Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
|
13.2. Примеры расчетов Приведем несколько примерных задач, решенных посредством пакета Ansys в процессе выполнения курсовых работ студентами третьего курса. 13.2.1. Расчет течения жидкости в плоских диффузорах Течение в плоском диффузоре зависит от двух геометрических параметров (выбраны угол раскрытия диффузора ϕ и степень расширения n) и от числа Рей- 99 нольдса. Модель диффузора была создана таким образом, что все эти параметры можно изменять. Расчетная область была разбита на 40 элементов по горизонтали и на 20 элементов по вертикали. В ходе вычислений были получены распределения скоростей и давлений, а также значения гидравлических потерь h и коэффициентов гидравлического сопротивления ζ. Сложность анализа течения в диффузорных ка- налах состоит в том, что здесь возможны две формы течения: безотрывная и от- рывная, когда основной поток не следует вдоль стенки диффузора. (Пример отрыв- ного течения в диффузоре, полученный расчетом, представлен на рис.28). Рис.28. Картина линий тока в плоском диффузоре Зависмость коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рей- нольдса для двух значений угла раскрытия представлена на рис.29. а) б) Рис. 29. а – угол раскрытия 8 ° , б – угол раскрытия 12 ° При некотором значении числа Рейнольдса, подсчитанному по входному се- чению, его величина перестает влиять на значение коэффициента гидравлического сопротивления. На первый план выходят геометрические параметры диффузора. На рис. 30 показано влияние степени расширения диффузора и угла его рас- крытия на отрыв потока в нем. Область ниже кривой соответствует безотрывному течению. Если геометрические параметры диффузора попадают в зону над кривой, то реализуется отрывной характер течения. Хорошо видно резкое уменьшение пре- дельной степени расширения с ростом угла ϕ и асимптотическое увеличение ее с уменьшением угла. При ϕ< 4° течение при любых степенях расширения становится 100 безотрывным. Разумеется, этот факт не свидетельствует об оптимальности таких диффузоров. n Рис. 30. Отрывные и безотрывные диффузоры Полученные результаты совпадают с исследованиями А.Е.Зарянкина [7]. 13.2.2. Взаимное влияние местных сопротивлений В этой задаче рассчитывалось плоское течение в двух коленах, каждое из ко- торых поворачивает поток на 45 ° поворот, колена соединяются трубой длиной l , значение которой варьировалось. При нулевой величине длины трубы происходит резкий поворот потока на 90 °. Результаты расчета представлены на рис. 31. 5 0 1 2 4 3 0,5 1,0 /ld Рис. 31. Зависимость суммарного коэффициента гидравлических потерь от отно- сительной длины трубы между двумя коленами 101 Результаты расчета совпадают с экспериментальными данными, полученны- ми Н.В.Левкоевой. При достаточном расстоянии между двумя коленами d l / > 5 суммарные потери становятся равными сумме гидравлических потерь на каждом повороте. Имеется зона, на которой гидравлические потери меньше суммы гидрав- лических потерь на каждом повороте, и зона повышенных гидравлических потерь. 13.2.3. Модель гидромеханической модели опорного подшипника и клиновидного слоя смазки Проводилось сравнение результатов решения основных задач течения жид- кости в зазорах и рамках приближения смазочного слоя и при использовании пол- ных уравнений Навье-Стокса. Область течения была разбита на 12 элементов по горизонтали и на 30 – по вертикали. Расчет проводился для трех значений числа Рейнольдса 25, 200 и 400. За характерный размер в первой задаче принималось рас- стояние между пластинами, для клиновидного слоя смазки число Рейнольдса под- считывалось по полусумме расстояний между пластинами на входе и выходе. За критерий сравнения принималась величина максимального давления в смазочном слое: ( ) 2 1 2 1 2 p p p p + − = ε , где 1 p − максимальное значение давления, полученное при помощи пакета Ansys, 2 p − максимальное значение давления, вычисленное по формулам раздела 16. Ре- зультаты расчета приведены в таблице: число Re ε для оп. подш. ε для клина 25 0,03 0,04 200 0,06 0,28 400 0,09 0,36 Таким образом, модель смазочного слоя занижает величину несущей спо- собности подшипников, причем значительно для Re ≥ 400. 