_Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve. Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие

• Название: Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие
• Дата: 21.04.2022
• Размер: 5.79 Mb.
• Имя файла: _Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve.pdf
• Тип: Учебное пособие; #488492
• страница: 10 из 13

Глава 10 ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ
10.1 ОБЩИЕ ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ
Аннуитет называется общим полагающимся, если период платежа отличается от периода начисления процентов и платежи делаются в начале периодов платежей. Исследование общих полагающихся аннуитетов аналогично исследованию общих обыкновенных аннуитетов, в нем общие полагающиеся аннуитеты преобразуются в обыкновенные простые аннуитеты, после чего исследуются как в главе 5
Пусть W будет платежом общего аннуитета, i - норма процента за период начисления, m - количество периодов конверсии в год, p - число платежей аннуитета в год и R - платеж эквивалентного простого аннуитета. Временная диаграмма, представленная ниже, показывает два эквивалентных аннуитета за 1 год.
0 1 2 3 ... p - 2 p - 1 p
W W W W ... W W
0 1 2 ... m - 1 m
R R ... R R
Соотношение между платежами двух аннуитетов могут быть установлены путем следующих простых рассуждений. Если первое W на диаграмме представить на конец года, общий аннуитет стал бы обыкновенным и соотношение между аннуитетами, описывалось бы равенством (6) главы 5
. Поэтому сумма в конце года для вышеописанного аннуитета превышает одногодичную сумму обыкновенного общего аннуитета на сложный процент, который нарастает в течение года благодаря платежу W . Сложный процент был бы равен W(1 + i)
т
- W , что можно было бы записать в виде W i
s
m i
Но это является суммой обыкновенного аннуитета с платежом W i за период начисления в течение 1 года. Поэтому каждый платеж R , соответствующий полагающемуся аннуитету, на W i больше, чем он был бы, если бы общий аннуитет был обыкновенным аннуитетом. Отсюда мы заключаем
151

R = W /
s
т p i
= W (i + 1/
s
т p i
) = W /
а
т
p i
(1) или в эквивалентном виде
W = R
а
т
p i
. (2)
Эта формула была получена несколько другим путем в параграфе 7.2
(1) и (2) можно получить методом, использованном в параграфе 5.2,
используя начало или конец года как дату сравнения. Но это мы оставляем для одного из последующих упражнений.
Когда m/p является дробным, можно воспользоваться таблицами для определения
а
т
p i
. Напомним, что таблицы для значений 1/
а
т
p i
не составляются, так как эта величина только на i отличается от
1/
s
т p i
, для которой таблицы имеются.
ПРИМЕР 1Если норма процента равна j
2
= 5% , какая сумма, выплачиваемая в конце каждой половины года аннуитетом, эквивалентна сумме 500 тыс рб, выплачиваемой в начале каждого месяца ?
РЕШЕНИЕ Данные платежи образуют общий полагающийся аннуитет с W = 500 и p = 12. Желаемые платежи будут образовывать обыкновенный простой аннуитет. Так как m = 2 и i = 0,025 , мы имеем
R = W /
а
т
p i
= 500 /
а
т
p i
Далее
1 /
а
1 6 2 5 %
,
= 0,025 + 1/
s
1 6 2 5 %
,
= 0,025 + 6,06219991 = 6,08719991 и поэтому R = 500 × 6,0871999 = 3043,6 тыс рб являются желаемыми полугодовыми платежами.
ПРИМЕР 2 Если норма процента равна j
4
= 4% , найти аннуитет, выплачиваемый в начале каждого месяца и эквивалентный платежам
10 млн рб в начале каждого пятилетнего периода.
РЕШЕНИЕ Здесь общий полагающийся аннуитет должен быть заменен другим общим полагающимся аннуитетом. Это делается сначала
152

заменой данного аннуитета на обыкновенный простой аннуитет, выплачиваемый поквартально, а затем преобразованием простого аннуитета в общий полагающийся аннуитет, выплачиваемый помесячно.
Для первого этапа решения мы возьмем 5 лет как основную единицу измерения времени вместо одного года. Тогда p = 1 и m = 20.
0 1 10 0 1 2 3 ... 19 20
R R R ... R R
Так как W = 10 , i = 1% , m/p = 20 , мы имеем
R = W /
а
т
p i
= 10/
а
т
p i
= 10 × 0,05541531 = 0,554153 как платежи эквивалентного простого аннуитета, выплачиваемые поквартально. Далее мы заменим простой аннуитет общим полагающимся аннуитетом с платежами, выплачиваемыми в начале каждого месяца. Для этого преобразования построим временную диаграмму на 1 год.
0 1 2 3 4
R R R R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
W W W W W W W W W W W W
Мы имеем p = 12 , m = 4 , i = 1% , R = 0,554153 , тогда
W = R а
т
p i
= 0,554153
а
1 3 1 %
= 0,554153 × 0,331128 = 0,1835 млн рб.
Другие задачи, касающиеся общего полагающегося аннуитета, такие как нахождение нормы процента или срока, рассматриваются точно таким же способом как в главе 5.
Существенным отличием является только использование равенств
(1)
и
(2)
для преобразования данного аннуитета в эквивалентный вместо равенств
(6)
главы 5 153

