Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
|
15.1.2. Расчет простых трубопроводов Расчет трубопроводов обычно проводится либо графическим, либо числен- ным методом. Обычно рассматривают три типовых задачи. 142 Рис. 52. Основные схемы трубопроводов: a-последовательное соединение трубо- проводов, b-параллельное соединение трубопроводов, c-разветвленный трубопро- вод Задача 1 Исходные данные: расход Q , давление p 2 , свойства жидкости ( ρ, ν), размеры трубопроводов, материал и качество поверхности трубы. Требуется найти давление в начальном сечении трубы p 1 (величина p 1 /( ρg), в зависимости от задачи, называет- ся потребным H потр или располагаемым напором H расп ). Решение: по расходу и диаметру трубопровода находят скорости во всех сече- ниях; по числу Рейнольдса определяют режимы течения и величины коэффициен- тов гидравлических потерь. Затем из уравнения (15.1) находят искомое давление и величину потребного напора. Задача 2 Исходные данные: располагаемый напор, свойства жидкости, размеры и шеро- ховатость трубопровода. Требуется найти расход жидкости. Решение: при ламинарном режиме течения и замене местных сопротивлений эквивалентными длинами задача решается просто. Используя уравнение (15.2), в уравнении (15.1) оставляют одну скорость, например, в конечном сечении. Затем по этой скорости определяют значение расхода. При турбулентном режиме течения задачу целесообразно решать методом простой итерации, преобразовав уравнение (15.1) следующим образом: ( ) ( ) ( ) n n V f V 2 1 2 = + , (15.12) где (n) – номер приближения. В качестве первого приближения целесообразно ре- шить задачу при λ =0,03. Хорошие результаты дает также метод деления пополам. Задача 3 Исходные данные: расход, располагаемый напор, свойства жидкости и все размеры трубопровода, кроме одного диаметра. Требуется найти диаметр этого тру- бопровода. Решение: в предположении ламинарного режима течения задача решается пу- тем замены в уравнении (15.1) скоростей через расход, диаметр и прямого вычисле- ния одного неизвестного. При турбулентном режиме течения задачу можно решать аналитическим методом простой итерации или методом деления пополам. Возмож- но также задаться нескольким значениями диаметра, решить для каждого диаметра 143 задачу 1 и затем графически или, подобрав аппроксимирующий полином, аналити- чески найти одно значение из условия равенства располагаемого и потребного на- поров. После определения диаметра необходимо выбрать ближайшее большее значе- ние стандартного диаметра (в сортаменте указывается наружный диаметр и толщи- на стенки) и затем провести настройку трубопровода путем постановки диафрагмы (шайбы). Для этого нужно еще раз решить задачу 3, определив величину отверстия диафрагмы. 15.1.3. Параллельное соединение трубопроводов Такое соединение показано на рис. 52 для случая трех трубопроводов, распо- ложенных в горизонтальной плоскости. Обозначим полные напоры в точках M и N как H M и H N ; расходы в параллельных трубопроводах через Q 1 , Q 2 и Q i ; суммарные потери напора в трубопроводах как h 1 , h 2 и h i Очевидно, что расход до соединения трубопроводов, равный расходу после слияния, равен сумме расходов во всех параллельно соединенных ветвях: ∑ = = = + + + + = n i i i n i Q Q Q Q Q Q 1 2 1 (15.13) Относя потери на слияние и разветвление потоков к течению во входном и вы- ходном трубопроводах, выразим гидравлические потери в каждом трубопроводе через полные напоры в точках M и N . n i h h h h = = = = 2 1 …… .