестве иллюстрации предположим, что облигация на 10 млн рб будет выкупаться через 10 лет и в среднем 0,5 млн рб процентных платежей будет выплачиваться в конце каждого года. Ясно, что лицо, покупающее эту облигацию за 10 млн рб, инвестирует свои деньги за проценты в размере 5% эффективно. Предположим однако, что эта облигация не может быть куплена за цену меньшую 11,5 млн рб. Тогда полученные процентные платежи будут частично возмещать потери 1,5 млн рб, возникающие при выкупе облигации. Таким образом, естественно возникает вопрос : насколько хорошей инвестицией является эта облигация, если она покупается за 11,5 млн рб ? Предположим также, что инвестор хочет инвестировать деньги, получая 3% эффективно. Какую сумму он может позволить себе предложить за облигацию, упомянутую выше ?
Приведенная иллюстрация достаточно ясно показывает, что при продаже облигации за цену, отличающуюся от лицевой стоимости, покупатель инвестирует свои деньги при норме процента, отличающейся от указанной в облигации. По этой причине имеются две нормы процентов, связанные с облигациями: a) норма, по которой выплачиваются проценты на лицевую стоимость облигации, называемая
нормой облигации; b) норма процента, реализованная покупателем, называемая нормой инветиции или нормой доходности.
114

8.3 ПОКУПНАЯ ЦЕНА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ НОРМЫ
ИНВЕСТИЦИИ
Первой задачей, касающейся облигаций, является определение суммы, которую следует заплатить инвестору за облигацию, чтобы его инвестиция обеспечивала проценты с заданной инвестиционной нормой. Пусть
F - лицевая стоимость, или номинальная стоимость облигации,
C - цена выкупа облигации,
n - количество периодов начисления процентов до даты выкупа,
r - норма процента за период, с которой выплачиваются проценты на лицевую стоимость облигации,
R = Fr - сумма процентов облигации, выплачиваемая за облигацию в дни выплаты процентов,
i - инвестиционная норма, или норма доходности, за период начисления процентов,
P - покупная цена, при которой облигация будет давать i .
Для простоты будем пока предполагать, что норма процента облигации и инвестиционная норма имеют одинаковый период начисления процентов.
Когда покупается облигация, покупатель получает письменный контракт, который предусматривает два вида платежей: a) периодические платежи процентов, которые образуют аннуитет; b) выкупная цена, полагающаяся в дату выкупа. На временной диаграмме показаны эти предусмотренные платежи
0 1 2 3 ... n-1 n
R R R ... R R+C
Инвестору, который хочет получать за свою инвестицию проценты с нормой i , следует заплатить сумму, эквивалентную (с нормой i ) этим платежам. Таким образом, P является настоящей стоимостью упомянутой выше серии платежей при норме i . Поэтому
P = R
a
n i
+ C (1 + i)
-п
. (1)
ПРИМЕР 1 Облигация на 10 млн рб, по которой выплачивается процент с нормой 5%, m = 2 , будет выкупаться за 10,5 млн рб через 15 лет. За сколько следует ее продавать, чтобы инвестору гарантировалась норма
4%, m = 2 ?
115

РЕШЕНИЕ Процентные платежи облигации будут равны
R = Fr = 10
´ 0,025 = 0,25 млн рб .
Поэтому облигация будет обеспечивать следующую серию платежей
0 1 2 3 ... 29 30 25 25 25 ... 25 25 + 10,5
Покупная цена является текущей стоимостью этой серии платежей при норме 2% . Поэтому
P = 0,25
a
3 0 2 %
+ 10,5
´ (1,02)
-30
=
= 5,59911 + 5,79674 = 11,3959 млн рб .
Таким образом, тот, кто платит за эту облигацию 11,3959 млн рб, инвестирует деньги с нормой 4% , m = 2 .
ПРИМЕР 2 Облигация на 10 млн рб, по которой выплачивается 6% каждые полгода, может быть отозвана за 110% ее лицевой стоимости 1 марта 1995. Если она не отозвана в этот день, она будет выкуплена по номинальной стоимости 1 марта 2005. Найти покупную цену на 1 марта
1970, которая гарантировала бы проценты с нормой 7% , m =2.
РЕШЕНИЕ Если облигация отзывается в данный день отзыва, она обеспечит серию платежей, показанную на диаграмме
0 1 2 3 ... 49 50 0,3 0,3 0,3 ... 0,3 0,3 + 11
Поэтому покупная цена должна рассчитываться так :
P = 0,3
a
5 0 3 5 %
,
+ 11 (1,035)
-50
=
= 7,03669 + 1,96959 = 9,0063 млн рб .
Однако, если облигация не будет отозвана, она обеспечит серию следующих платежей
116

0 1 2 3 ... 69 70 0,3 0,3 0,3 ... 0,3 0,3 + 10
В этом случае покупная цена должна быть такой
P = 0,3
a
7 0 3 5 %
,
+ 10 (1,035)
-70
=
= 7,80012 + 0,89986 = 8,700 млн рб .
Так как покупатель не знает, какая серия платежей реализуется, он должен покупать облигацию за наименьшую из этих двух цен, 8,7 млн рб, чтобы быть уверенным, что на его инвестицию реализуются проценты с нормой 7% , m = 2 .
8.4 АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПОКУПНОЙ ЦЕНЫ
Хотя формула
(1)
несложная, ее применение предполагает использование двух таблиц. Несколько проще формула, которую мы теперь получим. Для этого мы напомним, что P является настоящей стоимостью серии платежей, выплачиваемых на облигацию, при норме
i . Представим эти платежи на временной диаграмме
0 1 2 3 ... n-1 n
R R R ... R R+C
P
С другой стороны, сумма C , инвестированная в момент начала этой серии, при норме i обеспечивает платежи процентов Ci в конце каждого периода начисления в течение n периодов и заключительный платеж C в конце последнего периода. Эти платежи также представим на временной диаграмме
0 1 2 3 ... n-1 n
Ci Ci Ci ... Ci Ci+C
C
Полагая финансовые результаты платежей на приведенных диаграммах одинаковыми, вычтем платежи второй диаграммы из платежей первой диаграммы, что приведет к следующей временной диаграмме
117

