14.7. Гидравлический удар
Если обратить задачу, рассмотренную в подразделе 14.6, т.е. рассмотреть мгновенное торможение потока со скоростью
0
V
при мгновенном закрытии задвиж-
119
ки на конце трубопровода, то получим физически невыполнимое бесконечно боль- шое значение давления. Этот результат обусловлен неадекватностью рассматри- ваемой гидромеханической модели. При быстром закрытии задвижки необходимо учитывать и емкостные, и инерционные свойства гидравлической системы. При- ближенное решение задачи может быть получено, если принять в качестве физиче- ского постулата, что изменение режима, возникшее в некотором сечении трубопро- вода, распространяется в обе стороны от этого сечения в виде плоской волны. Гра- ница невозмущенной и возмущенной жидкостей носит название фронта ударной волны. Очевидно, что рассматриваемый постулат может быть выполним только для сжимаемой жидкости.
Сжимаемость жидкости характеризуется коэффициентом объемного сжатия либо объемным модулем упругости.
Из курса общей физики известно, что объемный модуль упругости определяет скорость звука в сплошной среде:
ρ
ρ
Kddpa=
=
(14.37)
При внезапном закрытии трубопровода возникает гидравлический удар, пред- ставляющий собой колебательный процесс, возникающий в трубопроводе с капель- ной сжимаемой жидкостью. Этот процесс является очень быстротечным и характе- ризуется чередованием повышений и понижений давления, причем изменение ве- личины давления связанно упругими деформациями жидкости и стенок трубопро- вода.
Рис. 45. Перемещение фронта ударной волны Повышение давления
удp∆
связано с величиной начальной скорости
0
V и ско- ростью перемещения ударной волны, совпадающей в первом приближении со ско- ростью звука
a. Применяя к элементу трубы
dx теорему импульсов, получим
(рис.45):
(
)
[
]
).
(
0 0
0
VVdxAAdtpppуд−
=
−
∆
+
ρ
Так как скорость распространения ударной волны
dtdxc=
, то
0
cVpудρ
=
∆
(14.38)
Выражение (14.38) носит название
формулы Жуковского.
Если уменьшение скорости происходит до конечного значения, равного
V, то
возникает неполный гидравлический удар, для которого формула Жуковского при- обретает следующий вид:
)
(
0
cVVpуд−
=
∆
ρ
(14.39)
120
Формулы (14.37) и (14.38) справедливы в случаях, когда время закрытия за- движки подчиняется следующему условию:
,
2
c
l
t
закр
<
(14.40)
отвечающему так называемому прямому гидравлическому удару. При t >2 l/c имеет место непрямой гидравлический удар, повышение давления при этом будет мень- ше.
Подробный анализ явления гидравлического удара можно сделать при помощи волнового уравнения, которое можно получить из уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера.
Для обычных водопроводных труб получена следующая полуэмпирическая формула для повышения давления при гидравлическом ударе:
,
)
14 10
(
V
p
уд
÷
=
∆
(14.41)
где V – скорость жидкости в м/с;
уд
p
∆
– давление в технических атмосферах.
Скорость распространения упругих возмущений в трубопроводе зависит от модуля объемной упругости жидкости и от характеристик трубопровода:
,
1
+
=
E
K
K
c
η
ρ
где E – модуль упругости материала стенок трубы;
δ
– плотность жидкости;
η – параметр, зависящий от формы поперечного сечения трубы.
Для тонкостенных труб круглого сечения
δ
η
D
=
, где D – внутренний диаметр трубы, δ – толщина стенки. Для труб большой толщины имеются более сложные зависимости для определения коэффициента η .
Тонкостенные трубы легко меняют форму поперечного сечения, а изменение поперечного сечения сказывается на скорости распространения упругих колебаний.
Так, для трубы эллиптического сечения при разности полуосей порядка толщины стенки величина
η
для трубы с овальным сечением будет существенно больше, чем для трубы круглого сечения. Из-за этого скорость распространения упругих коле- баний при наличии эллипсности трубы существенно уменьшается.
Если считать трубу абсолютно жесткой, то скорость распространения ударной волны совпадет со скоростью звука в жидкости (см. (14.37)).
