Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1). Гидравлика и гидропневмопривод часть 1 основы механики жидкости и газа
 Скачать 4.56 Mb.
|
|
3.2. Уравнение неразрывности (сплошности) в дифференциальной форме Если при движении жидкость целиком (без пустот и разрывов) заполняет про- странство, то ее плотность ρ и местная скорость связаны зависимостью, которая называется уравнением неразрывности и выражает закон сохранения массы. Рис. 6. К выводу уравнения неразрывности в дифференциальной форме Рассмотрим жидкий объем в виде прямоугольного параллелепипеда со сторо- нами dx, dy, dz и подсчитаем изменение массы в объеме dz dy dx ⋅ ⋅ за единицу вре- мени (рис. 6). Для этого надо вычислить поток вектора V ρ через все шесть граней. Начнем с грани АВСD. Поток через нее равен , dydz V x ρ − так как положительные направления нормали и скорости противоположны. Поток через грань А’В’С’D’ будет ) ( ) , , ( ) , , ( dydz dx x V z y x V dydz z y dx x V x x x ∂ ∂ + = + ρ ρ ρ Таким образом, суммарный поток вдоль оси X будет ) ( dxdydz x V x ∂ ∂ ρ Повторяя аналогичные рассуждения с другими двумя парами граней, получим общий поток через все грани для бесконечно малого параллелепипеда: ) ( ) ( ) ( dxdydz z V y V x V z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ ρ ρ 28 Таким образом, мы показали, что поток через поверхность нашего элементар- ного объема равен произведению дивергенции вектора V ρ на объем параллелепи- педа. Очевидно, для любого конечного объема суммарный поток есть сумма пото- ков из отдельных его частей. Следовательно, можно записать, что ) ( ) ( ) ( dW V dW V div dA n V dA V W W A A n ∫ ⋅ ∇ = ∫ = ⋅ ∫ ∫ = ρ ρ ρ ρ Проведенные рассуждения привели к частной форме известной из курса мате- матики теоремы Остроградского-Гаусса. Секундное изменение массы в неизменном объеме W можно подсчитать дру- гим образом: dW t W ∫ ∂ ∂ ρ Следует учесть, что поверхностный интеграл положителен, если через поверх- ность А вытекает жидкости больше, чем втекает, а объемный интеграл при этом от- рицательный, так как плотность в этом случае должна уменьшиться. Таким образом, dW t dA V W A n ∫ ∂ ∂ − = ∫ ρ ρ Используя ранее полученный результат, можно записать 0 ) ( = ∫ + ∂ ∂ dW V div t W ρ ρ В силу произвольности объема 0 ) ( = + ∂ ∂ V div t ρ ρ (3.8) Это уравнение является уравнением неразрывности в дифференциальной фор- ме для произвольного движения сжимаемой жидкости. Уравнение неразрывности после несложных преобразований можно предста- вить еще в следующих формах 0 ln èëè 0 1 = + = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⋅ V div dt d z V y V x V dt d z y x ρ ρ ρ Для несжимаемой жидкости обратится в нуль t ∂ ∂ ρ , и уравнение неразрывно- сти будет: 0 или 0 = = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ V div z V y V x V z y x Для стационарного (установившегося) движения t ∂ ∂ ρ = 0 и уравнение не- разрывности можно записать как 0 ) ( или ) ( ) ( ) ( = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ V div z V y V x V z y x ρ ρ ρ ρ 29 3.3. Уравнение неразрывности в гидравлической форме В технических приложениях существенное значение имеет гидравлическая форма записи закона сохранения массы. Рис. 7. К выводу уравнения неразрывности в гидравлической форме Рассмотрим установившийся поток сжимаемой жидкости в трубе произволь- ной формы (рис. 7). Поверхность А=А 1 + А 2 + А 3 ограничит некоторый объем жид- кости в трубе, которую будем считать материальным представлением струйки тока. ∫ = ∫ + ∫ + ∫ = 3 3 2 2 1 1 0 A n A n A n A n dA V dA V dA V dA V ρ ρ ρ ρ Так как боковая поверхность А 3 непроницаема для жидкости, то на ней n V = 0 и, следовательно, ∫ = 3 3 0 A n dA V ρ Так как на поверхности А 1 нормаль