0 1 2 3 ... n-1 n
R-Ci R-Ci R-Ci ... R-Ci R-Ci
P-C
Равенство стоимостей теперь дает P-C = (R - Ci) a
n i
или
P = C + (R - Ci) a
n i
. (2)
Эта формула может быть получена также из
(1)
аналитически, если использовать тождество (1 + i)
-п
= 1 - i a
n i
для исключения из
(1)
множителя (1 + i)
-п
Анализ формулы (2) показывает, что если R = Ci , покупная цена облигации совпадает с выкупной ценой; если R больше, чем Ci , покупная цена больше выкупной цены; если же R меньше, чем Ci , то
R - Ci является отрицательной и покупная цена меньше выкупной цены.
ПРИМЕР 1 Решить пример 2
предшествующего параграфа с использованием формулы
(2)
РЕШЕНИЕ Если облигация отзывается в заданную дату отзыва, C = 11,
R = Fr = 10
´ 0,03 = 0,3 , Ci = 11 ´ 0,35 = 0,385 , n = 50 . Формула (2) тогда дает
P = 11 + (0,3 - 0,385) a
5 0 3 5 %
,
= 11 - 1,9937 = 9,0063
Если облигация не отзывается, то C = 10 , Ci = 0,35 , R = 0,3 , n = 70 .
В этом случае
P = 10 + (0,3 - 0,35) a
7 0 3 5 %
,
= 10 - 1,3 = 8,70 млн рб ,
Мы получили такие же значения P , как и в случае использования равенства
(1).
Конечно, несущественно, которая из формул используется для определения покупной цены облигации. Формула
(1) кажется более естественной и ее легче запомнить, однако формула
(2)
проще в
118

вычислительном отношении, так как предполагает использование только таблицы для функции a
n i
В рассмотренных примерах мы столкнулись только со случаем, когда по облигации выплачиваются проценты с такой же частотой, с какой они начисляются, то есть платежи образуют обыкновенный простой аннуитет. Очевидно, что это имеет место не всегда. Когда период начисления процентов отличается от периода их выплаты так, что процентные платежи облигации образуют общий аннуитет, тогда общий аннуитет преобразуется в эквивалентный ему обыкновенный простой аннуитет при помощи ранее рассмотренных методов и применение формул
(1) или
(2) позволяет определить покупную цену облигации.
Рассмотрим эту процедуру на примере.
ПРИМЕР 2 Облигация на 10 млн рб, по которой выплачивается процент с нормой 5% , m =2 , будет выкупаться за 10,5 млн рб через 15 лет. Найти покупную цену, эквивалентную инвестиции денег с нормой a) 4% , m = 1, b) 4% , m = 4.
РЕШЕНИЕ a) Процентные платежи за облигацию по 250 тыс рб образуют общий аннуитет с W = 250 , p = 2 , i = 0,04 , m = 1. Использование формулы (6) параграфа 5.2
дает
R = 250/ s
1 2 4 %
= 250
´ 2,0198039 = 504,951 тыс рб как эквивалентный ежегодный платеж аннуитета. Покупная цена теперь находится путем использования формулы
(1) или
(2)
. Применяя, например, формулу
(1),
получим
P = 0,504951 a
1 5 4 %
+ 10,5(1,04)
-15
= 11,4445 млн рб. b) Процентные платежи по облигации теперь образуют общий аннуитет с W = 0,25 , p =2 , i =0,01 , m = 4. Повторяя процедуру вычислений, как в случае a), имеем
R = 0,25/ s
2 1 %
= 0,25
´ 0,49751244 = 0,124378 млн рб как платежи эквивалентного поквартального аннуитета. Теперь, используя для вычисления покупной цены формулу
(2)
, мы получим
119

P = 10,5 + (0,124378 - 0,105) a
6 0 1 %
= 11,3711 млн рб.
Когда облигация продается в день выплаты процентов по облигации, выплачиваемый процент считается собственностью продавца, так что покупатель покупает только будущие выплаты по облигации. Поэтому платежи процентов по облигации, которые получит покупатель, всегда образуют обыкновенный аннуитет (простой или общий) и можно использовать методы, применявшиеся ранее. Случай приобретения облигации между датами выплаты процентов по облигации будет рассмотрен позже.
8.5 ОЦЕНИВАНИЕ ОБЛИГАЦИЙ МЕЖДУ ДАТАМИ НАЧИСЛЕНИЯ
ПРОЦЕНТОВ
Формулы для покупной цены
(1) и
(2)
были получены для облигаций, покупаемых в день начисления процентов, когда продавец удерживает процентные платежи этого дня, а покупатель получает контракт, содержащий все будущие платежи за облигацию. Очевидно, облигации могут продаваться и покупаются в произвольные дни. Следовательно, нам необходим способ определения стоимости облигации между датами начисления процентов по облигации.
Как мы видели, реальная стоимость облигации зависит от нормы процентов, которая приносит доход, и от того покупается ли она в день начисления процентов или нет. Предположим, что облигация покупается между датами начисления процентов по ней с целью получения инвестором процентов с нормой i . Пусть P
0
представляет покупную цену облигации на предшествующую дату начисления процентов, обеспечивающую норму процента i ; пусть f будет дробной частью периода начисления процентов, которая истекла с момента предшествующей даты начисления; пусть также P будет стоимостью облигации на день продажи. Тогда P
0
и P являются стоимостями одного и того же контракта на различные даты и поэтому являются эквивалентными. Поэтому уравнение эквивалентности нам дает формулу
P = P
0
(1 + i)
f
(3) для точной стоимости облигации на дату продажи.
120

