Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
|
4.2. Давление абсолютное, избыточное, вакуумметрическое В термическое уравнение состояния, как и в большинстве аналитических выражений, описывающих физические законы, входит абсолютное давление, обу- словленное молекулярно-кинетической теорией. Существуют приборы, позволяю- щие измерить величину этого давления, однако, устройство их достаточно слож- ное, а стоимость высокая. На практике проще организовать измерение не абсолют- ной величины давления, а разности двух давлений: искомого и атмосферного (ба- рометрического). Знание величины атмосферного давления, измеренного с помо- 36 щью того или иного типа барометра, позволяет легко получить и величину абсо- лютного давления. Часто достаточную точность обеспечивает знание средней ве- личины атмосферного давления. Если определяемая величина давления больше ат- мосферного, то положительная величина разности давлений называется избыточ- ным давлением, которое измеряется различными типами манометров. Если опреде- ляемая величина давления меньше атмосферного, то избыточное давление является отрицательной величиной. Абсолютное значение разности давлений называется в этом случае вакуумметрическим давлением; оно может быть измерено посредством вакуумметров различного типа. Если измеряемое давление больше атмосферного, то p абс = р изб. + p атм. ; если измеряемое давление меньше атмосферного, то p абс. = p атм. – p вак и p вак = - р изб. Размерность давления [p] = ML -1 T –2 . Единица давления в Международной системе единиц называется паскаль (Па). Паскаль равен давлению, вызываемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площа- дью 1 м 2 : 1 Па = 1 Нм -2 = 1 кг м -1 с -2 . В США, Великобритании и некоторых других странах на практике давление часто измеряют в фунтах на квадратный дюйм (lb/sq.inch или psi). 1 бар = 10 5 Па ≈ 14,5 фунт/кв. дюйм. Длинная (около 1 м), запаянная с одного конца трубка, заполненная ртутью и опущенная открытым концом в сосуд со ртутью, сообщающийся с атмосферой, на- зывается ртутным барометром. Он позволяет определять давление атмосферы по высоте столбика ртути, заполняющего трубку. Прибор впервые описан Е.Торри- челли (Е. Torricelli) в 1644 г. Проведение систематических количественных измерений давления атмосферы с помощью ртутного барометра предложено Де- картом в 1647 г. Действие прибора основано на том, что давление в области над поверхностью ртути в трубке пренебрежимо мало (объем пространства над ртутью в трубке называется торричеллиевой пустотой). В этом случае из условий механи- ческого равновесия ртути следует связь между давлением атмосферы и высотой столба ртути: p 0 = ρgh. Давление паров ртути в торричеллиевой пустоте при темпе- ратуре T = 273 К составляет 0,025Па. Давление атмосферы (или атмосферное давление) зависит от высоты места наблюдения и погодных условий. В обычных условиях на уровне моря высота столба ртути составляет около 76 см и уменьшается при подъеме барометра. В геофизике принята модель стандартной атмосферы, в которой уровню моря соответствуют температура Т =288.15 К (15 0 С) и давление p 0 =101325,0 Па. Состояние газа с таким же давлением при температуре Т = 273.15 К (0 0 C называет- ся нормальными условиями. Близкие к величине атмосферного давления значения p T = 9.81 10 4 Па, р B =10 5 Па и p F =1.013.10 5 Па используются в естествознании и технике для измерения давлений и называются технической атмосферой (p T ), ба- ром (р B ) и физической атмосферой (p F ). При постоянной температуре атмосферы изменение давления с высотой h описывается барометрической формулой, учитывающей сжимаемость воздуха: p = p 0 e - µgh/RT Здесь µ − молярная масса воздуха µ = 29≅10 -3 кг моль -1 , g − ускорение сво- бодного падения вблизи поверхности Земли, Т − абсолютная температура, a R − молярная газовая постоянная R =8.31 Дж К -1 моль -1 37 4.3. Несколько задач Определить силу R , которую надо приложить к штоку для движения поршня с по- стоянной скоростью. Трением пренебречь. . 