Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
ХАРАКТЕРИСТИКИ 11.1. Основные сведения В природе и технике, как уже отмечалось ранее, наблюдаются два режима те- чения жидкости: ламинарный и турбулентный. Ламинарный режим течения характеризуется параболической эпюрой распре- деления локальных скоростей в трубе (рис. 25), при турбулентном режиме течения эпюра локальных, осредненных по времени скоростей имеет более равномерный характер (рис.25). Рис.25. Картина линий тока и эпюры скоростей: а) ламинарный режим те- чения; б) переходная зона; в) турбулентный режим течения Ламинарный и турбулентный режимы течения наблюдаются при движении жидкости в трубах, каналах, в пограничных слоях при внутреннем и внешнем об- текании различных тел. Полной количественной теории турбулентности в настоящее время не суще- ствует. Впервые существование двух режимов течения жидкостей отметил в 1839 году в одной из своих работ немецкий инженер-гидротехник Готтхильф Генрих 83 Людвиг Хаген (1797 – 1884).Однако ему не удалось обобщить свои обширные ре- зультаты измерений. Такое обобщение сумел сделать английский физик и инженер Осборн Рейнольдс (1842 - 1912), внесший крупный вклад в решение различных во- просов гидравлики. Осборн Рейнольдс показал, что переход ламинарного течения в турбулентное должен зависеть только от безразмерного числа ν VL = Re , (11.1) называемого теперь числом Рейнольдса, при условии, что обеспечено геометриче- ское подобие сравниваемых течений. Пользуясь теорией подобия, можно показать, что число Рейнольдса пропорционально отношению сил инерции к силам вязкости течения. В формуле (11.1) V − средняя скорость течения, ν − кинематический коэффициент вязкости, L − характерный размер гидравлического устройства. Для трубы круглого сечения , , 4 2 d L d Q V = = π где Q − расход (количество жидко- сти протекающей через трубу в единицу времени), и число Рейнольдса можно под- считать как ν π ν d Q Vd 4 Re = = . (11.2) Согласно закону подобия Рейнольдса переход ламинарного течения в турбулент- ное происходит при характерном для каждого гидравлического устройства значении безразмерного числа Re , называемым критическим числом Рейнольдса кр Re Если для течений с числом кр Re Re ≤ режим течения всегда будет ламинар- ным, то это значение kp Re носит название нижнего критического числа Рейнольдса. Его величина существенно зависит от условий входа в трубу и от условий притека- ния жидкости к этому входу. При устранении возмущений в жидкости и плавном входном участке величи- на нижнего критического числа Рейнольдса Re нижн кр =2300; для трубы без закруг- ления, вставленной внутрь бака (см. рис.25)нижнее критическое значение числа Рейнольдса снижается до величин 1100-1200. При тщательном устранении всех возмущений исследователям удалось дове- сти критическое число Рейнольдса до 40000. Однако в условиях, имеющихся в технических устройствах, при числе Рей- нольдса больше 4000 в трубе наблюдается полностью развитое турбулентное тече- ние. Это значение числа Рейнольдса носит название верхнего критического числа Рейнольдса. Зона режимов между нижним и верхним значением критического числа Рей- нольдса соответствует переходной области течения жидкости. Переход ламинарного режима течения жидкости в турбулентный связан с по- терей устойчивости ламинарного движения при наложении на него малых возму- щений в виде двумерных колебаний, распространяющихся в направлении основно- го течения. При малых числах Re эти колебания являются затухающими. При больших числах Re амплитуды колебаний с течением времени растут в широком спектре частот. Вследствие этого возникают вихри крупного размера. Вихревое те- 84 чение жидкости, при котором ее элементарные объемы вращаются с некоторой уг- ловой скоростью относительно своих мгновенных осей, наблюдается всегда и при ламинарном режиме, однако, при турбулентном режиме течения вихреобразование носит непорядочный, статистический характер. Крупные вихри при турбулентном режиме течения имеют низкие частоты и индивидуальные особенности, связанные с геометрией канала. Затем происходит перенос и диффузия вихрей, они разрушаются, образуя более мелкие вихри, часто- ты пульсации скорости возрастают. При уменьшении размеров вихрей исчезают их особенности, связанные с гео- метрией гидравлического устройства, все турбулентные течения приобретают не- которую общность, связанную с мелкомасштабной турбулентностью. Существует нижний предел размеров вихреобразования, определяемый вязкостью жидкости. В вихрях самого малого размера кинетическая энергия турбулентного течения по- средством вязкостного трения