Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
|
7.3.2. Установившееся вихревое движение Так как в этом случае t V ∂ ∂ = 0, то [ ] 2 2 V rot V V grad × = + + Φ P Возьмем произвольно направленный отрезок dl и умножим скалярно на него обе части полученного уравнения: ( dl ) ⋅ × = + + Φ ⋅ → → 2 2 V rot V V grad P dl Очевидно, что если dl совпадает по направлению с линией тока или вихре- вой линией, имеет место следующее равенство: , 0 2 2 2 2 = + + Φ = ⋅ + + Φ V d dl V grad P P или 2 2 const V = + + Φ P 61 Таким образом, получено уравнение по форме, аналогичное полученному в предыдущем параграфе, однако, в последнем случае константа сохраняет свое зна- чение не для всей области течения, а вдоль определенной линии тока или вихревой линии. Для других линий константа может изменить свое значение. Кроме того, ра- венство (7.11) будет выполняться для поверхности, образованной вихревыми ли- ниями, проходящими через определенную линию тока и наоборот. Очевидно, что значение константы будет одинаковым для всей области течения, если векторы V и V rot коллинеарные в каждой точке области течения. Уравнение (7.12) для несжимаемой жидкости в равномерном поле сил тяже- сти, полученное как интеграл уравнений движения вдоль линии тока, также носит название уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. В курсе общей физики и в некоторых курсах гидравлики оно получается с помощью общих законов сохранения массы и энергии. Уравнение (7.12) можно записать в трех формах: , 2 , 2 , 2 z 2 2 2 const gH V p gz const gH V p gz const H g V g p = = + + = = + + = = + + ρ ρ ρ ρ ρ (7.13) причем слагаемые в этих уравнениях можно трактовать как составляющие удельной энергии жидкости, отнесенные к единице веса, массы и объема, соответственно. Введем следующую терминологию для слагаемых в системе (7.13): H – полный напор; z – геометрический напор; g p ρ – пьезометрический напор; g V 2 2 – скоростной напор (динамический напор); g p ρ z + – гидростатический напор; gH – полная удельная механическая энергия движущейся жидкости; gz – удельная энергия положения; ρ p – удельная энергия давления движущейся жидкости; 2 2 V – удельная кинетическая энергия; ρ p gz + – удельная потенциальная энергия; 2 2 V p gz ρ ρ + + – полное давление; gz ρ – весовое давление; p –гидростатическое давление; 2 2 V ρ – динамическое давление. 62 7.3.3. Неустановившееся потенциальное движение В рассмотриваемом случае 0 = V rot или ϕ grad V = Скалярная функция ϕ является функцией координат и времени, причем по- следнее рассматривается как параметр. Так как порядок операций t ∂ ∂ и grad можно поменять, уравнение движения для баротропной жидкости в поле массовых сил, имеющих потенциал, примет сле- дующий вид: 0 2 2 = + + Φ + ∂ ∂ V t grad P ϕ Следовательно, можно записать, что ), ( 2 2 t f V t = + + Φ + ∂ ∂ P ϕ (7.14) где f(t) – произвольная функция времени. Равенство (7.14) носит название интеграла Коши-Лагранжа. Для несжимаемой жидкости в равномерном поле сил тяжести из (7.14) получа- ем уравнение 1 2 2 f(t) t g g V g p z = ∂ ∂ + + + ϕ ρ (7.15) Рассмотрим в некоторый момент времени произвольную трубку тока (рис. 7). Так как правая часть уравнения (7.15) зависит только от времени, то для двух сече- ний трубки можно записать следующее равенство: 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 t g g V g p z t g g V g p z ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ + + + ϕ ρ ϕ ρ (7.16) Если l – криволинейная координата, отсчитываемая вдоль трубки тока, то , , и 2 1 1 2 ∫ ∫ ∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = dl t V t t dl t V t Vdl l V ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ С учетом проделанных выкладок уравнение (7.16) можно переписать следую- щим образом: 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ∫ ∂ ∂ + + + = + + dl t V g g V g p z g V g p z ρ ρ (7.17) Равенство (7.17) носит название уравнения Бернулли для неустановившегося движения струйки идеальной жидкости. Запишем уравнение расхода в следующем виде: , 2 2 1 1 const VA A V A V = = = где A – произвольное сечение канала (струйки). Преобразуем интеграл в уравнении (7.17): , ) ( 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 t dV L A dl A t V dl A A t V dl t V A A dl A A V t dl t V ý ∂ = ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ = = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (7.18) 63 где ∫ = 2 1 2 A dl A L э – эквивалентная длина канала от первого до второго сечения (может быть легко вычислена