Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
В настоящем учебном пособии приведены некоторые решения, имеющие практическое значение. Более подробные сведения приведены в ряде работ [5, 11, 12, 17, 18 ]. 5.4.1. Установившееся движение жидкости в прямой трубе эллиптического сечения Будем рассматривать так называемое стабилизированное течение, когда профили скоростей в каждом сечении трубы идентичны. Такой случай, строго го- воря, соответствует трубе бесконечной длины. Линии тока будем полагать прямы- ми линиями, параллельными оси трубы, которую совместим с осью Z (рис. 14). x z Рис. 14. Установившееся движение в прямой трубе эллиптического сечения Система (5.9) для нашего случая сведется к следующей: , 1 , 1 y p O x p O ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ρ ρ 1 2 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = y V x V z p O z z ν ρ Очевидно, в рассматриваемой задаче давление может быть функцией только переменной z, а компонента скорости z V – функцией переменных x и y. Математическая модель рассматриваемой гидромеханической задачи сведется к следующему уравнению: , 2 2 2 2 l p dz dp y V x V z z ∆ − = = ∂ ∂ + ∂ ∂ µ (5.11) где 2 1 p p p − = ∆ 46 Так как левая часть уравнения является функцией x и y, а правая – z, то они равны некоторой постоянной. Будем искать решение в виде: , 1 2 2 2 2 − − = b y a x A V z удовлетворяющее граничным условиям на границе эллипса с уравнением 2 2 2 2 b y a x + = 1. Подставляя V z в (5.11), найдем постоянную A 2 max 2 2 2 2 z V b a b a l p A = + ⋅ ∆ = µ Вычислим расход, проходящий через произвольное поперечное сечение 1 2 2 2 2 max ∫∫ ∫∫ − − = = dxdy b y a x V dxdy V Q z z Пусть 2 , , , 2 2 r d r y d x d y x r y a y x a x ′ ′ = ′ ′ ′ + ′ = ′ ′ = ′ = π Тогда ( ) ( ) 2 2 1 1 max 1 0 2 max 2 2 max ab V r d r r ab V y d x d y x ab V Q z z z π π = ′ ′ ′ − = ′ ′ ′ − ′ − = ∫ ∫∫ Средняя скорость по сечению будет 2 max z ср z V ab Q V = = π Если a = b = r = d/2, то для трубы круглого сечения получим 32 4 128 2 4 ν ρ π µ π l p dd d l p d Q ∆ ⋅ ⋅ = ∆ = (5.12) Откуда , 2 èëè 2 2 2 g V d l h V d l p òð λ ρ λ = = ∆ (5.13) где Re и Re 64 ν λ Vd = = (5.14) Зависимость (5.12) носит название формулы Пуазейля. Число Рейнольдса Re является безразмерным комплексом. Формула (5.12) хорошо подтверждается экспе- риментом, пока число Рейнольдса Re ≤ 2300 (см. рис. 14 справа). До этого значения течение жидкости в трубе носит ламинарный характер, при числе Re > 4000 течение в трубе, как правило, становится турбулентным. При этом зависимость потерь на трение (или давление трения) от расхода (средней скорости) становится существен- но нелинейной, близкой к квадратичной. Подробнее этот вопрос целесообразно изучать при выполнении лабораторной работы по экспериментальному определе- нию коэффициента гидравлического трения. 47 5.4.2. Установившееся движение между двумя параллельными пластинами Рассмотрим течение в канале, ограниченном двумя параллельными пласти- нами бесконечной протяженности (рис. 15). Рис. 15. Течение жидкости в зазоре между параллельными пластинами Система уравнений (5.9) для этого случая принимает следующий вид: 2 2 dy V d dx dp x µ = (5.15) Будем полагать, что нижняя пластина покоится, а верхняя движется с постоян- ной скоростью 0 V . Такое течение в общем случае с наличием градиента давления называется течением Куэтта. Пусть расстояние между пластинами будет h. Граничные условия примут следующий вид: , 0; 0, 0 V V h y V y = = = = Решение уравнения будет 1 2 2 0 l p h y h y h h y V V ∆ − − = µ (5.16) Распределение скоростей в соответствии с этим решением приведено на рис.15: кривая 1 соответствует большому положительному градиенту давления, кривая 2 – отрицательному. При безградиентном течении (течение чистого сдвига) получается линейное распределение скоростей: h y V V 0 = (5.17) Если обе пластины неподвижны и рассматривается участок канала длиною l в направлении оси x, распределение скоростей будет 1 2 2 − ∆ = h y h y l p h V x µ (5.18) Подсчитаем величину расхода через канал, имеющий толщину h и ширину вдоль оси z b, предполагая закон распределения скоростей (5.18). 