Ранее мы говорили, что когда рассматривается дробная часть периода начисления, для аппроксимации точного результата может применяться приближенная формула, основанная на использовании простого процента вместо сложного. Тогда
P = P
0
(1 + if) (4) дает приближенную стоимость облигации P .
На практике обычно используют (4) и мы будем следовать этому обычаю, если не будет оговорено противное. Обычно принято также вычислять временной множитель f приближенным способом, то есть в предположении, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней каждый.
ПРИМЕР 1 Найти покупную цену на 16 июня 1990 г. для облигации с лицевой стоимостью 10 млн рб, выкупаемую по номинальной стоимости
1 октября 2015 г., и предусматривающую проценты с нормой 6% , m = 2.
РЕШЕНИЕ Предшествующая дата начисления процентов по облигации 1 апреля 1990 г. Число периодов начисления от этой даты до даты выкупа равно 51. Поэтому стоимость облигации на 1 апреля 1990 г. равна
P
0
= 10 + (0,35 - 0,30) a
5 1 3 %
= 10 + 1,2976 = 11,2976 млн рб
Считая по 30 дней в каждом месяце, определяем срок от 1 апреля по 16 июня равным 75 дней, так что f = 75/180 = 5/12 . Формула (4) тогда дает
P = 11,2976 (1 + 0,03 (5/12)) = 11,2976 × 1,0125 = 11,4388 млн рб
Если бы мы применяли формулу
(3)
для вычисления точной стоимости, мы бы получили
P = 11,2976 (1,03)
5/12
= 11,2976 × 1,01239 = 11,4376 млн рб
Разница этих двух результатов равна 1200 рб ( 0,0105 % ).
Другой способ получения приближенного значения P следующий.
Пусть P
0
имеет то же самое значение, что и ранее, и пусть P
1
будет покупной ценой облигации на предстоящую дату начисления процентов.
В день предстоящего начисления процента будет произведена выплата
121

процентов R , после чего стоимость облигации станет равной P
1
Следовательно, ее стоимость непосредственно перед выплатой процентов равна R + P
1
. Если мы предположим, что изменение стоимости от
P
0
до R+P
1
происходит равномерно в течение периода начисления процентов, то стоимость облигации в промежуточную дату периода может быть найдена линейным интерполированием между этими значениями.
ПРИМЕР 2 Решить пример 1
с помощью интерполяции.
РЕШЕНИЕ Как и ранее P
0
= 11,2976 млн рб. Вычислим P
1
P
1
= 10 + (0,35 - 0,30) a
5 0 3 %
= 11,2865 млн рб.
Поэтому стоимость облигации непосредственно перед выплатой процентов по облигации равна 11,2865 + 0,35 = 11,6365 млн рб.
Интерполяция стоимости между 11,2976 и 11,6365 дает
P = 11,2976 + (5/12)(11,6365 - 11,2976) = 11,4388 млн рб. что совпадает с результатом примера 1
Так как метод этого параграфа предполагает, что норма доходности облигации известна, этот метод может быть представлен как метод определения цены, которую инвестору следовало бы предложить за данную облигацию для того, чтобы она обеспечила ему установленную норму процента.
8.6 РАСПИСАНИЯ ОБЛИГАЦИЙ
Когда облигация покупается за сумму P , большую ее выкупной цены
C , разность P - C называется превышением, то есть превышением покупной цены над ценой выкупа. До тех пор пока процентные платежи облигации используются для амортизации превышения, происходит потеря капитала на дату выкупа. В качестве иллюстрации предположим, что инвестор покупает облигацию с лицевой стоимостью 10 млн рб, за которую выплачиваются проценты с нормой 5% , m = 2 , и она выкупается в конце трехлетнего периода за 10,5 млн рб, принося доход
4% , m = 2. По любой из формул
(1)
или
(2)
покупная цена определяется величиной 10,7241 млн рб. В конце каждых шести месяцев инвестор будет получать 0,25 млн рб процентных платежей облигации. Однако,
122

он в действительности не получает 0,25 млн рб каждые шесть месяцев, так как в конце трехлетнего периода он получит только 10,5 млн рб первоначальной суммы 10,7241 млн рб, инвестированной в облигацию.
Это превышение 0,2241 млн рб должно быть сэкономлено из процентных платежей облигации для того, чтобы возместить полностью всю основную сумму, инвестированную в облигацию. Поэтому важно, чтобы был принят какой-то систематический план, посредством которого определенная часть каждого процентного платежа облигации использовалась для амортизации этого превышения.
Хотя существует несколько способов, используемых бухгалтерами для амортизации превышения, наиболее прямой способ основан на том факте, что облигация была куплена для получения инвестиционного дохода с данной нормой процента на деньги, инвестированные в облигацию. В приведенной выше иллюстрации покупная цена была определена так, чтобы облигация давала доход 2% каждые шесть месяцев на деньги, инвестированные в нее. Таким образом, в конце первой половины года процент инвестора должен был быть равным
10,7241 × 0,02 = 0,2145 млн рб.
Так как он в действительности получил 0,25 млн рб, разность 0,0355 млн рб рассматривается как возмещенная часть первоначальной основной суммы. Следовательно, теперь облигация оценивается суммой
10&7241 - 0&0355 = 10&6886 млн рб. Эта книжная ценаявляется той же самой, что и покупная цена облигации за два с половиной года до погашения в расчете на доход по норме 4% , m = 2 , и может быть вычислена независимо по каждой из двух формул расчета покупной цены.
Повторяя вышеописанную процедуру, мы найдем, что процент инвестора в конце второго 6-месячного периода должен быть равным
10,6886 × 0,02 = 0,2138 млн рб .
Таким образом, 0,25 - 0,2138 = 0,0362 млн рб из второго процентного платежа облигации является возмещенной частью основной суммы и новой книжной ценой является 10,6886 - 0,0362 = 10&6524 млн рб.
Такая вычислительная процедура повторяется до погашения облигации.
Конечная книжная цена равна 10,5 млн рб, то есть является ценой выкупа. Эта информация может быть представлена в виде таблицы, которая называется расписанием облигации. Приведем пример расписания облигации для только что рассмотренного случая.
Расписание облигации, купленной с превышением
123