(15.14) Очевидно, что можно сделать заключение о равенстве потерь в параллельно соединенных трубопроводах. Система уравнений (15.13) и (15.14) позволяет рассчитывать систему парал- лельно соединенных трубопроводов. Типовая задача состоит в определении расхо- дов в параллельно соединенных трубопроводах при известном расходе в основной магистрали и размерах трубопроводов. 15.1.4. Разветвленный трубопровод Разветвленным трубопроводом называется соединение нескольких простых трубопроводов, имеющих одно общее сечение – место разветвления или смыкания труб (см. рис. 52). Очевидно, что как и для параллельных трубопроводов Q=Q 1 +Q 2 +Q 3 . Запишем уравнения Бернулли для сечения М-М и конечных сечений всех трубопроводов, пренебрегая разностью скоростных расходов: ( ) 1 1 1 / h g p z H M + + = ρ , ( ) 2 2 2 / h g p z H M + + = ρ , ( ) 3 3 3 / h g p z H M + + = ρ Полученная система уравнений позволяет решать ряд задач по расчету раз- ветвленного трубопровода. 15.1.5. Трубопровод с насосной системой подачи В подразделах 15.1.2, 15.1.3 и 15.1.4 рассмотрены отдельные участки трубо- проводов или самотечные трубопроводы (такой, в частности, является система трубопроводов знаменитых Петергофских фонтанов). В машиностроении основным способом является подача жидкости насосом, энергетической машиной для созда- ния напорной подачи жидкости. 144 Рис.53. Трубопровод с насосной подачей Рассмотрим работу насоса на разомкнутый трубопровод (рис.53), по которо- му жидкая среда (в дальнейшем жидкость) перемещается из нижнего бака с давле- нием на свободной поверхности 0 p , в верхний бак с давлением 1 p Запишем уравнение Бернулли для потока жидкости во всасывающем трубо- проводе (линия всасывания) для сечений O-O и H-H: ∑ + + + = oí í í í í h g V p z p 2 2 0 α γ γ . (15.16) и уравнение Бернулли для потока жидкости в напорном трубопроводе (линия на- гнетания) для сечений K-K и I-I: ∑ + + + = + + 1 2 1 1 1 1 2 2 2 k k k k k h g V p z g V p z α γ α γ . (15.17) Рассматривая уравнения (15.16) и (15.17), найдем приращение удельной энергии жидкости в насосе для единицы ее веса: ∑ ∑ + + + + = + + − + + = 1 2 1 1 1 1 2 2 2 ) 2 ( ) 2 ( k он н н н н k k k k h h g V p z g V p z g V p z H α γ α γ α γ Величина ∑ ∑ = + + + − + = ) ( 2 1 2 1 1 0 1 1 Q f h h g V p p z H k он потр α γ (15.18) определяется трубопроводом и носит название кривой потребного напора, а вели- чина (принимая 1 = = н k α α ) ) 2 ( ) 2 ( 2 2 g V p z g V p z H н н н k k k + + − + + = γ γ (15.19) называется напором насоса. Напор насоса является функцией его объемной подачи, т.е. объема подаваемой жидкой среды в единицу времени Q. Зависимость основных технических показателей насоса, в том числе напора, от подачи при постоянных значениях частоты вращения, вязкости и плотности жидкой среды на входе в насос называется характеристикой насоса. В формулах (15.17) - (15.18) приняты следующие обозначения: н p – давление на входе в насос, т.е. давление жидкой среды на входе в насос; k p – давление на выходе из насоса, т.е. давление жидкой среды на выходе из насоса; 145 н V – скорость жидкой среды на входе в насос; k V – скорость жидкой среды на выходе из насоса; н z – высота центра тяжести сечения входа в насос; k z – высота центра тяжести сечения выхода из насоса; g ρ γ = – удельный вес жидкой среды; ρ – плотность жидкой среды; g – ускорение свободного падения Необходимым условием устойчивости работы насоса, соединенного с трубо- проводом, является равенство, развиваемого насосом напора, величине потребного напора трубопровода. потр H H = (15.20) Потребный напор трубопровода складывается из геометрической высоты подъема жидкости 1 z , разности пьезометрических высот(p 1 -p 0 )/ γ, скоростного на- пора в конечном сечении трубопровода g V 2 2 1 1 α и суммы гидравлических потерь во всасывающем и напорном трубопроводах. Для