Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
|
6. АБСОЛЮТНЫЙ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ПОКОЙ (РАВНОВЕСИЕ) ЖИДКИХ СРЕД Состояние жидкости, при котором скорости всех ее точек в любой момент времени равны нулю, называется (механическим) равновесием в данной системе отсчета. Если любой выделенный объем жидкости находится в равновесии, то по- верхностные силы действуют лишь перпендикулярно элементарным поверхностям. Существование касательных составляющих поверхностных сил при равновесии невозможно, так как из-за текучести любая сколь угодно малая сила вызовет де- формацию жидкости, т.е. нарушит механическое равновесие системы. 6.1. Основной закон гидростатики Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости в неподвижном сосуде, на- ходящемся в равномерном (параллельном) поле сил тяжести (рис. 18). Рис. 18. Абсолютный покой жидкости в равномерном поле сил тяжести Тогда при соответствующем выборе системы координат 0 = = y x F F и z g F x ∂ Φ ∂ − = − = Очевидно, что C gz + = Φ , где C – произвольная постоянная. Принимая во внимание (4.3), получим const g p z = + ρ (6.1) Для нахождения постоянной С используем условие p=p 0 при z=z 0 , где p 0 – давление на свободной поверхности (граница газ-жидкость). z 0 C g p = + ρ Тогда , ) ( 0 0 0 gh p z z g p p ρ ρ + = − + = (6.2) где h = z z − 0 Величина gh ρ называется весовым давлением. Из основного закона гидроста- тики следуют известные из школьного курса физики закон Паскаля и закон сооб- щающихся сосудов. 54 6.2. Закон Архимеда Для определения поверхностных сил, действующих со стороны неподвиж- ной жидкости на тела, погруженные в нее и покоящиеся относительно жидкости, необходимо найти сумму элементарных сил давления F = p i ∆A i , действующих на поверхность тела. Метод подсчета такой суммы основан на независимости поверх- ностных сил от вещества, из которого состоит тело. Это позволяет мысленно заме- нить погруженное твердое тело жидким телом такой же формы и размера, состоя- щим из той же жидкости, что и остальной объем. Поверхностные силы при такой замене не изменятся, а условие равновесия погруженного жидкого тела массы т под действием поверхностных сил и силы тяжести, приложенной к центру масс жидкого тела, очевидно: F=-mg (6.3) Сумма поверхностных сил, действующих на тело, покоящееся в неподвиж- ной жидкости, равна по величине и противоположна по направлению весу жидко- сти, вытесненной телом, и приложена к центру масс вытесненной жидкости. Это утверждение называется законом Архимеда, а суммарная поверхностная сила - вы- талкивающей силой или силой Архимеда. Тела, которые тяжелее жидкости, будучи опущены в жидкость, погружаются все глубже и глубже, пока не достигают дна, и, пребывая в жидкости, теряют в сво- ем весе столько, сколько весит жидкость, взятая в объеме этих тел. В случае неод- нородного поля тяжести или действия других сил точку приложения выталкиваю- щей силы (бароцентр) можно найти из условий равновесия жидкости 6.3. Равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением Равновесие при условии движения сосуда с ускорением называется относи- тельным покоем. Рис. 19. Относительный покой в сосуде, движущемся с постоянным ускорением При прямолинейном движении сосуда с постоянным ускорением a (рис. 19) , 0 , g F F j a F z y x − = = = − = Используя уравнение (5.5), получим 1 gdz jdx dp − = ρ Интегрируя, найдем C gz jx p + − = ρ 55 Если принять p = c o n s t , то получим уравнение поверхностей уровня (изоба- рических поверхностей): , 0 1 = + − C gz jx которые являются плоскостями, параллельными оси Y и нормальными сумме векторов j и g: 0 1 jx gz C − = Тогда распределение давлений определяется формулой .) ( ) ( 0 0 0 z z g x x j p p − + − + = ρ ρ (6.4) 6.4. Сила давления жидкости на плоскую стенку. Центр давления Подсчитаем силу давления жидкости на элемент плоской стенки площадью A. Стенка наклонена к горизонту под плоским углом α (рис. 20). P Рис. 20. Сила давления, действующая на плоскую стенку Давление на свободной поверхности 0 p Элементарная сила давления будет: ) ( 0 0 ghdA dA p dA gh p pdA dP ρ ρ + = + = = Полная сила давления определяется по площади ∫ + ∫ = ∫ + = A A A ydA g A p hdA g dA p P , sin 0 0 α ρ ρ где ∫ = A c A y ydA – статический момент площади относительно оси X, c – координата центра масс плоской