Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
|
11.3. k - ε модель турбулентности k - ε модель турбулентности в настоящее время является наиболее примени- мой для проведения численных решений задач механики жидкости и газа при тур- булентном режиме течения. Кинетическую энергию турбулентных пульсаций можно записать в следую- щем виде: + + = 2 ' 2 ' 2 ' 2 1 z y x V V V k ρ Скорость диссипации энергии турбулентных пульсаций в единичном объеме ε равна, аналогично дисипации кинетической энергии из среднего течения, сумме членов вида 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ x V y V y x µ и 2 2 ∂ ∂ x V x µ Поскольку градиенты мгновенной пульсационной скорости турбулентного движения гораздо больше градиентов средней скорости (за исключением области течения в непосредственной близости к твердым граничным поверхностям), дисси- пация энергии пульсационного движения обычно значительно больше диссипации энергии среднего движения. Величина турбулентной вязкости (в случае неизотермичности течения) и ве- личина турбулентной теплопроводности определяются из системы уравнений для k и ε. 91 ( ) ( ) ( ) ( ) ρε µ σ µ σ µ σ µ ρ ρ ρ ρ − Φ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ t k t k t k t z y x z k z y k y x k x z k V y k V x k V t k (11.13) ( ) ( ) ( ) ( ) k C k C z z x y x x z V y V x V t t t t t z y x 2 2 1 ε ρ ε µ ε σ µ ε σ µ ε σ µ ε ρ ε ρ ε ρ ρε ε ε ε − Φ + + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (11.14) Значения констант для стандартной k - ε модели турбулентности, получен- ные Лаундером и Сполдингом, представлены ниже в таблице. Эти значения могут изменяться для конкретных задач в соответствии с опытными данными. C 1 C 2 C µ σ k σ ε 1,44 1,92 0,09 1,0 1,3 Величина турбулентной вязкости подсчитывается по формуле ε ρ µ µ 2 k C t = (11.15) 92 12. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА И РЕЙНОЛЬДСА 12.1. Основные сведения Программа дисциплины “Гидравлика (техническая механика жидкости и га- за)” предусматривает изучение численных методов и их реализацию на ЭВМ при- менительно к решению уравнений Навье-Стокса в конечно-разностной форме. Для учебных, а в ряде случаев и для научных целей наиболее целесообразно использо- вание декартовой системы координат и физических переменных: компонент скоро- стей и давления. В исследуемой области изменения независимых переменных вво- дится сетка – дискретная совокупность узловых точек. Вместо функций непрерыв- ного аргумента рассматриваются сеточные функции, значения которых задаются в узловых точках сетки. Дифференциальные уравнения с соответствующими краевы- ми условиями заменяются приближенными сеточными уравнениями, связывающи- ми значения искомых функций в узлах сетки. При этом формируется система ал- гебраических уравнений, которую можно решать тем или иным способом на ЭВМ. Исследование устойчивости конечно-разностных аналогов уравнений Навье- Стокса является сложной и нерешенной пока до конца задачей. Однако можно изу- чить основные аспекты поведения многих конечно-разностных схем, рассматривая одномерные модельные уравнения переноса. Одним из достаточно простых модельных уравнений переноса является урав- нение Бюргерса [15]: 2 2 x u x u u t u ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ α , где u рассматривается как обобщенная скорость. Это уравнение сохраняет нели- нейность уравнений Навье-Стокса. Благодаря своей нелинейности оно может слу- жить модельным уравнением для изучения как турбулентности, так и ударных волн. На этом уравнении могут быть изучены различные конечно-разностные схе- мы. Известны некоторые аналитические решения уравнения Бюргерса. В последние годы широкое применение в вычислительной гидродинамике по- лучило обобщенное дифференциальное уравнение, описывающее уравнение дви- жения и уравнение для кинетической энергии турбулентности. Если обозначить за- висимую переменную Φ , то обобщенное дифференциальное уравнение имеет сле- дующий вид: ( ) ( ) ( ) S grad div u div t + Φ Γ = Φ + Φ ∂ ∂ ρ ρ , ( ) 1 12 где Γ − коэффициент диффузии, S − источниковый член. Конкретный вид Γ и S зависит от смысла переменной Φ В обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена: нестацио- нарный, конвективный, диффузионный и источниковый. Кроме того, поле скоростей должно удовлетворять дополнительному ограничению – уравнению неразрывности (см. подраздел 3.2). Дифференциальные уравнения, описывающие теплообмен, мас- сообмен, гидродинамику и турбулентность, можно рассматривать как частный слу- 93 чай уравнения (12.1), что позволяет ограничиться численным решением только этого уравнения при использовании соответствующих зависимостей для Γ и S Дискретный аналог дифференциальных уравнений представляет собой алгеб- раические уравнения, связывающие значение Φ в некоторой группе узловых точек. Эти уравнения получаются из дифференциальных уравнений, описывающих изме- нение Φ , и, следовательно, этот аналог несет ту же физическую информацию, что и исходные дифференциальные уравнения. В дискретный аналог входят значения Φ только в некоторых узловых точках, что