Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа

• Название: Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
• Анкор: Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1).pdf
• Дата: 24.04.2017
• Размер: 4.56 Mb.
• Имя файла: Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1).pdf
• Тип: Учебное пособие; #2269
• Категория: Промышленность. Энергетика
• страница: 19 из 22

16.4. Поток утечек через неподвижное уплотнение
Рассмотрим в приближении Рейнольдса поток утечек через неподвижное уп- лотнение в рамках плоской модели канала с одной гладкой и одной произвольной шероховатой поверхностью.
Система уравнений и граничные условия представлены ниже.
,
2 2
y
x
V
x
p
∂
∂
=
∂
∂
µ
,
0
=
∂
∂
y
p
0
=
∂
∂
+
∂
∂
y
y
V
x
x
V
;
,
,
0 1
1
p
p
h
y
x
=
=
=
;
,
,
1 2
2
p
p
h
y
x
=
=
=
(16.29)

157 1
)
(
2 1
=
−
<<
x
x
x
h
Ищем решение в виде:
)
(
)
/
)(
2
/
1
(
h
y
y
x
p
V
x
−
∂
∂
=
µ
Из уравнения неразрывности
0
или
0 0
0 0
=






∂
∂
=
∫
∂
∂
∫
+
∂
∂
∫
h
x
h
y
h
x
dy
V
x
dy
y
V
dy
x
V
После интегрирования получим
0 6
)
(
2 1
3
=






∂
∂
∂
∂
x
p
x
h
x
µ
Если
const
=
µ
, то
0 3
)
(
;
0 6
)
(
3 2
1 6
)
(
2 1
2 2
2 2
2 3
=
+
=
∂
∂
+
∂
∂
dx
dp
dx
dh
dx
p
d
x
h
x
p
dx
dh
x
h
x
p
x
h
µ
µ
(16.30)
При произвольной функции h(x) (16.30) лучше всего решать методом прогон- ки. Обозначив
x
z
dx
p
d
z
dx
dp
∂
∂
=
=
2 2
,
, получим
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
)
(
ln
)]
(
ln[
ln
3 1
,
0
)
(
3
,
0 3
)
(
2 3
1 3
1 3
1 1
3 1
3 3
/
1
C
x
h
dx
C
p
x
h
dx
C
dp
x
h
dx
C
dp
C
dx
dp
x
h
C
x
h
z
C
x
h
z
C
x
h
z
x
h
dx
dx
dh
z
dz
dx
dh
z
dx
dz
x
h
+
=
=
=
=
⋅
=
⋅
⇒
=
⇒
=
+
=
+
=
+
∫
В общем случае
2 0
3 1
)
(
)
(
C
h
d
C
x
p
x
+
=
∫
ξ
ξ
При
0
=
x
выполняется граничное условие
1 2
1
p
C
p
p
=
⇒
=
При
1
=
x
выполняется граничное условие
2
p
p
=
∫
∫
−
=
+
=
l
l
h
d
p
p
C
p
h
d
C
p
0 3
1 2
1 1
0 3
1 2
)
(
/
,
)
(
ξ
ξ
ξ
ξ

158
Продифференцируем общую формулу
)
(
3 1
x
h
C
dx
dp
x
p
=
=
∂
∂
и подставим коэффици- енты:
;
)
(
/
0 3
3 1
2
∫
−
=
l
h
d
h
p
p
dx
dp
ξ
ξ
;
6 2
1
)
(
2 1
)
(
2 1
3 0
0 0






−
∂
∂
=
−
∂
∂
=
−
∂
∂
=
=
∫
∫
∫
h
x
p
dy
h
y
y
x
p
dy
h
y
y
x
p
dy
V
Q
h
h
h
x
µ
µ
µ
dx
dp
h
Q
µ
12 3
−
=
или, подставляя первую производную давления:
∫
∫
−
=
−
−
=
l
l
h
d
p
p
h
d
h
p
p
h
Q
0 3
1 2
0 3
3 1
2 3
)
(
/
12
)
(
/
12
ξ
ξ
µ
ξ
ξ
µ
Рассмотрим течение через клиновидный зазор (линейная функция h(x)). Под- ставим в уравнение для утечек
,
)
(
1
kx
h
x
h
+
=
где
l
h
h
k
/
)
(
1 2
−
=
. В таком случае
(
)
(
)
(
)
,
)
(
,
)
(
2
,
1 2
1
,
1 2
1 1
)
(
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
2 1
2 2
2 2
2 1
1 2
1 2
2 1
1 2
2 1
3 1
3
h
h
h
p
p
p
C
h
h
h
h
p
p
k
C
C
kx
h
k
C
p
C
kx
h
k
x
k
h
dx
x
h
dx
−
−
−
=
−
−
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
=
∫
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
l
h
h
k
x
k
h
h
h
h
h
p
p
k
dx
dp
h
x
k
h
h
h
h
h
p
p
p
p
h
h
h
p
p
x
k
h
h
h
p
p
h
h
p
p
)
(
,
)
(
2
,
)
(
,
)
(
)
(
1 2
3 1
2 1
2 2
2 2
2 1
1 2
2 2
2 1
2 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 1
−
=
+
−
−
−
=