фигуры. Таким образом, ) ( 0 A p dA gh p P c c = + = ρ (6.5) Полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению пло- щади стенки на величину гидростатического давления в центре масс плоской фигу- ры. В машиностроении обычно c gh p ρ >> 0 и A p P 0 = (6.6) Для вычисления центра давления (точки приложения суммарной силы давле- ния P)найдем сначала центр давления для силы, обусловленной весовым давлени- ем. Используя теорему Вариньона (момент равнодействующей силы давления отно- сительно оси Х равен сумме моментов составляющих сил) и теорему Штейнера о 56 связи моментов инерции относительно параллельных осей, можно получить коор- динату приложения суммарной силы весового давления (центр давления). , A y J y y c c c D + = (6.7) т.е. центр давления расположен ниже центра масс плоской площадки. Сила давле- ния A p 0 , очевидно, приложена в центре масс – точке С. Центр давления равнодей- ствующей силы A gh A p P c ρ + = 0 находится между точками С и D. Однако в гидро- технике, когда a p p = 0 (атмосферное давление), положение центра давления опре- деляется только весовым давлением, и различие между точками С и D становится определяющим. 6.5. Задачи 6.5.1. Определить силу F, действующую на шток гибкой диафраг- мы, если ее диаметр D=200 мм, показание вакуумметра p вак =0,05 МПа, высота h=1 м. Площадью штока пренебречь. Жидкость – вода. 6.5.2. Определить высоту h, если поддерживающая сила F=10 H. Вес сосуда G=2 H, его диаметр d=60 мм. Толщиной стенки со- суда пренебречь. Жидкость вода. 6.5.3. Определить силу F, необходимую для удержания в рав- новесии поршня, если труба под поршнем заполнена во- дой, а размеры трубы: D = 100 мм, H = 0,5 м, h = 4 м. Длины рычага: a = 0,2 м, b = 1,0 м. Собственным весом поршня пренебречь. 6.5.4. При каком угле α момент, действующий на подвижную стен- ку , будет минимален? Количество воды в баке не меняется. При α=0 высота воды в баке равна ширине дна бака. 6.5.6. При каком угле α момент, действующий на подвижную стен- ку , будет минимален? Количество воды в баке не меняется. 57 6.5.7. При каком угле α момент, действующий на подвижную стен- ку , будет минимален? Количество воды в баке не меняется. 6.5.8. Палочка одним концом шарнирно закреплена в точке 0, а другим погружена в воду. Палочка может вращаться относи- тельно горизонтальной оси шарнира, находящегося над уров- нем жидкости. Найти плотность ρ n материала палочки, если при равновесии в воду погружена её половина. Вычислить отношение силы реакции R в шарнире 0 к весу палочки Р. 6.5.9. Кусок льда объемом V=2 дм 3 плавает в цилиндрическом со- суде с площадью основания S=2 дм 2 , заполненном водой и маслом. Относительная плотность льда 9 , 0 _ = = воды л л ρ ρ ρ ; масла 8 , 0 _ = = воды м м ρ ρ ρ Как изменятся уровни H,h в сосуде, когда лед растает? 6.5.10. Топливный бак самолета заполнен на 1/3 его емкости. Само- лет движется горизонтально с постоянным ускорением a. Оп- ределить ускорение a, при котором свободная поверхность проходит через точку A, что будет соответствовать прекра- щению подачи бензина из бака. 6.5.11. Закрытый цилиндр высотой H=0,1 м и радиусом R=0,2 м наполнен на три четверти водой. С какой угловой скоро- стью ω должен вращаться цилиндр вокруг его вертикальной оси, чтобы свободная поверхность коснулась дна? Объем параболоида равен половине объема цилиндра с такими же высотой и радиусом. 6.5.12. Определить минимальную частоту вращения n, которую нужно сообщить сосуду вокруг его вертикальной оси для пол- ного его опорожнения. Размеры: D=460 мм, d=200 мм, H=75 мм. 58 7. МОДЕЛЬ ИДЕАЛЬНОЙ (НЕВЯЗКОЙ) ЖИДКОСТИ 7.1. Уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера Полагая в уравнениях движения (5.1) и (5.2) касательные напряжения равными нулю и учитывая, что в этом случае: , p p p p zz yy xx − = = = получим дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эй- лера в проекциях: z p F dt dV y p F dt dV x p F dt dV z z y y x x ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ρ ρ ρ 1 , 1 , 1 (7.1) или в векторной форме: 1 p grad F dt V d ρ − = (7.2) В случае несжимаемой жидкости система (7.1) вместе с уравнением неразрыв- ности 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z V y V x V z y x (7.3) является замкнутой. Решением системы будут функции ), , , , ( ), , , , ( ), , , , ( ), , , , ( 4 3 2 1 t