Задача
Струя жидкости истекает из сосуда в горизонтальном направлении.
Поперечное сечение трубки имеет форму эллипса, вытянутого в горизонтальном направлении. Струя принимает форму цепи, звенья которой попеременно то вытянуты, то сплюснуты в горизонтальном направлении. Пользуясь методом теории размерностей, найти зависимость длины звена в начальной части струи от плотности жидкости
ρ, поверхностного натяжения σ, ускорения силы тяжести g и располагаемого напора H. На наблюдении этого явления основан метод Релея
− измерения поверхностного натяжения жидкости.
Ответ:
gH
l
ρ
σ
10.2. Метод подобия
В XIX столетии многие исследователи, в том числе Релей, решали задачи фракционного анализа обычно путем прямого использования идеи подобия и от- ношения сил. В XX веке такой метод стал менее популярным и почти полностью был заменен методом, использующим
π-теорему, за исключением работ несколь-
76 ких авторов в области механики жидкости. В настоящее время этот метод исполь- зуется столь редко, что не существует общепринятого названия для него; (в этой книге мы будем называть его "методом подобия").
Попытаемся обсудить причины пренебрежения методом подобия за послед- нее время. В большинстве известных исследований не разработаны основы метода, позволяющие применять его во всех задачах фракционного анализа. Несмотря на это, метод подобия имеет ряд полезных свойств и очень естественно приводит к использованию во фракционном анализе основных уравнений, описывающих фи- зические процессы. По этим двум причинам уместно попытаться более широко и основательно рассмотреть метод подобия.
Метод подобия в своей основе является сравнительно простым. Описанный в литературе XIX столетия и используемый в последующих приложениях в меха- нике жидкости, этот метод включает следующие две операции:
1. Перечисляются силы, которые полагаются наиболее существенными для задачи, включая зависимые и независимые силы. (Термин «сила» здесь использует- ся в том же смысле, что и в механике, а не в смысле "обобщенной силы", о которой идет речь в некоторых современных работах, например, в термодинамике необра- тимых процессов.) Каждая из этих сил выражается затем через параметры задачи с помощью физических представлений или соображений размерности.
2. Характеризующие задачу безразмерные группы создаются путем образо- вания
упомянутых выше отношений сил и линейных размеров, необходимых для обеспечения геометрического подобия.
Число комплексов
π, построенных из отношений сил, равно числу независи- мых сил. Ради удобства принято использовать зависимую силу только в одном комплексе: в этом случае она является явной функцией независимых сил.
Внешне невелика разница между списком сил, характеризующих данный процесс, и перечнем величин, из которых состоят выражения для этих сил. Следо- вательно, по-видимому, нет существенного различия между методом подобия и ме- тодом
π -теоремы, рассмотренным в предыдущем разделе. Однако метод подобия имеет определенные неотъемлемые преимущества и, кроме того, приводит к тем же результатам, что и
π-теорема.
Обычно метод подобия постулирует следующее:
«Две системы ведут себя подобным образом, если выполняется подобие гео- метрическое, кинематическое и динамическое; а эти условия в системах будут вы- полняться, если эти две системы геометрически подобны и если отношения всех существенных для данного процесса сил одинаковы в этих системах».
Вероятно, одна из причин того, что этот метод не пользуется популярностью в последнее время, состоит в том, что последняя половина постулата далеко не достаточна, чтобы охватить все явления. В частности, во многих физических про- цессах можно указать величины, которые вовсе не зависят от сил (например такие, как поток тепла или количество электричества). Действительно, вторая половина постулата основана на чисто механической точке зрения. Такой взгляд превалиро- вал в XIX столетии. Но он не подтверждается современными концепциями термо- динамики. Необходимо некоторое обобщение основных понятии. Основы для тако- го обобщения даны в конце раздела.
Чаще всего используются лишь отношения сил.
Силы, встречающиеся в природе, чрезвычайно разнообразны, и поэтому невозможно рассмотреть их все.
