_Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve. Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие
 Скачать 5.79 Mb.
|
|
ПРИМЕР 1 Определенная акция с фиксированным доходом, выпущенная коммерческой компанией, была выкуплена по номиналу 1 октября 1997. Акция порождает процент 6% годовых, выплачиваемый по полугодиям 1 апреля и 1 октября. а) Какая цена в процентах должна быть предложена за эту акцию 1 августа 1975, чтобы гарантировать доход 5% годовых для инвестора, освобожденного от уплаты налогов? б) Какую годовую доходность этой акции предлагать инвестору, освобожденному от уплаты налогов, который покупает ее 1 августа 1975 за 117 % ? РЕШЕНИЕ а) В этом примере мы имеем R = 1, N = 100, С = 100, D = 0,06 и р = 2. Цена А, которую следует предложить 1 августа 1975, чтобы гарантировать доходность 5% годовых, равна по формуле (7) А = настоящая стоимость 5% процентных платежей + настоящая стоимость 5% капитальных платежей = = ( ) v a v 1 6 22 2 22 3 6 100 / + + é ëê ù ûú при 5% = 116,19 б) Теперь мы решим уравнение стоимости 117 = ( ) v a v 1 6 22 2 22 3 6 100 / + + é ëê ù ûú относительно процентной ставки i . В части а) правая часть уравнения рассчитывалась при i = 5% и равнялась 116,19 , так что доходность будет несколько ниже, чем 5% годовых. Последующие вычисления с применением интерполяции дают i » 4,94 % годовых. Замечание Можно было бы работать также с полугодовыми периодами; соответствующее уравнение стоимости тогда имело бы вид 181 117 = [ v a v 1 3 44 44 3 3 100 / + + ] при ставке i' которое имеет приближенное решение i' »0,0244, так что эффективная доходность за год равна i »(1,0244) 2 – 1 или 4,94 % как и ранее. Когда решают уравнение стоимости при помощи интерполяции (чтобы найти доходность), удобно иметь грубое представление о порядке величины требуемого решения. В большинстве ситуаций верхнюю и нижнюю границы можно найти довольно просто, как показывают следующие рассуждения. Рассмотрим акцию, которая будет выкупаться через п лет по выкупной цене R за единицу номинала. Предположим, что акция порождает проценты, выплачиваемые ежегодно просрочкой при купонной ставке D годовых, и что инвестор, который подвержен подоходному налогу по ставке t 1 покупает акцию по цене Р за единицу номинала. Что можно сказать относительно величины i , чистой годовой доходности инвестора? Взамен платежа Р инвестор получает чистый процент каждый год, равный D(1 – t 1 ) , и выручку при выкупе R . Значит, его чистая доходность i является такой процентной ставке, для которой Р = D(1 – t 1 ) a n + Rv п (8) Если R = Р , тогда очевидно, что i = ( ) D t P 1 1 - Если R > Р , то имеется прирост при выкупе и поэтому i > ( ) D t P 1 1 - . В этом случае этот прирост равен R – Р . Если инвестор должен получать этот прирост равными взносами каждый год в течение п лет, а не отдельной суммой после п лет, он будет иметь некоторое преимущество. В этом случае каждый год он получал бы D(1 – t 1 ) + (R – Р)/п как доход (и Р как выручка при выкупе), так что его чистый годовой доход был бы [D(1 – t 1 ) + (R – Р)/п]/Р . Это превышает i , поэтому 182 ( ) D t P 1 1 - < i < ( ) ( ) D t R P n P 1 1 - + - / Потери при выкупе равны (Р – R) . Если инвестор будет нести эти потери равными взносами каждый год в течение п лет, а не отдельной суммой после п лет, он очевидно будет в менее преимущественном положении. В этом случае каждый год он получал бы D(1 – t 1 ) – (Р – R)/п как доход (и Р как выручку при выкупе), так что его чистый годовой доход был бы [D(1 – t 