10.2 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Мы видели, что формулы
S = R
s
п i
и A = R
а
п i
можно использовать для оценивания общих аннуитетов, где
R определяется формулами
R = W /
s
т
p i
или R = W /
а
т
p i
в зависимости от того, какой из аннуитетов оценивается обыкновенный или полагающийся. Однако, до сих пор молчаливо предполагалось, что
n, число рассматриваемых периодов начисления, является целым.
Например, если процент конвертировался ежегодно и платежи делались помесячно, формулы использовались только тогда, когда число платежей было кратно 12. Таким образом, они использовались бы для 24 или 36 платежей, но не для 37. Теперь будет показано, что эти формулы справедливы, является ли число
n целым или нет. Например, если норма процента является годовой и имеется 37 ежемесячных платежей, вышеприведенные формулы применяются с
n = 3 1/12.
Пусть
W будет платежом обыкновенного общего аннуитета, q - полное число платежей и
i - норма процента за период начисления. Пусть p будет числом платежей и
m - число периодов начисления для любого удобного интервала времени. Наконец, пусть
i' будет нормой процента за интервал платежа, которая эквивалентна
i за период начисления. Так как
i' является нормой за период платежа и имеется q платежей, ясно, что сумма аннуитета равна
S = W
s
q i
= W ((1 + i') - 1)/i'.
Так как
i и i' эквивалентные нормы, мы имеем
(1 +
i')
p
= (1 +
i)
т или 1 +
i' = (1 + i)
т/p
Если мы теперь исключим
i' , выразив ее через норму i , мы получим
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
S W
i
i
W
i
i
i
i
m p q
m p
m p
mq p
=
+
-
+
-
=
+
-
´
+
-
1 1
1 1
1 1
1 1
/
154

Поэтому
S
W
s
s
m p i
m q p i
=
1
Теперь если
n является количеством периодов начисления, соответствующих
q платежам, делаемым через интервалы продолжительностью
m/n , последняя формула может быть записана в виде
S = R
s
п i
, где
R = W (1/
s
m p i
) и
n = mq/p является числом периодов в терминах аннуитетов, и эта формула справедлива, является ли n целым или нет.
Доказательство для формулы текущей стоимости является подобным и поэтому не приводится. Подобное доказательство также может быть дано для общего полагающегося аннуитета.
Единственная трудность в использовании этих формул для всех случаев заключается в том, что не существует таблиц для всех возможных
n .
Однако, большинство случаев, которые встречаются на практике, могут быть рассчитаны, если вместе с таблицами использовать тождества
(
)
s
i s
k f i
f
k i
f i
+
= +
+
1
s
, (3)
(
)
а
i
а
а
k f i
f
k i
f i
+
-
= +
+
1
, (4)
(
)
s
i
s
а
k f i
f
k i
f i
+
-
= +
+
1
, (5)
(
)
а
i а
s
k f i
f
k i
f i
+
= +
-
1
. (6)
ПРИМЕР 1 Контракт предназначен для выплаты 1 млн рб в конце каждого месяца в течение 29 месяцев. Найти текущую стоимость, если начисляется 6% эффективно.
РЕШЕНИЕ Способ 1. (Использование тождеств) Платежи образуют обыкновенный общий аннуитет с
W = 1 , p = 12 , i = 6% , m = 1. Точно также, как в главе 5
, мы находим, что эквивалентные годовые платежи равны
155

R = W /
s
m p i
= 1 /
s
1 1 2 6 %
= 12,326528 .
Так как срок аннуитета равен 29 месяцам,
n = 2 5/12 года (периодов платежей) и
A = R
а
п i
= 12,326528
а
1 1 2 6 %
Теперь выразим функцию
а
2 9 1 2 6 %
с помощью тождества (4)
а
2 5 1 2 6 %
+
= (1,06)
–5/12
а
2 6 %
+
а
5 1 2 6 %
Все величины, встречающиеся в слагаемых правой части являются табулированными и мы имеем
а
2 5 1 2 6 %
+
= 0,976013 × 1,833393 + 0,399773 = 2,189189.
Поэтому
A = 12,326528 × 2,189189 = 26,9851 млн рб .
Способ 2. Этот способ состоит в написании уравнения эквивалентности, использующего в качестве даты сравнения конец периода начисления процентов, ближайший к концу срока аннуитета. Так как срок равен 29 месяцам, конец второго года будет использован как дата сравнения.
0 1 2 3 ... 27 28 29 1 1 1 ... 1 1 1
A
Сначала найдем
R , эквивалентный годовой платеж, точно также, как в способе 1.
Тогда наше уравнение эквивалентности приобретет вид
A (1,06)
2
=
R
s
2 6 %
+
R
а
5 1 2 6 %
Подставляя численные значения величин правой части, имеем
A (1,06)
2
= 12,326528 (2,06 + 0,399773) = 30,320457 .
Следовательно,
A = 30,320457 (1,06)
-2
= 26,9851 млн рб .
156