является следствием кусочного характера выбранных профилей. При этом значение Φ в некоторой узловой точке оказывает влияние только на распределение Φ в окрестностях этой точки. Предполагается, что при очень большом числе узлов решение дискретного аналога сближается с точным решением соответствующего дифференциального уравнения. Возможные дискретные аналоги любого дифференциального уравнения не единственны, одна- ко, предполагается, что в пределе очень большого числа узловых точек все типы дискретных аналогов дают одно то же решение. Возможные отличия в решениях являются следствием различных предположений о характере профиля зависимой переменной и способов получения аналогов. Существуют две основные версии дискретных аналогов: конечно-разностный метод и метод конечных элементов. 12.2. Обзор основных методов получения дискретных аналогов 12.2.1. Использование рядов Тейлора Основные конечно-разностные формулы для частных производных могут быть получены при помощи разложения в ряды Тейлора. Используется прямоугольная сетка: нижние индексы i и j используются для аргументов x и y , а верхний индекс n соответствует временному слою. Опуская для упрощения верхний индекс, рассмот- рим три узловые точки: 1, 2 и 3. Разложение в ряд Тейлора около узловой точки 3, расположенной посредине между точками 1 и 3, дает: ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 1 − Φ ∆ + Φ ∆ − Φ = Φ dx d x dx d x ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 3 + Φ ∆ + Φ ∆ + Φ = Φ dx d x dx d x Отбрасывая члены обоих рядов, начиная с четвертого, вычитая и складывая уравнения, получим: , 2 1 3 2 x dx d ∆ Φ − Φ = Φ 2 3 2 1 2 2 2 2 x dx d ∆ Φ + Φ − Φ = Φ (12.2) Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения, можно получить его дискретный аналог. Вывод с помощью рядов Тейлора сравнительно прост, но менее гибок и не способствует пониманию физического смысла членов уравнения. Возможны большие ошибки для случаев экспоненциального изменения Φ 94 12.2.2. Полиномиальная аппроксимация Этот метод получения конечно-разностных выражений основан на примене- нии аппроксимирующей аналитической функции со свободными параметрами, ко- торая строится по значениям в узлах сетки, а затем аналитически дифференцирует- ся. Это обычный метод нахождения производных по экспериментальным данным. В идеале вид функции должен определяться приближенным аналитическим решени- ем. Однако на практике обычно используются полиномы второго или третьего по- рядка. Полиномы высоких порядков часто приводят к неправдоподобным результа- там. В вычислительной гидродинамике метод полиномиальной аппроксимации, как правило, применяется для получения решения вблизи границ. 12.2.3. Интегральный метод В этом методе требуется приближенно удовлетворить основным уравнениям, записанным не в дифференциальной, а в интегральной форме. Различие между ин- тегральным методом и методом разложения в ряды Тейлора наиболее четко прояв- ляется при использовании непрямоугольных координат. 12.2.4. Метод контрольного объема Этот метод для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на инте- гральный метод, но более физичен по существу. Метод контрольного объема наи- более ярко освещает процесс «численного моделирования». Метод контрольного объема достаточно продуктивен для учебных целей. Основная идея этого метода заключается в разбиении расчетной области на непересекающиеся, но граничащие друг с другом контрольные объемы, чтобы каждый узел расчетной сетки содержал- ся в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируется по каждому контрольному объему. При вычислении интегралов используются кусоч- ные профили, которые описывают изменение переменной между узлами. В резуль- тате такого интегрирования получается дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения переменной в нескольких соседних узлах. Достоинство метода контрольного объема определяется не каким-либо его оп- ределенным свойством, а тем, что он является наилучшим в некотором среднем смысле [20]. Его преимущество заключается в том, что он основан на макроскопи- ческих физических законах, а не на использовании математического аппарата не- прерывных функций. В методе контрольного объема заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, импульс и энергия на любой группе кон- трольных объемов и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство про- является при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их числа. Поэтому даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам. Метод контрольного объема, в частности, хорошо работает для определения потерь давления в местном гидравлическом сопротивлении при задании различных эпюр скоростей во входном и выходном сечениях. Метод контрольного объема используется в профессиональном пакете STAR-CD, позволяющем решать многочисленные инженерные задачи механики жидкости и газа. 12.2.5. Метод конечных элементов Этот метод в последние десятилетия стал одним из широко распространенных. Он является эффективным средством дискретизации различных дифференциальных 95 уравнений и