Конец периода
Платежи процентов
Процент инвестора
Амортизация превышения
Книжная цена
0 1
2 3
4 5
6
Всего
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,50 0,2145 0,2138 0,2130 0,2123 0,2116 0,2108 1,2760 0,0355 0,0362 0,0370 0,0384 0,0384 0,0392 0,2240 10,7241 10,6886 10,6524 10,6154 10,5777 10,5393 10,5000
Когда облигация покупается за цену, меньшую, чем ее цена выкупа, разность C - P называется дефицитом. Например, предположим, что облигация в описанной нами иллюстрации была куплена за три года до погашения с целью получения дохода с нормой 6% , m = 2. В этом случае формулы
(1) или
(2)
дают требуемую покупную цену 10,1479 млн рб. Так как облигация будет выкупаться за 10,50 млн рб, дефицит равен
10,50 - 10,1479 = 0,3521 млн рб.
Когда облигация покупается с дефицитом, инвестор выигрывает больше, чем непосредственные процентные платежи облигации, так как облигация выкупается за большую цену, чем первоначальная покупная цена. Хорошая расчетная практика требует, чтобы это увеличение стоимости облигации накапливалось постепенно. Таким образом, необходим какой либо систематический план накопления дефицита.
Имеется несколько способов сделать это. Наиболее прямой из них использует тот факт, что облигация должна обеспечивать заданную норму процентов на сумму денег, инвестированную в облигацию. Для иллюстрации этого метода мы сконструируем расписание облигации для облигации, использованной в предыдущей иллюстрации, но купленной по цене, обеспечивающей норму 6% , m = 2. В этом случае покупная цена была бы 10,1479 , то есть облигация продавалась бы с дефицитом 0,3521. Поэтому процент инвестора в конце 6 месяцев равен
10,1479 × 0,03 = 0,3044 млн рб.
Так как процентные платежи облигации равны 0,25 млн рб, стоимость облигации увеличивается на
0,3044 - 0,25 = 0,0544 млн рб.
124

Книжная цена облигации становится равной 10,2023 млн рб. Следует заметить, что процент инвестора в данном случае состоит из двух частей: a) процентные платежи облигации и b) увеличение в стоимости облигации.
Эта последняя часть будет получена при выкупе облигации.
В конце второго периода начисления процент инвестора будет равен
102023 × 0,03 = 0,3061 млн рб; увеличение стоимости облигации будет равно 0,3061 - 0,25 = 0,0561 млн рб; новая книжная цена станет равной
10,2023 + 0,0561 = 10,2584 млн рб.
Эта процедура продолжается до погашения облигации, во время которого окончательная книжная цена станет равной 10,50 млн рб, то есть совпадет с покупной ценой. Следующая таблица дает полное расписание только что рассмотренной облигации.
Расписание облигации, купленной с дефицитом
Конец периода
Платежи процентов
Проценты инвестора
Накопление дефицита
Книжная цена
0 1
2 3
4 5
6
Всего
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,50 0,3044 0,3061 0,3078 0,3095 0,3113 0,3131 1,8522 0,0544 0,0561 0,0578 0,0595 0,0613 0,0631 0,3522 10,1479 10,2023 10,2584 10,3162 10,3757 10,4370 10,5000
Несколько замечаний относительно современной терминологии. Разность
P - F определена как премия, а разность P - C - как превышение.
Когда облигация выкупается по номинальной стоимости, премия и превышение одинаковы; в других случаях это не выполняется. Так как большинство облигаций выкупается по номинальной стоимости, процесс выписывания превышения покупной цены над ценой выкупа часто называется амортизацией премии. Подобным образом, дисконт
F - P и дефицит C - P являются одинаковыми для облигаций, выкупаемых по номинальной стоимости, так что слова «накопление дисконта» часто используются для обозначения накопления дефицита.
125

8.7 ПРИОБРЕТЕНИЕ ОБЛИГАЦИЙ НА РЫНКЕ
Очень редко облигация может быть куплена так, чтобы обеспечить заданную норму процента. В большинстве случаев облигации покупаются на бирже облигаций, где они продаются через аукцион с более высоким предложением цены. Это делается через агентов, действующих в интересах продавца и покупателя. Потенциальный продавец инструктирует своего агента относительно минимально допустимой цены продажи, в то время как потенциальный покупатель сообщает своему агенту максимальную цену, которую он может заплатить. Агенты работают за комиссионные и естественно пытаются получить для своих клиентов наилучшую цену из возможных.
Теперь необходимо напомнить, что когда облигация продана в день начисления процентов за облигацию, процентные платежи облигации, полагающиеся на этот день, считаются принадлежащими продавцу, так что покупатель приобретает только будущие поступления и не имеет доли в тех процентах, которые уже накоплены. По причинам, которые являются очевидными, желательно сохранить понимание того, что покупателю дается право только на будущие поступления от облигации, даже когда облигация покупается между датами начисления процентов за облигацию. Таким образом, продавец имеет право на ту часть предстоящего процентного платежа облигации, которая уже накоплена. Так как доля продавца в предстоящем процентном платеже облигации постоянно изменяется, начиная от нуля в день начисления процентов до R в день следующего начисления процентов, цена продажи также изменяется в зависимости от близости предстоящей даты начисления процентов. По этой причине нежелательно оценивать облигации на рынке по реальной цене, которую продавец ожидает получить. Следовательно, облигации предлагаются на рынке по рыночной цене Q с учетом того, что покупная цена равна Q плюс та часть предстоящего процентного платежа облигации, которая уже накоплена. Поэтому, если Q является рыночной ценой и R' представляет ту часть предстоящего процентного платежа облигации, которая уже накоплена (далее называемую накопленным процентом облигации), то полная покупная цена облигации равна
P = Q + R'. (5)
126