−
+
−
−
+
=
−
−
−
+
−
−
+
=
Удельные утечки на единицу ширины (м
2
/с) составят
(
)
c)
(
6
)
(
2 1
2 2
2 2
1 1
2
/
+
−
=
м
h
h
l
h
h
p
p
Q
µ
(16.31)
Из рассмотренного решения ясно, что в модели Рейнольдса с неподвижными поверхностями невозможен отрыв потока: конфузорные и диффузорные каналы имеют при всех прочих равных условиях одинаковое значение коэффициентов по- терь, что при достаточно больших числах Рейнольдса может привести к значитель- ному завышению величины расхода.
Рассмотрим теперь течение в щели со средним значением зазора
const
h
h
h
=
=
+
2 2
1
. Тогда
),
(
1
x
h
h
h
T
+
=
),
(
2
x
h
h
h
T
−
=
где
)
(x
h
T
- шероховатость.

159
[
]
4 2
2 4
2 2
2 2
2 2
)
(
)
(
2
)
)
(
(
))
(
))(
(
(
))
(
(
))
(
(
x
h
x
h
h
h
x
h
h
x
h
h
x
h
h
x
h
h
x
h
h
T
T
T
T
T
T
T
+
−
=
−
=
=
−
+
=
−
+
Тогда:
(
)
(
)
)
(
12
)
(
2 2
2 2
2 1
с
м
h
l
x
h
h
p
p
Q
T
/
−
−
−
=
µ
(16.32)
При отсутствии шероховатости получим каноническую формулу:
(
)
)
(
12 2
3 2
1
с
м
l
h
p
p
Q
/
−
−
=
µ
. (16.33)
Таким образом, следует вывод, что при увеличении шероховатости утечки при прочих равных условиях должны уменьшаться.
16.5. Течение жидкости с вязкостью, зависящей от давления
Рассмотрим сдавливание слоя жидкости параллельными плоскостями. Пусть элемент верхней плоскости с координатами
± а
, параллельный оси х, перемещает- ся вертикально вниз со скоростью V. Граничные условия для рассматриваемой за- дачи известны (16.1). Из уравнения неразрывности имеем решение для
µ
µ
=
0
=const.
(
)
p
p
V
h
a
x
=
+
−
0 3
2 2
6
µ
(16.34)
Если µ
=
µ
)
(
0
p
p
e
−
α
, (16.35) то
3
)
(
0 6
2 1
0
h
Vx
x
p
e
p
p
−
=
∂
∂
−
α
µ
(
)
e
dp
V
x
h
d x
p p
−
−
= −
α
µ
0 12 0
3
(
)
(
)
[
]
−
−
−
=
−
−
1 12 0
0 0
3
α
α
µ
α
e
d
p
p
V
x
h
dx
p p
(
)
1 6
0 0
2 3
α
µ
α
e
c
V
x
h
p
p
−
−
+
=
,
x
a
= ± ,
p
p
=
0.
1 6
0 2
3
α
µ
+
=
c
V
a
h
c
V
h
a
=
−
6 1
0 3
2
µ
α
(
)
−
+
+
=
−
−
1 6
1 6
0 2
3 0
2 3
0
α
µ
α
µ
α
V
a
h
e
V
x
h
p p
(
)
(
)
1 6
0 0
3 2
2
−
=
−
−
−
e
V
h
a
x
p p
α
µ α
(
)
(
)
e
V
h
a
x
p p
−
−
= −
−
α
µ α
0 1
6 0
3 2
2
(
)
(
)
−
−
=
−
−






