_Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve. Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие

• Название: Г. А. Медведев начальный курс финансовой математики учебное пособие
• Дата: 21.04.2022
• Размер: 5.79 Mb.
• Имя файла: _Бизнес_Математические методы финансового анализа_Medvedev_medve.pdf
• Тип: Учебное пособие; #488492
• страница: 4 из 13

Глава 4 ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ
4.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Аннуитет является последовательностью периодических платежей, обычно одинаковых, сделанных через одинаковые промежутки времени. Наиболее известными примерами аннуитетов являются платежи премий страхования жизни, платежи рассрочки, платежи ренты и т.д.
Период времени между двумя последовательными платежами называется интервалом платежа и может быть любой удобной продолжительности. Первоначально слово аннуитет относилось только к ежегодным платежам, но современное использование этого термина может предусматривать интервалы платежа любой продолжительности.
Сроком аннуитета является время от начала первого интервала платежа до окончания последнего интервала платежа. Когда срок аннуитета фиксирован, то есть когда срок начинается и заканчивается в определенные даты, аннуитет называется
определенным
(детерминированным) аннуитетом. Когда срок аннуитета зависит от некоторого неопределенного события, такого как смерть человека, аннуитет называется зависимым (случайным) аннуитетом.
Когда платежи производятся в моменты окончания интервалов платежа, аннуитет называется обыкновенным аннуитетом. Когда платежи производятся в начальные моменты интервалов платежа, аннуитет называется полагающимся аннуитетом. В дальнейшем, следуя принятой на практике традиции, слово аннуитет будет означать обыкновенный аннуитет, если не оговорено другое.
Предположим, что Иванов покупает автомобиль в рассрочку, выплачивая наличными 3 млн рб в день покупки и затем ежемесячно 1 млн рб в течение 24 месяцев, первый взнос по истечению 1 месяца после даты продажи. Ежемесячные взносы составляют обыкновенный аннуитет, срок которого начинается в день продажи и продолжается в течение двух лет. Интервал платежа равен 1 месяцу.
Все задачи об аннуитетах касаются полной стоимости серии платежей на некоторую заданную дату. Можно было бы рассмотреть все эти
39

задачи методами, развитыми в предшествующих разделах. Однако, используя свойство регулярности платежей аннуитетов, вычисление полной стоимости может быть существенно упрощено.
4.2 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И ИТОГОВАЯ СУММА
ОБЫКНОВЕННОГО АННУИТЕТА
Настоящая стоимость аннуитета определяется как датированная сумма, эквивалентная всей серии платежей, на начало срока аннуитета.
Итоговая сумма аннуитета определяется как датированная сумма, эквивалентная всей серии платежей аннуитета на конец срока. Таким образом, настоящая стоимость обыкновенного аннуитета является эквивалентной суммой, выплачиваемой за один период платежа до даты первой выплаты. Итоговая сумма обыкновенного аннуитета является эквивалентной суммой на момент последнего платежа.
Очевидно, что как настоящая стоимость, так и итоговая сумма аннуитета будет зависеть от нормы процента, используемой в уравнении эквивалентности. Так как период начисления процентов не обязательно совпадает с интервалом платежа, удобно классифицировать аннуитеты с учетом этого. Когда интервал платежа совпадает с периодом начисления процентов, аннуитет называется простым аннуитетом: в противном случае он называется общим аннуитетом. В этом разделе рассматриваются только простые аннуитеты.
ПРИМЕР 1 Найти текущую стоимость и итоговую сумму обыкновенного аннуитета, состоящего из пяти полугодовых платежей
10000 рб каждый, если деньги стоят j
2
= 4% .
РЕШЕНИЕ Пусть A обозначает настоящую стоимость, а S - итоговую сумму аннуитета. Представим данные на диаграмме
0 1 2 3 4 5 10000 10000 10000 10000 10000
A S
Чтобы определить A выпишем уравнение эквивалентности, используя в качестве даты сравнения начало срока аннуитета. Это даст
A = 10000(1,02)
-1
+ 10000(1,02)
-2
+ 10000(1,02)
-3
+
+ 10000(1,02)
-4
+ 10000(1,02)
-5
= 47135 рб.
40

Подобным образом, для определения S выпишем уравнение эквивалентности, используя в качестве даты сравнения конец срока аннуитета. В этом случае
S = 10000 + 10000(1,02) + 10000(1,02)
2
+
+ 10000(1,02)
3
+ 10000(1,02)
4
= 52040 рб.
Способ вычисления A и S , использованный в примере, ясно показывает различие в определениях настоящей стоимости и итоговой суммы, но он является громоздким и неудобным при большом количестве платежей. Более компактный способ расчета можно сформулировать, основываясь на свойствах геометрических прогрессий.
Пусть S будет итоговой суммой обыкновенного простого аннуитета с n платежами по 1 рб каждый при норме процента i за интервал платежа и пусть A является настоящей стоимостью этого аннуитета.
Временная диаграмма платежей аннуитета будет выглядеть следующим образом
0 1 2 3 4 ... n-1 n
1 1 1 1 ... 1 1
A S
Для нахождения S составим уравнение эквивалентности, используя конец срока как дату сравнения. Тогда получим
S = 1 + 1(1 + i) + 1(1 + i)
2
+ ... + 1(1 + i)
п-1
Правая часть равенства является геометрической прогрессией из n членов, первый член равен 1 и знаменатель прогрессии равен (1 + i).
Сумма такой прогрессии равна
(
)
S
i
i
n
=
+
-
1 1
Правая часть этого равенства зависит от n и i и имеет общепринятое обозначение s
n i
или s
n
при
i , читаемое « s уголок n при i ». Таким образом,
41