ПРИМЕР 2 Если человек вносит на депозит 1 млн рб в конце каждых 4 месяцев в течение трех лет и 8 месяцев в сберегательный банк, который установил норму процента 4% эффективно, сколько денег он будет иметь на своем счете через это время ?
РЕШЕНИЕ Способ 1. Мы хотим найти сумму обыкновенного общего аннуитета, для которого
W = 1 млн рб, p = 3 , m = 1 , i = 4% и n , число периодов начисления, равно 11/3 . Точно также, как в главе 5,
мы находим эквивалентный простой аннуитет с ежегодными платежами.
Таким образом,
R = W /
s
m p i
= 1 /
s
1 3 4 %
= 3,039651 .
Сумма аннуитета тогда равна
S = R
s
п i
= 3,039651 s
11 3 4%
Чтобы использовать таблицы для определения величины s
11 3 4%
, мы используем тождество (5).
Тогда получим
s
4 1 3 4%
-
= (1,04)
-1/3
s
4 4%
- а
1 3 4%
Все величины правой части табулированы и мы имеем
s
4 1 3 4%
-
= 0,987012 × 4,246464 - 0,324712 = 3,866597.
Отсюда
S = 3,039651 × 3,866597 = 11,7531 млн рб.
Способ 2. Выпишем уравнение эквивалентности, использующее конец четвертого года в качестве даты сравнения, так как она является концом периода начисления ближайшего к концу срока аннуитета.
0 1 2 3 ... 10 11 12 1 1 1 ... 1 1 (1)
S (1)
157

Мы добавили дополнительный 1 млн рб в обеих строках диаграммы в конце 4 лет (12 периодов начисления). Уравнение эквивалентности для этой даты имеет вид
S (1,04)
1/3
+ 1 =
R s
4 4%
, где
R имеет то же самое значение как в первом варианте.
S (1,04)
1/3
= 3,039651 × 4,246464 - 1 = 11,907770
S = 11,907770 (1,04)
-1/3
= 11,7531 млн рб.
Когда нужно определить платежи общего аннуитета, используется та же самая процедура, как и в главе 5
. Однако, с целью упрощения вычислений в качестве даты сравнения следует выбирать конец периода начисления, ближайший к дате, на которую известна эквивалентная стоимость аннуитета.
ПРИМЕР 3 Стоимость автомобиля равна 40 млн рб наличными. Он покупается за 5 млн рб наличными и остаток возмещается равными платежами в конце каждого месяца в течение 20 месяцев. Какими должны быть эти платежи, если норма процента равна 7% эффективно ?
РЕШЕНИЕ Платежи будут образовывать обыкновенный общий аннуитет с текущей стоимостью
A = 35 млн рб, p = 12 , m = 1 ,
i = 7,5% . Так как срок аннуитета равен 20 месяцам, или 5/3 года, ближайший конец периода начисления для аннуитета с эквивалентной стоимостью
A = 35 попадает на четыре месяца раньше даты покупки.
Представим временную диаграмму, показывающую это
-4 -3 -2 -1 0 1 ... 19 20
(
W) (W) (W) (W) W ... W W
(
W) (W) (W) A+(W)
Мы добавили 4 платежа (
W) к аннуитету и эквивалентной стоимости A, как показано на диаграмме. Пусть
R будет эквивалентный ежегодный платеж; выпишем уравнение эквивалентности, использующее 4 месяца до даты покупки как дату сравнения. Так как все временные интервалы должны быть выражены в годах, мы получаем
R а
2 7 5%
,
=
R а
1 3 7 5%
/
,
+
A (1,075)
-1/3 158

R ( а
2 7 5%
,
- а
1 3 7 5%
/
,
) = 35 (1,075)
-1/3
Отсюда
R (1,477983) = 34,166348 или R = 23,11687 млн рб. Мы теперь преобразуем эти годовые платежи
R в ежемесячные платежи. Тогда получим
W = R s
1 12 7 5%
/
,
= 23,11687 × 0,080599 = 1,8632 млн рб.
ПРИМЕР 4 Некто занял 1 июня 8 млн рб , которые он будет возмещать десятью одинаковыми ежемесячными платежами, первый из которых будет сделан 1 сентября. Если деньги стоят
j
2
= 8% , какими должны быть эти платежи ?
РЕШЕНИЕ Представим данные на временной диаграмме.
0 1 2 3 ... 11 12
(
W) (W) W ... W W
8 (
W) (W)
Два дополнительных платежа (
W) добавляются к аннуитету и к эквивалентной сумме 8 млн рб, как показано на диаграмме. Выпишем равенство стоимостей с датой займа в качестве даты сравнения. Это дает
R а
2 4%
= 8 +
R а
1 3 4%
/
, где
R являются эквивалентными полугодовыми платежами и время измеряется полугодиями. Разрешая это уравнение относительно
R и подставляя численные значения, получим
R ( а
2 4%
- а
1 3 4%
/
) =
R (1,561383) = 8 или R = 5,123664.
Тогда
W = R s
1 6 4%
/
= 5,123664 × 0,163955 = 0,84 млн рб.
Конечно, проиллюстрированные методы можно использовать, не прибегая к помощи таблиц. В этом случае придется использовать логарифмирование для определения значений функций составных платежей.
159

