Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
|
14.4. Истечение жидкости из насадков и отверстий при постоянном напоре 14.4.1. Основные сведения Насадок – это короткий трубопровод, непосредственно подсоединенный к ба- ку (сосуду) с жидкостью. Отверстием в тонкой стенке называется насадок, у кото- рого отношение длины к диаметру меньше 0.25. (Отметим, что определения "насад- ка" и "отверстия в тонкой стенке" не являются общепринятыми в англоязычной и немецкоязычной литературе). Рис. 35. Истечение жидкости при постоянном напоре Сосуд (бак), обеспечивающий истечение жидкости при постоянном напоре, изображен на рис. 35. Величиной скорости в баке можно пренебречь. Будем считать отверстие малым H d << . В этом случае все параметры жидкости поперек струи бу- дут одинаковыми. Опыт показывает, что при истечении из отверстия в тонкой стен- ке, струя на выходе из него сжимается и на некотором расстоянии от сосуда про- цесс формирования струи заканчивается. Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 (см. рис. 35), выбирая плоскость сравнения, проходящую через центр отверстия: , 2 2 2 2 0 g V g V g p g p H ς α ρ ρ + + = + (14.22) где ς – коэффициент местных потерь для отверстия. Решая это уравнение относительно скорости, получим: 109 2 1 0 − + + = g p p H g V ρ ς α (14.23) Введем коэффициент скорости: ς α ϕ + = 1 (14.24) и коэффициент сжатия струи: 2 = = d d A A c c ε (14.25) Тогда величину расхода можно получить по следующей формуле: , 2 2 0 0 − + = − + = = g p p H g A g p p H g A VA Q c ρ µ ρ εϕ (14.26) где µ – коэффициент расхода ( µ = εϕ). Значения коэффициентов расхода, скорости и сжатия струи зависят от вида насадка и параметров потока. Как правило, они определяются экспериментально. 14.4.2. Влияние геометрических параметров и критериев подобия на истечение из отверстия в тонкой стенке Истечение из отверстия в тонкой стенке играет большую роль в различных гидравлических и пневматических устройствах. Дроссельные шайбы, жиклеры, струйные форсунки часто выполняются в виде отверстия в тонкой стенке, причем диаметр его меняется от десятых долей миллиметра до сотен миллиметров. Исте- чение из отверстия может происходить в атмосферу, в газ с повышенным избыточ- ным давлением, под уровень (затопленное истечение); перепад давления на отвер- стии обычно составляет от 0,1 до 10 МПа. Физические свойства среды, в которую истекает жидкость, не оказывают влияния на величину коэффициента расхода, ес- ли при истечении в газ испытания проводить в области автомодельности по числу Вебера (We). Коэффициент расхода зависит от отношения диаметров, остроты кромки (отношение радиуса скругления к радиусу отверстия) и числа Рейнольдса (Re), а при истечении в газ – от числа Вебера. В области d/D ≤0,2 величина коэффициента расхода отверстия тонкой стенке не зависит от отношения диаметров, а с увеличением этого отношения она начина- ет возрастать от 0,61 до 0,72. Увеличение коэффициента расхода объясняется, главным образом, характером изменения коэффициента сжатия. Автомодельность по числу Рейнольдса практически достигается при Re ≥ 10 5 (рис.36). Рис. 36. Экспериментальные значения коэффициента расхода в зависимо- сти от числа Рейнольдса и квадрата отношения диаметров 110 Отличительной особенностью гидравлической характеристики отверстия в тонкой стенке, определяющей его широкое распространение в различных конст- рукциях, является постоянство величины коэффициента расхода при изменении числа кавитации. χ = (p 2 - p п )/( ρv 2 /2) , где p п – давление насыщенных паров жидкости. Это объясняется тем, что структура потока и величина коэффициента сжатия на участке от входа в отверстие до узкого сечения остается неизменной, независи- мо от величины давления даже при развитой кавитации. При истечении струи жид- кости из отверстия в тонкой стенке в воздух коэффициент расхода также не зави- сит от числа кавитации, что подтверждено экспериментально до значений χ = 0,01. Таким образом, при истечении в