10 , 20 ìì d ìì D = = ( ) 750 Hg mm ñò ðò ìì p àòì = 4.3.1. 2 1 èçá áàð p = 6 2 èçá áàð p = 4.3.2. 5 , 0 1 âàê áàð p = èçá áàð p 5 , 5 2 = 4.3.3. èçá psi p 80 1 = èçá psi p 10 2 = 4.3.4. èçá Ïà p 5 1 10 6 ⋅ = 30 2 èçá psi p = 4.3.5. 10 1 âàê psi p = / 4 2 2 èçá ñì êãñ p = 4.3.6. 10 6 5 1 àáñ Ïà p ⋅ = / 5 , 1 2 2 èçá ñì êãñ p = 4.3.7. / 4 , 0 2 1 âàê ñì êãñ p = âàê ñì êãñ p 2 2 / 8 , 0 = 38 5. ОБЩИЕ ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 5.1. Уравнение движения жидкости в напряжениях y x z p x p x p x + dx x Рис. 11. К выводу уравнения движения жидкости в напряжениях Рассмотрим движение жидкого параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. На жидкую частицу действует массовая сила dxdydz F ρ и поверхностная сила на шесть граней. Рассмотрим сначала грани, нормальные оси X (рис. 11). На левую грань действует поверхностная сила dydz p x , на правую грань – dydz dx x p p x x ∂ ∂ + . От- метим, что x p → является векторной величиной и при изменении координаты меняет- ся как по величине, так и по направлению. Суммарная сила на две грани будет dxdydz x p x ∂ ∂ . Аналогичные рассуждения для других осей дадут еще две состав- ляющие поверхностных сил dxdydz x p y ∂ ∂ и dxdydz x p z ∂ ∂ . Тогда уравнение движе- ния (второй закон Ньютона) может быть записано следующим образом: dxdydz z p y p x p F dxdydz dt V d dxdydz z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ρ ρ Разделив последнее равенство на dxdydz, получим уравнение движения в на- пряжениях в векторной форме: ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = z p y p x p F dt V d z y x ρ 1 (5.1) или 1 ) ( ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ∇ ⋅ + z p y p x p F V V dt V d z y x ρ (5.1,a) Уравнение движения в напряжениях в проекции на декартовой оси будет иметь следующий вид: 39 1 ) ( , 1 ) ( , 1 ) ( ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ∇ ⋅ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ∇ ⋅ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ∇ ⋅ + z p y p x p F V V dt dV z p y p x p F V V dt dV z p y p x p F V V dt dV zz yz xz z z z zy yy xy y y y zx yx xx x x x ρ ρ ρ (5.2) Система (5.2) является незамкнутой даже вместе с уравнением неразрывно- сти, так как число неизвестных ( x V , y V , z V , xx p , yy p , zz p , xy p , xz p , zy p ) больше числа уравнений. Для покоящейся жидкости система (5.2) легко замыкается. Вместе с уравне- нием неразрывности система (5.2) становится полной и в некоторых случаях дви- жения идеальной жидкости и газа. В других случаях требуется привлечь дополни- тельные связи и гипотезы. 5.2. Дифференциальные уравнения Эйлера для покоящейся жидкости Рассмотрим жидкость, покоящуюся относительно системы координат, жест- ко связанной с Землей или движущейся с ускорением относительно нее. Тогда уравнение движения (5.2) примет следующий вид (уравнения Эйлера): 0 1 , 0 1 , 0 1 = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − z p F y p F x p F z y x ρ ρ ρ (5.3) или в векторной форме . grad p F 0 1 = − → ρ (5.4) Уравнение (5.4) может быть проинтегрировано, если F является градиентом некоторой функции. Пусть ; ; èëè z F y F x F grad F z y x ∂ Φ ∂ − = ∂ Φ ∂ − = ∂ Φ ∂ − = Φ − = → Тогда . grad p grad 0 1 = + Φ ρ Для несжимаемой жидкости ( ρ = c o n s t ) легко получается общий интеграл уравнений Эйлера