Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
|
9.2. Применение закона импульса и закона момента импульса в механике жидкости Эти законы установлены в механике для любой системы материальных точек, между которыми действуют силы взаимодействия, попарно равные и противопо- ложно направленные, вследствие чего главный вектор и главный момент внутрен- них сил равны нулю в любой момент движения. Оба этих закона справедливы как для идеальной, так и для вязкой жидкости. Рис. 21. Применение законов сохранения импульса и момента импульса в механике жидкости и газа Рассмотрим установившееся движение жидкости в элементарной трубке тока (рис. 21). Пусть скорости в сечениях 1 и 2 будут 1 V и 2 V , соответственно, и за время dt жидкий объем из положения 1-2 перейдет в положение 1’-2’, так, что 2 2 и 1 1 2 1 dt V dt V = ′ − = ′ − 68 Так как движение установившееся, то объемы 1’-2 будут иметь один и тот же импульс в момент времени t и t + dt. В соответствии с уравнением расхода 2 2 2 1 1 1 dA dt V dA dt V dm ρ ρ = = Таким образом, изменение импульса за время dt будет: dm V dm V dK 1 2 − = Это изменение импульса равно элементарному импульсу всех внешних сил (массовых и поверхностных), приложенных как к боковой поверхности трубки, так и к сечениям 1 и 2. Если массовыми силами можно пренебречь, то остаются только поверхностные силы (в случае идеальной жидкости – только силы давления). dt P dm V dm V dK = − = 1 2 или 1 2 dt dm V dt dm V P − = (9.2) Аналогично, рассматривая закон момента импульса, легко придти к уравнению dl dt L dm V r dm V r ⋅ = × − × = → → → → → 1 1 2 2 или , 1 1 2 2 dt dm V r dt dm V r L × − × = (9.3) где l – момент импульса жидкого объема 1-2, 1 r и 2 r радиусы вектора сечений 1 и 2, L – главный момент внешних сил, приложенных ко всей замкнутой поверх- ности объема (1 + 2 ) . Полученные равенства могут быть объединены теоремой Эйлера: сумма всех внешних сил, приложенных ко всей поверхности произвольного объема трубки то- ка, эквивалентна в случае установившегося движения двум силам , - è 1 2 dt dm V dt dm V приложенным к конечному и начальному сечениям и численно равным секундным импульсам жидкости, вытекающей и втекающей в трубу. Рис. 22. Внезапное расширение потока с неравномерной (ступенчатой) эпюрой скоростей на входе 69 Применим полученный результат к течению жидкости со ступенчатой эпюрой скоростей во входном сечении и с равномерной эпюрой в выходном сечении после внезапного изменения площади сечения (рис. 22). Будем пренебрегать потерями на трение между сечениями 1 и 2, а давление в сечении 1"а" будем считать равным давлению в сечении 1 (последнее утверждение подтверждается экспериментально для случая турбулентного режима течения). Тогда уравнение импульса можно записать в следующем виде: ( ) ( ) ( ) 12 2 12 12 11 2 11 11 2 2 1 V V A V V V A V A p p − + − = − ρ ρ Уравнение Бернулли, с учетом неравномерности распределения скоростей в первом сечении, будет ( ) , 2 2 2 2 2 12 12 11 11 12 12 2 12 11 11 2 11 1 h g V g p A V A V g A V V A V V g p + + = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ρ ρ где h – гидравлические потери (местные) на участке 11-22. Заметим, что выравнивание потока, как показывает эксперимент, происходит на длине l, равной примерно трем разностям диаметров труб: l = 3 (D – d). Уравнение расхода запишем в следующем виде: 2 2 12 12 11 11 A V A V A V = + Будем считать известными следующие величины: V 11 , V 12 , A 11 , A 12 , A 2 Тогда 2 12 12 11 11 2 A A V A V V + = Величины ( 1 2 p p − ) и h легко найти после простых алгебраических преобразо- ваний: ( ) ( ) 2 2 12 12 12 2 2 11 11 11 1 2 A V V A V A V V A V p p − + − = − ρ ρ 2 2 2 2 2 12 2 12 2 12 2 12 2 12 12 2 11 2 11 11 2 2 11 2 11 2 11 g V A A V V V A A V V V A A V V V V A A V V V h + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = Если 12 V = 11 V = 1 V , то получается результат, известный под названием теоре- мы Борда-Карно: ( ) 2 1 2 1 2 V V V p p − = − ρ (9.4) и ( ) 2 2 2 1 g V V h − = (9.5) Из анализа полученных зависимостей можно сделать важное заключение о том, что гидравлические потери в местных сопротивлениях существенно зависят от неравномерности эпюры скоростей на входе в канал. Так, если принять, что 11 A = 12 A и 1 2 A A >> , то 2 12 11 12 2 12 12 11 11 2 11 V V V V V V V V gh + + + = В то же время потери, подсчитанные по средней скорости, должны составить: ( ) 4 2 2 12 11 V V h g + = 70 Вводя обозначение 12 V = 11 V (1 + x), можно получить: 4 3 1 2 x h h + = Таким образом, потери в предельном случае x = 1 будут на 75% больше, чем при равномерной эпюре скоростей. Законы импульса и момента импульса часто применяются для расчета силы воздействия установившегося потока жидкости на твердое тело, помещенное в него полностью или частично. 9.3. Определение силы, действующей на стенки диффузора и конфузора На рис. 23 приведены схемы диффузора и конфузора (дозвукового сопла). Давление внутри по длине канала переменно, снаружи на боковую стенку дейст- вуют силы атмосферного давления, которое в избыточной системе измерения дав- ления равно нулю. Поперечные составляющие, перпендикулярные оси канала, вза- имно уравновешиваются, воспринимаясь материалом стенки. Продольные состав- ляющие образуют силу, которая воспринимается узлами крепления канала. Рис. 23. Схемы диффузора и конфузора Контрольная поверхность состоит из трех участков: входное сечение, выход- ное сечение и участок, вплотную примыкающий к боковой стенке. В проекции на ось x уравнение импульса запишется как ∫ ∫ = A x n x A dA V V pdA ρ Обозначив силу действия потока на стенки канала F , запишем: ( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 V V A V F A p A p − = − − ρ Сила, действующая на боковую стенку, будет равна: ( ) 2 1 1 1 2 2 1 1 V V A V A p A p F − + − = ρ 71 Результат справедлив как для идеальной жидкости, так и для реальной, одна- ко, величина выходного давления будет в этих двух случаях различной. Ее можно вычислить с помощью уравнения Бернулли. При учете неравномерности распреде- ления скоростей коэффициент в уравнении импульса (коэффициент Буссинеска) определяется следующей зависимостью: A V dA V ср 2 2 ∫ = β 72 10. ПОДОБИЕ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 10.1 Анализ размерностей и π - теорема Физическая величина является характеристикой физических объектов или процессов, которая допускает количественное выражение посредством указания способа ее измерения. Физическая величина может выражаться одним числом или набором нескольких чисел, например, значениями проекций вектора. С помощью физических законов величины объединяются в систему , в кото- рой одни физические величины –основные–принимаются за независимые, а дру- гие –производные– являются функциями независимых величин. Большинство применявшихся в физике систем в число основных включали длину [L], массу [M] и время [T] . Для механики жидкости и газа этот список сле- дует дополнить термодинамической температурой [ θ] и количеством вещества (в молях) [N]. Размерность производной физической величины – это выражение в форме одно- члена, составленного из произведений символов основных физических величин в различных степенях, отражающая связь между производными и основными вели- чинами. Размерность величины обозначается знаком [ ] или, реже, знаком dim (от латинского «dimensio» - «измерение»). В Международной системе единиц (сокращенное международное название SI, русское СИ) формула размерности имеет вид: [A] = L α M β T γ θ δ N ε . (10.1) Иногда в формуле размерности вместо обозначений основных величин сис- темы(L, M, T,…) указывают их единицы (м, кг, с,…). Размерной называется физическая величина, для которой не все показатели