s
n i
(или s
n
при
i) =
(
)
1 1
+
-
i
i
n
Если каждая выплата состоит из
R рб , тогда итоговая сумма в R раз больше этой и формула для итоговой суммы
S приобретает вид
S = R s
n i
. (1)
Для получения настоящей стоимости
A этого аннуитета заметим, что
A и S являются датированными суммами одной и той же серии платежей и, следовательно, являются эквивалентными суммами. Откуда следует, что
S = A(1 + i)
п
или
A = S(1 + i)
-п
(2)
Используя (1) в (2), получим
A = R s
n i
(1 +
i)
-п
=
R
(
)
1 1
- +
-
i
i
n
Общепринятым обозначением является также следующее
а
n i
= (
а
n
при
i ) = (1 - (1 + i)
-п
) /
i.
Применение его приводит к следующей формуле для
A
A = R
а
n i
. (3)
Равенства
(1)
,
(2)
и (3) являются основными соотношениями, устанавливающими связь между величинами
S , A и R . Два новых обозначения
s
n i
и
а
n i
заменяют всю серию платежей аннуитета одноразовым платежом в соответствующую дату. Они имеют большое распространение в финансовых расчетах, поэтому их величины также табулированы для наиболее часто встречающихся значений параметров
n и
i .
ПРИМЕР 2 Иванов будет делать вклады на депозит по 25000 рб в конце каждого квартала в банк, который установил норму процента 3% ,
42

конвертируемую поквартально. Какую сумму он будет иметь в банке через 10 лет, если a) он не имел ничего на банковском счете в начальный момент; b) он имел на банковском счете 100000 рб в начальный момент ?
РЕШЕНИЕ a) Представим данные на временной диаграмме
0 1 2 3 ... 39 40 25000 25000 25000 ... 25000 25000
S
На диаграмме время измеряется интервалами платежа от 0 до 40 и
S является суммой на конец сорокового интервала платежа, эквивалентной аннуитету. Так как
R = 25000 рб, i = 0,75% за интервал платежа и
n = 40, мы имеем
S = R
s
n i
= 25000
s
40 0 0075
,
= 25000 × 46,446481 = 1161162 b) Дополнительную сумму 100000 рб следует поместить на временной диаграмме в начальную точку 0. В этом случае уравнение эквивалентности имеет вид
S = 100000(1,0075)
40
+ 25000
s
40 0 0075
,
=
= 134835 + 1161162 = 1295997 рб.
ПРИМЕР 3 Петров выплачивает заем, делая платежи по 5000 рб в конце каждых 6 месяцев. Процентная ставка при получении займа была установлена равной
j
2
= 5,5% . Какой является неуплаченная часть займа в настоящий момент, если a) осталось сделать 30 платежей, чтобы полностью возместить заем; b) кроме 30 платежей по 5000 рб необходим еще один взнос 2000 рб через 6 месяцев ?
РЕШЕНИЕ a) Имеющиеся данные представим на диаграмме
0 1 2 3 ... 29 30 (31)
5000 5000 5000 ... 5000 5000 (2000)
A
43

Настоящая стоимость
A займа является настоящей стоимостью аннуитета с платежами по 5000 рб, 30 интервалами платежа при норме процента
i = 2,75% . Уравнение эквивалентности
A = R
а
n i
= 5000
а
30 0 0275
,
= 5000 × 20,2459301 = 101246,51 b) Дополнительная сумма 2000 рб должна быть помещена на диаграмме в конце 31-го интервала платежа,
A равно сумме всех платежей, дисконтированных к началу :
A = 5000
а
30 0 0275
,
+ 2000(1,0275)
-31
= 102109,08 рб.
4.3 ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ
Иногда желательно считать, что срок аннуитета начинается датой первого платежа. В этом случае периодические платежи производятся в начальные моменты интервалов платежа, а не в конце. Такой аннуитет называется полагающимся аннуитетом и состоит из серии периодических платежей, производимых в начальные моменты интервалов платежей, со сроком, начинающимся датой первого платежа и заканчивающимся через один интервал после последнего платежа.
Так как настоящая стоимость аннуитета была определена как эквивалентная сумма на начало срока, значит настоящая стоимость полагающегося аннуитета является эквивалентной суммой на момент первого платежа. В свою очередь, итоговая сумма аннуитета была определена как эквивалентная сумма на конец срока, поэтому итоговая сумма полагающегося аннуитета является эквивалентной суммой на дату окончания интервала платежа, который начался в момент последнего платежа.
Как и прежде
A будет обозначать настоящую стоимость, S - итоговую сумму,
R - стоимость периодического платежа и i - норму процента за интервал платежа полагающегося аннуитета из
n платежей.
Представим эти данные на временной диаграмме
-1 0 1 2 3 ...
n-2 n-1 n
R R R R ... R R
A S
44