14.8. Волновое уравнение для потока жидкости
В быстро изменяющихся течениях жидкости в длинных трубопроводах мо- гут существенно проявляться и инерционные свойства жидкости, и ее сжимае- мость, и упругость. Частным случаем является гидравлический удар, рассмотрен- ный в предыдущем разделе. Однако недостаточно полно представленная модель процесса не раскрывает волновой характер течения.
Рассмотрим одномерное, плавно изменяющееся, течение идеальной жидко- сти, приняв направление скорости по положительному направлению оси х и пре- небрегая массовыми силами.
x
p
x
V
V
t
V
x
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
∂
∂
ρ
1
(14.42)
121
Вместе с уравнением неразрывности и уравнением состояния, при условии ба- ротропности, получаем замкнутую систему уравнений.
Будем считать, что
txtVxVxx∂
∂
<<
∂
∂
∂
∂
<<
∂
∂
ρ
ρ
и
Тогда уравнение Эйлера примет следующий вид:
xptVx∂
∂
−
=
∂
∂
ρ
1
(14.43)
Уравнение неразрывности будет
xVtx∂
∂
−
=
∂
∂
ρ
ρ
(14.44)
Из
уравнения состояния следует, что
tpKt∂
∂
=
∂
∂
ρ
ρ
(14.45)
С учетом (14.44) уравнение состояния можно переписать в следующем виде:
xVtKx∂
∂
−
=
∂
∂
ρ
1
(14.46)
Продифференцируем (14.43) по
x, а (14.44) по
t xtVtpKxpxtVxx∂
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
2 2
2 2
2 2
1
и
1
ρ
(14.47)
Тогда
2 2
2 2
2
xpctp∂
∂
=
∂
∂
, (14.48)
где
ρ
Kc=
− скорость распространения упругих возмущений.
Продифференцировав (14.43) по
t, а (14.44) по
x, получим:
2 2
2 2
2 2
1
и
1
xVxtpKtxptVxx∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
ρ
(14.49)
Тогда
2 2
2 2
2
xVctVxx∂
∂
=
∂
∂
. (14.50)
Уравнения (14.48) и (14.50) являются волновыми уравнениями для давления и скорости, соответственно, полученные из уравнения Эйлера путем отбрасывания конвективных ускорений.
Из курса математики известно общее решение Коши для волнового уравнения в виде
)
(
)
(
0
cxtfcxtFpp−
+
+
+
=
(14.51)
Слагаемое
F является волной давления, двигающейся вверх по течению со скоростью
с; слагаемое
f представляет собой волну, двигающуюся вниз по течению со скоростью
с.
Выражение для скорости будет таковым:
)]
(
)
(
[
1 0
cxtfcxtFcVV−
−
+
−
=
ρ
(14.52)
Для нахождения частных решений нужно задать граничные и начальные усло- вия.
122
14.9. Истечение газа из резервуара 14.9.1. Адиабатное течение газа При рассмотрении движения газа с достаточно большими скоростями (этот раздел механики газа называется "газовой динамикой") целесообразно ввести ско- рость распространения малых возмущений, называемую чаще
скоростью звука. Из курса физики известно, что для любой сплошной среды ее величину можно подсчи- тать по формуле:
ρ
∂
∂
=
paЭкспериментальные данные дают значения скорости звука при нормальных условиях для воды 1400 м/c, а для воздуха 330 м/c. Очевидно, что столь боль- шие значения скорости для капельной жидкости труднодостижимы, а для газов дос- таточно часто реализуются в различных устройствах пневмоавтоматики и газовых машинах.
Для термически совершенного газа скорость звука будет равна:
,
kRTa=
(14.53)
где
k – показатель изоэнтропы, равный отношению теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме (для воздуха
k = 1.4).
Так как наличие тела в потоке газа или капельной жидкости вызывает возму- щения, то следует ожидать, что поле течения может существенно зависеть от отно- шения средней скорости течения к скорости звука. Это отношение называется
чис-лом Маха:
aVM=
(14.54)
В зависимости от величины этого критерия можно рассматривать четыре типа течений: дозвуковые течения, когда скорость жидкости во всем потоке меньше ско- рости звука (в первом приближении при достаточно малых скоростях течения мож- но пренебречь сжимаемостью); околозвуковые течения, когда скорость жидкости или газа сравнима со скоростью звука; сверхзвуковые течения, когда скорость жид- кости больше скорости звука; гиперзвуковые течения, когда скорость газа сущест- венно превышает скорость звука (последний случай представляет интерес главным образом для космической техники и авиации).