ПРИМЕР 5 По контракту приходится выплачивать 2 млн рб в конце каждых двух недель в течение 100 недель. Найти эквивалентную наличную сумму такого контракта, если деньги стоят
j
12
= 7,2 % .
РЕШЕНИЕ Здесь
W = 2 , q = 50 , p = 26 , i = 0,006 , m =12 ,
n = qm/p = 23 1/13 . Настоящая стоимость этого обыкновенного общего аннуитета будет
A = R а
n i
, где
R = W /
s
m p i
. Таблицы не содержат необходимых значений, так что функции составных платежей приходится вычислять с использованием логарифмирования. Для этого, комбинируя два последних равенства и заменяя функции составных платежей их явными выражениями, мы получим
A = W (1/
s
m p i
) а
n i
=
(
)
(
)
=
+
-
´
- +
-
W
i
i
i
i
m p
n
1 1
1 1
/
Следовательно,
A = 2 (1 - (1,006)
-23 1/13
) / (1,006)
6/13
- 1).
Используя логарифмирование для вычислений, получим
(1,006)
6/13
= 1,002765 и (1,006)
-23 1/13
= 0,871056.
Поэтому
A = 2 (1 - 0,871056) / (1,002765 - 1) = 93,27 млн рб .
10.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПЛАТЕЖЕЙ И ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО
ПЛАТЕЖА
Если
q является числом интервалов платежа общего аннуитета, n в терминах аннуитета является числом периодов начисления процентов, а
p и m являются числами интервалов платежа и периодов начисления, соответственно, в год, тогда очевидно, что
q/n = p/m . Во всех задачах общего аннуитета
p и m задаются, так что если q известно, n легко определяется и наоборот. Теперь мы рассмотрим задачу нахождения
q , когда известен достаточный набор данных. Как и в случае простых аннуитетов, если
A или S , i и W заданы (конечно, в предположении, что
m и p известны), обычно не существует
160

никакого подходящего аннуитета с точно такими же параметрами и необходимо рассматривать один платеж, отличающийся от
W для того, чтобы удовлетворить соотношению эквивалентности. Обычно, как и в случае простых аннуитетов, этот отличающийся платеж бывает заключительным и производится через один интервал платежа после последнего регулярного платежа
W . В дальнейшем считается, что все нестандартные аннуитеты содержат заключительный платеж
F , который меньше W и производится через один интервал платежа после последнего регулярного платежа
W .
Когда имеется достаточный набор данных, число платежей и заключительный платеж находятся при помощи решения соответствующих уравнений эквивалентности. Технику расчетов лучше продемонстрировать на примерах.
ПРИМЕР 1 Найти число полных платежей и величину заключительного платежа, необходимых для аннулирования долга 10 млн рб, если 1 млн рб выплачивается в конце каждого года и норма процента равна 6% ,
m = 4.
Так как
m = 4 , p = 1 , W = 1 , мы имеем для эквивалентного простого аннуитета
R = W / s
m p i
= 1 / s
4 1 5%
,
Так как долг равен 10 млн рб,
A = 10 и 10 = R а
п 1 5%
,
. Разрешая это равенство относительно а
п 1 5%
,
, мы получим
а
п 1 5%
,
= 10 /
R = 10 s
4 1 5%
,
= 40,9090338 .
Обращаясь к таблицам, мы находим, что эта величина лежит между табулированными значениями для
n = 63 и n = 64. Так как в каждом интервале платежа содержится 4 периода начисления процентов, мы приходим к заключению, что 16 полных платежей по 1 млн рб было бы более, чем достаточно, чтобы рассчитаться с долгом, и поэтому аннуитет содержит 15 полных платежей по 1 млн рб и заключительный платеж
F меньше 1 млн рб, уплачиваемый в конце 16-го года.
Чтобы найти
F , представим известные данные на диаграмме
161