Из диаграммы видно, что существенное отличие полагающегося аннуитета от обыкновенного аннуитета состоит в том, что по отношению к эквивалентным суммам
A и S при полагающемся аннуитете каждый платеж делается на один интервал платежа раньше, чем при обыкновенном аннуитете. Сформулируем схемы вычислений настоящей стоимости и итоговой суммы для полагающихся аннуитетов.
Определение
A. Способ 1. Выписывается уравнение эквивалентности с датой сравнения, установленной на интервал платежа раньше даты первого платежа. На эту дату
n платежей R могут рассматриваться как обыкновенный аннуитет. Следовательно,
A(1 + i)
-1
=
R a
n i
Из этого равенства получаем
A = (1 + i) R a
n i
. (4)
Способ 2. Выписывается уравнение эквивалентности с датой сравнения, установленной на дату начала срока. Платеж в этот день рассматривается как выплата наличными, а остальные
n-1 платежей могут рассматриваться как обыкновенный аннуитет. Поэтому
A = R + R a
n
i
- 1
=
R(1 + a
n
i
- 1
). (5)
Определение
S. Способ 1. Выписывается уравнение эквивалентности с датой сравнения, установленной на дату последнего платежа. На эту дату платежи могут рассматриваться как обыкновенный аннуитет.
Следовательно,
S(1 + i)
-1
=
R
s
n i
Разрешая это соотношение относительно
S , получим
S = (1 + i) R
s
n i
. (6)
Способ 2. Обращаясь снова к временной диаграмме, можно увидеть, что если добавить дополнительный платеж в конце последнего интервала платежа, получающаяся серия платежей ( начинающаяся за
45

интервал платежа до начала срока рассматриваемого аннуитета ) может рассматриваться как обыкновенный аннуитет с
n + 1 платежами. Этот дополнительный платеж увеличивает сумму
S ровно на R , так как делается в день окончания срока аннуитета. Поэтому
S + R = R
s
n
+ 1 i
Отсюда итоговая сумма полагающегося аннуитета равна
S = R
s
n
+ 1 i
-
R = R(
s
n
+ 1 i
- 1) . (7)
Знакомясь со способами расчета
A и S , следует иметь ввиду, что главное здесь не полученные формулы, а рассуждения, с помощью которых они получены. Именно такого рода рассуждения часто используются при решении разнообразных финансовых проблем, как можно увидеть позже.
ПРИМЕР 1 Найти эквивалентную стоимость холодильника, который может быть куплен в течение полутора лет ежемесячными платежами по 200000 рб , если деньги стоят
j
12
= 6% .
РЕШЕНИЕ На основе исходных данных построим диаграмму
-1 0 1 2 3 ... 16 17 18 200000 200000 200000 200000 ... 200000 200000
A
Способ 1. На дату, помеченную -1 , платежи образуют обыкновенный аннуитет из 18 платежей, а эквивалентная сумма
A рассчитывается на 1 интервал платежа позже. Уравнение эквивалентности на дату сравнения
-1 имеет вид
A(1,005)
-1
= 200000 × a
1 8 0 0 0 5
,
поэтому
A = 201000 × 17,172768 = 3451726 рб.
Способ 2. Первый платеж можно рассматривать как выплату наличными, а остальные 17 платежей считать обыкновенным аннуитетом со сроком,
46

начинающимся в день покупки. Тогда из уравнения эквивалентности с датой сравнения в день покупки получим
A = 200000 + 200000 × a
1 7 0 0 0 5
,
=
= 200000 × (1 + 16,258632) = 3451726 рб.
ПРИМЕР 2 Сберегательный банк начисляет проценты с нормой
j
2
= 4%
Если на депозитный счет вносить в начале каждого полугодия по 50000 рб, какая сумма будет лежать на этом счете через 12 лет ?
РЕШЕНИЕ Поместим исходные данные на временную диаграмму
-1 0 1 2 3 ... 22 23 24 50т 50т 50т 50т ... 50т 50т
S
Способ 1. Выпишем уравнение эквивалентности, используя дату последнего платежа как дату сравнения. На эту дату накопленная сумма платежей равна итоговой сумме обыкновенного аннуитета, поэтому
S(1,02)
-1
= 50000 ×
s
2 4 0 0 2
,
Отсюда имеем
S = 51000 × 30,421862 = 1551515 рб.
Способ 2. В конце 24-го интервала платежа добавим лишние 50000 рб к серии платежей аннуитета и добавим также 500000 рб к эквивалентной сумме
S. Уравнение эквивалентности на конец 24-го интервала теперь примет вид
S + 50000 = 50000 ×
s
2 5 0 0 2
,
Из него находим
S = 50000(
s
2 5 0 0 2
,
- 1 ) = 50000(32,0303 - 1) = 1551515.
47