Так как цель состоит
прежде всего в уяснении метода исследования, то достаточно
77
рассмотреть одну задачу из области механики жидкости, так как метод, о котором идет речь, хорошо развит именно в этой области. Система основных безразмерных параметров, аналогичная той, которая получается при исследовании механики жидкости, может быть составлена и для других областей. Что особенно важно, ме- тод подобия дает прочную основу для уточнения параметров при дальнейшем на- коплении экспериментальных данных.
В механике жидкости имеется шесть основных сил:
1) сила инерции F
I
, пропорциональная произведению
ρ V
2
L
2
;
2) сила вязкости F
V
, пропорциональная произведению
µ V L;
3) сила давления F
P
, пропорциональная произведению
∆p L
2
;
4) сила упругости F
E
, пропорциональная произведению K
S
L
2
, где K
S
изоэнтропная величина объемного модуля упругости;
5) сила поверхностного натяжения F
σ
, пропорциональная произведению
σ L;
6) сила тяжести F
G
, , пропорциональная произведению
ρ g L
3
Используя эти соотношения, можно образовать пятнадцать безразмерных отношений из двух сил, приведенных в таблице.
F
V
F
P
F
E
F
σ
F
G
ρVL/µ число
Рейнольдса
∆p/0,5ρV
2
число Эйлера
ρV
2
/K
S
число Коши
ρV
2
L/
σ число Вебера
V
2
/gL число Фруда
F
I
∆pL/µV число Стокса
K
S
L/
µV
σ/µV
ρL
2
g/
µV
F
V
K
S/
∆p
σ/∆pL
ρLg/∆p
F
P
σ/ K
S
L
ρLg/ K
S
F
E
ρL
2
g/
σ
F
σ
Из таблицы видно, что только шесть безразмерных чисел содержат наиболее распространенные в механике жидкости, безразмерные критерии подобия. Среди них отсутствуют число Маха, коэффициент трения и отношение теплоемкостей.
Легко показать, что число Маха представляет собой квадратный корень из числа
Коши, которое входит в состав этой таблицы. Коэффициент трения есть то же са- мое, что и коэффициент давления, или число Эйлера, т. е.
отношение сил давления, действующих на поверхность, к силам инерции. Очевидно, что отношение тепло- емкостей из рассмотрения приведенных здесь сил найти нельзя. Заметим, что среди пятнадцати простейших чисел только шесть настолько широко используются, что получили общепринятые названия.
Эти критерии или числа подобия широко используются не только в силу ис- торических причин, но также и потому, что выраженные непосредственно через отношения сил, существенных для рассматриваемого процесса, они имеют практи- чески полезную, простейшую и легко интерпретируемую форму. В самом деле, хо- тя число Маха обычно используется в окончательном решении, величина, которая почти всегда появляется в основных уравнениях, описывающих рассматриваемый процесс, есть квадрат числа Маха, или число Коши. Во многих случаях использо- вание М
2
в качестве переменной упрощает проведение анализа и, кроме того, исто- рически, вероятно, более оправдано. Разница не столь существенна, но очевидно, что использование отношений сил позволяет получить более полезную комбина- цию величин.
78
Пример 2. Вернемся к задаче о развитом стабилизированном ламинарном потоке внутри трубы, которая была решена путем использования
π-теоремы в при- мере 1. В главе 2 найдено, что коэффициент трения может быть выражен как функ- ция числа Рейнольдса. Однако для того, чтобы получить такой ответ в дополнение к
π-теореме, оказалось необходимым ввести условие симметрии. Этот ответ явля- ется точным (корректным) в том смысле, что переменные могут быть отложены на графике зависимости коэффициента трения от числа Рейнольдса, причем в лами- нарной области все опытные данные ложатся на одну линию.