13.3. Заключение по разделу Компьютерные технологии подвергли современный мир радикальным изме- нениям. Сначала они нашли широкое применение в науке, находившейся на служ- бе у военных, затем – почти во всех сферах науки и техники. В последнее десяти- летие компьютеры стали обычной принадлежностью жизни библиотекарей, адми- нистраторов, учащихся всех уровней. Однако повсеместную компьютеризацию не стоит рассматривать как абсолютное благо. Компьютерные технологии не способ- ны заменить творческое мышление, которое может развиваться только при обще- нии с людьми. Один из величайших теоретиков всех времен – Майкл Фарадей – не пользо- вался математическими формулами. Его подход к научным открытиям – открытие нового факта, сведение его к известным принципам, сведение всех фактов к еще более высоким принципам и, наконец, установление новых принципов – никогда 102 не устареет. Интересно отметить, что не менее известный теоретик, пользовавший- ся исключительно математическими методами, Джемс Кларк Максвелл, считал, что метод понимания явлений Фарадея тоже надо отнести к математическим, хотя и непредставленным в форме обычных математических символов. «Когда я перево- дил то, что я считал идеями Фарадея, в математическую форму, −писал Максвелл, −я нашел, что в большинстве случаев результаты обоих методов совпадали, так что ими объяснялись одни и те же явления и выводились одни и те же законы действия, но что методы Фарадея походили на те, при которых мы начинаем с целого и при- ходим к частному путем анализа, в то время как обычные математические методы основаны на принципе движения от частностей и построения целого путем синте- за». Численные методы и ЭВМ должны максимально избавлять нас от рутинной работы, компьютер должен быть умным и дисциплинированным помощником, но истинная творческая деятельность и принятие окончательных решений всегда бу- дет в сфере личности человека. 103 14. ОДНОМЕРНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 14.1. Одномерная модель реальных потоков Реальные потоки в природе и технических устройствах являются трехмерны- ми. Однако при решении практических задач для каналов, имеющих достаточную протяженность без резких изменений формы и величины площади сечения и не- большую кривизну, можно ввести модель одномерного потока, параметры которого зависят от одной координаты: прямолинейной или криволинейной. Если кривизна линий тока и угол, образуемый ими, малы, то поток называется плавноизменяю- щимся. В таких потоках в пределах живого сечения давление распределяется по гидростатическому закону, а в некоторых случаях может считаться постоянным по сечению. Постоянное значение можно придать и величине скорости по сечению, отождествляя ее со среднерасходной. A VdA A Q V ∫ = = (14.1) Таким образом, плавно изменяющиеся потоки можно считать в первом при- ближении хорошей иллюстрацией модели одномерного потока. Для такого потока, считая его элементарной струйкой, должно быть в какой-то степени справедливо уравнение Бернулли, в частности для несжимаемой жидкости, например, в виде: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 g V g p z g V g p z + + = + + ρ ρ (14.2) Экспериментальная проверка этого утверждения, представленная на рис. 8 внизу, показывает, что расчетное (зависимость 1, в соответствии с 14.12) и опытное (зависимость 2) изменения давления по длине канала на участке 1-3 мало отлича- ются, а на участке 3-5 расхождения между зависимостями 1 и 2 становятся значи- тельнее. При замедлении потока могут иметь место качественные различия: зави- симость 3 на рис. 8 показывает постоянное значение давления по длине канала при монотонно возрастающей функции в соответствии с законом (14.12). Описанные эксперименты могут быть объяснены тем, что в реальных жидкостях действуют ка- сательные силы внутреннего трения, или вязкостью. Величина силы вязкости в простейшем случае ламинарного плавно изменяющегося течения определяется экс- периментальной зависимостью, установленной Ньютоном: A n V T ∂ ∂ = µ (14.3) Касательное напряжение n V ∂ ∂ = µ τ (14.4) где µ – коэффициент вязкости, или динамический коэффициент вязкости жидко- сти; n – нормаль к линии тока. Учет вязкости приводит к изменению граничных условий, так как опыт пока- зывает, что частицы жидкости и газа “прилипают” к стенке, приобретая ее значение скорости. В частности, если стенка неподвижна, скорость частиц у стенки равна ну- лю (рис. 32). Однако понятие средней по расходу скорости остается в силе. 104 Рис. 32. Распределение по сечению скорости в потоках идеальной (слева) и реальной (справа) жидкости Рис. 33. К понятию