Рассмотрим очень важную для приложений задачу об истечении газа из резер-
вуара через сужающийся насадок, который в этом случае называется обычно
со-плом. Скорость в резервуаре будем считать пренебрежимо малой, поэтому интеграл
Бернулли для этого случая в предположении изоэнтропичности движения будет иметь следующий вид:
,
1 1
2 0
0 2
ρ
ρ
pkkpkkV−
=
−
+
где индекс “0” относится к резервуару.
Решая последнее уравнение относительно скорости, получим:
1 1
2 1
0 0
kkppRTkkV−
−
⋅
−
=
123
Очевидно, что максимальная скорость газа реализуется при условии
0 0
→
p
p
и
0
→
M
(
0
→
a
).
0
max
1 2
RT
k
k
V
+
=
Массовый расход газа в предположении одномерности течения и отсутствия потерь определяется следующим образом:
1 1
2 1
0 0
0 1
0 0
k
k
k
M
p
p
p
k
k
p
p
A
VA
Q
−
−
−
⋅
=
=
ρ
ρ
ρ
(14.55)
Обозначив
ε
=
0
p
p
, последнюю формулу преобразуем следующим образом:
),
(
1 2
0 0
ε
f
RT
p
k
k
Q
M
−
=
где
1
)
(
1 1
k
k
k
f
−
−
⋅
=
ε
ε
ε
Легко заметить, что функция
)
(
ε
f
имеет экстремум (максимум), соответст- вующий так называемому "критическому отношению" давлений:
1 2
1
−
+
=
k
k
кр
k
ε
(14.56)
При k = 1.4,
кр
ε = 0.528.
Максимальное значение массового расхода тогда будет равно:
1 2
1 1
0 0
−
+
+
=
k
k
кр
M
k
k
RT
p
A
Q
(14.57)
Зависимость расхода газа от отношения давлений в предположении постоян- ства температуры
0
T
и давления
0
p
дано на рис. 46 (кривая 1). Этот случай характе- рен для паротурбинной техники. В машиностроении, в частности в системах пнев- моавтоматики, часто бывает задано постоянное значение противодавления, а давле- ние в резервуаре меняется. В этом случае зависимость расхода от отношения давле- ний дается на рис. 46 (кривая 2) (2-
0
p
= v a r ,
p
= c o n s t ).
Рис. 46. Зависимость массового расхода газа от отношения давлений,
const
p
p
p
const
p
=
=
−
=
=
−
var,
2
var;
,
1 0
0
124
Пунктирной кривой на рис. 46 изображена расчетная кривая при
0
p =
c o n s t и
p =
v a r для
крε
ε
<
. Ее отличие от действительной объясняется тем, что при
крε
ε
=
на срезе сопла устанавливается звуковая скорость
кркрVaaV=
=
=
, а при
крε
ε
<
об- разуется так называемый "звуковой барьер": изменения внешнего давления не могут проникнуть внутрь сопла, поэтому расход остается постоянным при
0
p =
c o n s t .
Заметим, что при истечении через отверстие с тонкой кромкой становится су- щественным неодномерный характер течения, поэтому наблюдается так называе- мый второй критический режим течения. Например, для круглого отверстия в тон- кой стенке при истечении воздуха критическое отношение давления имеет порядок
1 0
крε
Отметим, что формула для скорости остается верной для любой области тече- ния: дозвуковой или сверхзвуковой. Форма же сечения сопла для получения сверх- звуковой скорости (сопла Лаваля) совпадает по конфигурации с трубкой Вентури для несжимаемой жидкости. Однако в сопле Лаваля на расчетном режиме работы скорость монотонно возрастает, а давление монотонно уменьшается.
14.9.2. Изотермическое течение газа На практике достаточно часто встречается изотермическое течение газа в трубах. Чем
больше длина газопровода, отнесенная к его диаметру, тем более веро- ятным является изотермический процесс. Между тем в учебной литературе обычно рассматривается либо адиабатическое течение, либо течение с подводом тепла в общем виде. В учебнике [3] рассмотрены некоторые случаи течения газа в трубе с постоянной температурой.