вариационных задач математической физики. Метод конечных эле- ментов составляет алгоритмическую основу многих прикладных программ, (в том числе пакета программ Ansys), имеющих профессиональную и университетскую версии. В методе конечных элементов расчетная область разбивается на элементы. Для удобства задания информации об этих элементах и обеспечения приемлемой глад- кости функций используются достаточно простые области: отрезки в одномерной модели, треугольники и прямоугольники в случае двухмерной области, тетраэдры и параллелепипеды − в трехмерном случае. В результате расчетная область представ- ляется в виде объединения отдельных элементов, соседние из которых имеют об- щие точки, стороны или грани. Обычно дискретные аналоги получаются с помо- щью вариационного принципа, если он существует, или с помощью метода Галер- кина. Метод конечных элементов не следует рассматривать как отличающийся в принципе от конечно-разностных методов. Его дополнительные возможности обу- словлены только тем, что при этом методе можно использовать нерегулярную сет- ку. Например, треугольная сетка более удобна для аппроксимации нерегулярных областей и получения локального сгущения точек. 96 13. ОБЩАЯ СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭВМ 13.1. Основные сведения К современной промышленности предъявляются жёсткие требования как по техническим характеристикам машин различного назначения, так и по экологиче- ской и техногенной безопасности, а также комфортности при их эксплуатации. Удовлетворение этих требований возможно только при условии использования вы- соких наукоёмких технологий. В частности, полноценное и качественное инженер- ное обеспечение технических проектов возможно только на основе использования CAD/CAE/CAM технологий. Технологическая цепочка CAD/CAE/CAM (Computer Aided Design/Computer Aided Engineering/ Computer Aided Manufacture) обеспечи- вает точное математическое моделирование на всех этапах разработки новых об- разцов техники и совершенствования существующих машин, материалов и техно- логий. Рассмотрим вопросы применения компьютерных технологий в рамках под- готовки и практической деятельности инженеров широко распространенных ма- шиностроительных направлений: 653200 "Транспортные машины и транспортно- технологические комплексы"; 651400 "Машиностроительные технологии и обору- дование", 657800 "Конструкторско-технологическое обеспечение машинострои- тельных производств". При этом будем ориентироваться на хорошо успевающих студентов высших технических заведений, получивших надлежащую подготовку по математике и информатике на младших курсах и успешно применявших эти знания на старших курсах при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин, выполнении курсовых работ и проектов и выпускной работы. Таким образом, к началу трудовой деятельности молодые специалисты достаточно хоро- шо подготовлены к использованию компьютерных технологий в своей практиче- ской деятельности. Однако большая часть выпускников будет скорее всего работать в сфере не- посредственного производства, например, мастерами в цехах. Они скорее всего бу- дут использовать компьютеры не для решения задач инженерного анализа, а для учета показателей производственного процесса, управления и контроля, пользуясь программным продуктом, созданным специалистами в другой области. Относи- тельно небольшая часть попадет в конструкторские и научно-экспериментальные подразделения. Для выполнения некоторых расчетов они могут создавать свои не- большие программы, а иногда выполнять расчетные работы с помощью калькуля- торов и графических построений (например, для типовых задач, приведенных в подразделе 15.1). Задачи, рассмотренные в подразделе 15.2, можно решать с помо- щью многочисленных пакетов, носящих название "математика"(например, MATH.CAD, MATH.LAB). Совсем небольшая группа будет работать в подразделе- ниях (или подразделении), которые должны заниматься перспективными разработ- ками, определяющими судьбу фирмы, ее будущее. В таких подразделениях, как правило, работают наиболее талантливые люди разных специальностей, в том чис- ле специалисты в области вычислительной математики и программирования. Воз- можно, некоторые выпускники машиностроительных направлений (по своему же- ланию или по воле руководства фирмы), в известной мере пройдут переквалифика- цию и станут создавать великолепные математические модели и программные про- 97 дукты, обладающие большими возможностями. Однако потребуется достаточное количество работников, которые для уменьшения рутинной работы, повышения ее качества и сокращения времени будут пользоваться готовыми прикладными паке- тами инженерного анализа для решения достаточно сложных задач. Современные пакеты прикладных программ имеют очень большие возможности. Сейчас студен- ты старших курсов с помощью пакетов прикладных программ зачастую выполняют курсовые работы, которые несколько лет тому назад соответствовали бы уровню кандидатской или даже докторской диссертации. Недаром на одной из последних конференций по теплообмену ведущий специалист в