диссипирует, переходя в тепло. Описанная физическая картина хорошо передаётся стихами английского уче- ного Льюиса Ричардсона * : Крупный вихрь рождает мелкие, Скоростную энергию тратя, Мелкий вихрь - более мелкие, Пока вязкость не скажет: "Хватит". Отметим, что вихревая картина течения характерна для турбулентного ядра потока. Вблизи стенок канала преобладает влияние сил трения, обусловленных мо- лекулярной вязкостью. Отдельные вихри, попадая в эту область вязкого подслоя, быстро затухают. Между турбулентным ядром потока и вязким подслоем имеется переходная область, в которой величины молекулярной вязкости и турбулентной вязкости, обусловленной неупорядоченными вихреобразованиями, имеют один по- рядок. Нерегулярное пульсационное движение можно качественно рассматривать как результат наложения пульсаций различных масштабов. Под масштабом турбу- лентности подразумевается порядок величин тех расстояний, на протяжении кото- рых существенно меняется скорость движения. При очень больших числах Рей- нольдса в турбулентном потоке присутствуют пульсации с масштабами от самых больших до очень малых. Основную роль играют крупномасштабные пульсации, масштаб которых всего в несколько раз меньше, чем характерные размеры области течения l, а скорость в несколько раз меньше, чем изменения средней скорости ∆ V на протяжении расстояния l . Частоты крупномасштабных пульсаций имеют поря- док отношения средней скорости к размеру области течения l . Мелкомасштабные пульсации, соответствующие большим частотам, участвуют в турбулентном потоке со значительно меньшими амплитудами. Однако только здесь становится сущест- венной вязкость жидкости. Из описанной выше качественной картины структуры турбулентного потока становится ясным, что высокую информативность должны иметь корреляционные функции скоростей. Они являются количественной харак- теристикой связи между значениями скоростей в двух достаточно близких точках потока. * За помощь в переводе автор приносит благодарность А.Л.Локтеву. 85 Следует отметить, что вопрос о переходе ламинарного режима течения в турбулентный на сегодня окончательно не решен, несмотря на большое теоретиче- ское и практическое значение. Так, в 1971г. советский ученый В.А.Романов уста- новил фундаментальный факт, что так называемое плоскопараллельное течение Куэтта (см. подраздел 5.3.2) никогда, ни при каких возмущениях не теряет устой- чивости, оставаясь ламинарным при сколь угодно больших числах Рейнольдса. В рассматриваемом случае область течения ограничена двумя параллельными пла- стинами, между которыми находится вязкая жидкость. Пластины движутся парал- лельно друг другу с постоянными и противоположными по направлению скоро- стями, увлекая за собой прилегающие к ним слои жидкости. Устойчивость плоско- го течения Куэтта носит исключительный характер, привлекая к себе внимание теоретиков и экспериментаторов, т.к. все остальные ламинарные течения вязкой жидкости при некотором значении числа Рейнольдса теряют устойчивость, приоб- ретая турбулентный характер. Турбулентный режим течения является устойчивым. Экспериментально этот факт подтвержден до значений числа Рейнольдса порядка 10 12 Напомним, что локальная скорость турбулентного течения жидкости может быть представлена в виде суммы двух составляющих: осредненной и пульсацион- ной. Из-за наличия пульсаций скорости турбулентное движение всегда трехмерное, количественная оценка величины пульсаций проводится посредствам степени тур- булентности: ( ) , 1 2 2 2 V dt V V V T T t t z y x ∫ + ′ + ′ + ′ = ψ (11.3) где V – среднее значение скорости. Величина степени турбулентности меняется от 0,001 (в специально спроектированных аэродинамических трубах) до нескольких единиц (например, во время ураганов). Когда при полетах на самолетах пассажирам говорят, что самолет попал в зону турбулентности, это означает высокое значение степени турбулентности. При развитом турбулентном течении касательные турбулентные напряжения имеют величину, превышающую величину напряжения вязкого трения на несколь- ко порядков. Турбулентное касательное напряжение явно не зависит от динамиче- ской вязкости µ, а является функцией градиента средней скорости, степени турбу- лентности, предыстории потока и т.д. Ограничиваясь для случая стабилизированного течения зависимостью каса- тельного напряжения на стенке от градиента средней локальной скорости dr dV , вве- дем понятие динамической скорости: ρ τ = * U (11.4) Тогда исходя из теории размерности, можно записать r U A dr dV * = , (11.5) где A − безразмерный коэффициент. Интегрируя уравнение (11.5), получим универсальный логарифмический за- кон распределения скоростей для развитого турбулентного режима течения: 1 * ) ln( B r AU V + = (11.6) 86 Логарифмический закон (11.6) впервые получил Л.