На практике накопленный процент облигации вычисляется по простой формуле R' = f R , где f является дробной частью периода начисления, который уже истек. Например, если за облигацию выплачивается 300 тыс рб процентов каждые 6 месяцев, тогда через 45 дней после даты начисления процентов накопленный процент облигации был бы равен
45/180 × 300 = 75 тыс рб.
Наконец, так как облигации выпускаются различными достоинствами, обычно дается рыночная котировка на основе облигации на 1 млн рб , округленная к ближайшей одной восьмой. Таким образом, если рыночной котировкой является 105 1/4 , то рыночная цена пятимиллионной облигации была бы 5 × (105 1/4) = 5,2625 млн рб, а покупная цена была бы 5,2625 млн рб плюс накопленный процент облигации, если он имелся.
Пример 1 За 5-миллионную облигацию выплачиваются 150 тыс рб процентов облигации 1 февраля и 1 августа. Эта облигация была продана 1 апреля по рыночной котировке 108 1/2. Сколько заплатил покупатель ?
РешениеРыночная цена была Q = 5 × 1,085 = 5,425 млн рб. Так как она была продана 1 апреля, f = 60/180 = 1/3. Тогда
R' = fR = (1/3) × 0,15 = 0,05 млн рб и окончательно
P = Q + R' = 5,425 + 0,05 = 5,4750 млн рб.
Пример 2 За 10-миллионную облигацию выплачивается процент с нормой 6% , т = 2. Она выкупается по номинальной стоимости
15 января 2000 г. Какой должна быть рыночная котировка 15 сентября
1988 г. для того, чтобы обеспечить покупателю норму процента j
2
= 4% .
Решение Покупная цена 15 июля 1988 г., обеспечивающая норму процента j
2
= 4% , равна
P
0
= 10 + (0,3 - 0,2) а
23 2%
= 10 + 1,8292 = 11,8292 млн рб
15 сентября, двумя месяцами позже, покупная цена будет
127

P = P
0
(1 + if) = 11,8292 (1 + 0,02 (1/3)) = 11,9081 млн рб
Для определения Q мы используем
(5)
. Накопленный процент облигации равен R' = f R = (1/3) × 0,3 = 0,1 млн рб. Тогда из P = Q + R' имеем
Q = P - R' = 11,9081 - 0,1 = 11,8081 млн рб.
Сводя этот результат к одно миллионной облигации, мы получим рыночное предложение в виде 118,081, округляя которое с точностью до одной восьмой, получим 118 1/8.
Другой способ вычисления Q состоит в интерполяции между значениями
P
0
и P
1
, где эти символы имеют то же самое значение, как и в предыдущем параграфе.
Следует четко представлять, что обе формулы
(4) и
(5) дают одно и то же значение покупной цены P . Выбор той или иной формулы зависит от известных данных. Таким образом, потенциальный покупатель, который решает, что он купит облигацию, если только она обеспечит ему, скажем, 4% или более, использовал бы формулу
(4)
для определения максимальной цены, которую он мог бы заплатить. Формула
(5)
или ее эквивалент Q = P - R' давали бы тогда соответствующую рыночную цену. Потенциальный продавец, однако, обычно определяет минимальную цену Q , которую он бы допустил за будущие поступления от облигации. Эта цена не включает ту часть предстоящих процентных платежей облигации R' , которые уже накоплены, и поэтому полную покупную цену следует определять по формуле
(5)
Остается сделать несколько замечаний, касающихся современной терминологии. Величина Q , которую мы назвали рыночной ценой, иногда называется книжной стоимостью облигации или ценой
процентов облигации. Оба эти термина используются одинаково часто и читателю следует знать, что они означают одно и то же. Величина P , которую мы называли покупной ценой, почти всегда упоминается как
прямая цена облигации.
Методы, рассмотренные в последних параграфах, оставляют без ответа три важных вопроса : a) Если используется закон сложных процентов, каким будет накопленный процент облигации ? b) Какова точная формула для Q ? c) Как построить инвестиционное расписание для облигации, покупаемой между датами начисления процентов ? Ответ на эти вопросы дается в следующем параграфе.
128

8.8 ЦЕНА ОБЛИГАЦИИ МЕЖДУ ДАТАМИ
НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
Ранее мы отмечали, что точная стоимость облигации между датами начисления дается формулой P = P
0
(1 + i)
f
, где P
0
представляет стоимость облигации в предшествующую дату начисления, i - норма доходности облигации и f является дробной частью периода начисления, которая истекла после последней даты начисления. Теперь мы получим точную формулу для определения накопленного процента облигации R' .
Если использовать точный метод, понятно, что покупателю и продавцу следует разделить предстоящую выплату процентов облигации соответственно закону сложных процентов. Пусть R' будет долей продавца, полагающейся в день продажи, а R" будет долей покупателя, полагающейся в предстоящую дату начисления процентов. Эти две доли должны быть эквивалентными процентному платежу облигации
R , делаемому в конце периода, как показано на диаграмме
R' R"
f 1 – f
R
Равенство стоимостей на конец периода дает
R' (1 + i)
1 – f
+ R" = R (a)
Так как обе доли R' и R" неизвестны, нам нужно иметь еще одно соотношение между ними, для того, чтобы однозначно определить их значения. Второе соотношение может быть получено путем следующих рассуждений. Так как определение R' и R" должно быть справедливым как для покупателя так и для продавца, перестановка временных интервалов f и 1-f приводила бы к перестановке R' и R" , как показано на следующей временной диаграмме
R" R'
1 – f f
R
129