α
µ α
p
p
V
h
a
x
0 0
3 2
2 1
6
ln

160
(
)
p
V
h
a
x
p
=
−
−






−
+
ln
1 6
0 3
2 2
0
µ α
α
(16.36)
Так как во втором решении присутствует ln, то начальные условия подходят не любые, а удовлетворяющие неравенству:
(
)
0 6
1 0
3 2
2
<
−
<
V
h
a
x
µ α
. Если
α → 0, то решение (16.36)
→ (16.5).
Отсутствие решения в некоторой зоне можно объяснить нарушением сплошности потока для рассматриваемой модели жидкости. Можно отметить, что для получения надежной смазочной пленки часто применяют особые добавки к жидкостям, существенно меняющим их реологические характеристики.
16.6. Течение в зазорах с облитерацией
16.6.1. Основные сведения
Явление облитерации заключается в том, что при течении вязкой жидкости под давлением через узкие щели (порядка нескольких микрометров) со временем эта щель сужается, и расход жидкости уменьшается, иногда прекращаясь полно- стью. Характерные времена процесса составляют несколько тысяч секунд.
Прекращение течения жидкости может вызываться двумя причинами. Пер- вая из них сводится к наличию содержащихся в жидкости частиц грязи размеров порядка тех же микрометров. Эти частицы постепенно полностью забивают отвер- стие. Эта причина устраняется при очистке жидкости от грязевых частичек.
Вторая причина не устраняется фильтрами. В жидкости для улучшения раз- личных необходимых свойств вводится поверхностно – активные вещества (ПАВ), состоящие из полярно-активных молекул. В процессе протечки жидкости через щели происходит адсорбция этих молекул на внутренней поверхности щели. Ад- сорбция является многослойной, так что щели также постепенно сужаются и, нако- нец, полностью закрываются, и расход жидкости прекращается[14].
Адсорбция молекул ПАВ является физической, т.е. обусловлена силами при- тяжения Ван дер Ваальса. При этом можно говорить о двух механизмах адсорбции молекул ПАВ на стенках щели.
Г.А.Никитин [14] предлагает механизм, при котором молекула ПАВ притя- гивается к стенке силами, вызывающими адсорбцию. Это может быть сила притя- жения со стороны электрического изображения внутри металла стенки молекулы.
ПАВ являются полярными молекулами, т.е. имеют статические дипольные элек- трические моменты, и они притягиваются к таким же дипольным моментам в изо- бражении внутри металла стенки. Впрочем, это может быть также притяжение со стороны молекул стенки, вызванное Ван дер Ваалсовыми силами между данной молекулой ПАВ и молекулами стенки вблизи ее поверхности. В любом случае при многих слоях молекул ПАВ сила притяжения постепенно ослабевает, так как рас- стояние от данной молекулы ПАВ до стенки увеличивается в процессе облитера- ции. Если щель достаточно широкая, то облитерация является частичной, т.е. на- липший слой молекул ПАВ имеет вполне определенную толщину, больше которой силы притяжения ничтожно малы. Недостатком такого механизма является факт, что силы притяжения являются весьма короткодействующими – их радиус порядка нескольких радиусов молекул. Следовательно, по такой версии слой молекул ПАВ