воздух и под ypовень коэффициент расхода отвер- стия в тонкой стенке остается постоянным в случае измерения давления на выходе в узком сечении. Это утверждение справедливо лишь при определенной длине от- верстия, не превышающей 0,25 его диаметра. Таким образом, отверстием в тонкой стенке можно считать только отверстие с относительной длиной l/d 0 ≤ 0,25. При истечении жидкости в газ, когда имеется граница раздела двух сред, на величину коэффициента расхода отверстия в тонкой стенке начинают оказывать влияние силы поверхностного натяжения, относительную величину которых оце- нивают с помощью критерия или числа Вебера. Силы поверхностного натяжения создают дополнительное давление внутри струи и, в то же время, изменяют траек- тории движения частиц жидкости, увеличивая диаметр ее сжатого сечения, а сле- довательно, и коэффициент сжатия. Вследствие сказанного, очевидно существова- ние экстремума в зависимости коэффициента расхода от числа Вебера. Для исклю- чения влияния числа Рейнольдса в качестве зависимой переменной целесообразно взять относительный коэффициент расхода: отношение коэффициента расхода при истечении в газовую среду к коэффициенту расхода при истечении под уровень. Рис. 37. График зависимости относительного коэффициента расхода отверстия в тонкой стенке от числа Вебера: 2 - по экспериментальным данным Н.П.Сточек [18]; 1 - по формуле Лауффера [18] 111 В области We ≅ 70 имеется экстремум, увеличение коэффициента расхода при истечении в атмосферу по сравнению с истечением под уровень достигает 8%. При числе Вебера меньше 12 расход жидкости при истечении в газовую среду ста- новится меньше, чем при истечении под уровень. Зона автомодельности коэффи- циента расхода µ числу Вебера лежит в области ≥10 4 , число Рейнольдса при этом менялось от 600 до 7 ⋅10 4 . График (рис. 37) построен на основании эксперименталь- ных данных, полученных в результате испытаний на воде отверстий в тонкой стен- ке диаметрами 0,4—1,8 мм. 14.4.3. Истечение из насадков (коротких трубопроводов). Влияние геометрических параметров и критериев подобия Цилиндрические насадки можно рассматривать как прямые трубы ограни- ченной длины и использовать для их расчета коэффициент гидравлического сопро- тивления. Широко распространена также оценка гидравлического сопротивления насадка с помощью коэффициента расхода. Для насадка коэффициент расхода, равно как и коэффициент сопротивления, является функцией чисел Рейнольдса, Вебера и кавитации, а также размеров, определяющих геометрическое подобие. Если для отверстия в тонкой стенке число кавитации не оказывало влияния на ве- личину коэффициента расхода, то для насадков оно играет большую роль. Физическую картину истечения жидкости из насадка с острой входной кромкой можно описать следующим образом: обтекание острой кромки на входе происходит с отрывом потока даже при низких числах Рейнольдса (Re > 5). При Re < 5 наблюдается ползущее движение. При отрыве струя сжимается, образуя уз- кое сечение на некотором расстоянии от входной кромки. Между узким сечением и стенкой насадка создается отрывная область с вихревым теченим. Если насадок имеет достаточную длину, отрывная область замыкается на стенке. С увеличением числа Рейнольдса отрывная область заметно удлиняется. Если длина насадка мала, то замыкания на стенке не происходит. Давление на стенке по длине вихревой об- ласти сначала резко падает — до сжатого сечения, а затем начинает увеличиваться. Такая картина истечения жидкости из насадка определяет все возможные режимы истечения: 1) неустойчивый, с незамкнутой вихревой областью у насадков с l/d <1,5; 2) устойчивый, бескавитационный у насадков c l/d >1,5; 3) кавитационный, когда давление в вихревой области понижается до давле- ния равного или близкого давлению насыщенных паров жидкости (критическое давление кавитации). Каждый из этих режимов имеет свои особенности. Для коротких насадков, длина которых не обеспечивает полного замыкания вихревой области на