замкнутого трубопровода геометрическая высота 1 z равна нулю, 0 1 p p = , 0 1 = V и величина потребного напора будет определяться только гидравлическими потерями, в этом случае кривая потребного напора совпадет с характеристикой трубопровода − зависимостью гидравлических потерь от величины расхода жидкой среды. Величина ) ( 2 2 2 н k н k н k z z g V V p p p − + − + − = ρ ρ называется давлением насоса. Давление насоса связано с напором очевидной зависимостью: gH H p ρ γ = = Рис. 54. Графическое нахождение рабочей точки При установившемся режиме работы потребный напор трубопровода равен напору насоса. Это положение графически изображено на рис.54, где совмещены характеристики трубопровода и насоса. Рабочая точка обозначается вертикальной штриховой линией. Такой способ нахождения рабочей точки можно использовать только в том случае, если частота вращения двигателя, приводящего насос в дейст- вие, не зависит от нагрузки. 146 Для аналитического решения задачи по нахождению рабочей точки необхо- димо иметь аналитические выражения для напора насоса и для зависимости по- требного напора трубопровода от расхода жидкости. 15.2. Гидравлический расчет трубопроводов при неустановившемся движении Уравнение Бернулли для неустановившегося движения струйки идеальной жидко- сти получено в разделе 7. Для неустановившегося потока вязкой жидкости, с учё- том неравномерности распределения скоростей и потерь напора, уравнение Бер- нулли можно записать следующим образом: dt dV l V V V V p g z V V p g z β ζ α ρ α ρ + + + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 (15.21) Введение в уравнение (15.21) величины модуля скорости позволяет рассмат- ривать возможность изменения направления потока во времени без изменения ин- дексов величин давления. Применение для расчета неустановившегося движения жидкости уравнения (15.21) является первым приближением, так как значения ко- эффициентов α, β и ζ для неустановившегося движения неизвестны. По существу, надо ставить задачу на базе уравнений Навье-Стокса для ламинарного режима те- чения и уравнений Рейнольдса для турбулентного режима течения. Принимая коэффициенты Кориолиса и Буссинеска равными единице и пре- небрегая величиной скорости в первом сечении и геометрическими напорами, уп- ростим расчетное уравнение следующим образом: dt dV l V V V V p p + + + = 2 2 2 1 ς ρ ρ (15.22) Введём безразмерные переменные. •Безразмерное время T t = τ , где T – характерное время процесса, например, период при колебательном процес- се, время нарастания или падения давления при монотонном характере его измене- ния. •Безразмерный перепад давления ( ) max 2 1 p p p f ∆ − = τ , где max p ∆ − максимальная мгновенная разность давлений в начальном и конечном сечениях. •Безразмерная скорость ρ / 2 max p V x ∆ = Подставляя безразмерные переменные в уравнение (2), после несложных преобра- зований получим: ) ( 2 1 ) 1 ( 2 1 τ ξ f x x dt dx Sh T = + × + × ⇒ ) ( 2 1 ) 1 ( 2 1 τ ξ τ f x x d T dx Sh T = + × + × ⇒ 147 ⇒ Sh x x f d dx 2 ) 1 ( ) ( ξ τ τ + − = (15.23) Комплекс Sh имеет вид, аналогичный числу Струхала, пропорциональному отно- шению локального ускорения к конвективному. В нашем случае физический смысл критерия иной: это отношение условной скорости частицы жидкости при ее дви- жении на участке длиной l за время Т к мгновенному максимальному значению скорости за счет перепада давления без учета потерь: max max / 2 TV l p T l Sh = ∆ = ρ (15.24) Итак, имеем задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения пер- вого порядка: + × ± ≈ + − = 1 1 ) ( x , 2 ) 1 ( ) ( 0 0 ξ τ ξ τ τ f Sh x x f d dx (15.25) В практике инженерных расчетов при неустановившихся движениях