в виде: const p = + Φ ρ (5.5) Из (4.3) следует, что поверхности уровня Ф = c o n s t (силовая или потенци- альная функция) в покоящейся жидкости совпадают с поверхностями равного дав- ления (изобарическими). При решении практических задач иногда удобно пользоваться другой фор- мой дифференциального уравнения равновесия жидкостей 40 , 1 dz F dy F dx F dp z y x + + = ρ (5.5) легко получаемой из системы (5.3). Задача. Равновесие гибкой нити, нагруженной гидравлическим давлением 1.1. Постановка задачи. Hайти уравнение линии прогиба невесомой нити под действием давления жидкости. Кроме того, необходимо определить (или вы- числить) длину этой линии. Концы нити закреплены на одинаковой высоте, совпа- дающей с уровнем жидкости. Граничными условиями задачи являются расстояние 2L между концами нити и максимальная величина прогиба у 0 2L y 0 Рис.12. Общий вид линии прогиба 1.2. Вывод уравнения кривой. Введем систему координат с началом в точ- ке максимального прогиба и осью абсцисс параллельной отрезку, соединяющему концы линии. Очевидно, что в данных координатах линия прогиба будет симмет- ричной относительно оси ординат и, следовательно, достаточно рассмотреть уча- сток линии лежащий в первой четверти. y 0 0 L O A T y T T x H Рис. 13 Рассмотрим участок нити ОА от начала координат до какой-либо точки на нити. Сила натяжения приложенная к нити в этой точке противодействует силе давления P столба жидкости, действующего на выделенный участок, а также силе давления H жидкости, действующей на другую половину нити, находящуюся во второй четверти. Разложим вектор → T на составляющие Tx и T y . Ty противодейству- ет вертикальной составляющей вектора P ! Py. Сила → H направлена горизонтально 41 в сторону противоположную действию горизонтальной составляющей силы давле- ния. Отсюда видно, что Tx является разницей x P H − . Находим составляющие сил давления: ∫ − = x gdx x y y Py 0 0 )] ( [ ρ ∫ − = y gdy x y y Px 0 0 )] ( [ ρ Отсюда ∫ − − = − = x gdx x y y Py Ty 0 0 )] ( [ ρ ∫ − + − = + − = y gdy x y y H Px H Tx 0 0 )] ( [ ρ Далее замечаем , что вектор → T в любой точке кривой всегда направлен по каса- тельной к ней, т.е. угол α между → T и осью абсцисс является углом наклона каса- тельной. Вследствие того, что tgα равен отношению Ty к Tx имеем: )] ( [ )] ( [ 0 0 0 0 ∫ ∫ − − − = ⇒ = = y x gdy x y y H gdx x y y dx dy Tx Ty dx dy tg ρ ρ α При y 0 < − константа. ∫ − = = x gdx x y y Py Ty 0 0 )] ( [ ρ Тогда )] ( [ 0 0 dx H g x y y Tx Ty dx dy tg x ρ α ∫ − = = = Вместо константы H подставим g H h ρ = : 42 dx h x y y dx dy x )] ( [ 0 0 ∫ − = h y y dx y d − = 0 2 2 dy dt t dydx dtdy dx dt dx y d t dx dy = = = = 2 2 Тогда dy h y y tdt h y y dy dt t − = − = 0 0 h y y C dx dy C h y y t 2 0 1 1 2 0 2 ] [ 2 ] [ 2 − − = + − − = Из условия, что при y=0 0 = → dx dy , находим h y C 2 0 1 = dx h y y y dy h y y y dx dy 1 ] 2 [ ] 2 [ 0 0 = − − = dx h y y y dy 1 ] 1 [ 1 0 2 0 = − − В полученном дифференциальном уравнении заменяем переменные: z=1- ; 0 0 y dy dz y y − = dx h z dz 1 1 2 = − − 43 2 1 arcsin C h x z + − = ) 1 sin( 1 2 0 h x C y y − = − ) 1 sin( 2 0 0 h x C y y y − − = Из условия, что при x=0 y=0, находим 2 2 π = C Но с другой стороны, так как при x=L y=y 0 получаем h L y 1 0 = : Отсюда можем найти h: 2 2 2 2 4 4 2 1 π π π L h h L h L = ⇒ = ⇒ = Подставив h, получим искомое уравнение линии прогиба при y 0 < x L y y y 2 ) sin(( 0 0 π − − = ). В случае, когда y 0 сопоставимо по величине с L, уже нельзя пренебрегать кривизной линии и, следовательно, нельзя пренебрегать горизонтальной состав- ляющей вектора → P - Px. Задача тогда не имеет аналитического решения, но доста- точно легко решается численно. Отметим, что в курсе «Сопротивление материалов» рассматриваются анало- гичные задачи о форме равновесия тяжелой нити и о форме нити под действием равномерно распределенной нагрузки. 