Диаграмма интервалов платежа
0 1 2 ... 15 16 1 1 ... 1 F
10 0 1 2 3 ... 63 64
Диаграмма периодов начисления процентов
Величина
F может быть теперь найдена методом, использованным в главе 4
. Если мы добавим 1 к общему аннуитету и его эквивалентной стоимости в конце 16-го года (64-го периода начисления) и выпишем уравнение эквивалентности с на эту дату, мы получим
F + R s
64 1 5%
,
= 1 + 10 (1,015)
64
, где
R = 1 / s
4 1 5%
,
= 0,24444479. Разрешая равенство относительно
F , мы получим
F = 1 + 10 × 2,593144 - 0,244445 × 106,209628 = 0,9691.
Величина
F может быть найдена также путем интерполяции способом, подобным описанному в параграфе 4.8
. Этот способ состоит в определении числа платежей общего аннуитета
q (но не числа периодов начисления процентов
n) путем интерполяции между последовательными целыми числами
q , затем умножением дробной части решения на W получим
F .
Общее доказательство справедливости этого способа будет дано в следующем параграфе.
ПРИМЕР 2 Найти
F предшествующего примера путем интерполяции.
РЕШЕНИЕ Как в предшествующем примере, мы находим, что а
п 1 5%
,
=
= 40,9090338 и что это значение лежит между табулированными значениями для
n = 63 и n = 64. Однако, так как интерполяция должна быть между последовательными целыми числами
q, для интерполяционной таблички мы используем
n = 60 и n = 64 162

q 16 15 + f 15
n 64 60
а
п 1 5%
,
40,957853 40,909034 39,380269
Интерполируя, мы получаем
f = 0,1528765 / 0,1577584 = 0,969055 и
F = f W = 0,969055 млн рб .
ПРИМЕР 3 Некто покупает подержанный автомобиль стоимостью 15 млн рб путем выплаты 5 млн рб наличными и 0,5 млн рб в конце каждого месяца до полного расчета. Найти число платежей и заключительный платеж, если деньги стоят 6% ,
m = 2.
РЕШЕНИЕ Способ 1. Ежемесячные платежи будут образовывать аннуитет, для которого настоящая стоимость
A = 10 , W = 0,5 , p = 12 ,
m = 2 , i = 3% . Поэтому
10 =
R а
п 3%
, где
R = 0,5 / s
1 6 3%
= 3,03728447.
Определяя отсюда а
п 3%
, мы получим
а
п 3%
= 10 /
R = 20 s
1 6 3%
= 3,2924146. (a)
Теперь мы можем найти срок и, следовательно, число платежей способом, использованным в примере 1
. Однако, потребуется меньше вычислений, если будет использована следующая процедура. Определим по таблице значение, ближайшее к полученному значению а
п i
на последнем шаге, затем используем следующие тождества :
а
п
k i
+
= а
п i
+ (1 +
i)
-п
а
k i
(b)
а
п
k i
-
= а
п i
- (1 +
i)
-п
s
k i
(c)
Выберем
n как целое, ближайшее к концу срока аннуитета так, чтобы k не превышало 1/2 . В нашем случае а
п i
ближе к значению, данному для
n = 4 , чем для n = 3 , так что мы выбираем тождество (c). Таким образом
163

а
п 3 %
= а
4 3 %
- (1,03)
-4
s
k 3 %
, где мы написали
n на месте n - k для нецелого решения уравнения (a) и
k является дробной частью, остающейся в четвертом периоде начисления. Разрешая это равенство относительно s
k 3 %
, мы получим
s
k 3 %
= ( а
4 3 %
- а
п 3 %
)(1,03)
4
= 0,477985 (d)
Обратившись к таблице, мы найдем, что
k лежит между 2/6 и 3/6. Таким образом,
n лежит между 4 - 1/3 = 3 2/3 и 4 - 1/2 = 3 1/2. Так как имеется
6 платежей на период начисления, то будет 6 × 3,5 = 21 полных платежей и двадцать второй частичный платеж. Если бы мы использовали ошибочно другое тождество на этом последнем шаге, полученное значение s
k i
( или а
k i
) не было бы найдено в таблице, поскольку значение
k превысило бы 1/2. Для того, чтобы определить F рассмотрим диаграмму
Интервалы платежа : 0 1 2 3 ... 21 22 23 24
W W W ... W (W) (W) (W)
F
10 (
W) (W) (W)
Периоды начисления : 0 ... 3,5 4
Добавляя три платежа по
W к аннуитету и к эквивалентной сумме и выписывая уравнение эквивалентности с концом четвертого периода начисления как датой сравнения, получим
F (1,03)
1/3
+
R s
4 3 %
= 10 (1,03)
4
+
R s
1 2 3 %
Поскольку 10 =
R а
и
п 3 %
s
4 3 %
= (1,03)
4
а
4 3 %
это последнее равенство может быть записано в виде
F (1,03)
1/3
=
R s
1 2 3 %
-
R ( а
4 3 %
- а
п 3 %
)(1,03)
4
Второе слагаемое в правой части по равенству (d) равно
R s
k 3 %
, так что
164