Прандтлем другим, более сложным путём. Описанный простой вывод принадлежит советскому физику, лау- реату Нобелевской премии, Л.Д.Ландау [12]. Логарифмическому закону распределения скоростей соответствует логариф- мический закон сопротивления Прандтля-Колбрука. ( ) 8 , 0 Re lg 2 1 − = λ λ Для упрощения выкладок логарифмический закон аппроксимируют степен- ной зависимостью n R r R V V − = , (11.7) которой соответствует следующий вид формулы для коэффициента Дарси: m Ñ Re = λ (11.8) Если n=1/7 , то 4 / 1 m = и 25 , 0 Re 316 , 0 = λ (11.9) Выражение (11.9) называется формулой Блазиуса. В действительности, (Re), f n = и при турбулентном режиме течения коэффициенты Кориолиса и Буссинеска уменьшаются с ростом числа Рейнольдса ). 025 , 1 , 10 3 Re ; 13 , 1 , 4000 (Re 6 = ⋅ = = = α α Полуэмпирическая формула Блазиуса достаточно хорошо описывает экспе- риментальные данные по коэффициенту гидравлического трения в так называемых гидравлически гладких трубах и числах 5 10 Re ≤ Эмпирическая формула, предложенная И. И. Никурадзе, применима для гид- равлически гладких труб в области Re ≤ 10 6 237 , 0 Re / 221 , 0 0032 , 0 + = λ (11.10) Экспериментальные исследования показывают, что вблизи ограничивающих поток стенок всегда имеется зона вязкого подслоя с преобладающим влиянием сил вязкого трения и сугубо нестационарным режимом течения. Вязкий подслой со- стоит из периодически нарастающих и разрушающихся участков потока с лами- нарным режимом течения, причём толщина 0 δ этих слоёв регулируется некоторым механизмом неустойчивости. Описанная картина пристенной турбулентности по- зволила предложить так называемую двухслойную модель турбулентного стабили- зированного (или равномерного движения) жидкости в трубах (рис. 26). 87 Рис. 26. Структура вязкого подслоя В соответствии с этой моделью вся область течения делится на две области: турбулентное ядро и вязкий пристенный подслой 0 δ < δ с промежуточной зоной между ними. Шероховатость поверхности трубы характеризуется средней высотой бугор- ков k (абсолютная шероховатость), дисперсией и другими статистиками, которые описывают форму шероховатой поверхности. Простейшим видом шероховатости является так называемая равномерно-зернистая шероховатость, представляющая собой совокупность шаров одинакового размера с плотной упаковкой. Для этого вида шероховатости величина дисперсии равна нулю и размер зерна s k является единственным количественным критерием. Очевидно, если 0 k δ << , то величина шероховатости не должна влиять на профиль скорости, величину турбулентного касательного напряжения и, следовательно, коэффициент гидравлического трения λ (коэффициент Дарси) должен в этом случае зависеть только от числа Re . Трубы, в которых 0 k δ << ,называются гидравлически гладкими трубами. В другом пре- дельном случае 0 k δ >> , вязкий подслой разрушается, и турбулентность определяется только шероховатостью. Этот режим носит название автомодельного по числу Re, или зоной квадратичного сопротивления, так как коэффициент Дарси при измене- нии числа Re остаётся постоянным. В промежуточной зоне коэффициент гидрав- лического трения λ должен зависеть и от числа Re,и от параметров шероховатости. Первые планомерные опыты по исследованию турбулентного движения в трубах были проведены по инициативе Л.Прандтля И.И.Никурадзе с искусственной шеро- ховатостью, близкой к равномерно-зернистой, так как величина относительного квадратичного отклонения для этих труб k δ лежала в диапазоне 0,23-0,30. Обыч- ные трубы, применяемые в машиностроении, называются техническими и имеют относительное квадратичное отклонение k δ порядка 1,5. Зона автомодельности по числу Re является наиболее удобной для сравнения шероховатости различного вида с помощью эквивалентной шероховатости э k . Эк- вивалентной шероховатостью называют такую равномерно-зернистую шерохова- тость (точнее шероховатость по Никурадзе), при которой гидравлические потери на трение в технической трубе в зоне автомодельности равны гидравлическим по- терям в трубе с равномерно-зернистой шероховатостью. В соответствии с теорией гидродинамического подобия вводится понятие относительной шероховатости: 88 d k k = или R k k = (11.11) Обратная величина называется относительной гладкостью. Таким образом, в общем случае - , , (Re d k f ý = λ вид шероховатости). На рис.27 представлена зави- симость коэффициента Дарси от числа Рейнольдса и относительной гладкости по опытам Г.