Рассматривая наш набор сил, характерный для механики жидкости, допус- тим, что в
этом случае гравитационная сила, сила поверхностного натяжения и си- ла упругости не имеют существенного значения. Тогда остаются сила инерции, сила давления и сила вязкости. Одна из этих сил является зависимой. Таким образом, получаются два безразмерных комплекса: один независимый и один зави- симый. Этими безразмерными комплексами должны быть число Рейнольдса и ко- эффициент давления. Коэффициент давления легко преобразуется в коэффициент гидравлического трения с помощью уравнения, которое служит определением ко- эффициента трения. Уменьшению числа Рейнольдса соответствует увеличение влияния вязкого трения, т.е.увеличение коэффициента трения
λ.
Обобщение метода подобия можно получить, рассматривая основные урав- нения, описывающие рассматриваемый физический процесс и граничные условия.
Выражение уравнения и граничные условия используются чаще, чем просто урав- нения для того, чтобы подчеркнуть, что граничные условия также должны быть одинаковыми, если одно или несколько уравнений входят в систему в дифферен- циальном виде. Для решения задач в рамках гипотезы континуума (движение жид- костей и газов, явления упругости, классический электромагнетизм, теплообмен и термодинамика) необходимо наряду с отношением характерных сил рассматривать отношения энергий. Так, число Нуссельта представляет собой произведение отно- шения энергии, отношения сил и отношения физических свойств.
10.3. Фракционный анализ основных уравнений и граничных условий 10.3.1. Введение В этом разделе описывается, главным образом, техника (т. е. последователь- ность операций) использования основных уравнений и граничных условий как ос- нова метода подобия и фракционного анализа. Примеры, приведенные в предыду- щей главе, позволяют сделать следующие важные замечания относительно этих операций.
Во-первых, чем полнее и подробнее
основные уравнения и граничные усло- вия, тем больше информации можно получить об изучаемом процессе. Наиболее подробными основными уравнениями обычно являются дифференциальные. Более того, большинство задач, для которых мы не можем найти полные аналитические решения, описывается одним или несколькими дифференциальными уравнениями в частных производных. Таким образом, к задачам такого рода более всего подхо- дит фракционный анализ. Следует подчеркнуть важность исследования всех урав- нений и граничных условий для получения единственного решения.
Во-вторых, используя фракционный анализ основных уравнений, следует ясно представлять физическую сущность основных уравнений и ограничения, со- держащиеся в математической модели рассматриваемого явления. Очень важно
79
обращать внимание на физическое содержание основных уравнений, которому в литературе уделяется меньше внимания, чем математическим аспектам решения уравнений, содержащим необходимую физическую информацию.
В-третьих, удобно использовать стандартный способ преобразования пере- менных к безразмерному виду.
Рассмотрим основы фракционного анализа на примере системы уравнений двухмерного течения вязкой несжимаемой жидкости в тонких слоях.
10.3.2. Уравнение движения жидкости в тонких слоях
Полная система уравнений, описывающая плоскопараллельное течение не- сжимаемой жидкости постоянной вязкости, имеет следующий вид:
0
,
1
,
1 2
2 2
2 2
2 2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
V
x
V
y
V
x
V
y
p
y
V
V
x
V
V
t
V
y
V
x
V
x
p
y
V
V
x
V
V
t
V
y
x
y
y
y
y
y
x
y
y
x
x
y
x
x
x
ν
ρ
ν
ρ
(10.9)
В системе (10.9) опущены слагаемые с проекциями массовых сил, предпола- гаемых малыми по сравнению с поверхностными.
Рис. 24. К выводу уравнения движения жидкости в тонком слое
Предположим, что течение происходит в тонком слое (рис. 24), нижняя линия
– непроницаемая для жидкости, верхняя (пунктирная) – граница между течением в слое и течением вне слоя той же жидкости, но без учета вязкости. Верхняя линия может быть также непроницаемой подвижной стенкой. Линии имеют большой ра- диус кривизны. Координатная ось X – дуга по нижней линии, ось Y перпендикуляр- на к оси X, l – масштаб протяженности слоя по оси X,
∗
δ – средняя толщина слоя.
Отношение
ε
δ
=
∗
l
– малый безразмерный параметр.