направлена наружу от выделенного объе- ма, а скорость – внутрь, и n V =- n V − , где n V − – проекция скорости на внутреннюю нормаль, то ∫ ∫ = − 2 2 1 1 A n A n dA V dA V ρ ρ Если поверхности А 1 и А 2 нормальны в каждой точке линиям тока, то их на- зывают "живыми" сечениями. Если сечения близки к плоским, то 2 2 2 1 1 1 V A V A ρ ρ = (3.9) Это – равенство массовых расходов. Для несжимаемой жидкости ρ = c o n s t и 2 2 1 1 V A V A = (3.10) Это – равенство объемных расходов. Из (3.10) логично следует понятие средней по сечению скорости: . A Q A dA V V i i i 1,2 i , = = ∫ = (3.11) 30 Рис. 8.Изменение параметров потока по длине канала с плавноизменяющимся сечением На рис. 8 представлено изменение средней скорости по длине канала с доста- точно плавным изменением площади поперечного сечения в предположении не- сжимаемости жидкости. На участке 2-3 скорость возрастает, на участке 4-5 – уменьшается. Таким образом, при установившемся течении проявляется конвективная со- ставляющая ускорения жидкости. Следует отметить, что формулы (3.9) – (3.11) относятся как к модели идеаль- ной жидкости без трения (без касательных напряжений), так и к реальной вязкой жидкости. 3.4. Основные теоремы кинематики жидкости Теоремы кинематики жидкости будут приведены ниже (ввиду краткости кур- са) без вывода. Строгое их обоснование можно изучить в монографиях [5, 6, 8, 23]. Из теоретической механики известно, что скорость любой точки твердого тела определяется геометрической суммой скорости поступательного движения вместе с некоторым полюсом О и скорости вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс О: × + = → → → → 0 0 r V V ω Для элементарной частицы жидкости скорость складывается из скорости ква- зитвердого движения (поступательного и вращательного) и деформационной скоро- сти. Это – теорема Коши-Гельмгольца, которую в векторной форме можно записать в виде: F, 0 grad r V V + × + = δ ω (3.12) где ; ) ( 2 1 23 13 12 2 33 2 22 2 11 z y S z x S y x S z S y S x S F δ δ δ δ δ δ δ δ δ & & & & & & + + + + + = 0 V – скорость поступательного движения; 31 × r δ ω – скорость вращательного движения вокруг мгновенной оси с угловой скоростью ω ; grad F – скорость чистой деформации. Формула (3.12) использует понятие тензора скоростей деформаций 33 32 31 23 22 21 13 12 11 S S S S S S S S S S & & & & & & & & & & = с компонентами ( ) i j j i ij x V x V S ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 1 & , где i x и x j принимают в декартовой сис- теме координат значения x, y, z. Диагональные составляющие тензора скоростей деформации характеризуют скорости относительного изменения длины отрезка, а их сумма – скорость измене- ния относительного объема элементарной частицы жидкости. Компоненты ij S& при j i ≠ характеризуют скорость угловых деформаций или деформаций сдвига. Рис. 9. Движение жидкой частицы На рис. 9 показано плоское движение жидкой частицы жидкости: поступа- тельное, вращательное (поворот отрезков АВ и СD) и деформационное (изменение длин отрезков АВ и СD и изменение величины угла между отрезками АВ и СD). Соотношение (3.12) имеет важное практическое значение. Одним из совре- менных методов измерения локальных скоростей является наблюдение за твердыми частицами с плотностью, равной плотности жидкости. Очевидно, что при таком ме- тоде пропадает деформационная составляющая скорости в масштабе размера вво- димой твердой частицы. При наблюдении за жидкими частицами этой систематиче- ской ошибки метода измерения не будет. Рассмотрим теорему Гельмгольца о вихрях. Введем понятие потока вектора вихря: ∫ ∫ = A W n dW V rot div dA V rot Очевидно, что поток вектора вихря скорости через боковую поверхность вих- ревой трубки равен нулю (по определению). Из векторного анализа известно, что поток любого вектора через любую замкнутую поверхность, внутри которой нет особенностей, равен нулю. Рис. 7 можно рассматривать и в качестве вихревой труб- ки с заменой вектора V вектором V rot . Проводя рассуждения, аналогичные приве- денным в разделе 3.3, легко получить, что 32 ∫ ∫ = − 1 1 A A n n dA V rot dA V rot (3.13) или ∫ ∫ = − 1 1 A A n n dA dA ω ω (3.13а) Равенство (3.13) выражает теорему Гельмгольца о вихрях: поток вихря скоро- сти через поперечное сечение трубки в данный момент времени постоянен по ее длине. Если вихревая трубка является элементарной, то в пределах каждого из се- чений будет ω = c o n s t и, следовательно, const A A = = ω ω ω èëè 2 2 1 1 (3.14) Из теоремы Гельмгольца вытекают важные для практических приложений следствия. 1. Сечение вихревой трубки не может стать равным нулю, так как для этого требуется физически невозможное бесконечно большое значение угловой скорости. 2. Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости. Они либо обра- зуют вихревые кольца, замыкаясь на себя, либо «опираются» на стенку, ограничи- вающую поток, или на свободную поверхность. Теорема Стокса устанавливает зависимость между циркуляцией и потоком вихря скорости: поток вектора вихря скорости через любую поверхность, опираю- щуюся на некоторый замкнутый контур, равен циркуляции скорости по этому кон- туру: ∫ ∫ ⋅ = = Γ A L n dl V dA V rot (3.15) Циркуляция скорости по замкнутому контуру может служить, наряду с по- током вихря, мерой интенсивности вихревого движения, и это понятие широко применяется в теоретических построениях и на практике, например, при проверке качества изготовления впускных коллекторов двигателей внутреннего сгорания. Отметим, однако, что локальная характеристика V rot n точнее описывает картину течения, чем интегральные Γ или ∫ A dA V rot 3.5. Плоские потоки несжимаемой жидкости. Функция тока Плоские потоки жидкости, когда, например, V z = 0, являются очень важными видами течения, легко представляемыми графически. Существует мнение, что раз- витие расчетных методов для пространственных потоков сдерживается не только быстродействием и памятью ЭВМ, но и трудностью представления трехмерных те- чений. Уравнение неразрывности для плоского потока несжимаемой жидкости будет или 0 y V x V y V x V y x y x ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ Очевидно, что выражение dx V dy V y x − является полным дифференциалом неко- торой функции ψ : dx V dy V dy y dx x d y x − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ψ ψ ψ 33 Сравнивая коэффициенты при dx и dy, находим: è x V y V y x ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ψ ψ (3.16) Уравнения линий тока для плоского потока будут 0 или , dx = − = dx V dy V V dy V y x y x Таким образом, вдоль любой линии тока будет ψ d = 0, или ψ = c o n s t . Следо- вательно, функция тока имеет свойство сохранять вдоль любой линии тока посто- янное значение, которое, однако, зависит от линий тока. Существование линий тока не зависит от наличия или отсутствия в жидкости вихрей. Однако оно вытекает из уравнения непрерывности для плоских течений, и поэтому функция тока существует только для плоских течений. Особенно просто рассчитывается поле течения, если поток не только плоский, но и потенциальный, т.е. скорость является градиентом некоторой скалярной функции ϕ : ϕ grad V = (3.17) В этом случае во всем потоке V rot = 0, т.