F = R ( s
1 2 3 %
- s
k 3 %
)(1,03)
-1/3
= 0,0551 млн рб .
Способ 2 (интерполяция). Как и в предшествующем решении, мы сначала определим, сколько нужно платежей. Так как понадобится 21 полных платежей и 22-ой частичный платеж, интерполяция производится между значениями, соответствующими
q = 21 и q = 22.
Поэтому мы определим
n , а отсюда и q , интерполяцией между значениями а
3 1 2 3 %
+ /
и а
4 1 3 3 %
+ /
. Однако, нет необходимости вычислять эти функции, так как из известных тождеств видно
а
3 1 2 3 %
+ /
= а
4 3 %
- (1,03)
-4
s
1 2 3 %
,
а
4 1 3 3 %
+ /
= а
4 3 %
- (1,03)
-4
s
1 3 3 %
/
, что интерполяция между членами левой части для
n эквивалентна интерполяции для
k между значениями s
1 2 3 %
и s
1 3 3 %
/
Используя значение s
k 3 %
= 0,477985 как найденное в предыдущем решении, мы образуем следующую интерполяционную табличку
q 21 21 + f 22
k 1/2 1/3
s
k 3 %
0,496305 0,477985 0,330054
Интерполируя, мы получим
f = 0,018320/0,166251 = 0,11019 и F = f W =
= 0,0551.
Хотя каждое из решений последнего примера представляется длинным, будет видно, что они являются наглядными и требуют немного вычислительной работы. Более того, все функции, встречающиеся в вычислениях, обычно табулированы с точностью до восьми десятичных знаков, посредством чего обеспечивается точность окончательного результата по крайней мере до семи значащих цифр.
10.4 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОБЩЕЙ ТЕОРЕМЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
165

Пусть
A будет текущей стоимостью аннуитета, W - периодический платеж,
p - число платежей за год, i - норма процента за период конверсии и
m - число периодов конверсии в год. Когда вышеперечисленные величины заданы, аннуитет обычно является нестандартным, так что заключительный платеж
F , рассчитываемый на дату через один интервал платежа после последнего платежа
W , для эквивалентности необходимо определять. Если
q , число платежей, определяется путем интерполяции между значениями, соответствующими последовательным целочисленным значениям
q , тогда дробная часть
f этого решения, умноженная на W , дает заключительный платеж.
Доказательство Предположим сначала, что аннуитет является обыкновенным аннуитетом, так что временные диаграммы платежей выглядят следующим образом
Интервалы платежа : 0 1 2 3 ...
q q + 1
W W W ... W F
A
Периоды начисления : 0 1 2 ...
n' n"
где
n' = q (m/p) и n" = (q + 1)(m/p) . Уравнение эквивалентности с исходной датой в качестве даты сравнения имеет вид
A = R
a
n i
'
+
F (1 + i)
-n"
, где
R = W / s
m p i
Поэтому
F = (A - R
a
n i
'
)(1 +
i)
n"
(a)
Если мы установим
a
n i
=
A / R , тогда n = (q + f)(m/p) , где f лежит между
0 и 1. Интерполирование по
n между n' и n" эквивалентно интерполированию по
f , что дает
f = (A/R -
a
n i
'
) / (
a
n i
"
-
a
n i
'
) .
Отсюда
A - R
a
n i
'
= f R (
a
n i
"
-
a
n i
'
) . (b)
166

Исключая
A из (a) и (b) , получим
F = f R (
a
n i
"
-
a
n i
'
)(1 +
i)
n"
Используя тождество (10)
из параграфа 4.4
a
n i
"
-
a
n i
'
=
a
n
п i
"
'
-
(1 +
i )
n"–n'
, приходим к равенству
F = f R
a
n
п i
"
'
-
(1 +
i )
n"–n'
=
f R
s
n
п i
"
'
-
. (c)
Но
n" - n' = m/p и R
s
т p i
= W , поэтому
F = f W .
Если аннуитет является полагающимся аннуитетом, каждый платеж, включая
F , приходится на один период раньше и равенство
(a) преобразуется к виду
F = (A - R
a
n i
'
)(1 +
i)
n'
, где
R = W /
а
т p i
Равенство (c) принимает вид
F = f R
a
n
п i
"
'
-
= f R
а
т p i
= f W .
10.5 ДРУГИЕ ВИДЫ АННУИТЕТОВ
Имеется несколько других видов аннуитетов, которые иногда встречаются. Некоторые из них кратко рассмотрены ниже.
Увеличивающиеся аннуитеты Этот термин применяется к последовательности периодических платежей
W , 2W , 3W , ... , qW , каждый из которых на
W больше предыдущего пока не будет сделано
q платежей. Как обычно, пусть i обозначает норму процента за период конверсии,
m - число периодов конверсии в год, p - число платежей в год и
n = qm/p число периодов начисления в течение срока аннуитета. Для того, чтобы найти итоговую сумму такого аннуитета, мы рассмотрим его как совокупность
q следующих отдельных
167