Рассмотрим установившееся течение вязкого совершенного газа с постоян- ной температурой в цилиндрической трубе.
Уравнение расхода в трубе постоянного сечения имеет следующий вид:
V
1
ρ
1
= V
2
ρ
2
= const.(14.58 )
Применяя к элементарному объему газа, ограниченному двумя сечениями на расстоянии dx друг от друга, теорему импульсов, получим уравнение dp/
ρ + d(V
2
/2) +
λ dx·d (V
2
/2) = 0 , (14.59) где
λ − коэффициент потерь на трение по длине, зависящий от режима течения, числа Рейнольдса, числа М и относительной шероховатости.
Число Рейнольдса при движении в трубе постоянного диаметра, равное:
Re = V d/
ν = 4dm/dt/(π d µ) при изотермическом течении газа будет оставаться постоянным по длине газопро- вода.
Наши эксперименты и данные, приведенные М. Е. Дейчем [7], свидетельст- вуют о том, что в первом приближении коэффициент гидравлического трения
λ можно считать постоянным в дозвуковой области вплоть до числа М=1. Поэтому
125
при интегрировании уравнения (14.59) можно принимать
λ = const вдоль потока.
Отметим, что при выводе уравнения (14.59) принималось равномерное распределе- ние скорости по сечению, так как при течении вязкого газа скорость по длине тру- бы растет, а при конфузорном течении профиль скорости характеризуется коэффи- циентами
α, мало отличающимися от единицы.
При изотермическом течении газа температура торможения будет монотон- но возрастать по длине трубопровода, причем в ресивере температура торможения будет равна термодинамической температуре газа, постоянной во всем газопроводе
(рис. 47).
Рис. 47. Изменение температуры торможения при изотермическом течении газа Обычное понятие температуры торможения в адиабатном потоке связано с термодинамической
температурой и скоростью течения известным соотношением, действительным в пределах каждого i - гo сечения:
iiiRTkkVRTkk0 2
1 2
1
−
=
+
−
Уравнение адиабаты для давлений и температур также справедливо в преде- лах фиксированного сечения:
(
)
1
/
0 0
/
/
−
=
kkiiTTppТак как вдоль потока параметры газа изменяются по уравнению изотермы, то p
1
/
ρ
1
= p
2
/
ρ
2 .
Используя уравнение расхода (14.58), легко получить: dp = - (p
1
V
1
dV)/V
2
126
Подставляя полученное выражение в (14.59), легко получить дифференци- альное уравнение
( )
0 1
2 3
1 2
2
=
−
+
V
dV
p
V
V
d
d
dx
ρ
λ
После интегрирования в пределах от начального сечения газопровода 1—1 до произвольного будем иметь:
1 2
2 1
ln
2 1
1
V
V
V
V
RT
d
l
−
−
=
λ
,
(14.60)
где T=T
1
− термодинамическая температура, постоянная вдоль потока.
Так как скорость звука постоянна вдоль потока, уравнение (14.60) целесооб- разно переписать в следующей безразмерной форме:
1 2
2 1
ln
2 1
1 1
M
M
M
M
k
d
l
l
−
−
=
=
λ
Продифференцировав последнее уравнение по М, считая M
1
= const, полу- чим, разрешая относительно dM:
−
=
1 1
2 2
kM
l
Md
dM
Анализируя это уравнение, приходим к выводу, что в случае изотермическо- го течения при значении М
2
< 1/k в цилиндрической трубе скорость вдоль потока возрастает (при dl>0 и dM>0), а при значениях M
2
> 1/k скорость вдоль потока уменьшается. Следовательно, значение M = 1/k для изотермического течения в трубе является таким же критическим, точнее предельным, как значение М = 1 для адиабатного течения. Перейти через это значение М, которое для k =1,4 (в частно- сти, для воздуха) равно М пр==0,845, сохраняя изотермическое течение, невоз- можно, так как малейшее отклонение числа М от предельного значения в сторону увеличения меняет знак приращения dM и возвращает поток вновь к предельному состоянию.