161
не может стоять больше, чем из трех-четырех мономерных слоев ПАВ. В действи- тельности таких слоев оказывается многие десятки – ведь на толщине щели в не- сколько микрометров укладывается до тысячи молекул ПАВ.
В предлагаемом нами механизме молекулы ПАВ лишь с начала притягива- ются стенкой щели посредством указанных короткодействующих сил Ван дер Ва- алса. При наложении нескольких мономолекулярных слоев молекул ПАВ друг на друга у поверхности стенки основным становится притяжение молекул ПАВ из жидкости к уже налипшим молекулам ПАВ вблизи стенки и т.д. Все время прили- пание идет с небольшой толщины жидкости вблизи границы нароста. Притяжение молекул ПАВ друг к другу вызвано также силами Ван дер Ваальса. При таком ме- ханизме зарастание щели имеет место при любой ее толщине, однако, при большой толщине время зарастания становится столь большим, что с практической точки зрения можно говорить, что его просто нет. Кроме того, при больших временах становятся существенными процессы развала нароста благодаря естественным флуктуациям.
Ниже рассмотрена реализация второго механизма облитерации щелей при течении жидкостей, содержащих ПАВ. Получен закон зарастания щелей со време- нем в зависимости от многочисленных физических параметров, характеризующих задачу. Показано, как разрушается облитерация при колебательном движении сте- нок щели.
16.6.2. Механизм облитерации
Рассмотрим явление облитерации как многослойную адсорбцию молекул
ПАВ на внутренние стенки щели, через которую протекает жидкость, содержащая небольшую концентрацию ПАВ. Эта концентрация столь мала, что данный процесс является весьма медленным на фоне протекания жидкости через щель.
Обратимся сначала к вопросу о силе, с которой молекула ПАВ притягивается к многослойному наросту из молекул ПАВ на стенке щели. Сначала, когда нарост отсутствует, молекула ПАВ адсорбируется на внутренней поверхности стенки вследствие ее притяжения к молекулам, из которых состоит стенка. Однако боль- шую часть времени в процессе облитерации молекула ПАВ притягивается к нарос- ту из таких же молекул, слипшихся друг с другом практически вплотную: эта сила притяжения значительно больше, чем взаимодействие молекулы ПАВ из потока жидкости со стенкой щели.
Молекула ПАВ обладает статическим дипольным моментом, так что потен- циальная энергия электрического взаимодействия двух молекул ПАВ друг с другом имеет вид
3 2
2 1
1 2
1 12
)
)(
(
3
r
n
p
n
p
p
p
V
→
→
→
→
→
→
+
−
=
(16.37)
Здесь
r
– расстояние между молекулами,
1
p
и
2
p
− дипольный электриче- ский момент этих взаимодействующих молекул,
n
− единичный вектор вдоль пря- мой, соединяющей молекулы.
Конечно, направления векторов дипольных моментов
1
p
и
2
p
могут быть произвольным. Из (16.37) видно, что при усреднении по направлениям
1
p
и
2
p
по-

162 тенциальная энергия обращается в нуль. Это означает, что в первом порядке тео- рии возмущений молекулы не взаимодействуют друг с другом. Во втором порядке по
12
V
энергия потенциального взаимодействия
12
U
молекул друг с другом убыва- ет как
6
−
r
и представляет собой Ван дер Ваальсов потенциал. Ван дер Ваальсово притяжение справедливо только при больших расстояниях между молекулами. На малых расстояниях оно сменяется резким отталкиванием, явный вид которого обычно подбирается феноменологически. Наиболее распространен потенциал Лен- нарда – Джонса, в котором отталкивание зависит от расстояния как
12
−
r
. Сам по- тенциал записывается в виде:














−






=
6 12 12 4
r
r
U
σ
σ
ε
(16.38)
Константы
ε
и
σ
в этой зависимости подбираются феноменологически для каждо- го сорта взаимодействия молекул. Типичные значения этих констант для углеводо- родов и других органических молекул составляют
K
k 400
=
ε
(
k
− постоянная
Больцмана, т.е.
K
Äæ
k
23 10 38
,
1
−
⋅
=
),
ì
A
10 10 5
5
−
⋅
=
=
o
σ
. Например, для C
6
H
6 имеем
K
k 440
=
ε
, o
A
27
,
5
=
σ
, в то время как для C
2
H
5
OH имеем
K
k 390
=
ε
, o
A
46
,
4
=
σ
Мы полагаем, что облитерация вызвана дальнодействующей притягивающей компонентой взаимодействия (16.38), т.е. силами Ван дер Ваальса. Итак, для по- тенциальной энергии взаимодействия молекул ПАВ друг с другом берем выраже- ние:
6 12 4






−
=
r
U
σ
ε
(16.39)
Это выражение определяет потенциальную энергию взаимодействия моле- кулы ПАВ в жидкости с одной молекулой ПАВ в слое нароста на стенке. Для на- хождения полной энергии взаимодействия данной молекулы ПАВ со всей стенкой нужно просуммировать выражение (16.39) по всем молекулам нароста. Пусть
V
− характерный объем, занимаемый одной молекулой ПАВ в наросте. Тогда
V
1
− число молекул ПАВ в единице объема нароста. Производим интегрирование
(16.39) по молекулам нароста в цилиндрической системе координат:
(
)
V
z
dz
d
U
z
1 2
4 0
0 3
2 2
6
⋅
+
−
=
∫∫
∞ ∞
ρ
ρ
πρ
εσ
(16.40)
Здесь
0
z
− кратчайшее расстояние от данной молекулы ПАВ до плоскости нароста (рис. 60),
z
− координата вдоль направления
z
, перпендикулярного плос- кости нароста.
Производя интегрирование (16.40), находим:
3 0
6 1
3 2
z
V
U
⋅
−
=
πεσ
(16.41)
Дифференцируя это выражение по
0
z
, находим силу притяжения молекулы
ПАВ к наросту:
4 0
4 0
6 2
z
Vz
F
α
πεσ
−
=
−
=
,
(16.42)