аннуитетов : один аннуитет с
q платежами по W , другой аннуитет с
q - 1 платежами по W , третий аннуитет с q - 2 платежами по W и т.д., все эти аннуитеты заканчиваются в одно и то же время, как показано на временной диаграмме
0 1 2 3 4 ...
q - 2 q - 1 q
W W W W ... W W W
W W W ... W W W
W W ... W W W
............................
W W
W
Каждый из аннуитетов будет эквивалентен простому аннуитету с платежами по
R = W /
s
т p i
и со сроками qm/p ( = n ), (q - 1)m/p ,
(
q - 2)m/p , ... , 2m/p и, наконец, m/p . Поэтому итоговая сумма увеличивающегося аннуитета равна
S = R
s
п i
+ R
( )
s
q
т p i
-1
+ R
( )
s
q
т p i
-2
+ ... + R
s
т p i
Если функции составных платежей представить в явной форме и выполнить упрощающие преобразования, тогда получим
S = R ((1+ i)
п
+ (1+
i)
(q–1)m/p
+ ... + (1+
i)
m/p
-
q)/i
Сумма в скобках этого выражения является геометрической прогрессией с
q членами, первый член равен (1+i)
п
, и знаменателем (1+
i)
п
Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, мы получим
S = R (((1+i)
п
- 1)/(1 - (1+
i)
-m/p
) -
q) / i = R ((
s
п i
/
а
т p i
) -
q) / i (7) последнее упрощение использует деление числителя и знаменателя предшествующей дроби на
i .
Если требуется найти настоящую стоимость или другую эквивалентную стоимость увеличивающегося аннуитета, рекомендуется сначала определить его итоговую сумму из равенства (7), а затем преобразовывать ее к желаемой дате.
168

Уменьшаюшиеся аннуитеты Уменьшающийся аннуитет отличается от увеличивающегося аннуитета только тем, что первый платеж равен
qW и каждый последующий платеж на
W меньше предыдущего до тех пор пока не достигнут заключительный платеж
W . Так как этот аннуитет может рассматриваться как сумма
q различных аннуитетов, начинающихся в одно и то же время, проще определять формулу для его настоящей стоимости, а не для итоговой суммы. Формула имеет вид
A = R (q - (
а
п i
/
s
m p i
)) /
i , (8) где
R = W /
s
m p i
Ее доказательство подобно доказательству формулы для увеличивающегося аннуитета и предлагается сделать читателю в качестве упражнения. Если уменьшающийся аннуитет должен быть рассмотрен для даты, отличающейся от начальной, рекомендуется сначала вычислить его настоящую стоимость, а затем преобразовать ее к требуемой дате.
Наконец, следует заметить, что если аннуитет является увеличивающимся или уменьшающимся полагающимся аннуитетом,
R , встречающееся в равенствах (7)
или (8) следует вычислять с помощью равенства (1) главы 10
,
R = W/
а
m p i
Аннуитеты, выплачиваемые непрерывно Этот тип аннуитетов относится к сбору конечных сумм денег
T , в каждый период начисления, когда деньги собираются непрерывным потоком в течение периода. Хотя непрерывные аннуитеты в реальном бизнесе не встречаются, они достаточно близко приближаются в определенных практических случаях, таких как поток монет в системе городского метро.
Для получения формул для текущей стоимости и итоговой суммы такого аннуитета необходимы два соотношения из анализа
p ((1+i)
m/p
- 1)
® m ln (1+i) , когда p ® 0 (9)
(1 + 1/
x)
х
® e = 2,71828... , когда x ® 0 (10)
Настоящая стоимость обыкновенного общего аннуитета может быть записана в виде
A = W
а
п i
/
s
m p i
. (11)
169

Пусть
T = p W будет равно полным платежам аннуитета за год. Тогда
A = T i
а
п i
/ (
p ((1+i)
m/p
- 1)) .
Если мы устремим
p к бесконечности и используем предел из соотношения
(9)
, мы получим
A
® T i
а
п i
/ (
m ln (1+i)) , когда p
® 0 . (12)
Подобным образом
S
® T i
s
п i
/ (
m ln (1+i)) , когда p
® 0 . (13)
Аннуитеты с процентами, начисляемыми непрерывно Возвращаясь к равенству
(11)
, будем считать
p постоянным, i = j/m , n = tm , где
t равно продолжительности полного года. Тогда
A
W
i
j
m
j
m
j
m
m p
tm
=
+
æ
èç
ö
ø÷
-
´
-
+
æ
èç
ö
ø÷
-
1 1
1 1
Это последнее соотношение может быть записано в виде
A
W
j
m
j
m
m j
jt
m j
j p
=
-
+
æ
èç
ö
ø÷
é
ëê
ù
ûú
+
æ
èç
ö
ø÷
é
ëê
ù
ûú
-
-
1 1
1 1
/
/
/
Если теперь
m устремить к бесконечности, соотношение
(10) при
x = m/j дает
A
® W (1 - e
–jt
) / (
e
j/p
- 1) ,
S
® W (e
jt
– 1) / (
e
j/p
- 1) .
Вышеприведенные формулы применяются к аннуитетам, для которых платежи делаются конечное число раз в год, но процент конвертируется непрерывно.
170