стенке, характерна неустойчивость режима истечения под уровень и в газовую среду в ши- роком диапазоне чисел Рейнольдса 10 3 —10 5 . Неустойчивость режима объясняется различной степенью замыкания вихревой области на стенке, определяющейся, по всей видимости, рядом случайных причин. Измерения коэффициента расхода на- садков были проведены рядом исследователей как при больших противодавлениях, так и при атмосферном давлении. Неустойчивый характер истечения и большое рассеивание величины коэффициента расхода (до 10%) сохранялось во всех случа- ях. Это полностью подтверждает, что неустойчивый режим истечения жидкости из коротких насадков объясняется различной степенью замыкания на стенке насадка, 112 а не кавитационными явлениями. Такие насадки не рекомендуется использовать в гидравлических системах без крайней необходимости. Увеличение длины насадка до l/d >1,5 приводит к стабилизации процесса ис- течения. Вихревая область полностью замыкается на стенке, и струя заполняет все выходное сечение насадка; коэффициент сжатия ее в выходном сечении равен еди- нице. Коэффициент расхода насадка при бескавитационном течении является функцией его относительной длины и числа Рейнольдса. С увеличением относи- тельной длины насадка коэффициент расхода уменьшается в связи с возрастанием потерь на трение по длине; с увеличением числа Рейнольдса коэффициент расхода возрастает, т. к. коэффициент сопротивления при этом уменьшается. Обычно зави- симость µ = f(l/do, Re) представляется в виде экспериментальных графиков или эм- пирических формул. Полученные расчетные кривые показаны на рис. 38. На график нанесены также и экспериментальные точки, найденные в результате испытаний насадков диаметрами от 0,22 до 3 мм с относительными длинами от 3 до 120, а также опыт- ные значения коэффициента расхода µ по данным [18]. Как видно из графика, все экспериментальные точки располагаются очень близко к теоретическим кривым и, следовательно, определение коэффициента расхода насадка как короткой трубы с учетом начального участка является правомерным. Так как насадок представляет собой трубу с острыми кромками на входе, то переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при Re ≅ 10 3 . В переходном режиме в области Re= 2-10 3 —4-10 3 кривая зависимости коэффициента расхода насадка от числа Рей- нольдса имеет заметный излом. Рис. 38. График зависимости коэффициента расхода цилиндрических насад- ков с острой кромкой от числа Рейнольдса и относительной длины [17] Если в качестве абсциссы при построении кривых коэффициента расхода на- садков выбрать значение Re t , то происходит смещение переходной зоны в сторону больших чисел Рейнольдса, что искажает физику процесса. Однако для практиче- 113 ского применения кривые с Re t более удобны. В случае необходимости они легко могут быть пересчитаны по формуле: Re = µ Re t Ярким примером, показывающим взаимное влияние геометрических пара- метров и числа Рейнольдса, является сложный, немонотонный характер зависимо- сти коэффициента расхода для короткого трубопровода с фаской на входе (рис.39). Рис. 39. Зависимость коэффициента расхода цилиндрического насадка с фаской на входе от числа Рейнольдса (l/d = 55) Можно предположить, что увеличение расхода на начальном участке зави- симости определяется влиянием фаски, создающей конфузорное течение на входе и затягивающей область ламинарного режима до Re ≅ 10 4 . При дальнейшем росте числа Рейнольдса происходит изменение конфигурации зоны отрывного течения в цилиндрической части. 