4.4 ОТСРОЧЕННЫЕ АННУИТЕТЫ
Когда срок аннуитета устанавливается, начиная с некоторой даты в будущем относительно даты заключения сделки, аннуитет называется
отсроченным аннуитетом. Обычно анализируют отсроченные аннуитеты как обыкновенные аннуитеты, поэтому в последующем слово
«обыкновенные» для краткости будем опускать.
Продолжительность времени от даты заключения сделки до начала срока аннуитета, то есть до начала первого интервала платежа, называется периодом отсрочки. Таким образом, аннуитет, состоящий из полугодовых платежей, первый из которых делается через 4 года, квалифицировался бы как отсроченный аннуитет с периодом отсрочки 3,5 года.
Для определения настоящей стоимости отсроченного аннуитета не требуется никаких новых методов. Как обычно, составляется уравнение эквивалентности с удобной датой сравнения и из него находится текущая стоимость. Поясним это на примере.
ПРИМЕР Компания получила определенную сумму, которую она будет возмещать, выплачивая по 50 млн рб в месяц, первая выплата должна быть сделана через 2 года, а последняя - через 5 лет от даты заключения сделки. Какую сумму получит компания в день заключения сделки при норме процента 6% ,
m = 12 ?
РЕШЕНИЕ Обозначим через A настоящую стоимость платежей и поместим исходные данные задачи на временную диаграмму
0 1 2 3 ... 23 24 25 ... 59 60 50 50 ... 50 50
A
Способ 1. Первая выплата попадает на конец 24-го месяца, а последняя должна быть сделана в конце 60-го месяца, так что всего состоится 37 выплат. Поэтому эти платежи можно рассматривать как обыкновенный аннуитет с 37-ью платежами, отсроченными на 23 интервала платежа.
Выпишем уравнение эквивалентности на дату сравнения в конце 23-го месяца.
48

A х (1,005)
23
= 50 × a
3 7 0 0 0 5
,
млн рб
Умножая это равенство на (1,005)
-23
, получим
A = (1,005)
-23
× 50 × a
3 7 0 0 0 5
,
млн рб =
= 0,8916216 × 50 × 33,70250372 = 1502,49 млн рб.
Способ 2. Этот способ не очевидный и дает пример, когда небольшая изобретательность позволяет упростить вычисления. Поместим на диаграмму дополнительные платежи по 50 млн рб в концах первых 23-ех месяцев в обоих строках. Тогда диаграмма приобретет вид
0 1 2 3 ... 23 24 25 ... 59 60
(50) (50) (50) ... (50) 50 50 ... 50 50
A (50) (50) (50) ... (50)
Поскольку дополнительные платежи будут одинаково входить в обе части уравнения эквивалентности, их присутствие не должно влиять на правильность результата. В правой части будет стоять стоимость аннуитета с 60-ью платежами, а к левой части добавится аннуитет с
23-ью платежами. Уравнение эквивалентности с датой сравнения в день заключения сделки в этом случае имеет вид
A + 50 × a
2 3 0 0 0 5
,
= 50 × a
6 0 0 0 0 5
,
млн рб.
Подставляя сюда соответствующие значения a
n i
из таблицы и выражая
A , получим
A = 50 × ( a
6 0 0 0 0 5
,
- a
2 3 0 0 0 5
,
) млн рб =
= 50 × ( 51,72556075 - 21,67568055 ) = 1502,49 млн рб.
Способ 1 является более естественным, но при наличии таблиц Способ 2 является более простым.
Если два способа, описанные в примере, применяются при расчете
A для аннуитета с
n платежами по R рб каждый, отсроченного на k
49

периодов, и с нормой процента
i за период, тогда общая формула для
Способа 1 имеет вид
A = (1 + i)
-k
R a
n i
. (8)
А для Способа 2 эта формула выглядит следующим образом
A = R( a
n
k i
+
- a
k i
) . (9)
Так как значения
A для обоих методов должны быть одинаковы, приравнивая правые части равенств (8) и (9), мы получим полезное тождество
a
n
k i
+
- a
k i
= (1 +
i)
- k
a
п i
. (10)
Здесь снова следует заметить, что полезно освоить методы получения результатов, а не запоминать полученные формулы. Всегда нужно точно представлять исходные данные на временной диаграмме, правильно определяя количество платежей и период отсрочки.
4.5 ТОЖДЕСТВА, СВЯЗЫВАЮЩИЕ НАКОПЛЕНИЯ И АННУИТЕТЫ
Функции составных платежей широко используются в финансовых расчетах, связанных с платежами распределенными во времени. Для основных из них составлены таблицы, принципы составления которых отражены в приложении к книге. Важную роль при финансовых расчетах играют также тождества, которые устанавливают часто используемые взаимоотношения между функциями составных платежей
s
n i
и
а
n i
Воспользуемся равенством
(2)
S = A(1 + i)
п
Подставляя в это равенство значения
S и A по формулам
(1) и
(3)
и сокращая обе части равенства на
R , получим
s
n i
= (1 +
i)
п
а
n i
. (11)
Эта формула и определяет первое тождество, связывающее рассматриваемые функции.
50