5.3. Уравнения Навье-Стокса Предположим, что в пространственном (трехмерном) потоке несжимаемой жидкости имеется следующая зависимость между компонентами тензора напряже- ний и тензора скоростей деформаций: , , 2 , , 2 , , 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + − = y V z V p p z V p p x V z V p p y V p p x V y V p p x V p p z y zy yz z zz z x zx xz y yy y x xy xy x xx µ µ µ µ µ µ (5.7) где p – термодинамическое давление. Из первых трех уравнений следует, что 3 zz yy xx p p p p + + − = (5.8) Система зависимостей (5.7) является обобщением закона жидкостного трения Ньютона. Она непосредственно не проверяется экспериментально, однако, все следствия из этой гипотезы на основе точных решений дифференциальных уравне- ний движения жидкости не противоречат опытным данным. 44 Существует более строгое обоснование гипотезы для обобщенного закона тре- ния Ньютона, но оно требует хорошего знания тензорного исчисления, которое не входит в программу высшей математики для большинства машиностроительных специальностей. Подставляя зависимости (5.7) в уравнение движения в напряжениях (5.2), можно получить дифференциальные уравнения движения для несжимаемой вязкой жидкости (уравнение Навье-Стокса). ( ) ( ) ( ) , 1 , 1 , 1 2 2 2 z z z z y y y y x x x x V z p F V V t V V y p F V V t V V x p F V V t V ∇ + ∂ ∂ − = ∇ ⋅ + ∂ ∂ ∇ + ∂ ∂ − = ∇ ⋅ + ∂ ∂ ∇ + ∂ ∂ − = ∇ ⋅ + ∂ ∂ ν ρ ν ρ ν ρ (5.9) где 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , z V y V x V V V z V y V x V V V z V y V x V V V z z z z z y y y y y x x x x x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ = ∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ = ∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ = ∇ (5.10) – лапласианы соответствующих компонентов скоростей. Ниже представлены выкладки получения одного уравнения из системы (5.9) для оси X 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = = ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z V y V x V x z V y V x V x p z x V z V y x V y V x V x p z p y p x p z y x x x x z x y x x zx yx xx µ µ µ µ µ µ µ Последнее слагаемое для несжимаемой жидкости равно нулю. В векторной форме уравнение Навье-Стокса записывается следующим обра- зом: ( ) 1 2 V p grad F V V t V ∇ + − = ∇ ⋅ + ∂ ∂ ν ρ (5.10) Уравнение Навье-Стокса вместе с уравнением неразрывности 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = z V y V x V V div z y x образуют для несжимаемой жидкости замкнутую систему и вместе с граничными и начальными условиями принципиально позволяют получить решение всех задач механики жидкости для ламинарного режима течения. Граничные условия для вяз- кой жидкости сводятся к “прилипанию“ частиц жидкости к стенке. Опыт показыва- ет, что частицы жидкости и газа не проскальзывают по стенке, приобретая значение ее скорости. Это условие не зависит от смачиваемости или несмачиваемости стенки жидкостью. Однако при течении разреженных газов граничные условия изменяют- ся. О.А.Ладыженская и ряд других исследователей показали, что система уравнений 45 Навье-Стокса имеет единственное решение для плоского потока. Для трехмерного случая теорема существования и единственности имеет ряд ограничений. Следует отметить, что существует небольшое число точных (аналитических) решений уравнений Навье-Стокса. Большинство из них относится к достаточно простым каналам, когда существенно не проявляется нелинейность этой системы. В последнее время много задач было решено с помощью ЭВМ различными численными методами. |