12 1 2 3 0 0 l b ph ydy h y l ph b dy V b Q h h x µ µ ∆ = − ∆ = = ∫ ∫ (5.19) Уравнение (5.19) хорошо подтверждается экспериментами при условии лами- нарного режима течения и b>>h, l>>h, что выполняется при течении в зазорах. Отметим, как и в предыдущей задаче, линейную зависимость расхода от пере- пада давления. Это – общая закономерность ламинарного движения жидкости. 48 5.4.3. Установившееся течение в трубе с сечением в виде правильного шестиугольника Трубы такой формы часто используются для различных теплообменных уст- ройств. Решение получено методом, подобному тому, с помощью которого обычно получают расчетную формулу для трубы с сечением в виде правильного треуголь- ника. x y a a a a a a 0 a,0 a/2,-a 3/2 -a,0 -a/2,-a 3/2 a/2,a 3/2 -a/2,a 3/2 a -a 3 3 Рис. 16. Расчетная схема поперечного сечения трубы Составим уравнения прямых, образующих стороны правильного шестиуголь- ника со стороной : a 0 2 3 2 3 1 = − = a y èëè a y 0 2 3 2 3 2 = + − = a y èëè a y ( ) ( ) 0 3 3 3 = − − − = x a y èëè x a y ( ) ( ) 0 3 3 4 = − + − − = x a y èëè x a y ( ) ( ) 0 3 3 5 = + + + − = x a y èëè x a y ( ) ( ) 0 3 3 6 = + − + = x a y èëè x a y Решение, удовлетворяющее граничному условию обращения в нуль на кон- туре сечения скорости, будет ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a y x a y x a y x a y a y a y A y x V + − + + − + − − + − = 3 3 3 3 2 3 2 3 , 49 Постоянную А определим из условия равенства лапласиана ( ) y x V , величине - ( ) l p µ / ∆ ( ) 54 / 4 la p A µ ∆ − = Объемный расход определяем как ( ) ∫∫ = A dxdy y x V Q , ( ) 20 5 После простых, но длительных выкладок получаем следующую расчетную формулу для объемного расхода: l p a Q µ ∆ = 4 316 , 0 . (5.21) Для трубы с радиусом, описанным вокруг шестиугольника (r=a) формула для расхода будет l p a Q µ ∆ = 4 393 , 0 . (5.22) Для трубы с радиусом, вписанным в шестиугольник (r=a 3 /2), формула для расхода будет l p a Q µ ∆ = 4 221 , 0 . (5.23) 5.4.4. Первая задача Стокса В качестве примера использования уравнений Навье-Стокса для нестацио- нарного движения рассмотрим течение жидкости, которое возникает при внезап- ном движении ранее покоившейся плоской стенки в своей плоскости с постоянной скоростью 0 V . Пусть стенка совпадает с плоскостью XZ (см. рис. 15). Подобная за- дача является модельной для расчета разгона различных устройств гидроавтомати- ки, например, плоских затворов. Для плоской задачи из уравнения Навье-Стокса остается уравнение типа урав- нения теплопроводности: 2 2 y V t V ∂ ∂ = ∂ ∂ ν (5.24) Давление во всем пространстве постоянное. Начальные и граничные условия можно сформулировать следующим образом: при t ≤ 0, V = 0 для всех y; при t > 0, V = 0 V для y = 0; V = 0 для y = ∞ Решение уравнения (5.24) подробно рассматривается в курсе высшей математики. Если ввести безразмерную переменную t y ν η 2 = (5.25) и положить ), ( 0 η f V V = (5.26) 50 уравнение в частных производных (5.24) можно свести к обыкновенному диффе- ренциальному уравнению: 0 2 = ′ + ′′ f f η (5.27) со следующими граничными условиями: при 0 и 0 при 1 ∞ = = = = η η f f Решением этого уравнения будет η erfc V V 0 = , (5.28) где η η π η η η π η η η d erf d erfc ∫ ∫ − − = − = − = ∞ 0 2 2 ) exp( 2 1 1 ) exp( 2 является дополнительным интегралом вероятности. Для функций erf и erfc имеются подробные таблицы. Значение erfc при η = 2 равно примерно 0.01. Поэтому толщи- на слоя жидкости, увлекаемая пластиной, может быть оценена как: 4 2 t t ν ν η δ ≈ = (5.29) Графическая зависимость распределения скоростей