Равенство стоимостей в конце периода теперь дает
R' + R"(1 + i) = R (b)
Если равенство
(a) умножить на (1 + i)
f
, мы получим
R'(1 + i) + R"(1 + i)
f
= R (1 + i)
f
. (c)
Теперь вычитая равенство (b) из (c), найдем, что
R'i = R(1 + i)
f
- R
Отсюда R' определяется в следующем виде
(
)
¢ =
+
-
=
R
R
i
i
Rs
f
f i
1 1
. (6)
Подобным образом получим
¢¢ =
-
R
Rs
f i
1
Пример За облигацию выплачивается 300 тыс рб процентных денег каждые 6 месяцев. Каков накопленный процент облигации двумя месяцами позже даты начисления, если норма доходности равна a) 4% ,
m = 2; b) 8% , m = 2 ?
Решение a) Двумя месяцами позже даты начисления f = 1/3. Значит
¢ =
=
R
Rs
s
f i
30 1 3 2%
/
= 300 × 0,33113548 = 99,34 тыс рб .
b) Для нормы доходности 8% , m = 2 мы имеем
R' = 300 ×
0,3289851 = 98,7 тыс рб .
Практический способ вычисления дает
R' = fR = (1/3) × 300 = 100 тыс рб .
Можно показать, что значение R' , полученное из точного равенства
(6)
всегда несколько меньше, чем то, которое дается приближенной
(практической) формулой R' = f R . Однако разность является обычно
130

малой и так как покупатели на одну дату становятся продавцами на другую дату, большой несправедливости не ощущается при использовании простой формулы.
Так как точная формула
(6)
для R' найдена, теперь можно получить точную формулу для Q . Начнем с равенства P = Q + R' или Q = P - R'.
Используя равенства
(3)
и
(6)
для исключения P и R' , получим
Q = P
0
(1 + i)
f
– Rs
f i
Теперь при помощи
(1) исключаем P
0
. Это дает
Q = (C(1 + i)
–n
+ Ra
n i
)(1 + i)
f
– Rs
f i
Или после преобразования
Q = C(1 + i)
–n+f
+ R( a (1 + i)
n i
f
– s
f i
) .
Используя одно из тождеств для функций составных платежей:
a
n k i
-
= (1 + i)
k
a
n i
- s
k i
, последнее выражение можно представить в упрощенной форме:
Q = C(1 + i)
–(n–f)
+ Ra
n f i
-
. (7)
Путем использования точно такой же процедуры, какую мы использовали в параграфе 8.4,
формулу (7) можно преобразовать к следующему виду
Q = C + (R - Ci) a
n f i
-
. (8)
Таким образом, формулы для Q являются точно такими же, как
(1)
и
(2) для P , только время, оставшееся до погашения, содержит дробные части периода. С точки зрения смысла, который будет приписан функции
a
n i
в параграфе 10.2 для дробных значений n , формула
(7)
показывает, что Q равна настоящей стоимости цены выкупа плюс настоящая стоимость будущих процентов облигации и не включает часть текущего
131

процентного платежа облигации, которая уже накоплена. Поэтому покупная цена должна быть P = Q + R' .
Проиллюстрируем эти аналитические формулы численным примером.
Предположим, что за облигацию 10 млн рб выплачивается 0,3 млн рб процентов каждые 6 месяцев и она продается за 10 лет и 3 месяца до даты выкупа по номинальной стоимости, чтобы приносить проценты по норме j = 4% . Находим, что
P
0
= 10 + (0,3 - 0,2) a
21 2%
= 11,70112 млн рб ,
P = P
0
(1 + i)
f
= 11,70112 (1,02)
0,5
= 11,81755 млн рб .
Таким образом, покупная цена облигации должна быть 11,81755 млн рб. Однако эта сумма должна рассматриваться как состоящая из двух частей, а именно : накопленный процент облигации
R' = 0,3 s
0 5 2%
,
= 0,14926 млн рб и рыночная цена Q = P - R' = 11,66829 млн рб. На следующую дату начисления процентный платеж облигации подобным образом рассматривается состоящим из нескольких частей. Во-первых, новый владелец должен получить R' обратно с процентом. Это потребует
R'(1 + i)
1–f
= 0,14926(1,02) = 0,15075 млн рб.
Во-вторых, владелец имеет право на проценты от Q . Проценты от Q будут равны
Q(1 + i)
1–f
– Q = 11,66829(1,02)
0,5
– 11,66829 = 0,11611 млн рб.
Остаток процентного платежа облигации, а именно :
0,3 – 0,15075 – 0,11611 = 0,03314 млн рб является амортизацией премии и уменьшает книжную стоимость облигации до 11,66829 – 0,03314 = 11,63515 млн рб. Можно проверить, что значение, полученное для Q , является точно таким же, которое получается по формуле
(7)
или
(8)
, и что окончательная книжная стоимость 11,63515 млн рб является величиной P .
132