в формуле размерности равны нулю. В формуле размерности величины с нулевыми показателями степени принято опускать. Величина, независящая от выбора каких- либо единиц измерения, называется безразмерной. При изложении теории подобия и размерности принято использовать терми- ны параметр или переменнаядля обозначения любой основной или производной размерной и безразмерной величины или любой комбинации из них. π-теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размер- ные параметры, и функцией в безразмерной форме. Под безразмерными парамет- рами будем понимать комплексы размерных параметров, составленные таким об- разом, что они не имеют размерностей. Полезность выражения функции в такой безразмерной форме, очевидна. Во-первых, использование соответственно выбранных безразмерных пара- метров дает возможность сопоставлять и обобщать результаты. Таким образом, применение безразмерных комплексов часто позволяет рассматривать вместе явле- ния, которые описываются различными уравнениями в размерной форме. Исполь- зование безразмерных параметров обеспечивает лучшее понимание явления в це- лом, и, следовательно, во многих случаях − это путь к полному пониманию. Так как такой процесс позволяет сопоставить группу явлений, то, следовательно, ис- пользуя безразмерные параметры, можно предсказывать протекание еще неиссле- дованных явлений из этой группы, что нельзя сделать с помощью уравнений в раз- мерной форме. 73 Во-вторых, применение безразмерных параметров уменьшает число независимых координат. Важность этого легко понять, если вспомнить, что функция одной независимой координаты может быть табулирована на одной строчке, двух независимых координат—на странице; таблица функции трех координат уже потребует книги, а для функции четырех координат будет нужна целая полка для книг. В любой физической задаче мы имеем один или более зависимых парамет- ров, каждый из которых является функцией некоторых независимых параметров. Обозначим зависимый параметр через q 1 . Пусть число независимых параметров равно m-1. Обозначим их как q 2 , q 3 ,q 4 ,…,q m . Тогда q 1 =f 1 (q 2 , q 3 ,q 4 ,…,q m ) , (10.2) где f 1 —неизвестная функция. Уравнение (10.2) эквивалентно соотношению f 2 = (q 1 , q 2 , q 3 ,q 4 ,…,q m ), (10.3) где f 2 —другая неизвестная функция. Сформулируем π-теорему, используя вышенаписанные уравнения. Если имеется соотношение между m параметрами в виде f 2 = (q 1 , q 2 , q 3 ,q 4 ,…,q m ), (10.3) то можно найти эквивалентное соотношение между n безразмерными пара- метрами или комплексами: f 3 ( π 1 , π 2 ,…, π n ) = 0, (10.4) где число n определяется как n=m—k. (10.5) Здесь m—число параметров q в уравнении (10.3) и k— наибольшее число параметров, содержащихся в первоначальном списке q 1 , q 2 , q 3 ,q 4 ,…,q m , которые не могут быть объединены в какой-либо безразмерный комплекс. Эту теорему называют π-теоремой Бакингема или теоремой Ваши- Бакингема. Однако в действительности она является результатом работы многих исследователей, включая Фурье, Рябушинского и Релея [10]. В своей первоначальной формулировке π-теоремы Бакингем установил, что k равно минимальному числу независимых размерностей, необходимых для обра- зования размерностей всех параметров q i . Обозначим это минимальное число через r. Позднее (1946) Ван Драйст [10] показал, что хотя обычно k равно r, имеются ис- ключения и более общее правило записывается как k ≤r. Хантли в 1953 году сделал важное обобщение π - теоремы. Он показал, что можно использовать большее число независимых переменных, если четко разграничить отдельные операции и понятия, и за счет этого уменьшить число окончательных безразмерных комплексов. В частности иногда важно различать длины, измеряемые в направлениях «x» и «y» . Так, например, нельзя сокращать 74 метр в направлении теплового потока и метр, входящий в