14.4.4. Кавитационный режим течения в цилиндрических насадках В цилиндрическом насадке с острой входной кромкой минимальное давле- ние, как уже отмечалось, достигается в сжатом сечении струи в вихревой зоне, на- ходящейся вблизи стенки насадка. Следовательно, именно в этой области начинает образовываться кавитационная зона - каверна, заполненная паром или газом. Кави- тация начинается у стенок насадка, вблизи узкого сечения. В центральной части потока в это время видимой кавитации не наблюдается. Центральная часть потока (ядро потока) в начальных стадиях кавитации движется в виде свободной струи, окруженной смесью пара и жидкости. По мере увеличения скорости истечения при постоянном противодавлении либо при уменьшении противодавления (при посто- янной скорости истечения) происходит расширение кавитационной зоны. Она рас- пространяется по длине насадка вниз по течению. Длина зоны кавитации характе- ризует степень развития кавитации в потоке. Критерием динамического подобия условий кавитационного течения является число кавитации χ; в некоторых случаях кавитация зависит также от чисел Рейнольдса и Вебера [17]. Изменять величину числа кавитации можно за счет скорости истечения, противодавления р 2 , а также за счет давления насыщенных паров. С момента возникновения кавитации в цилиндрическом насадке коэффици- циент его расхода, в отличие от случая истечения из отверстия в тонкой стенке, на- чинает уменьшаться, а гидравлическое сопротивление − возрастать. Чем больше степень кавитации, тем меньше коэффициент расхода. Значение числа кавитации, при котором наблюдаются первые признаки кавитации, называется критическим числом кавитации χ кр . Его величина зависит от формы и относительных геометри- 114 ческих размеров канала, а также от физических свойств жидкости. Обычно крити- ческие значения чисел кавитации для цилиндрических насадков находятся в интер- вале 0,35 –1,0 (рис. 40). Рис. 40. Зависимость коэффициента расхода цилиндрического насадка от числа кавитации по данным работы [17]. 1-зона бескавитационнного течения, 2-зона кавитационного течения; а-относительная длина 3; б-относительная дли- на 5; в-относительная длина 10 Если давление на входе в насадок р 1 поддерживается постоянным, а проти- водавление p 2 изменяется, то можно получить режим постоянного массового рас- хода G=const при ∆p = p 1 – p 2 = var (рис.41). Этот режим или участок появляется тогда, когда в узком сечении (на входе в насадок или в месте перехода от кониче- ского участка с углом α>20° к цилиндрическому) в застойной зоне давление сни- жается до давления, близкого или равного давлению парообразования р v . С умень- шением давления на выходе р 2 , при p 1 =const, расход в этом случае не изменяется, т. к. в узком «живом» сечении насадка устанавливается постоянное давление, и пере- пад давлений, определяющий величину расхода, остается все время постоянным и 115 равным ∆p=p 1 —р v . Уменьшение давления на выходе р 2 в этом случае приводит лишь к дальнейшему распространению каверны по длине насадка (вниз по тече- нию) и в предельном случае — выходу ее за пределы канала. По мере развития ка- витации коэффициент расхода насадка уменьшается и становится равным 0,6— 0,62. Кавитационный режим постоянного расхода при истечении жидкости из на- садков широко применяется в узлах регулирования различных гидравлических сис- тем. Рис. 41. Зависимость массового расхода жидкости от перепада давлений для цилиндрических насадков Если кавитация вредна (например, в форсунках, дроссельных шайбах), ее можно избежать, выполнив входной участок насадка коническим, сходящимся с углом α < 20° (либо скругленным) с относительной длиной l/d не меньше 1,5. Длина цилиндрической части может быть любой в зависимости от конструктивных требований, предъявляемых к насадку. В частности, эта длина может быть равной нулю, при этом насадок превращается в сужающийся конический. 14.5. Истечение жидкости при переменном напоре (опорожнение сосуда) При медленном изменение напора (рис. 42) для каждого последовательно сме- няющегося состояния можно применить (в первом приближении) соотношение ус- тановившегося течения: , 2gH A Q µ = где A – площадь поперечного сечения отверстия. Рис. 42.