В реальной практической деятельности Q обычно задается, в то время как значение i известно только приблизительно. Следовательно, точные формулы, полученные в этом параграфе, не имеют большого практического значения. Однако, эти точные формулы обосновывают обычную расчетную практику получения Q и R' как отдельной задачи.
Поэтому, когда покупатель облигации рассматривает R' как временную ссуду, которая будет возмещена при первом же процентном платеже облигации, и считает Q книжной стоимостью облигации, которая покупается, и, следовательно, устанавливает инвестиционное расписание с Q , как стартовой стоимостью облигации, он нуждается в способе, который является аналитически точным.
Наконец, следует заметить, что приближенные формулы, используемые в практических расчетах, получаются из точных формул этого параграфа путем замены (1 + i)
f
на 1 + if , и s
f i
на f . Так как f является дробной частью (то есть меньше единицы), можно показать, что эти замены обычно отличаются очень мало от точных выражений.
8.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМЫ ДОХОДНОСТИ
Возможно, наиболее важная задача, касающаяся облигаций, состоит в определении инвестиционной нормы, которую облигация будет обеспечивать, когда будет куплена за данную цену. Только решив эту задачу, инвестор может определить, которая из нескольких облигаций обеспечивает наилучшую инвестицию. К сожалению, решение этой задачи не выражается в явной аналитической форме, но имеются численные методы получения решения этой важной задачи с различной степенью точности и различающиеся по сложности. Два из них мы рассмотрим.
Метод средних
Когда сумма денег инвестируется только на один период, норма процента может быть найдена делением полученных процентов на инвестированную сумму. Когда рассматривается более, чем один период и изменяются как процентные платежи, так и основная сумма, приближенное значение нормы может быть получено путем деления среднего процентного платежа на среднюю основную сумму.
Процедура станет ясной на примере.
ПРИМЕР 1
За облигацию 10 млн рб выплачивается 300 тыс рб процентов каждые 15 января и 15 июля. Она будет выкупаться за 11 млн рб 15 января 2000 г. Рыночное предложение 15 января 1990 г. было
120. Какова приблизительная норма доходности, если облигация покупается в этот день ?
133

РЕШЕНИЕ
Покупная цена облигации равна 12 млн рб, так как дата продажи совпадает с датой начисления процентов. Выплаты, которые покупатель будет получать, если он будет держать облигацию до даты погашения, составят 20 процентных платежей облигации по 300 тыс рб каждый, давая в сумме 6 млн рб, и цену выкупа 11 млн рб. Таким образом, он платит 12 млн рб и получает в сумме 6 + 11 = 17 млн рб или чистый выигрыш 17 - 12 = 5 млн рб. Этот полный выигрыш реализуется за период 10 лет, или 20 периодов начисления, так что средний выигрыш за период равен 5000 / 20 = 250 тыс рб. Так как первоначально облигация стоила 12 млн рб и выкупается за 11 млн рб, ее средняя стоимость равна (12 + 11) / 2 = 11,5 млн рб. Теперь мы приблизительно определяем инвестиционную норму делением среднего выигрыша за период на среднюю сумму, инвестированную в облигацию. Это дает приблизительно i = 0,25 / 11,5 = 0,02174 или примерно j
2
= 0,0435 .
Естественно появляется вопрос о точности только что описанного метода и на него нет удовлетворительного ответа. В большинстве случаев можно надеяться, что точность составляет около десятой доли процента, так что для только что рассмотренного примера мы можем полагать, что номинальная норма лежит между 4,3 процента и 4,4 процента. Когда желательна большая точность, следует прибегнуть к процедуре уточнения метода средних путем интерполяции, которую опишем ниже.
Метод интерполяции
Этот метод состоит в вычислении покупных цен для различных инвестиционных норм пока не найдутся две такие цены, которые ограничат сверху и снизу реальную покупную цену, между которыми и производится интерполяция. Очевидно, что нужно выбирать для вычисления только такие две покупные цены, для которых известны правильные инвестиционные нормы. Это можно сделать практически всегда, если сначала аппроксимировать норму при помощи метода средних.
ПРИМЕР 2
Вычислить норму доходности для примера 1
путем интерполяции.
РЕШЕНИЕ
По методу средних, использованному при решении примера 1
, мы нашли, что норма равна приблизительно j
2
= 4,35% .
Поэтому теперь мы вычислим покупные цены, которые обеспечивают
j
2
= 4% и j
2
= 4,5% .
134

P(для j
2
= 4%) = 11 + (0,3 - 0,2) а
20 2%
= 12,3081 млн рб
P(для j
2
= 4,5%) = 11 + (0,3 - 0,2475) а
20 2%
= 11,8381 млн рб
Представляя данные в виде таблицы, мы имеем
-----------------------------------------------
Покупная цена i j , m = 2
-----------------------------------------------
12,3081 2% 4%
12,0000 i j
11,8381 2,25% 4,5%
------------------------------------------------
Составим пропорцию
12 3081 12 0000 12 3081 11 8381 4%
4% 4 5%
,
,
,
,
-
-
=
-
-
j
,
,
0 3081 0 4700 4%
0 5%
,
,
,
=
-
j
Это дает j
2
= 4,328% .
Относительно точности нормы доходности, которую дает интерполяция, существует следующее эмпирическое правило: когда норма доходности облигации найдена интерполяцией, результат также немного больше истинного значения. Однако ошибка редко превосходит
(n/5) , умноженное на квадрат разности использованных норм.
Из только что сформулированного эмпирического правила следует, что ошибка в определении j для примера 2
должна быть не более 0,00005. На самом деле, можно показать при помощи более точных расчетов, что ошибка равна 0,00003.
Оба описанные в этом параграфе метода одинаково хороши для облигаций, покупаемых между датами начисления процентов.
Естественно, вычисления несколько более утомительны, но процедура, по существу, точно такая же. Если используется метод средних, мы можем взять или (P+C)/2 , или (Q+C)/2 как среднюю стоимость облигации. Аналитическое исследование показывает, что (Q + C) / 2 дает немного более точный результат.
8.10 ТАБЛИЦЫ ОБЛИГАЦИЙ
135