Далее, из определения
(
)
s
i
i
n i
n
=
+
-
1 1
следует, что
1 +
i
s
n i
= (1 +
i)
п
Поделив это равенство на
(11)
, мы получим второе тождество
1 1
s
i
a
n i
n i
+ =
(12)
Оба тождества
(11) и (12) справедливы для любых значений параметров
n и i .
В дополнение к только что полученным тождествам можно добавить и ряд других важных тождеств. Некоторые из них предлагается получить в порядке выполнения нижеследующих упражнений. Важность этих тождеств можно оценить тогда, когда при расчетах необходимо определять значения функций составных платежей для таких
n , которые лежат за пределами имеющихся таблиц.
ПРИМЕР При приобретении дома необходимо заплатить 20 млн рб в день покупки и выплачивать 750 тыс рб ежемесячно в течение следующих 20 лет. Если деньги стоят
j
12
= 6% , какова стоимость дома на день покупки ?
РЕШЕНИЕ Поместим исходные данные на временную диаграмму
0 1 2 3 ... 240 20 млн 750 тыс 750 тыс 750 тыс ... 750 тыс
X
Уравнение эквивалентности с датой сравнения в день покупки
51

X = 20000 + 750 ×
а
2 4 0 0 0 0 5
,
Обычно таблицы для функций составных платежей содержат значения этих функций для
n , не превышающих 200. Поэтому значение функции
а
2 4 0 0 0 0 5
,
не может быть получено из таблицы непосредственно и его нужно определять некоторым другим способом. Мы используем тождество, основанное на формуле
(10) ( см. также упражнение 4 ).
а
n
k i
+
= (1 +
i)
-
k
а
n i
+
а
k i
При
n = 200 , k = 40 , i = 0.005 это тождество дает
а
2 4 0 0 0 0 5
,
= (1,005)
-40
а
2 0 0 0 0 0 5
,
+
а
4 0 0 0 0 5
,
=
= 0,81913886 × 126,24055430 + 36,17222786 = 139,58077 так что эквивалентная стоимость дома на день покупки
X = 20000 + 750 × 139,58077 = 124685,6 тыс рб.
УПРАЖНЕНИЯ 4.1
Доказать справедливость следующих равенств
1. (1 +
i)
s
n i
=
s
n
+ 1 i
- 1.
2. (1 +
i)
а
n i
=
а
n
i
+ 1
+ 1.
3.
s
n
k i
+
=
s
n i
+ (1 +
i)
п
s
k i
= (1 +
i)
k
s
n i
+
s
k i
4.
а
n
k i
+
=
а
n i
+ (1+
i)
n
а
k i
= (1+
i)
-
k
а
n i
+
а
k i
5.
s
n
k i
+
=
s
n i
- (1 +
i)
n
а
k i
= (1 +
i)
-
k
s
n i
-
а
k i
6.
а
n
k i
+
=
а
n i
- (1 +
i)
-
n
s
k i
= (1 +
i)
k
а
n i
-
s
k i
52

4.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛАТЕЖЕЙ АННУИТЕТА
Основное уравнение аннуитета
(1) определяет взаимоотношения между величинами
S , R , n и i . Подобным образом, равенство
(3)
определяет зависимость между
A , R , n и i . В каждом из этих случаев если мы знаем три из этих величин, четвертая может быть определена
Когда известны
S , n и i , периодические платежи аннуитета находятся из уравнения
(1)
R
S
s
S
s
n i
n i
=
=
1
. (13)
Для быстрого определения
R при отсутствии вычислительных средств составлены таблицы величины (1/
s
n i
) для обычно используемых значений параметров
n и i .
Когда даны
A , n и i , формула для R получается из равенства
(3)
R
А
a
A
a
n i
n i
=
=
1
(14)
Для быстрого определения (1/
а
n i
) нет необходимости иметь специальную таблицу, так как по тождеству
(12) эта величина выражается через табулированную величину (1/
s
) простым добавлением известного параметра
i .
n i
Следует заметить, что формулы (13) и (14) справедливы только для обыкновенных аннуитетов. Когда определяются платежи полагающихся или отсроченных аннуитетов, не следует использовать эти формулы. В таких случаях нужно возвращаться к общей процедуре определения составляющих аннуитета, выписывая уравнение эквивалентности.
ПРИМЕР 1 Сберегательный банк начисляет проценты по норме
j
4
= 3% .
Какой величины вклады необходимо делать в конце каждого квартала, чтобы накопить за 5 лет 1 млн рб ?
РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме
53