Аннуитеты
с
непрерывными
платежами
и
непрерывно
конвертируемым процентом В качестве последнего варианта рассмотрим аннуитет, для которого и платежи и процент являются непрерывными. Пусть
T = p W будет полный годовой платеж, и пусть
n = tm , где t равно полной продолжительности года. Если m и p могут увеличиваться до бесконечности, использование соотношений
(9)
и
(10)
дает
A
® T (1 - e
–jt
) /
j , S
® T (e
jt
- 1) /
j .
Если мы не требуем, чтобы платежи аннуитета все были одинаковыми, очевидно, число различных теоретически возможных типов аннуитетов практически неограниченно. Несмотря на то, что было бы возможно получить формулы для практически любых типов ситуаций, которые могут появиться, значительно более важным является ясное понимание основных принципов того, как они получаются.
УПРАЖНЕНИЯ 10
1. Иванов занял 100 млн рб и подписал обязательство выплачивать 2 млн рб основной суммы в конце каждого года в течение 50 лет вместе с процентом 5% от суммы, которой он еще владел. После 10 лет контракт был продан инвестору, который захотел иметь 6% эффективно за свою инвестицию. Найти цену продажи. (Указание: использовать тот факт, что выплаты основной суммы образуют обыкновенный аннуитет, а выплаты процентов образуют уменьшающийся аннуитет.)
2. Петров вносит 10 млн рб в начале каждого года на счет фонда, выплачивающего возмещение с эффективным процентом 5% . Основная сумма будет разделена между его тремя дочерьми через 10 лет. Его сын получает все проценты от фонда в конце каждого года. Если сын инвестирует свои проценты в сберегательный банк, который накапливает при 3% ,
т = 4 , сколько он будет иметь через 10 лет ?
Будет ли его сумма превышать долю сестер ?
3. Городское метро собирает 100000 жетонов (каждый жетон стоит 2000 рб) в течение каждого дня практически непрерывным потоком. Найти настоящую стоимость этих поступлений в течение 365 дней, если деньги стоят а) 4% эффективно, б) 3% конвертируемые непрерывно.
4. Найти итоговую сумму и настоящую стоимость аннуитета, выплачивающего 10 млн рб в конце каждого года в течение 20 лет, если процент конвертируется непрерывно при 3% .
5. Оформляется контракт, по которому выплачивается 500 тыс рб в конце каждого месяца первого года, 450 тыс рб в конце каждого месяца вторго
171

года, и т.д. Ежемесячные платежи каждого последующего года на 50 тыс рб меньше ежемесячных платежей предыдущего года в течение полных 10 лет. Найти настоящую стоимость этого контракта, если деньги стоят 6% ,
т = 12. (Указание: учесть, что суммы каждого из 10 обыкновенных аннуитетов образуют уменьшающийся аннуитет.)
6. По системе товары-почтой продаются вещи по следующему плану: 10% цены наличными и 10% цены в месяц в течение 10 месяцев. Какая эффективная норма процента реализуется при такой торговле ?
7. Оформляется контракт, по которому выплачивается 500 тыс рб в конце каждого полугодия в течение 7,5 лет и дополнительно 10 млн рб в конце этого срока. Чему равна настоящая стоимость контракта, если деньги стоят
j
1
= 5% ?
8. Страховой полис подразумевает платежи 70 тыс рб в начале каждого квартала в течение 25 лет и выплатит 10 млн рб по смерти страхователя.
Сколько времени должна продолжаться жизнь страхователя, чтобы компания не разорилась при стоимости денег 4% эффективно ?
9. Иванов занял 10 млн рб 1 июля и такую же сумму 15 августа. Он согласен выплатить эти долги восемью одинаковыми ежемесячными платежами, начиная с 1 ноября. Если учесть проценты 8% ,
т = 2 , какими должны быть платежи ?
10. Сколько ежеквартальных платежей по 3 млн рб потребуется, чтобы выплатить покупку автомобиля стоимостью 45 млн рб , если выплачивается 8 млн рб наличными и процент начисляется согласно ставке
j
12
= 5% ? Каким будет завершающий платеж ?
11. Мебельная фабрика продает товары по одной из следующих схем:
25% скидка на цены при покупке наличными или 25% стоимости наличными и остальное в виде 12 одинаковых ежемесячных платежей без всяких процентов. Какая эффективная процентная ставка делает эти схемы эквивалентными ?
12. Земельное хозяйство стоит 800 млн рб. Фермер платит 50 млн рб наличными и будет выплачивать оставшийся долг в течение следующих
50 лет равными платежами 1 декабря, 1 марта и 1 июня ежегодно.
Какими будут эти платежи, если хозяйство покупается 1 сентября и процентная ставка равна 6% эффективно ?
172