жидко- сти, так же как и при стационарных течениях, целесообразно рассматривать задачи трех типов. В частности, одной из распространенных задач является определение расхода или средней скорости при известном законе изменения давления во вход- ном и выходном сечениях трубопровода — задача первого типа. В достаточно ко- ротких трубопроводах, когда можно пренебречь волновыми явлениями, обычно используют уравнение Бернулли для неустановившегося течения жидкости [8]. За- дачи этого типа характерны для участков гидравлической сети, соединяющих ем- кости с заданными законами изменения давлений, или определяемыми дополни- тельными соотношениями (клапаны насосов и форсунок системы топливоподачи дизелей, участки трубопроводов гидропередач с аккумуляторами давления, искус- ственные клапаны сердца и т.д.). Если комплекс Sh==0, то дифференциальное уравнение (15.23) превращается в алгебраическое, решая которое можно получить квазистационарное значение скорости в зависимости от времени. Сравнивая решения дифференциального урав- нения (15.25) при различных значениях комплекса Sh с (квазистационарным без учета инерционности столба жидкости), можно получить границу применимости гипотезы квазистационарности. Уравнение (15.25) и его размерный аналог (15.22) являются уравнениями типа Рикатти. Они сводятся к квадратурам только для неко- торых видов функции f( τ), в частности, для f(τ)==const (скачок давления), решение приводится во многих книгах по гидравлике и в разделе 14. На рис. 55 изображены результаты расчета для случая возрастания перепада давления по линейному закону в виде серии сплошных кривых с числом Sh в каче- стве параметра. Кривая 1 соответствует квазистационарному случаю, когда Sh==0 (расчет по формуле (9), кривая 2 соответствует числу Струхала 10 -3 , кривая 3 − 10 -2 , кривая 4— 10 -1 и кривая 5— 1. Для чисел Sh<0,001 решение дифференциального уравнения (6) практически не отличается от решения, даваемого уравнением (9). При всех значениях критерия Sh ≥ 0,001 точное решение больше отличается от ква- зистационарного решения на начальном отрезке времени. Для значений Sh ≥ 0,1 конечная величина скорости начинает заметно отличаться от своего квазистацио- нарного значения. При Sh ≥ 1 меняется даже качественный характер точного реше- 148 ния: меняется знак вогнутости зависимости скорости от времени. Рис. 55 Кривые 6, 7, 8, 9 и 10 дают результаты расчета для случая линейного паде- ния перепада давления до нулевого значения и соответствуют числам Струхала: 0, 10 -3 , 10 -2 , 10 -1 и 1. Во всех случаях для Sh > 0 при уменьшении перепада давления до нулевого значения имеется конечное значение скорости. Рис. 56. Звисимость безразмерной скорости х от времени τ На рис. 56 изображена зависимость безразмерной скорости при синусои- дальном законе изменения перепада давления. Этот закон характерен для систем гидропневмоавтоматики. Численное решение, выполненное для значения Sh = 1 (кривая 2), существенно отличается от квазистационарного (кривая 1): уменьшает- ся амплитуда колебаний, наблюдается существенный сдвиг фазы. Безразмерная форма записи уравнений удобна для их решения на ЭВМ, так как порядок чисел близок к единице: это позволяет избежать переполнения и ма- шинного нуля. 15.3. Задачи 15.3.1. Жидкость ( ρ=900 кг/м 3 , υ=0,2 Ст) с расхо- дом Q=113 л/мин подводится к трем одинако- вым бакам по технически гладкому трубопро- воду диаметром d=200 мм. Определить коэф- фициенты сопротивления кранов, установлен- ных на входе каждого бака, при которых обеспечивается одновременное заполне- ние баков. Задачу решить при следующих условиях: l 1 =l 2 =l 3 =5 м, в начальный мо- мент Р м =0,6 МПа. |