Чтобы дать представление о покупной цене облигации для большого разнообразия норм доходности, должны быть подготовлены подробные таблицы. Пример такой таблицы приводится ниже.
Когда таблицы имеются под рукой, многие проблемы облигаций могут быть решены при помощи простого взгляда на них. Более того, так как нормы доходности табулированы для значений, которые различаются только на 0,05 % , интерполяция промежуточных значений дает высокую точность.
Так как разнообразное использование таблиц довольно очевидно, в иллюстративных примерах нет надобности. Однако следует подчеркнуть, что не все задачи об облигациях можно решить с использованием таблиц и, следовательно, крайне желательно знание всех методов, рассмотренных в предшествующей части настоящей главы.
Покупная цена облигации с номинальной стоимостью 10 млн рб, за которую выплачивается процент с нормой j
2
= 4% .
----------------------------------------------------------------
Норма Время до выкупа, годы доходности -----------------------------------------------
(m = 2) 8 8,5 9 9,5
----------------------------------------------------------------
3,25% 10,5246 10,5531 10,5812 10,6088 3,30% 10,4887 10,5152 10,5412 10,5669 3,35% 10,4529 10,4774 10,5015 10,5252 3,40% 10,4172 10,4397 10,4619 10,4836 3,85% 10,1024 10,1079 10,1132 10,1184 3,90% 10,0682 10,0718 10,0753 10,0788 3,95% 10,0340 10,0358 10,0376 10,0393 4,00% 10,0000 10,0000 10,0000 10,0000
----------------------------------------------------------------
8.11 ДРУГИЕ ВИДЫ ОБЛИГАЦИЙ
Когда деньги занимаются путем выпуска облигаций, нет никаких теоретических причин устанавливать единственную дату выкупа облигаций. Поэтому компании, выпускающие облигации, могут решить выкупать облигации в рассрочку. Например, облигация с лицевой
136

стоимостью 100 млн рб за которую выплачиваются проценты с нормой
j
2
= 6% , может выкупаться следующим образом $ 20 млн рб через 10 лет, 30 млн рб через 15 лет и 50 млн рб через 20 лет. Естественно, процент по облигации выплачивается только за неоплаченную лицевую стоимость. Таким образом, за только что упомянутую облигацию выплачивалось бы 3 млн рб через каждые 6 месяцев в течение первых 10 лет, 2,4 млн рб в течение следующих 5 лет и 1,5 млн рб в течение последних 5 лет. Такие облигации называются серийными облигациями.
Недолгое размышление позволяет уяснить, что приобретение серийной облигации эквивалентно покупке нескольких отдельных облигаций одновременно, и поэтому методы, развитые в предшествующих параграфах годятся для исследования различных задач, касающихся серийных облигаций.
ПРИМЕР 1
Найти покупную цену серийной облигации, описанной выше, обеспечивающей 4% , m = 2 .
РЕШЕНИЕ
Данная серийная облигация эквивалентна следующим трем с нормой 6% , m = 2 с номиналами : 20 млн рб на 10 лет, 30 млн рб на 15 лет и 50 млн рб , выкупаемую через 20 лет. Соответствующие покупные цены равны
P
1
= 20 + (0,6 - 0,4) а
20 2%
= 23,27029 млн рб,
P
2
= 30 + (0,9 - 0,6) а
30 2%
= 36,71894 млн рб,
P
3
= 50 + (1,5 - 1,0) а
40 2%
= 63,67774 млн рб.
Покупная цена серийной облигации поэтому равна
P = P
1
+ P
2
+ P
3
= 123,667 млн рб .
Все облигации, рассматриваемые до сих пор, выкупались одним или более взносами, каждый из которых был кратным 1 млн рб. Однако нет никаких причин для того, чтобы лицевая стоимость облигации не могла выкупаться таким образом, чтобы выкуп плюс процентные платежи облигации образовывали аннуитет. Таким образом, контракты, которые предназначаются для погашения долга, основной суммы и процентов равными периодическими платежами, часто называются аннуитетными
облигациями.
Оформляемые различным образом аннуитетные облигации
137

являются контрактами, представляющими аннуитет, подписанный в форме облигации.
ПРИМЕР 2
Основная сумма и проценты 100 миллионной облигации аннуитета будут выкупаться при норме j
1
= 5% десятью одинаковыми взносами. Сколько предложит потенциальный покупатель за эту облигацию, если он желает реализовать эффективную инвестиционную норму процента a) 4% , b) 5% , c) 6% ?
ПРИМЕР
Мы сначала определим, какими будут взносы платежей. Так как они будут образовывать обыкновенный аннуитет, мы имеем
100 = R а
10 5%
или R = 100 / а
10 5%
= 12,9505 млн рб
Выплаты, которые обеспечиваются этой облигацией, показаны на временной диаграмме
0 1 2 3 ... 9 10 12,9505 12,9505 12,9505 ... 12,9505 12,9505
Цена, которая предлагается за эту облигацию, является текущей стоимостью этих платежей, вычисленной для желаемой инвестиционной нормы. Следовательно,
(a) P = 12,9505 а
10 4%
= 105,0402 млн рб .
(b) P = 12,9505 а
10 5%
= 100,0000 млн рб .
(c) P = 12,9505 а
10 6%
= 95,3168 млн рб .
Довольно очевидно, что все задачи, касающиеся облигаций аннуитетов, являются просто задачами аннуитетов, сформулированными в терминологии облигаций, и значит методы, развитые в главах по аннуитетам годятся для их решения.
138