Найдем массовый расход газа при изотермическом течении без потерь, на- ходя скорость течения при изотермическом течении из уравнения Бернулли:
VA
Q
M
ρ
=
Определяя скорость при изотермическом течении из уравнения Бернулли, получим:
p
p
RT
V
/
ln
2 0
=
127
Тогда
(
)
p
p
RT
pA
Q
M
/
ln
2 0
=
Отметим, что данная формула отличается от аналогичных формул, получен- ных ранее [3], тем, что расход выражен через параметры торможения, а не через параметры в начальном сечении трубы. При определении расхода, по методу
И. А. Чарного, необходимо проводить графическое определение предельных дав- лений с учетом потерь, причем количественный анализ проделан им лишь для ча- стного случая длинной трубы, когда скоростным напором в начальном сечении и потерями на входе можно пренебречь.
Очевидно, экстремум массового расхода при T = const и p
0
= const совпадает с экстремумом функции:
x
x
y
ln
=
Дифференцируя, получим
0
ln
2
/
1 1
ln
1 2
=
+
−
=
x
x
x
x
x
dx
dy
или
x
x
ln
2 1
ln
=
Следовательно, критическое (предельное) отношение давлений будет
60653
,
0 1
0 0
=
=
=
e
p
p
èëè
e
p
p
cr
cr
Тогда максимальный расход можно подсчитать по формуле:
(
)
RT
pA
e
A
RT
p
Q
M
=
=
0
max
График зависимости массового расхода от отношения давлений имеет каче- ственно такой же характер, как и при адиабатном течении (рис. 46), но с другим значением (р/р
0
)кр
В последних формулах р
0
—давление торможения газа в ресивере при усло- вии T = const, т. е. в ресивере T
0
= T.
В работе [3] фигурирует давление торможения в первом сечении трубы при температуре торможения T
01
, полученной путем адиабатного торможения потока с параметрами V
1
и T
1
= T = const. Второе расчетное соотношение в этом случае име- ет вид:
128 1
/
2 1
1 01 2
1 1
−
−
+
=
k
k
M
k
M
M
p
p
На практике чаще известным является давление р
0
в ресивере. Связь между давлениями р
1
и р
0
может быть получена из уравнения Бернулли для течения без потерь
1 0
2 1
/
ln
2
p
p
k
M
=
или с потерями энергии от сечения 0 - 0 до сечения 1 - 1 0
2 1
2 1
1
ln
2 2
ln
p
RT
v
v
p
RT
=
+
+
ζ
В безразмерном виде
(
)
p
p
k
M
/
ln
1 2
0 2
1
ζ
+
=
Учитывая формулу (14.58) выражение для определения массового расхода газа при изотермическом истечении можно записать в следующем виде:
2
kM
RT
pA
Q
M
=
Следует отметить, что полученные формулы для массового расхода газа при изотермическом течении включают давление и число М в конечном сечении. По- этому они верны как для случая течения идеального газа без потерь, так и в случае течения реального газа с потерями. Разумеется, что конечные параметры газа при постоянных параметрах заторможенного газа в этих случаях будут разными.
Критическое (предельное) отношение давлений можно получить путем пре- дельного перехода в формуле адиабатного течения:
( )
e
k
k
k
k
1 1
/
1 2
lim
1
=
−
+
→
Таким же образом из формулы для определения максимального расхода при адиабатном истечении можно получить формулу для изотермического истечения, так как
e
k
k
k
k
k
1 1
2
lim
1
/
1 1
=
+
−
+
→
129
Полученная система уравнений позволяет легко провести расчет газопровода при изотермическом течении совершенного газа.
В последние годы широкое применение получил метод моделирования тече- ний в различных гидравлических устройствах и машинах на воздухе. Преимущест- ва использования воздуха в качестве рабочего тела (при исследовании гидравличе- ских явлений) хорошо известны.
Однако ввиду того, что кинематическая вязкость воздуха при нормальных условиях примерно в пятнадцать раз больше кинематиче- ской вязкости воды, для выполнения условий равенства чисел Рейнольдса прихо- дится идти на установки с замкнутым контуром и давлением выше атмосферного.
В связи с вышеизложенным целесообразно рассмотреть вопрос о возможности уве- личения числа Рейнольдса за счет повышения числа Маха до тех пор, пока не нач- нет сказываться влияние сжимаемости рабочего тела. Ограничимся рассмотрением изотермических течений, так как практика показала, что при моделировании гид- равлических трактов на воздухе реализуется этот случай.