области вычислительных ме- тодов английский ученый Сполдинг сказал, что в настоящее время каждый человек может решить любую задачу в области механики жидкости, газа и плазмы (разуме- ется, он при этом предполагал, что этот человек имеет в своем распоряжении со- временный пакет соответствующих прикладных программ). Решения по структуре и финансированию фирмы принимают руководители (например, совет директоров), которые чаще всего (по крайней мере, в России) вы- ходят из производственных подразделений. Поэтому в процессе подготовки инже- нерного состава студенты должны не только составлять учебные программы не- большого объема, но и знакомиться с современными пакетами прикладных про- грамм в качестве пользователей. Отметим, что во многих странах фирмы- разработчики программ предоставляют их университетам бесплатно или за симво- лическую плату, справедливо ожидая, что, поступив работать на фирму, выпускни- ки укажут работодателям именно на те программы, которые они изучили во время учебы. В качестве примера, ниже будут рассмотрены некоторые возможности паке- та Ansys, с помощью которого можно решать задачи по расчетам на прочность, по теплотехнике, электротехнике, механике жидкости и газа (раздел Flotran). Универ- ситетские версии Ansys / Flotran имеет ограничение от 2000 до 16000 узлов, поэто- му приходится ограничиваться главным образом плоскими и осесиметричными за- дачами. Для работы среде Flotran необходимы знания в области механики жидко- сти и газа, основ вычислительных методов и программирования. Пакет имеет встроенные модули для многих известных систем CAD. В результате решения уравнений Навье-Стокса для ламинарного режима те- чения или уравнения Рейнольдса для турбулентного режима течения с помощью пакета определяется поле скоростей и поле давлений в области, на основании кото- рых можно получить некоторые интегральные характеристики, например, коэффи- циент гидравлических потерь устройства. Схема применения численных методов при работе в среде пакета сводится к некоторой последовательности действий. 1. Определение имя задания. 2. Выбор раздела в главном меню (в рассматриваемом случае – Flotran). 3. Определение типа элемента: плоского или пространственного. 4. Задание геометрии области течения посредством координат определяю- щих точек или прямоугольников (в случае простой геометрии). 5. Соединение введенных точек линиями. 6. Производство сеточного разбиения на границах области и создание ко- нечно-элементной сетки. 7. Задание граничных условий: величин компонент скоростей во всех эле- ментах входного сечения и нулевое значение скорости на стенках. 8. Задание величины давления на входе. 98 9. Задание свойств жидкости: плотности и вязкости в указанных единицах измерения. 10. Установка параметров решения в зависимости от возможностей компью- тера и требуемой точности, (например, ввести число итераций). 11. Ввести команду «Решение» (Solution). 12. По завершению расчетов на экране появляется график, показывающий изменение компонент скоростей по осям, а также соответствующие зна- чения давлений. Проводится анализ результатов расчета. Решение может сходиться при достаточно большом числе итераций. Большое значение имеет также выбор расчетной области течения и корректность задания граничных условий. 13. Загрузка результатов последней итерации. 14. Просмотр поля скоростей. На экране появляется картина течения. 15. Просмотр полей давления. На экран выводятся изолинии давлений. 16. Программирование определения интегральных характеристик с помощью встроенной в систему вспомогательной программы или запись результа- тов для дальнейшей работы. 17. Выход из Ansys. Схема действий при работе с другим пакетом, например STAR-CD, будет в деталях отличаться. Однако общий подход, зависящий от структуры задачи, оста- нется без существенных изменений. STAR-CD является специализированным пакетом для решения задач меха- ники жидкости и газа. Этот пакет позволяет решать задачи со свободными поверх- ностями, фазовыми переходами и многофазными потоками. Возможно также полу- чить решение для течений с кавитационными кавернами, проводить численное мо- делирование течений с химическими реакциями, в частности процессов горения. В процессе работы можно проводить изменение области интегрирования и использо- вать скользящие сетки, с помощью которых легко определять взаимодействие не- подвижных и подвижных объектов. GAS DYNAMICS TOOL представляет пример специализированного пакета по моделированию нестационарных и стационарных газодинамических процессов с учетом химических реакций, катализа, диффузии и горения. Программный комплекс Flow Vision, созданный ООО "ТЕСИС", предназна- чен для моделирования трехмерных течений жидкости и газа в технических и при- родных объектах. Пакет позволяет проводить визуализацию течений методами компьютерной графики. Возможно моделирование стационарных и нестационар- ных течений несжимаемой и сжимаемой жидкостей, а также моделирование пото- ков со свободной поверхностью. Используется адаптивная расчетная сетка и раз- личные модели турбулентности. |