гидравлического радиуса Рассмотрим равномерное, установившееся движение жидкости в трубе произ- вольного сечения с периметром П (рис. 33), при котором эпюры скоростей в каж- дом сечении одинаковы. Пренебрегая силами инерции, уравнение движения можно записать в следующем виде: , ) ( 2 1 l p p A ⋅ Π ⋅ = − τ (14.4) где A – площадь поперечного сечения; l – длина канала; ) ( 2 1 p p − – разность давлений (перепад давлений) по длине канала. Рассматривая формулу (14.4), можно ввести понятие гидравлического радиуса: Π = A R r (14.5) Очевидно, что наличие вязкости приводит к необратимому преобразованию за счет работы сил трения части механической энергии жидкости в теплоту. Эта часть энергии диссипирует, рассеивается в пространстве, как внутри потока, так и вне его. Для учета этого обстоятельства необходимо ввести в рассмотрение так назы- ваемые гидравлические потери, имеющие размерность слагаемых уравнения Бер- нулли и характеризующие описанное выше преобразование энергии. 14.2. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости Поток жидкости переносит в пространстве механическую энергию, причем в случае реальной жидкости происходит ее частичная диссипация, вследствие пере- хода некоторой доли механической энергии в теплоту. В общем случае полный по- ток всех видов энергии называется в физике вектором Умова-Пойнтинга. Иногда различают вектор Умова в механике (впервые введен Н.А. Умовым применительно к гидромеханике) и вектор Пойнтинга в теории поля. Вектор Умова для несжимае- мой жидкости, движущейся в равномерном поле сил тяготения, можно записать следующим образом: 2 2 V V p gz q Е ⋅ + + = ρ (14.6) Для плавно изменяющегося потока жидкости вектор Умова будет 105 2 2 ∫ + + = A Е VdA V p gz q ρ (14.7) Тогда для одномерного потока среднюю удельную энергию, отнесенную к единице массы, можно посчитать как 2 2 A V VdA V p gz gH E ср A ср ∫ + + = = ρ (14.8) Учитывая, что по сечению const g p gz = + ρ , и вводя корректив кинетической энергии , 3 3 A V dA V ср ∫ = α (14.9) называемый также коэффициентом Кориолиса, получим следующее выражение для средней удельной энергии потока: 2 2 V p gz gH α ρ + + = (14.10) или 2 2 g V g p z H α ρ + + = (14.11) В зависимостях (10.10) и (14.11) индекс “ср” опущен. В дальнейшем из кон- текста всегда будет ясно, о какой скорости: (средней или локальной) идет речь. Понятие средней удельной энергии потока жидкости и среднего напора можно получить и другими способами. Например, исходя из понятия мощности потока жидкости, Элементарная мощность: gHVdA gHQ dN ρ ρ = = (14.12) Мощность потока жидкости: ∫ = = = A ср ср cр gHVdA dA V gH dQ gH N ρ ρ ρ (14.13) Учитывая материал раздела 14.1, вводя понятие гидравлических потерь, мож- но записать следующее равенство: , 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 − + + + = + + h g V g p z g V g p z α ρ α ρ (14.14) называемое уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости. Это уравнение по существу только вводит понятие гидравлических потерь для плавноизменяющегося потока жидкости 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 g V V g p p z z h α α ρ − + − + − = − (14.15) Очевидно, что коэффициент 1 ≥ α , причем при равномерном в сечении поле скоростей 1 = α , для турбулентного режима течения 1 ≈ α . Для ламинарного режима течения в трубе круглого сечения α = 2. Из соображений размерности гидравлические потери можно представить в следующем виде: 106 g V h 2 2 2 1 ζ = − , (14.16) где V – характерная скорость (обычно в сечении 1 или 2); ς – безразмерный коэффициент. Кроме гидравлических потерь – потерь напора, часто используют понятие по- терь давления: 2 2 2 2 2 1 2 1 V g V g gh p p ζρ ζ ρ ρ = = = = ∆ − − (14.17) Очевидно, что для получения величины гидравлических потерь, или коэффи- циента ς , необходимо привлекать либо экспериментальные данные, либо уравне- ния, адекватно описывающие поведение вязких жидкостей. Такие уравнения рас- смотрены в разделе 5. 