размерность площади при анализе уравнения теплопроводности [19]. Чтобы понять смысл исключений, а также некоторые другие вопросы, суще- ственные для правильного использования π-теоремы, полезно остановиться на не- обходимых условиях применения π-теоремы, а также рассмотреть положения, ле- жащие в основе теоремы. Но прежде разберем простой пример, что даст нам более конкретную основу для такого рассмотрения. А затем перейдем к условиям приме- нения π-теоремы и, наконец, приведем некоторые другие примеры использования этой теоремы. Пример 1. Предположим, что мы изучаем установившееся, стабилизирован- ное, ламинарное течение несжимаемой ньютоновской жидкости в круглой трубе. Допустим, что нам неизвестно уравнение для перепада давления. Чтобы опреде- лить вид уравнения, применим анализ размерностей. Если считать, что перепад давления ∆p является функцией скорости V, длины трубы L, диаметра D, плотно- сти ρ и вязкости µ, то можно записать f 2 ( ∆ p, L. D, V, µ , ρ )=0. (10.6) Из рассмотрения размерностей всех шести параметров уравнения (10.6) сле- дует, что минимальное число независимых размерностей, из которых могут быть образованы размерности этих параметров, равно трем. (Например, размерности си- лы, длины и времени). Следовательно, имеем r=3. Теперь найдем три из шести размерных парамет- ра, которые не образуют безразмерного комплекса. Комбинация только плотности, диаметра и скорости не может быть безразмерной, поскольку из трех этих парамет- ров лишь плотность имеет размерность массы. Поэтому заключаем, что в данном конкретном случае k=3=r. Согласно π-теореме, число необходимых безразмерных параметров равно 6 — 3 = 3. Если невозможно найти какой-либо комплекс из трех параметров, который не может быть безразмерным, то следует постараться найти комплекс из двух па- раметров и т. д. до тех пор, пока число k не будет определено. В нашем простом примере после внимательного исследования можно найти, что одной из безразмерных зависимостей является: 0 , , 2 1 2 3 = ∆ µ ρ ρ vD D L v p f Так как мы хотим, чтобы перепад давления был зависимой переменной, то можно записать: , 2 / 1 4 2 = ∆ D L vD f v p µ ρ ρ (10.7) Это соотношение совершенно корректно для рассматриваемой нами задачи. Однако целесообразно привести его к более удобному виду, содержащему тот же объем информации, но включающему меньшее число безразмерных параметров 75 или комплексов π. Физический смысл этого следующий: для полностью устано- вившегося равномерного течения в круглом канале постоянного сечения существу- ет определенная симметрия. В частности, перепад давления на единице длины тру- бы будет постоянным вдоль оси, так как поле скорости не изменяется по длине трубы. Предполагая, что эта длина измеряется в диаметрах трубы, мы должны ис- кать соотношение вида: ( ) ( ) D f vD f v D L p Re 2 / 1 / / 5 5 2 = = ∆ = µ ρ ρ λ , (10.8) где λ (по определению) есть коэффициент гидравлического трения; Re - число Рей- нольдса, вычисленное по диаметру. Из большого числа экспериментов известно, что такой подход в данном случае успешен. Уравнение (10.8) хорошо описывает перепад давления вследствие трения для всех круглых труб, независимо от специ- фических условий. Известно, что это один из немногих случаев, когда возможно точное и полное решение уравнений Навье — Стокса, совпадающее с эксперимен- тальными данными. Анализируя приведенный пример, приведем условия, которые должны быть выполнены при использовании π-теоремы: 1) в систему безразмерных параметров должны входить все параметры, имеющие физический смысл, включая все независимые параметры и один зависи- мый; 2) каждый параметр, содержащийся в первоначальном списке, должен вхо- дить в безразмерные комплексы π по крайней мере один раз; 3) размерности, используемые для образования размерностей физических параметров, должны быть независимыми. |