0 1 2 3 4 ... 18 19 20
R R R R ... R R R
1 млн
Выпишем уравнение эквивалентности для даты сравнения в конце двадцатого периода начисления. Это дает
1 млн рб =
R
s
2 0 0 0 0 7 5
,
Разрешая его относительно
R , получим
R = 1/
s
2 0 0 0 0 7 5
,
= 1 × 0,04653063 = 46530,63 рб.
ПРИМЕР 2 Стиральная машина стоит 500 тыс рб наличными. Она может быть приобретена также в рассрочку путем начального платежа
200 тыс рб и одинаковыми ежемесячными взносами в течение двух лет.
Найти величину ежемесячного платежа, если деньги стоят
j
12
= 3,5% .
РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме
0 1 2 3 ... 22 23 24 200 R R R ... R R R
500
Месячная норма процента равна (7/24)% . Уравнение эквивалентности с датой покупки в качестве даты сравнения имеет вид
500 = 200 +
R
а
2 4 7 2 4
/
Разрешая его относительно
R , получим
R = 300 × (1/
а
2 4 7 2 4
/
) .
Из тождества
(12) находим
(1/
а
2 4 7 2 4
/
) = (1/
s
2 4 7 2 4
/
) + 0,07/24 =
= 0,04028606 + 0,00291667 = 0,04320273 .
54

Поэтому
R = 300 × 0,04320273 = 12,96 тыс рб .
ПРИМЕР 3 Студент занимает 2 млн рб, чтобы заплатить за обучение в течение года. Он обещает возместить долг с процентами при
j
2
= 4,5% десятью полугодовыми взносами. Первая выплата будет сделана через три года после получения займа. Какими должны быть эти взносы ?
РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме
0 1 2 ... 5 6 7 ... 14 15
R R ... R R
2 млн
Способ 1. Запишем уравнение эквивалентности, используя конец пятого полугодия в качестве даты сравнения
R
а
1 0 2 2 5 %
,
= 2 × (1,0225)
5
млн рб .
Умножение этого равенства на (1/
а
1 0 2 2 5 %
,
) дает
R = 2 × (1,0225)
5
× (1/
а
1 0 2 2 5 %
,
) млн рб =
= 2 × 1,11767769 × 0,11278768 млн рб = 252,11 тыс рб .
Способ 2. Добавим дополнительные платежи в концах первых пяти периодов в обе строки платежей. Тогда диаграмма преобразуется к следующему виду
0 1 2 ... 5 6 7 ... 14 15
(R) (R) ... (R) R R ... R R
2 млн (R) (R) ... (R)
Уравнение эквивалентности для дня получения долга в качестве даты сравнения имеет вид
R
а
1 5 2 2 5 %
,
= 2000000 +
R
а
5 2 2 5 %
,
Разрешая его относительно
R , получим
55

R = 2000000/(
а
1 5 2 2 5 %
,
-
а
5 2 2 5 %
,
) =
= 2000000/(12,61216551 - 4,67945253) = 252,11 тыс рб .
4.7 АННУИТЕТЫ С НЕИЗВЕСТНЫМИ СРОКАМИ
Предположим, что человек занимает 10 млн рб и согласен выплатить долг при норме процента
j
4
= 4% платежами по 500 тыс рб в конце каждого квартала в течение необходимого времени. Ясно, что платежи образуют аннуитет, текущая стоимость которого на день займа равна 10 млн рб. То есть
10000 тыс рб = 500 × а
п 1%
тыс рб или а
п 1%
= 20 , где
n является неизвестным. Обратившись к таблицам, мы увидим, что для целого
n полученное равенство не может удовлетвориться, действительно,
а
22 1%
= 19,66037934 и а
23 1%
= 20,45582113 .
В этой ситуации обычно делается 22 платежа по 500 тыс рб каждый, а
23-ий платеж делается меньшей суммой, но достаточной, чтобы расплатиться с долгом.
В общем случае, когда заданы
A , R и i , практически никогда соответствующий параметр
n не бывает целым. Поэтому приходится использовать один платеж, отличающийся от
R , чтобы обеспечить эквивалентность выплат. Обычно этот платеж является последним и по величине меньше, чем
R , хотя это и не является необходимым.
Определение величины последнего платежа производится с использованием все того же уравнения эквивалентности. Рассмотрим это на примерах.
ПРИМЕР 1 Предположим, что заемщик в вышеописанной ситуации подписывает сделку с 22-мя поквартальными платежами и последним платежом в конце 23-го квартала величиной
F, достаточной для погашения оставшейся части долга. Чему равна
F ?
РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме
56