е. течение является безвихревым. Для безвихревого (потенциального) течения жидкости из уравнения неразрыв- ности следует: 0 y x 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕ ϕ и (3.18) 0 y x 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ψ ψ (3.19) Таким образом, задача нахождения поля скоростей сводится к решению урав- нения Лапласа. Отметим, что в общем случае потенциал и функция тока могут быть функциями координат и времени, причем время в уравнениях (3.18) и (3.19) являет- ся не аргументом, а параметром. Для вихревого движения уравнение (3.19) заменяется уравнением Пуассона: → − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ V V V z y x rot x y y x 2 2 2 2 ψ ψ (3.20) Численные методы решения уравнений (3.19) и (3.20) аналогичны. 34 4. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В ЖИДКОСТЯХ 4.1. Напряжения поверхностных сил Напряженное состояние жидкости обусловлено массовыми и поверхностными силами (см. раздел 2). Рис. 10.Напряженное состояние жидкости Рассмотрим жидкую движущуюся частицу в виде тетраэдра с вершиной в на- чале координат (рис. 10). Применяя к этому жидкому объему второй закон Ньюто- на, получим: , w a A p A p A p A p w F z z y y x x n n ρδ δ δ δ δ ρδ = − − − + где F – единичная массовая сила; n p – напряжение на грани, нормальной направлению n ; x p – напряжение на грани, нормальной оси X; y p – напряжение на грани, нормальной оси Y; z p – напряжение на грани, нормальной оси Z. Знак “ – “ перед слагаемыми, содержащими напряжения x p , y p и z p , обусловлен тем, что положительные направления напряжений и координатных осей X, Y и Z противоположны. Разделив исходное уравнение на n A δ и принимая во внимание, что n A h w δ δ ) 3 1 ( = , при переходе к пределу получим: ), , cos( ) , cos( ) , cos( n z p n y p n x p p z y x n + + = (4.1) где ) , cos( , ) , cos( , ) , cos( n z n y n x A A n z A A n y A A n x δ δ δ δ δ δ = = = Спроектируем векторное равенство (4.1) на координатные оси X, Y и Z. 35 ). , cos( ) , cos( ) , cos( ), , cos( ) , cos( ) , cos( ), , cos( ) , cos( ) , cos( n z p n y p n x p p n z p n y p n x p p n z p n y p n x p p zz yz xz nz zy yy xy ny zx yx xx nx + + = + + = + + = (4.2) Для каждой из проекций используются два индекса: первый определяет ори- ентацию площади (направление нормали), а второй – координатную ось, на кото- рую проектируется соответствующий вектор. Очевидно, что xx p , yy p и zz p суть нор- мальные напряжения, а проекции с разноименными индексами – касательные на- пряжения (см., например, для x p на рис. 10 справа). Записав уравнение моментов, можно доказать теорему о взаимности касатель- ных напряжений: , , zy yz zx xz yx xy p p p p p p = = = (4.3) Шесть независимых скалярных величин, определяющих напряженное состоя- ние жидкости, образуют симметричный тензор напряжений: zy yz xz zy yy xy zx yx xx p p p p p p p p p = Π (4.4) Предположим, что все касательные напряжения равны нулю. Это может иметь место в двух случаях: либо если жидкость находится в покое, либо в случае модели идеальной жидкости. Тогда из (4.3) следует ). , cos( ), , cos( ), , cos( n z p p n y p p n x p p zz nz yy ny xx nx = = = Величины nx p , ny p и nz p можно вычислить и из следующих равенств: ). , cos( ), , cos( ), , cos( n z p p n y p p n x p p n ny n ny n nx = = = Сопоставляя две серии равенств, получим: , p p p p p zz yy xx n − = = = = (4.5) где p – гидродинамическое давление в идеальной жидкости или гидростатическое давление в покоящейся реальной жидкости. Эта величина положительна, так как жидкая среда, как отмечалось ранее, не выдерживает растягивающих напряжений. Давление p отождествляют с термодинамическим давлением, входящим в термиче- ское уравнение состояния. Утверждение о независимости величины давления в по- коящейся жидкости от ориентации элементарной площадки называется законом Паскаля. Совокупность значений давления во всех точках жидкости в данный момент времени образует поле давления p( rr ,t). |