Заменим истинное изотермическое течение воздуха течением гипотетиче- ской несжимаемой жидкости с плотностью, равной средней плотности воздуха в начальном и конечном сечениях:
ρ = (ρ
1
+
ρ
2
)/2 .
Тогда коэффициент гидравлических потерь по формуле Дарси - Вейсбаха можно подсчитать как
,
2 2
2
MQpAρ
ζ
∆
=
где
∆р — разность полных давлений для входа и выхода из тракта.
Потери давления на трение в трубе на участке длиною dx можно подсчитать по формуле Дарси dp =
λ(dx/D) (ρV
2
/2) .
Интегрируя в предположении
λ =const от сечения 1 до сечения 2, удаленного от первого на расстоянии l, получим выражение, приводимое во многих учебниках: p
1 2
- p
2 2
=
λ (l/D) (ρv)
2
(RT) .
Преобразуем его следующим образом:
(p
1
+ p
2
) (p
1
- p
2
) =
λ (l/D) (ρ
1
v
1
) (
ρ
2
v
2
) (RT) .
Считая среднее арифметическое и среднее геометрическое значения эквива- лентными (при разности давлений 10-20% разница в средних значения меняется от
0,5 до 2%), приходим к расчетной формуле для гипотетической несжимаемой жид- кости со средней плотностью:
130
(p
1
- p
2
) =
λ (l/D) ((ρ
ср v
ср
2
/2) .
Правомочность предложенной модели течения проверялась для двух случа- ев. Исследовались местное сопротивление в виде диафрагмы с острой входной кромкой диаметром d = 6 мм, размещенной в трубопроводе с внутренним диамет- ром D=20 мм, и цельнотянутый трубопровод из хромоникелевой стали длиной
2134±2 мм и диаметром d =10 мм. Перед начальным сечением с кольцевым отбо- ром давления был предусмотрен участок для стабилизации течения длиной около
100 калибров.
Для проверки системы измерений были проведены эксперименты по опреде- лению коэффициента Дарси λ в функции числа Re для чисел Маха (М<0,2). Ре- зультаты экспериментов представлены на рис. 48, где нанесена также кривая, под- считанная по формуле Блазиуса, на основании которой можно сделать заключение об удовлетворительном состоянии системы измерений.
Рис. 48. Зависимость коэффициента Дарси в функции числа Рейнольдса
Re для М<0,2
Зависимость коэффициента
ζ от числа М, подсчитанного по величине отно- шения давлений в предположении изоэнтропичности, представлена на рис. 49. Ре- жимы испытаний при варьировании числа М выбирались таким образом, чтобы число Рейнольдса оставалось постоянным и равным 6
⋅10 5
Рис. 49. Зависимость коэффициента местных гидравлических потерь
ζ
от
величины числа Маха М и отношения давлений
π
131
Из рассмотрения зависимостей на рис. 49 можно сделать заключение, что для М<0,7 коэффициент местных гидравлических потерь не зависит от сжимаемо- сти рабочего тела, причем его величина
ζ = 2,60 в пределах точности измерений совпадает с величной
ζ для несжимаемой жидкости (по данным И. Е. Идельчика).
Для М>0,7 вплоть до второго критического режима, коэффициент
ζ является сла- бовозрастающей монотонной функцией. Отличие в величинах коэффициента гидравлических потерь в области второго критического режима не превышает 10%.
Рис. 50. Зависимость коэффициента Дарси λ
от числа Маха М при Re=const=105На рис. 50 представлена зависимость коэффициента Дарси
λ в функции изо- энтропийного числа' М при постоянном числе Рейнольдса, равном 10 5
. Потери на трение зависят от сжимаемости рабочего тела, начиная с чисел М>0,3 (p
01
/p
2
>l,l).
Однако после области интенсивного увеличения коэффициента трения
(0,3<М< <0,7) для М>0,7, вплоть до режима запирания, величина
λ практически не меняется.
Таким образом, проведенное экспериментальное исследование позволяет ус- тановить границу применимости режимов приближенного моделирования гидрав- лических устройств, включающих в себя местные гидравлические сопротивления и сопротивления трения на сжимаемых рабочих телах.
Скачать 4.56 Mb.