Истечение жидкости при переменном напоре Если обозначить площадь поперечного сечения сосуда Ω (в общем случае Ω = Ω (H)), то можно записать, что 116 Qdt dH − = Ω (14.27) Учитывая начальное условие при t = 0, H=H 0 и принимая Ω = const, µ = const, легко получить следующую формулу для времени опорожнения бака: 2 2 gH A H T µ Ω = (14.28) Отметим, что рассмотренное решение задачи учитывает только емкостное свойство гидравлической системы и не учитывает ее инерционных свойств. 14.6. Разгон жидкости Рассмотрим процесс установления стационарного течения жидкости при по- стоянном значении напора, реализующийся после мгновенного открытия затвора на конце трубопровода (рис. 43). Рис. 43. Разгон жидкости после открытия затвора на конце трубопровода Уравнение Бернулли для сечения на свободной поверхности бака и сечения перед затвором запишем в следующем виде: , 2 2 2 2 2 2 0 g V g l g V g V H + + = ς (14.29) где ς – коэффициент гидравлических потерь, учитывающий как местные потери, так и потери на трение. При установившемся течении 2 2 2 0 2 0 0 g V g V H ς + = (14.30) Из (14.29) и (14.30) имеем 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 g V g l g V g V g V g V + + = + ς ς (14.31) Разделяя переменные, получим: 1 2 2 2 0 V V dV l dt − + = ς Так как 2 0 0 2 1 V gH = + ς , то 117 2 2 2 0 0 2 V V dV H l V dt − = Интегрируя последнее соотношение методом разложения на простейшие дроби с учетом начального условия при t = 0, V = 0, получим: ln ln ) 1 ( ln 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V V V V T V V V V V l V V V V gH lV t − + = − + + = − + = ς (14.32) График зависимости V=f(t) изображен на рис. 43 справа. Отметим, что когда 0 0 96 0 , 4 V V T t = = . Очевидно, что в рассмотренной задаче учитываются инерционные свойства жидкости, но не учитываются емкостные. Задача об опорожнении бака (при учете инерционности жидкости в трубо- проводе) сведется к системе из двух обыкновенных дифференциальных уравнений: уравнение опорожнения бака: Vadt AdH − = (14.33) и уравнение Бернулли для трубопровода = H g V 2 2 ( ) dt dV g l + + ζ 1 (14.34) Введя обозначения 0 2 0 1 0 , 2 , H H y gH V y t t = = = µ τ , систему уравнений (14.33), (14.34) можно привести к следующему виду: 2 1 2 1 Ky Ky y − = ′ (14.35) 1 2 2y y − = ′ , (14.36) где K = (1 + ζ) H 0 A / l a . Начальные условия будут: y 1 = 0 (v = 0), y 2 = 1 (H = H 0 ) при τ = 0. Приведение расчетных уравнений к безразмерному виду позволяет гаранти- ровать в процессе вычислений отсутствие переполнения или появления машинного нуля. 118 Решение системы уравнений проводилось методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Этот метод устойчив и для получения решения в следующей точке требует значения решения только в одной предыдущей точке. Поэтому шаг интегрирования может быть изменен на любом этапе вычислений. С другой сторо- ны, на каждом шаге метод Рунге-Кутта требует вычисления правых частей уравне- ний в четырех точках, что является существенным недостатком этого метода. При самостоятельном составлении программы студентам рекомендуется использовать более простой метод Эйлера. Рис. 44. Опорожнение бака: пунктирные линии − квазистатическое при- ближение; сплошные линии − с учетом инерционности Результаты расчета для значения K=10 приведены на рис. 44 в виде зависи- мости безразмерной скорости у 1 и безразмерной высоты y 2 от времени в относи- тельных величинах. Пунктирными кривыми изображены зависимости по уравне- нию (14.28) в квазистатическом приближении, сплошными кривыми — решение в соответствии с уравнениями (14.35) и (14.36). Видно, что при учете инерционности жидкости ее скорость быстро нарастает от нулевого значения, при τ=0,15 сравни- вается с квазистатическим значением и затем идет выше этой зависимости. Время опорожнения (с учетом инерционности) на 20% меньше, а максимальное значение скорости на 15% меньше, чем по приближенному решению. Применение стандартных программ при выполнении гидравлических расче- тов позволяет, как показал наш опыт, несколько уменьшить затраты времени сту- дентами на программирование. Однако такой подход требует хорошей организации сервисного обслуживания на ЭВМ и выпуска детального описания стандартных программ. |