z y x f V t z y x f V t z y x f V t z y x f p z y x = = = = определяющие векторное поле скорости и скалярное поле давлений для каждого момента времени. Для нахождения зависимости координат жидкой частицы от времени t и на- чального положения (координаты 0 0 0 , , z y x ) необходимо проинтегрировать еще од- ну систему из трех уравнений: ). , , , ( , ) , , , ( ), , , , ( 4 3 2 t z y x f dt dz t z y x f dt dy t z y x f dt dx = = = (7.4) В случае сжимаемой жидкости плотность в общем случае является функцией давления и температуры (часто вводят понятие невязкого и нетеплопроводного га- за). Для исследования движения жидкости в этом случае необходимо привлечь еще уравнение энергии. В нашем курсе мы ограничимся частным случаем движения сжимаемой жидкости, когда плотность является функцией, зависящей только от давления. Такие жидкости называются баротропными и для них система (7.2) – (7.3) является замкнутой. Для баротропной жидкости целесообразно ввести функ- цию давления P (x,y,z), определяемую как: ) ( p dp dp d ρ ρ = = P (7.5) Величина P d является полным дифференциалом, поэтому 59 1 и 1 , 1 , 1 p grad d gra z p dz d y p dy d x p dx d ρ ρ ρ ρ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = P P P P (7.6) Для нахождения частных решений дифференциальных уравнений гидродина- мики необходимо задать начальные и граничные условия. Начальные условия со- стоят в нашем случае в задании поля скоростей в начальный момент времени. ). , , ( ) , , , ( ), , , ( ) , , , ( ), , , ( ) , , , ( 3 0 2 0 1 0 z y x t z y x V z y x t z y x V z y x t z y x V z y x ϕ ϕ ϕ = = = (7.7) В зависимости от конкретной задачи граничные условия могут быть разными. Рассматривая движение жидкости в области с подвижными поверхностями (например, поршневой насос или цилиндр двигателя внутреннего сгорания), допус- тим, что жидкость прилегает к стенке, но не протекает через нее. Проскальзывание частиц идеальной жидкости относительно стенок допустимо. В рассматриваемом случае граничное условие будет, очевидно, состоять в том, что скорость перемеще- ния любой точки поверхности и скорость прилегающей к ней частицы жидкости должны иметь одинаковые проекции на нормаль к поверхности. Если уравнение поверхности будет , 0 ) , , , ( = t z y x F (7.8) то, дифференцируя неявную функцию по t, получим искомое граничное условие: 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ t F V z F V y F V x F z y x (7.9) Следует отметить, что аналитических решений уравнений движения идеаль- ной жидкости известно немного. Численное же решение системы (7.1) ненамного проще, чем решение системы уравнений для вязкой жидкости, более адекватно описывающих реальные процессы. Однако анализ уравнений движения идеальной жидкости позволяет получить целый ряд очень важных для теории и практики ре- зультатов. 7.2. Уравнение идеальной жидкости в форме Громека – Ламба Используя известное из векторного анализа преобразование ( ) [ ] V rot V V V V grad 2 1 2 × + ∇ ⋅ = , уравнение движения в форме Эйлера можно переписать в следующем виде: [ ] 1 2 2 p grad F V rot V V grad t V ρ − = × − + ∂ ∂ (7.9,а) (7.9,а) – уравнение движения идеальной жидкости в форме Громека – Ламба. От- метим, что русский ученый И.С. Громека и англичанин Ламб получили подобную форму записи в виде проекций на оси координат. Очевидно, что ( ) V V V V V V z y x ⋅ = + + = 2 2 2 2 . Уравнение (7.9,а) является преобра- зованием уравнения Эйлера и по существу не отличается от него. Допустим далее 60 баротропность жидкости и существование потенциала массовых сил Φ − = grad F Тогда уравнение (7.9,а) примет следующий вид: [ ] V rot V V grad t V 2 2 × = + + Φ + ∂ ∂ P , (7.10) где ∫ = ρ dp P 7.3. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости 7.3.1. Установившееся безвихревое движение Рассмотрим уравнение движения в форме Громека – Ламба для баротропной жид- кости в поле массовых сил, имеющих потенциал. Так как по условию t V ∂ ∂ = 0 и V rot = 0, то из (7.10) следует 0 2 2 = + + Φ V grad P или 2 2 const V = + + Φ P (7.11) Это равенство называется интегралом Бернулли и выполняется для всей об- ласти пространства, заполненного жидкостью с потенциалом скорости. Если жид- кость несжимаемая, а массовые силы представлены только равномерным полем сил тяготения, то и gz p = Φ = ρ P и из (7.11) следует const V p gz = + + 2 2 ρ (7.12) |