0 1 2 3 ... 21 22 23 500т 500т 500т ... 500т 500т F
10 млн
Способ 1. Выпишем уравнение эквивалентности, используя в качестве даты сравнения конец 22-го периода. Это даст
F (1,01)
-1
+ 500 s
22 1%
= 10000 × (1,01)
22
Разрешая это уравнение относительно
F , получим
F = ( 12447,16 - 12235,79 )(1,01) = 231,5 тыс рб.
Способ 2. Введем по одному дополнительному платежу 500 тыс рб в день окончания 23-го периода и используем эту дату как дату сравнения в уравнении эквивалентности получившихся платежей
F + 500 s
23 1%
= 10000 × (1,01)
23
+ 500
F = 12571,63 + 500 - 12858,15 = 213,5 тыс рб.
Когда заданы величины
S , R и i , расчет серии платежей проводится аналогично.
ПРИМЕР 2 Вклады по 10000 рб делаются в сберегательный банк по полугодиям при норме процента
j
2
= 3% . На какую дату попадает заключительный вклад, не превышающий 10000 рб, если сумма на депозитном счете становится равной 300000 рб ? Каким будет этот заключительный вклад ?
РЕШЕНИЕ Вклады будут образовывать аннуитет с итоговой суммой
300000 рб. Поэтому имеет место равенство
300000 = 10000 × s
п 1 5%
,
или s
п 1 5%
,
= 30 , где
n неизвестно. Из таблиц находим, что
s
24 1 5%
,
= 28,63352080 и s
25 1 5%
,
= 30,06302361 .
57

Следовательно, нужно сделать 24 вклада по 10000 рб и заключительный вклад
F в конце 25-го периода. Представим это на временной диаграмме
0 1 2 3 ... 23 24 25 10т 10т 10т ... 10т 10т F
300т
F определяется из подходящего уравнения эквивалентности.
Способ 1. В качестве даты сравнения используем конец двадцать четвертого интервала платежа; тогда имеем
F (1,015)
-1
+ 10000 s
24 1 5%
,
= 300000 (1,015)
-1
Разрешаем это равенство относительно
F
F = 300000 - 290630 = 9370 рб.
Способ 2. Добавим по вкладу 10000 рб в каждую строчку диаграммы в конце двадцать пятого периода и выберем эту дату в качестве даты сравнения уравнения эквивалентности.
F + 10000 s
25 1 5%
,
= 300000 + 10000 , откуда получаем
F = 310000 - 10000 × 30,06302361 = 9370 рб.
4.8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА
С ПОМОЩЬЮ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Когда
A , R и i ( или S , R и i ) заданы, уравнение аннуитета A = R а
п i
( или
S = R s
п i
) может быть разрешено относительно
n или путем интерполяции или при помощи логарифмирования. Процедура расчета простая, но появляется проблема интерпретации нецелого решения.
Например, если уравнение аннуитета приводит к равенству а
п i
= 20 ,
58

как встретилось в предыдущем разделе, интерполяция дает результат
n = 22,42696. Легко проверить, что произведение дробной части этого решения на величину периодического платежа дает точное значение заключительного платежа
F , определяемого в примере 1 ,
500000 × 0,42696 = 21348 рб.
Оказывается это имеет место и в общем случае.
Пусть даны
A , R и i . Значение n определим с помощью интерполяции.
Представим
n в виде k + f , где k - целое число, а f - дробная часть,
f < 1. Тогда F = f R равно заключительному платежу, выплачиваемому через один период после последнего платежа
R и обеспечивающему эквивалентность платежей. Докажем это. Из уравнения аннуитета имеем а
п i
=
A/R . Составим таблицу данных
k
k + f
k + 1
a
k i
A / R
a
k
i
+ 1
Из уравнения пропорции получим
f
A
R
a
a
a
k
i
k
i
k
i
1 1
=
-
-
+
Знаменатель этой формулы можно вычислить по формуле
(10)
при
n = 1 с учетом того, что a
i
1
= (1 + i)
-1
. Это дает следующее выражение для
f
(
)
f
A
R
a
i
k i
k
=
-
+
-
-
1 1
Умножая это равенство на
R(1 + i)
-
k-1
, получим
f R (1 + i)
-
k-1
=
A - R a
k i
С другой стороны, если
F определять при помощи уравнения эквивалентности с датой сравнения в начале первого интервала платежа, мы получим согласно диаграмме
59

0 1 2 3 ...
k-1 k k+1
R R R ... R R F
A следующее уравнение эквивалентности стоимостей
A = R a
k i
+
F(1 + i)
-
k-1
Сравнивая этот результат с предыдущим, убеждаемся, что в условиях линейной интерполяции
F = f R , что и требовалось.
Таким образом, когда уравнение аннуитета a
п i
=
A/R разрешается относительно
n приближенно при помощи линейной интерполяции, дробная часть
n может интерпретироваться как дробная часть R , необходимая в качестве заключительного платежа
F , когда F выплачивается одним периодом позже последнего платежа
R .
В заключение заметим, что точное значение
n находится из уравнения аннуитета, записанного в явной форме
(
)
a
i
i
A
R
n i
n
=
-
+
=
-
1 1
что может быть переписано более удобно
(1 -
iA/R)(1 + i)
п
= 1 .
Логарифмируя это равенство и выражая затем
n , получим его точное значение в виде
n = - (log(1 - iA/R)) / log(1 + i) .
К сожалению, это выражение не поддается практической интерпретации.
60