А. Мурина. Рис. 27. Зависимость коэффициента Дарси от числа Рейнольдса Основными видами шероховатости являются равномерно-зернистая и шеро- ховатость технических труб. Зависимость гидравлических потерь на трение от рас- хода или средней скорости для турбулентного режима течения криволинейная, причём для больших чисел Re она описывается квадратичной параболой. В некото- рых случаях для многих видов шероховатостей в ходе зависимостей коэффициента гидравлического трения в функции числа Рейнольдса нарушается монотонный ха- рактер, появляются участки максимумов и минимумов, смещающихся по числу Рейнольдса с изменением высоты или формы элементов шероховатости. Увеличе- ние дисперсии высоты выступов ведет к увеличению коэффициента гидравличе- ского трения во всей области чисел Рейнольдса. Определенное значение имеет шаг и плотность размещения элементов шероховатости. С увеличением расстояния ме- жду выступами увеличивается генерация турбулентности на каждом элементе, за- тем сопротивление начинает зависеть от числа выступов на единицу длины. В 1948 году английским физиком Томсом был открыт эффект влияния сни- жения гидравлического сопротивления при турбулентном течении слабых раство- ров некоторых полимеров. Первые опыты были проведены с раствором метилме- такрилата в монохлорбензоле. Затем были найдены более оптимальные компози- 89 ции. Так при массовой концентрации в 10 -5 полиоксиэтилена (молекулярная масса порядка 10 6 ) в воде было получено снижение гидравлических потерь до 70%. При- меняются также водные растворы полиакриламида и некоторые поверхностно- активные вещества (ПАВ). Механизм влияния полимеров заключается в гашении турбулентных вихрей. Эффект нашел применение во многих отраслях техники, в первую очередь – в пожарном деле. 11.2. Применение теории размерности к описанию турбулентных течений Пусть ε будет средним значением энергии, диссипируемой в единицу вре- мени в единице массы жидкости. Эта энергия черпается из крупномасштабного движения, постепенно передаваясь во все меньшие масштабы, пока не диссипиру- ется в пульсациях (вихрях) масштаба 0 λ . Порядок величины ε может быть опре- делен с помощью величин, характерных для крупномасштабных движений. Тако- выми являются плотность ρ , размеры l и скорость V ∆ . Из этих величин можно составить только одну комбинацию соответствующей размерности: ( ) l V 3 ∆ ε Таким же образом можно оценить величину кинематической вязкости тур- булентного движения: l V турб ⋅ ∆ υ Диссипацию энергии можно выразить через турбулентную вязкость в соот- ветствии с обычным определением этих величин. ( ) 2 / l V турб ∆ υ ε Порядок величины p ∆ изменения давления также может быть определена методами теории размерности: ( ) 2 V p ∆ ∆ ρ Рассмотрим теперь свойства развитой турбулентности в масштабах λ , ма- лых по сравнению с основным масштабом l . При этом будем рассматривать обла- сть достаточно далекую от твердых границ. Определим порядок величины V λ из- менения скорости турбулентного движения на протяжении расстояний порядка λ Величину V λ можно рассматривать как скорость турбулентных движений масшта- ба λ , так как изменение средней скорости на малых расстояниях мало и им можно пренебречь. Определяющими величинами являются ε и λ . Поэтому ( ) 3 / 1 ελ λ V Это – закон Колмогорова-Обухова: изменение скорости на протяжении ма- лого расстояния пропорционально кубическому корню из этого расстояния. В разделе 11.1 было введено понятие динамической скорости. Аналогично можно ввести понятие динамической длины * * / u y υ = , которая будет естественным масштабом длин вблизи стенки при турбулентном течении. Вид зависимости для профиля средней скорости для гладкой стенки может быть записан в следующем виде: ( ) = υ * * yu f u y V 90 Этот универсальный закон турбулентности вблизи стенки был впервые ука- зан Прандтлем в 1925 году. В случае шероховатой стенки можно записать более общую формулу ( ) , ,... , , , * * * = β α υ υ ku yu f u y V (11.12) где α, β,…безразмерные параметры, характеризующие форму неровностей и их распределение по поверхности стенки (например, дисперсия и относительный шаг). Если выполняется условие * / 4 u k υ ≤ , то профиль скорости не зависит от ше- роховатости и стенка может рассматриваться как динамически или гидравлически гладкая. Толщину вязкого подслоя можно оценить как * / 5 u υ δ υ = , толщина пере- ходной зоны будет * / 30 u l υ δ = . Если * / 60 u k ν ≥ , то вязкий подслой практически перестает существовать. Течение в непосредственной близости от стенки состоит из совокупности вихрей, возникающих при обтекании отдельных бугорков шеро- ховатости. |