1 ) – (Р – R)/п]/Р = [D(1 – t 1 ) + (R – Р)/п]/Р . Это уменьшает i , поэтому ( ) D t P 1 1 - > i > ( ) ( ) D t R P n P 1 1 - + - / Таким образом, во всех случаях i лежит между D(1 – t 1 )/Р и [D(1 – t 1 ) + + (R – Р)/п]/Р . Для большинства практических целей эти границы достаточны для получения удобных значений при использовании их для интерполяции. ПРИМЕР 2 Акция порождает проценты при ставке 7,5 % годовых, выплачиваемых просрочкой, и является выкупаемой по номиналу через 20 лет. Предполагая, что все проценты, полагающиеся в настоящее время, не будут получены покупателем, найти чистую годовую доходность для инвестора, подверженного подоходному налогу 33 1/3 % , который покупает 80% этой акции ? РЕШЕНИЕ Заметим, что так как чистые годовые процентные платежи равны 5 млн руб на издержки 80 млн руб (т.е. 6,25 %) и акция выкупается за 100 млн руб, чистая доходность будет очевидно превышать 6,25 % годовых. Прибыль при выкупе равна 20 ьлн руб на 100 млн руб номинала. Если эта прибыль выплачивается равными годовыми взносами (каждый суммой 1 млн руб) выплата 80 млн руб обеспечивала бы чистый доход 6 млн руб в каждом году, или 7,5 % . Это было бы более привлекательной инвестицией, чем имеющаяся в наличии. Чистый годовой доход, таким образом, меньше, чем 7,5 % . Мы имеем купонную ставку D = 0,075, цену, выплачиваемую за единицу номинала, Р = 0,8, выкупную цену за единицу номинала R = 1, ставку подоходного налога t 1 = 1/3 , и срок до выкупа п = 20. Уравнение стоимости имеет вид Р = D(1 – t 1 )а n + Rv п при ставке i т.е. 183 0,8 = 0,05а 20 + v 20 Сделанные выше замечания показывают, что i лежит между 0,0625 и 0,075. Когда i = 0,065 , правая часть последнего уравнения равна 0,8347, а когда i = 0,07 , она равна 0,7881 . Путем интерполяции мы оцениваем i как 0,0687 или 6,87 % . (На самом деле, чистая годовая доходность в процентах с точностью до четырех десятичных знаков равна 6,8686. Таким образом, метод интерполяции дает достаточно точный результат в этом случае.) Приближенное значение процентной ставки из уравнения (8) может быть получено следующим образом. Пусть g = D/R , так что g(1 – t 1 ) является чистым годовым процентом на единицу выкупной цены. Уравнение (8) теперь может быть записано в виде Р = g(1 – t 1 )Rа n + Rv п = при ставке i = R [g(1 – t 1 )а n + (1 – i а n )] из которого получаем g(1 – t 1 ) – i – k a n = 0 , (9) где а n вычисляется при ставке i и k = (Р – R) / R . (10) Много различных способов предложено для нахождения приближенного решения уравнения (9). Здесь мы рассмотрим только аппроксимации, основанные на разложении Маклорена функции 1/ а n , т.е. ( ) 1 1 1 1 1 2 1 12 2 2 a i i n n n i n n i n n = - + = + + ´ + - ´ + - (11) Отбрасывая в уравнении (9) слагаемые со степенями i выше, чем первая, и подставляя 1/ а n в уравнение (9), мы получим ( ) i g t k n n k = - - + + æ èç ö ø÷ 1 1 1 2 1 / n . (12) 184 Эта формула является достаточно точной, когда п и i не очень велики. Большей точности обычно можно достичь оставляя в уравнении (11) слагаемые со степенями i до i 2 . Уравнения (9) и (11) тогда дают квадратичное уравнение ( ) ( ) ( ) k n n i k n n i g t k n 2 2 1 1 12 1 1 2 1 - + + + é ëê ù ûú - - - é ëê ù ûú = 0 (13) В практических обстоятельствах только один корень этого уравнения является подходящим, другой является заметно отличающимся от значения, задаваемого уравнением (12) . Применяя формулы (12) и (13) в примере 2 для k = – 2, п = 20 и g(1 – t 1 ) = 05 , мы получим приближенные доходности 6,70 % и 6,80 % , соответственно. 