4.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Когда неизвестна процентная ставка
i , но заданы R , n и A ( или S ) , мы вновь обращаемся к формуле
(3)
A = R a
п i
=
R (1 - (1 + i)
-
п
)/
i , которая может рассматриваться как уравнение относительно процентной ставки
i . Оно может быть преобразовано к виду
(
A/R)(1 + i)
п+1
- (1 +
A/R)(1 + i)
п
+ 1 = 0
Такое уравнение относится к классу нелинейных алгебраических уравнений и его решение в общем случае не выражается в явной аналитической форме, так что его решение может быть осуществлено только численными методами.
Вместе с тем, используя метод линейной интерполяции, можно достаточно просто находить приближенные решения этого уравнения.
Продемонстрируем это на примерах.
ПРИМЕР 1 Петров вкладывал в сберегательный банк по 25 тыс рб в конце каждого месяца в течение 5 лет. В настоящее время у него на счете накопилось 1625 тыс рб. С какой номинальной нормой процента для
m = 12 начисляет проценты сберегательный банк ?
РЕШЕНИЕ Обозначим через
i месячную норму процента и через j
12
- соответствующую номинальную норму. Вклады по 25000 рб образуют аннуитет с итоговой суммой 1625000 рб как показано на нижеследующей временной диаграмме
0 1 2 3 ... 58 59 60 25т 25т 25т ... 25т 25т 25т
1625т
Уравнение аннуитета имеет вид
25 s
i
6 0
= 1625 так что s
i
6 0
= 65 61

На основе таблицы для функции составных платежей s
п i
составим следующую табличку
s
i
6 0 65,46611 65,00000 64,64671
i
7/24 %
?
1/24 %
j
12 7/2 %
?
3 %
Составляем пропорцию линейной интерполяции
j
12 0 03 0 035 0 03 65 00000 64 64671 65 46671 64 64671 0 35329 0 81940
-
-
=
-
-
=
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Откуда получаем
j
12
= 0.03216 .
ПРИМЕР 2 Фирма продает товар стоимостью 100 млн рб по следующему платежному расписанию : 10 млн рб сразу и 10 ежемесячных взносов по 9&55 млн рб каждый, первый взнос делается через три месяца. Какую номинальную норму для
m = 12 предусматривает такое расписание ?
РЕШЕНИЕ 10 ежемесячных платежей образуют отсроченный аннуитет с текущей стоимостью 90 млн рб на день покупки как показано на временной диаграмме
0 1 2 3 4 ... 11 12 9.55 9.55 ... 9.55 9.55 90
Уравнение аннуитета имеет вид
90 = 9,55 ( a
i
1 2
- a
i
2
) так что a
i
1 2
- a
i
2
= 9,4241 .
Вновь обращаясь к таблицам функций составных платежей, составляем вспомогательную табличку
j
12 9 % ? 10.5 %
i 3/4 % ? 7/8 %
a
i
1 2
- a
i
2 9.4572 9.4241 9.3704 62

Пропорция линейной интерполяции имеет вид
j
12 0 09 0 105 0 09 9 4241 9 4572 9 3704 9 4572 0 0331 0 0868
-
-
=
-
-
=
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Следовательно,
j
12
= 0.0957 .
Применяя приближенные методы интерполяции, следует представлять точность этих приближений. Приведем некоторые данные, касающиеся ошибок при определении нормы процента с использованием интерполяции по таблицам функций составных платежей. Когда
i получается по таблицам a
п i
, результат немного завышается; когда используются таблицы s
п i
, результат немного меньше истинного.
Ошибка зависит сильнее от разности между двумя соседними значениями нормы процента в таблице и гораздо слабее - от величины
n .
Анализ ошибок для всех значений параметров таблиц показывает, что ошибка редко превосходит величину
(
n/10)( разность норм процента )
2
Эта величина для расчета
i в примере 1
равна
(60/10)( 0,07/24 - 0,01/4 ) = 0,00000104 . и для
j
12
составляет 0,0000125 . Для примера 2 расчет
j
12
с точностью до шестого знака дает 0,095719 .
УПРАЖНЕНИЯ 4.2
1. Какие ежеквартальные взносы должны делаться в сберегательный банк, выплачивающий
j
4
= 3% , для того, чтобы накопить 50 млн рб за 5 лет?
2. Найти годовые платежи аннуитета, чья итоговая сумма равна 25 млн рб, если срок равен 10 лет и процентная ставка
j
1
= 5% .
3. Какие одинаковые платежи в конце каждого квартала в течение 20 лет обеспечили бы приобретение дома, который стоит 200 млн рб наличными, если процентная ставка
j
4
= 5% ?
4. Автомобиль стоит 35 млн рб наличными, но может быть куплен за 6 млн рб наличными и остаток в виде ежемесячных платежей в течение 3 лет.
63