163
где константа
V
/
2 6
ε
πσ
α
⋅
=
Пусть
3
,
5
,
400
/
a
V
A
K
k
=
=
=
°
σ
ε
, где
a
− характерный размер молекул ПАВ.
Возьмем в качестве примера
°
= A
a 2
. Тогда
4 47 10 8
,
6
ì
H
⋅
⋅
=
−
α
.Несложно вычислить эту константу и для других значений параметров (порядок ее величины остается тем же).
Рассмотрим плоскую прямоугольную щель с малым начальным зазором
h
и большой шириной. На рис. 60 показано поперечное сечение щели (вид спереди).
Поток жидкости идет перпендикулярно плоскости листа бумаги. Толщину нароста в данный момент времени
t
обозначим
)
(
t
S
. Молекула ПАВ находится в точке А на рис. 60. z
0
А
у h`
z h
S(t)
Рис. 60. Вид щели спереди. Нарост из молекул ПАВ заштрихован,
0
z
−расстояние
от данной молекулы ПАВ до нароста
Сила
F
уравновешивается силой трения Стокса
µ
π
γ
µ
π
a
V
a
F
z
c
3
,
3
=
=
(16.43)
При этом мы считаем молекулы ПАВ сферическими телами диаметра
a
. Ха- рактерный размер
a
уже вводился выше. Величина µ
− коэффициент динамиче- ской вязкости жидкости. Например, для машинного масла при комнатной темпера- туре имеем
ñ
Ïà
⋅
= 1
,
0
µ
. Величина
z
V
представляет собой скорость молекулы ПАВ вдоль оси
z
к стенке щели, т.е. к наросту. Для указанных значений µ и o
A
a 2
=
имеем
ì
ñ
Í
/
10 9
,
1 10
⋅
⋅
=
−
γ
Уравнение движения имеет вид
F
F
c
=
. Что касается инерционного члена
z
V
m
&
, где
m
− масса молекулы ПАВ, то им можно пренебречь вследствие малости этой массы и считать, что молекула движется к наросту безынерционно. Из (16.42) и (16.43) получаем выражение для скорости
z
V
молекулы ПАВ в зависимости от ее расстояния
z
от нароста :
4 0
z
V
z
β
−
=
(16.44)
Здесь обозначено

164 4
6 3
2
a
η
εσ
γ
α
β
=
=
(16.45,а)
Для приведенных выше численных примеров имеем
ñ
ì /
10 6
3 5
27
−
⋅
=
β
. Из
(16.44) следует, что, например, при
a
z
10 0
=
, скорость
z
V
движения молекулы ПАВ к наросту составляет
ñ
ñì /
2 2
Мы видим, что сила притяжения молекулы ПАВ к наросту является весьма короткодействующей: она быстро убывает, когда расстояние до нароста велико по сравнению с размером молекулы ПАВ. Таким образом, при данном наросте основ- ной вклад в дальнейшем налипании молекул ПАВ вносят молекулы, расположен- ные вблизи поверхности нароста при входе в отверстие щели.
Теперь обратимся к движению жидкости вдоль направления щели. Скорость
x
V
вдоль щели шириной
s
h
h
2
−
=
′
при вязком ламинарном течении имеет вид (на расстоянии
0
z
от нароста):
)
1
(
)
(
2 1
0 0
0
h
z
z
h
z
dx
dp
V
x
x
′
−
+
−
′
=
υ
µ
(16.45,б)
Здесь
dx
dp
– градиент давления в щели. Будем считать его равным вдоль всей щели, так что
L
p
dx
dp
∆
=
, где (16.46)
p
∆
− полный перепад давления,
L
− длина щели вдоль оси
x
. Величина
h′
представляет собой текущий зазор щели,
x
υ
− скорость одной стенки относительно другой, если она существует.
Типичные значения скорости
x
V
составляют около
с
м
/
1
. Таким образом,
x
z
V
V
<<
т.е. молекулы ПАВ движутся, в основном, вдоль оси
x
щели, медленно приближаясь к ее стенкам.