из геометрических соотношений). Уравнение Бернулли для неустановившегося движения струйки идеальной жидкости может быть записано теперь следующим образом: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 dt dV g L g V g p z g V g p z ý + + + = + + ρ ρ (7.19) 7.3.4. Интегралы уравнений движения для баротропного газа В случае рассмотрения движения газа можно пренебречь влиянием массовых сил. Функция давления P принимает различный вид в зависимости от процессов изменения параметров состояния. Рассмотрим изотермическое течение термически совершенного газа. В этом случае: 0 0 0 RT p p = = ρ ρ и ln 0 0 0 0 C p p p dp p dp + = = = ∫ ∫ ρ ρ ρ P Интеграл Бернулли при условии пренебрежения массовыми силами можно за- писать следующим образом: , 2 ln 2 ln 2 0 0 0 0 2 0 0 V p p V p p + = + ρ ρ (7.20) или ln 2 2 0 0 0 2 0 2 p p p V V ρ + = (7.21) В случае адиабатного (изоэнтропного) течения газа уравнение процесса будет k k p p 0 0 ρ ρ = , где k – показатель адиабаты. Функция давления в этом случае будет 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ρ ρ ρ ρ p k k p k k p p dp p dp k k k k k − = − = = = − ∫ ∫ P Уравнение Бернулли для адиабатного движения идеального термически со- вершенного газа примет следующий вид: 2 1 2 1 2 0 0 0 2 V p k k V p k k + − = + − ρ ρ (7.22) Если V V << 0 , то можно получить зависимость , 1 1 1 0 0 0 − − = − k k p p p k k V ρ (7.23) называемую формулой Сен-Венана-Вантцеля. Уравнения (7.21), (7.22) и (7.23) целесообразно использовать лишь при суще- ственной сжимаемости газа, что имеет место при скоростях, приближающихся к 64 скорости звука. При движении газа с малыми скоростями (для воздуха при нор- мальных температурах до 100 м/c) можно пользоваться уравнением Бернулли для несжимаемой жидкости. При этом хорошие результаты дает применение в расчетах среднего значения плотности. 7.4. Гидродинамический парадокс Эйлера—Д’аламбера Одним из простейших примеров потенциальных течений является устано- вившееся обтекание потоком несжимаемой невязкой жидкости сферы радиуса R с центром в начале координат. Предположим, что скорость невозмущенного потока параллельна оси и имеет величину V. Решение получается наложением течения, вызванного диполем, на однородный поток. В результате легко вычислить теоре- тическое распределение давлений вокруг сферы для течения. Если не учитывать гидростатические силы, то оказывается, что распределение давлений впереди и по- зади сферы вполне симметрично и, следовательно, результирующая сила давления равна нулю. Аналогичный результат можно получить и для нулевой подъемной си- лы, что находятся в явном противоречии с каждодневным опытом. Это теоретическое заключение, называемое парадоксом Эйлера-Даламбера, относится не только к сфере; его можно распространить и на тела произвольной формы.Отсюда следует теорема [4]: Теорема 1. Система гидродинамических сил, действующих на какое-либо тело ко- нечных размеров в бесконечном установившемся потоке, удовлетворяющем усло- виям потенциального течения, эквивалентна нулю или паре сил. Понятие потенциального течения, основанное на гипотезе «идеальной жид- кости», неявно использует два независимых топологических предположения: ли- нии тока сплошь заполняют все пространство вне тела; локально однозначный по- тенциал скорости однозначно определен во всем пространстве. В то же время не существует никаких математических доводов против корректности течений Н.Е.Жуковского с циркуляцией, течений со следом и многих других топологиче- ских типов течений. Очевидно, можно сделать заключение о неполноте теории не- вязкой жидкости. Рассуждения, приводящие к понятию установившегося течения жидкости, неубедительны. Теория идеальной жидкости с большим успехом приме- няется для расчета неустановившихся течений. Потенциальные течения жидкости, математически возможны, но они могут быть неустойчивыми. Вероятно, что бес- порядочные вихревые движения в следе, теоретически вводимые при изучении те- чения идеальной жидкости, мало отличающегося от потенциального течения (на- пример, течения Кармана с бесконечными вихревыми дорожками), являются удов- летворительной математической моделью процессов, наблюдаемых при больших числах Рейнольдса. Следует считать, что задачи с симметричными условиями мо- гут и не иметь устойчивых симметричных решений. Таким образом, парадоксы теории идеальной жидкости могут являться парадоксами топологического переуп- рощения и парадоксами симметрии [4]. Отметим, что рассмотрение парадокса Даламбера приводит к известному инженерному решению: путем «отсасывания пограничного слоя» в жидкости дос- таточно малой вязкости сопротивление можно свести к очень малой величине. Описанная операция требует относительно небольшого расхода энергии. 