14.3. Общие сведения о гидравлических потерях Рассмотрение реальных природных каналов и технических гидравлических систем дает возможность разделить гидравлические потери на два вида. Во-первых, это может быть потеря полного напора по длине, обусловленная работой сил тре- ния, распределенных по этой длине в первом приближении равномерно. Очевидно, что эти потери, называемые также потерями на трение, пропорциональны длине ка- нала или трубопровода. Во-вторых, это может быть местная потеря полного напора, обусловленная местной деформацией поля скоростей из-за сил трения, распреде- ленных существенно неравномерно. Небольшой по протяженности участок трубопровода, имеющий резкое изме- нение конфигурации или размеров, носит название местного гидравлического со- противления. Типичным примером местного гидравлического сопротивления явля- ется диафрагма – тонкая пластинка с отверстием, помещенная в трубопровод (рис.34). В области, непосредственно примыкающей к диафрагме, поток претерпе- вает резкую деформацию, его в этом случае нельзя считать плавно изменяющимся, и поэтому здесь неприменимо уравнение Бернулли. На некотором расстоянии вниз и вверх по потоку течение можно считать плавно изменяющимся (например, сече- ния 1 и 2 на рис. 34), однако, эта граница трудно определяется как при помощи рас- четов, так и при помощи экспериментов. Вследствие этого в состав местного гид- равлического сопротивления могут попасть участки трубопроводов с существен- ными гидравлическими потерями по длине. В многочисленных справочниках по гидравлическим расчетам приводятся результаты, полученные И.Е. Идельчиком [2, 3, 6, 9, 23]. Этот автор сводит местное сопротивление к очень малому участку трубопровода (в пределе можно говорить о дельте-функции Дирака). Так как при экспериментальном определении потерь приходится брать участок конечной длины, иногда значительный, то эксперимен- тальная величина потерь разделяется на потери по длине и собственно местные. При этом предполагается, что коэффициент гидравлического трения известен и ра- вен его значению при соответствующем числе Рейнольдса для длинной трубы. Та- кой подход, безусловно, носит характер очень грубого приближения. В практике многих организаций величину местного гидравлического сопротивления опреде- ляют на определенной длине, которая обязательно указывается. 107 Одной из основных задач для численных методов решения уравнений Навье- Стокса в ламинарной и турбулентной областях течения можно считать определе- ние коэффициентов местных гидравлических потерь. При решении этой внутрен- ней задачи могут уточняться границы области местных потерь. Априорным опре- делением местного гидравлического сопротивления можно принять такой участок трубопровода (русла), на границах которого распределение скоростей близко к распределению скоростей в бесконечно длинной трубе (равномерное течение). Рис. 34. Изменение давления по длине трубопровода, содержащего диафрагму с острыми кромками Вид формулы для обобщения экспериментальных данных при определении местных гидравлических потерь дает теория размерностей, теория подобия или анализ дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости. Впервые форму- лу для оценки величины местных потерь ввел в гидромеханику немецкий ученый Вейсбах в ХIХ веке, поэтому она носит название “формула Вейсбаха”: , 2 2 g V h Ì ζ = (14.18) где ς – коэффициент местного гидравлического сопротивления, или коэффициент местных гидравлических потерь, – безразмерная величина, которая определяется видом гидравлического сопротивления и числом Рейнольдса, V – средняя расходная скорость в характерном сечении, до или после местного гидравлического сопротив- ления (как правило, используется большая величина скорости, подсчитанная по меньшему значению площади сечения потока). Коэффициент ς имеет величину порядка 1, он редко бывает меньше 0.1 и больше 10. Значения коэффициентов для некоторых местных сопротивлений при- ведены в разделе 15. Потери напора по длине (гидравлические потери на трение) при постоянной площади поперечного сечения трубопровода принято подсчитывать по формуле Дарси: , 2 4 2 g V R l h r òð λ = (14.19) g V R l p r òð 2 4 2 ρλ = ∆ , (14.20) где λ – коэффициент гидравлического сопротивления или коэффициент Дарси. Для круглых труб формула (14.20) примет следующий вид: 108 2 2 g V d l h òð λ = (14.21) Коэффициент λ имеет порядок 0.03 и может существенно зависеть от пара- метров жидкости и микрогеометрии поверхности трубопровода. Для турбулентного режима течения коэффициент гидравлического трения обычно не выходит за пре- делы диапазона 0.01 - 0.05. При ламинарном режиме течения коэффициент Дарси достаточно легко вычисляется в большинстве случаев теоретически. Для некоторых форм поперечного сечения трубопроводов решение приведено в разделе 5. Расчет- ные формулы для турбулентного режима течения приведены в разделе 15. |