Введем безразмерные независимые переменные x
1 и y
1
, безразмерные проек- ции скоростей
1
x
V
и
1
y
V
, безразмерное давление p
1
и безразмерное время t
1
,
Tt
, t
p
p
, p
VV
, V
VV
, V
ly
, y
lx
x
y
y
x
x
1 1
0 1
1 1
1
=
=
=
=
=
=
ε
ε
(10.10)
где
0
p
– характерная для задачи разность давлений;
T – характерный для задачи промежуток времени.
Введем безразмерные числа (критерии): число Эйлера
2 0
V
p
Eu
ρ
=
, число Рей- нольдса
ν
Vl
=
Re и число Струхала
VT
l
Sh
=
80
После ряда преобразований система (8.1) примет следующий вид:
0
,
Re
1
Re
Re
,
Re
Re
Re
1 1
2 1
2 2
1 2
2 1
1 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1 1
2 1
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
⋅
+
∂
∂
⋅
⋅
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
⋅
−
=
∂
∂
+
∂
∂
⋅
+
∂
∂
⋅
⋅
y
V
x
V
y
V
x
V
y
p
Eu
y
V
V
x
V
V
t
V
Sh
y
V
x
V
x
p
Eu
y
V
V
x
V
V
t
V
Sh
y
x
y
y
y
y
y
x
y
x
x
x
y
x
x
x
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
(10.11)
Числа
Eu
, Re,
Sh
получены делением коэффициентов при отдельных слагае- мых уравнений движения на коэффициент при конвективной силе инерции. Следо- вательно, число Эйлера пропорционально отношению силы давления к силе инер- ции; число Рейнольдса пропорционально отношению силы инерции к силе вязко- сти, число Струхала пропорционально отношению локальной инерционной силы и конвективной. Таким образом, все введенные критерии являются критериями дина- мического подобия.
10.3.3. Приближение пограничного слоя
Рассмотрим два случая течения жидкости в тонком слое. Во-первых,
1
Sh
,
1
Eu
,
2 1
Re
ε
В этом случае, произведя оценку величин отдельных слагаемых и возвращаясь к размерным переменным, получим следующую систему уравнений, полученных
Прандтлем в 1904 году, для пограничного слоя:
0
,
0
,
1 2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
y
V
x
V
y
p
y
V
x
p
y
V
V
x
V
V
t
V
y
x
y
x
y
x
x
x
ν
ρ
(10.12)
Граничные условия для системы (10.12) будут: при 1) y = 0,
x
V
= 0,
y
V
= 0 – условия прилипания;
2) у =
)
(x
δ
,
x
V
= V – условие непрерывности скорости;
3) у =
)
(x
δ
,
y
V
x
∂
∂
= 0 – условие непрерывности касательных напряжений.
Методы теории пограничного слоя успешно применялись и применяются для решения задач внешнего обтекания, когда на некотором расстоянии от тела можно пренебречь влиянием вязкости: крыло самолета, кузов автомобиля, корпус корабля.
Обычно сначала задача решается в рамках модели идеальной жидкости.
10.3.4. Приближение смазочного слоя
Пусть теперь критерии подобия имеют другой порядок величин: Sh 1,
ε
1
Eu
,
ε
1
Re
. Тогда, вернувшись к размерным уравнениям, получим диффе- ренциальные уравнения для течения в тонком смазочном слое, полученные Рей- нольдсом в 1886 году.
81 0
,
0
,
2 2
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
yVxVypyVxpyxxµ
(10.13)
В смазочном слое обе границы представляют собой твердые стенки. По этой причине основные граничные условия являются условиями прилипания. К числу неизвестных
необходимо отнести не только проекции скорости, но и давление.
Система (10.13) линейная и сравнительно легко поддается решению.
Для трехмерного случая система уравнений смазочного слоя примет следую- щий вид:
2 2
xVxpx∂
∂
=
∂
∂
µ
2 2
zVzpz∂
∂
=
∂
∂
µ
(10.14)
0
=
∂
∂
yp0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zVzyVxVyx 
Скачать 4.56 Mb.