65 8. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМАХ Применим первое начало термодинамики для контрольного объема, являю- щегося незамкнутой системой. Уравнение энергии примет тогда следующий вид: ( ) ( ) ∑ ∑ + + ∂ ∂ = + dt dW w h t E w h q x внеш F вн вх F ( 8.1 ) Знак ∑ означает суммирование всех протекающих и вытекающих потоков; q − все виды переноса тепла на границе контрольного объема: E − все виды энер- гии, накопленной в контрольном объеме; pv e h F + = , где E e = на единицу массы потока; w − массовая скорость; x W − вся выполненная механическая работа, за ис- ключением обратимой работы потока. Таким образом, поток тепла в систему и поток энергии, входящей с массой, включая обратимую работу потока равны сумме потока внутренней энергии, пото- ка энергии, который покидает систему вместе с массой, включая обратимую работу потока, и потока полезной работы, за исключением обратимой работы потока. В тепловой член можно включить все виды передачи тепла: радиацию, конвекцию и теплопроводность. В работу при необходимости можно включить все взаимодейст- вия с окружающей средой, не входящие в члены переноса тепла и массы. Можно учесть не только механические эффекты, но и взаимодействия полей, например, электромагнитного. В члены переноса массы должны быть включены все виды энергии, связанные с переходом массы через границы нашей системы, в том числе энергия, связанная с химическими превращениями, если таковые имеют место. В определенном смысле конкретная запись общего уравнения энергии может явиться выражением наших современных знаний, если только последние не являются ме- нее полными, чем мы считаем на самом деле. Уравнение энергии в дифференциальной форме запишем в общем виде для сжимаемой сплошной среды. Рассматривая движение элементарного объема dxdydz при его движении вместе с остальной жидкостью, в соответствии с первым началом термодинамики, подводимое к этому объему тепло расходуется на увели- чение полной энергии и на выполнение работы: Dt DL Dt DE Dt DQ G + = (8.2 ) Все входящие в это уравнение производные являются субстанциональными, имеющими в общем случае локальные и конвективные составляющие. Учитывая подвод тепла только за счет теплопроводности, согласно закону Фурье, после ряда преобразований, можно получить уравнение энергии для терми- чески совершенного газа в следующем виде: Ф z T z y T y x T x Dt Dp Dt DT с p µ λ λ λ ρ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + = (8.3) 66 Функция Ф, называемая диссипативной, равна: 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ = z V y V x V x V z V z V y V y V x V z V y V dx V Ô z y x z x y z x y z y x В общем случае p c − удельная теплоемкость при постоянном давлении, λ − коэффициент теплопроводности, зависят от температуры (для термически несо- вершенного газа и от давления). При постоянном коэффициенте теплопроводности уравнение энергии в дифференциальной форме упрощается и принимает следую- щий вид: Ф z T y T x T Dt Dp Dt DT c p µ λ ρ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = 2 2 2 2 2 2 . ( 8.4) Для несжимаемой жидкости уравнение при постоянном коэффициенте теп- лопроводности принимает более простой вид: Ф z T y T x T Dt DT c µ λ ρ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 . ( 8.5 ) 67 9. ОБЩАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 9.1. Основные сведения Запишем уравнение второго закона Ньютона в форме закона сохранения им- пульса или количества движения. Отметим, что в отечественной литературе по об- щей физике чаще используется термин «импульс», а в курсах теоретической меха- ники – «количество движения», в английском языке – “momentum”. ∫ + dA V V R i ρ ∫ ∂ ∂ i V t ρ ∫ + + F dV dA σ 0 = , ( 9.1 ) где i V − скорость в любой произвольно выбранной инерциальной системе коорди- нат; R V − относительная скорость на граничной поверхности контрольного объема; ρ − плотность; t − время; σ − напряжение; A − площадь; V − объем. Уравнение (9.1) легко приводится к более удобной форме, когда i V = R V . В этом случае контрольный объем не ускоряется, а координаты связаны с контроль- ной поверхностью. Записанное уравнение применимо к любой макроскопической контрольной поверхности при отсутствии релятивистских эффектов. |