приведена на рис. 17. Рис. 17. Распределение скоростей вблизи стенки 5.5. Уравнение движения Рейнольдса для турбулентного режима течения вязкой жидкости Уравнения движения Навье-Стокса справедливы лишь для ламинарного режи- ма течения. При турбулентном режиме течения локальную скорость можно пред- ставить в виде суммы осредненной во времени скорости и пульсации скорости: , V V V ′ + = (5.30) где V – мгновенное значение скорости; V – осредненное значение скорости; V ′ – пульсация скорости. Покажем, что наличие пульсаций скорости приводит к появлению дополни- тельных поверхностных напряжений. Пусть жидкость движется в основном вдоль оси Х, но пульсации скорости имеют пространственный характер. В направлении оси У за время δ t переносится масса жидкости t A V y δ δ ρ ⋅ ′ с импульсом t A V V x y δ δ ρ ⋅ ′ ′ Приравнивая его импульсу сил – t A xy δ δ τ ⋅ ′ , получим мгновенное значение касатель- ного напряжения x y xy V V ′ ′ − = ′ ρ τ (5.31) 51 Производя интегрирование, можно получить среднее значение касательного турбу- лентного напряжения: , 1 ∫ + ′ ′ − = ′ ′ − = ′ T t t x y x y xy V V dt V V T ρ ρ τ (5.32) где x y V V ′ ′ – среднее произведение пульсации скоростей. Аналогичные выкладки можно проделать для всех составляющих напряжений поверхностных сил. Таким образом, в турбулентном потоке (кроме вязкостных поверхностных сил) надо учитывать дополнительные – турбулентные, обусловленные наличием пульсаций. Уравнение движения примет тогда следующий вид: 1 , 1 , 1 2 2 2 ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ′ ∂ + ∂ ′ ′ ∂ − ∆ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ′ ′ ∂ + ∂ ′ ∂ + ∂ ′ ′ ∂ − ∆ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ′ ′ ∂ + ∂ ′ ′ ∂ + ∂ ′ ∂ − ∆ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z V y V V x V V V z p F z V V y V V x V V t V z V V y V x V V V y p F z V V y V V x V V t V z V V y V V x V V x p F z V V y V V x V V t V z z y z x z z z z z y z x z z y y y x y y y z y y y x y z x y x x x x x z x y x x x ν ρ ν ρ ν ρ (5.33) Система (5.33) носит название уравнений Рейнольдса. Отметим, что уравнение неразрывности для турбулентного движения имеет такой же вид в силу своей линейности, как и для ламинарного режима течения. Уравнения Рейнольдса можно получить из уравнений Навье-Стокса, производя ос- реднение по времени. Уравнения Рейнольдса образуют незамкнутую систему. Задача замыкания имеет много решений, но ни одно из них не является в настоящее время исчерпы- вающим проблему. Одной из первых гипотез, предложенных Буссинеском, явля- лась гипотеза кажущейся турбулентной вязкости: , , т т т n V эфф ∂ ∂ = + = µ τ µ µ µ (5.34) где µ – вязкость жидкости; т µ – турбулентная вязкость; эфф µ – эффективная вязкость. Турбулентная вязкость не является свойством жидкости, а определяется кине- матическими характеристиками турбулентного течения и его предысторий. В на- стоящее время имеется множество полуэмпирических теорий для определений ка- жущейся турбулентной вязкости. При таком подходе в вычисленном плане задачи для ламинарного и турбулентного режимов течения становятся идентичными, но при турбулентном течении появляется блок (и соответствующая подпрограмма) для вычисления кажущейся вязкости. Величина турбулентной вязкости может на не- сколько порядков превышать величину физической вязкости. Это дало основание Ричардсону сказать крылатую фразу о том, что турбулентная вязкость воды равна вязкости ламинарного меда. 52 Порядок величины вязкого касательного напряжения в соответствии с форму- лой Ньютона будет d V µ τ η = Вычислим отношение ò V V V y x µ ρ τ τ ν ′ ′ = Если , 1 0 V V V y x ≈ ′ = ′ тогда Re 01 0 01 0 2 т = = V d V µ ρ τ τ ν (5.35) Таким образом, если Re = 10 4 , то ν τ τ т = 100. Следовательно, турбулентная вязкость может быть на несколько порядков больше ламинарной. |