11.5 ФОРМУЛА МЭЙКХЭМА Рассмотрим акцию с N номиналами, которая должна быть выкуплена через 20 лет по цене R за единицу номинала, и пусть С = NR . Таким образом, С является денежным платежом при выкупе. Пусть купонная ставка (т.е. годовая процентная ставка на единицу номинала) равна D и предположим, что процент выплачивается р-кратно в год просрочкой (т.е. в конце интервала платежа). Таким образом, каждый процентный платеж является суммой DN/р = gС/р , где g = DN C = (14) = D R . (15) Заметим, что g является годовой процентной ставкой на единицу выкупной цены. Рассмотрим инвестора, подверженного подоходному налогу по ставке t 1 , который хочет купить акцию по цене, обеспечивающей эффективную чистую доходность i в год. Пусть цена, которую ему следует заплатить равна А . (Мы предполагаем, что п является целым, кратным 1/р , и что любой процент, полагающийся на настоящее время, не будет получен покупателем.) Цена является просто настоящей стоимостью (при ставке i) выкупной вырученной суммы и будущих нетто платежей процентов. Таким образом, 185 А = N R v п + (1 – t 1 ) DN а ( ) n p = при ставке i = С v п + (1 – t 1 ) gС а ( = ) n p = С v п + (1 – t 1 ) gС × ( ) 1 = - v i n p = С v п + ( ) ( ) g t i p 1 1 - (С – С v п ) . Значит А = K + ( ) ( ) g t i p 1 1 - (С – K) , (16) где K = С v п (при ставке i) является настоящей стоимостью возмещений капитала, а [(1 – t 1 ) g/ i (р) ](С – K) является настоящей стоимостью нетто платежей процентов. Равенство (16) является известной формулой Мэйкхема и является очень важной. Заметим, что (1 – t 1 ) g является нетто ставкой годовых процентных платежей на единицу выкупной цены или на единицу «задолженности». Равенство (16) имеет место только когда а) t 1 , g и R являются постоянными в течение срока действия акции; и б) п является целым, кратным 1/р . (Когда эти условия не удовлетворяются, формулу (16) необходимо модифицировать.) Формула Мэйкхема остается справедливой, когда акция выкупается отдельными взносами, при условии, что купонная ставка D , ставка подоходного налога t 1 и цена выкупа на единицу номинала остаются постоянными. Чтобы показать это, мы рассмотрим акцию с количеством номиналов N = N 1 + N 2 + ... + N т ; число номиналов, выкупленных в момент п j , будет N j ( j = 1, 2, ... , т). Сумма, полученная в качестве возмещения части акции в момент п j , равна С j = RN j . Формула (16) подразумевает, что стоимость капитала и нетто платежей процентов, ассоциированная с j-ой «долей» акции, равна А j = K j + ( ) ( ) g t i p 1 1 - (С j – K j ) , где K j = С j . v n j 186 Стоимость всей акции, очевидно, равна А = = A j j m = å 1 ( ) ( ) ( ) K g t i C K j j p j j j m + - - é ë ê ê ù û ú ú = = å 1 1 = K + ( ) ( ) g t i p 1 1 - (С – K) , где K = K C j j m j n j m j = = å å = 1 1 v = является стоимостью платежей капитала и С = R N C RN R N j j m j j m j j m = = = å å å = = 1 1 1 как и ранее. Таким образом, формула (16) остается справедливой в этой ситуации. Настоящая стоимость, или цена единицы номинала равна, конечно, Р = А / N , при условии, что актив покупается целиком. Привлекательность формулы Мэйкхема заключается в том, что она дает возможность быстро получить стоимость процентных нетто платежей и полной стоимости актива из стоимости капитала K , если даже акция выкупается отдельными взносами. ПРИМЕР 1 Выпускается акция стоимостью 75 млн руб, зарабатывающая дивиденды по ставке 8% годовых, выплачиваемых поквартально просрочкой. Акция должна возмещаться по номиналу 15-ью годовыми взносами, первый взнос возмещается пять лет спустя после даты выпуска. Найти цену, которую нужно заплатить в день выпуска за всю акцию покупателю, который желает иметь доходность а) 10% годовых эффективно, и b) 10% годовых, конвертируемых по полугодиям. (Налогами пренебречь.) РЕШЕНИЕ Возмещения капитала составляют сумму 5 млн руб. Первое возмещение выплачивается через пять лет, а последнее возмещение выплачивается через 19 лет. а) Выберем год как базовую единицу времени. Требуемая доходность за единицу времени равна 10% , так что i = 0,10. Используя 187 принятые выше обозначения, мы имеем С = 75 (так как выкуп по номиналу). Стоимость возмещения капитала равна K = 5×(а 19 – а 4 ) при 10% = 25,975. Заметим, что так как выкуп по номиналу, g = 0,08 и процент выплачивается поквартально (т.е. четыре раза в единицу времени), так что р = 4. По формуле Мэйкхема мы получаем требуемую цену 25,975 + ( ) 0 08 0 10 4 , , ×(75 – 25,975) = 66,636. Так как 66,636 / 75 = 0,8885 , эта цена может котироваться как 88,85% (88,85 денежных единиц на 100 денежных единиц номинала). b) Выберем шесть месяцев как базовую единицу времени. Требуемая доходность за единицу времени равна 5% . Таким образом, i = 0,05. Теперь заметим, что процент выплачивается дважды за единицу времени, так что в принятых обозначениях р = 2. Сумма процентов, выплачиваемая за единицу времени, равна 4% невозмещенной доли акции, поэтому теперь мы имеем g = 0,04. Возмещение капитала происходит в моменты времени 10, 12, 14, ... , 38, так что K = 5000 2 a ( а 40 – а 10 ) при 5% = 25,377 . Значит стоимость всей акции равна 25,377 + ( ) 0 04 0 05 2 , , (75 – 25,377) = 65,565 млн руб или 87,42% . Заметим, что эта цена меньше, чем в случае а). Читатель, который оценивал процентные платежи, пользуясь обычным анализом потоков платежей быстро убедится в преимуществе формулы Мэйкхема. ПРИМЕР 2 По отношению к акции описанной в предыдущем примере найти цену, которая должна быть выплачена в дату выпуска покупателем всей акции, который выплачивает подоходный налог по ставке 40% и хочет получать от акции чистый доход 7% годовых эффективно. 188 РЕШЕНИЕ Платежи капитала имеют величину K = 5000×(а 19 – а 4 ) при 7% = 34,741. Поэтому цена, обеспечивающая чистый доход 7% годовых эффективно, равна 34,741 + ( ) 0 08 1 0 4 0 07 4 , ( , ) , - (75 – 34,741) = 63,061 млн руб или 84,08% . ПРИМЕР 3 Акция с номинальной суммой 80 млн руб выкупается за 105% четырьмя взносами в конце 5, 10, 15 и 20 годов. Акция обеспечивает дивиденд по ставке 10% в год, выплачиваемый по полугодиям. Инвестор, выплачивающий подоходный налог по ставке 30%, купил акцию целиком в день выпуска по такой цене, чтобы получать чистый доход 8% в год эффективно. Какую цену он заплатил? РЕШЕНИЕ Заметим, что полная задолженность С равна 80 × 1,05, т.е. 84 млн руб. Каждый год полные процентные платежи равны 10% невозмещенного номинала акции, так что процент, выплачиваемый каждый год, равен произведению g на невыплаченную задолженность, где g = 0,1 / 1,05 . Выберем один год в качестве единицы времени. Тогда i = 0,08 и в день выпуска платежи капитала имеют величину K = 20 × 1,05 × (v 5 + v 10 + v 15 + v 20 ) при 8% = = 21 a s 20 5 при 8% = 35,144 . Используя значение g , приведенное выше, мы получим цену, выплачиваемую инвестором в виде 35,144 + ( ) 0 1 1 05 1 0 3 0 08 2 , , , , ´ - (84 – 35,144) = 76,656 млн руб . Заметим, что «цена в процентах» равна цене за 100 денежных единиц номинальной суммы акции, т.е. (76,656 / 80) × 100 = 95,82 %. |