Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
8365 8400 + 5819 ≈ + 5800 14 186 14 200 Ответ лишь на 14 единиц отличается от точного ответа: от- носительная погрешность меньше чем 0,1%. Вот это я назы- ваю отличной приближенной оценкой! Попробуйте задачу на сложение пятизначных чисел, окру- гляя их до ближайшей сотни. 46 187 46 200 + 19 378 ≈ + 19 400 65 565 65 600 131 Искусство приближенной оценки Благодаря округлению до ближайшей сотни погрешность нашего ответа всегда будет меньше 100. Если ответ больше 10 000, приближенная оценка будет в пределах 1% от точного ответа. Теперь попробуем что-нибудь посложнее. 23 859 379 24 000 000 23 900 000 + 7 426 087 ≈ + 7 000 000 или + 7 400 000 31 285 466 31 000 000 31 300 000 Если вы округлите до ближайшего миллиона, то получи- те ответ в 31 миллион, что примерно на 285 000 меньше ис- тинного значения. Неплохо, конечно, но вы можете улучшить ответ, округляя до ближайших ста тысяч, как показано в по- следнем столбце. В этом случае приближенная оценка снова будет в пределах находиться 1% от точного ответа. Если вы на- учитесь находить точные ответы для таких задач с меньшими числами, то сможете приблизительно оценить ответ в любой задаче. Приближенная оценка в супермаркете Рассмотрим пример из реальной жизни. Придя в магазин, вы когда-нибудь интересовались общей суммой покупки до того, как кассир пробил чек? Для оценки общей суммы я использую технику округления цен до ближайших 50 центов. Например, пока кассир складывает числа, показанные слева, я мысленно суммирую числа, показанные справа. 1,39 1,50 0,87 1,00 2,46 2,50 0,61 0,50 3,29 3,50 132 Магия чисел 2,99 3,00 0,20 0,00 1,17 1,00 0,65 0,50 2,93 3,00 3,19 3,00 19,75 19,50 Моя итоговая цена, как правило, колеблется в пределах од- ного доллара от точного значения. ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ ВЫЧИТАНИИ Способ получения приближенной оценки при вычитании та- кой же, как и при сложении: округляем до ближайшей тысячи или сотни (последнее предпочтительнее). 8367 8000 8400 – 5819 ≈ – 6000 или – 5800 2548 2000 2600 Как видите, округление до ближайшей тысячи делает ответ не совсем корректным. Благодаря округлению второй цифры (до сотен в нашем примере) погрешность обычно колеблется в пределах 3%. В данной задаче приближенное решение откло- няется от истинного ответа лишь на 52, поэтому относитель- ная погрешность составляет 2%. Если округлять третью циф- ру, то относительная погрешность обычно будет меньше 1%. Например: 439 412 440 000 439 000 – 24 936 ≈ – 20 000 или – 25 000 414 476 420 000 414 000 133 Искусство приближенной оценки Путем округления третьей цифры вместо второй можно значительно улучшить точность оценки. ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ ДЕЛЕНИИ Первый и самый важный шаг расчета приближенного ответа для задачи на деление — это определить величину частного. 9 187,5 9 6)57 867,0 ≈ 6)58 000 54 4 Ответ ≈ 9 и 2/3 тысячи, или 9 667 Следующий шаг — округление большего из чисел до бли- жайшей тысячи, то есть замена 57 867 на 58 000. Деление 58 на 6 дает 9 с остатком. Но самый важный элемент решения данной задачи — это поиск местоположения цифры 9. Например, в результате умножения 6 × 90 получается 540, тогда как 6 × 900 = 5400. Оба варианта дают слишком малые числа. Но 6 × 9000 = 54 000, что достаточно близко к делимому. Это говорит о том, что ответ будет 9 000 плюс «что-то». Можно прикинуть это «что-то», сначала отняв 58 – 54 = 4. В этом случае вам нужно снести 0 и разделить 40 на 6 и т. д. Но если вы внимательны, то поймете, что деление 4 на 6 дает 4/6 = 2/3, что приблизительно равно 0,667. По- скольку ваш ответ «9 000 плюс что-то», теперь можно ска- зать «9 667». В действительности точный ответ будет 9 645. Чертовски близко! Деление чисел на таком уровне кажется довольно про- стым. Но как быть с большими задачами на деление? Ска- жем, мы хотим посчитать, забавы ради, сколько зарабатывает 134 Магия чисел профессиональный спортсмен в день, если его зарплата за год составляет 5 000 000 долларов. 365 дней)5 000 000 Первым делом нужно оценить примерный ответ. Этот игрок зарабатывает каждый день тысячи? Ну, если 365 × 1000 = 365 000, то получается слишком мало. Или десятки тысяч? Ну, 365 × 10 000 = 3 650 000. Это уже больше похоже на правду. Для получения приближенной оценки разделите первые две цифры (50 на 36), и у вас полу- чится 1 и 14/36, или 1 и 7/18. Так как 70 — это примерно 4 раза по 18, выходит, что спортсмен зарабатывает около 14 000 дол- ларов в день. Точный ответ — 13 698,63 доллара. Неплохая точ- ность. (И неплохая зарплата!) А вот астрономический расчет. Сколько секунд необходи- мо свету, чтобы долететь от Солнца до Земли? Свет перемеща- ется со скоростью 186 282 мили в секунду, а Солнце находит- ся на расстоянии (в среднем) 92 960 130 миль от Земли. Я со- мневаюсь, что вы очень хотите решить эту задачку вручную. К счастью, приближенную оценку ответа достаточно легко получить. Сначала упростим задачу. 186 282)92 690 130 ≈ 186)93 000 Теперь разделим 930 на 186, что даст нам 5 без остатка. По- том добавим два 0, которые забрали у 93 000, и получим 500 се- кунд. Точный ответ — 499,02 секунды. Этот пример показы- вает, что приближенная оценка может заслуживать большого уважения. 135 Искусство приближенной оценки ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ УМНОЖЕНИИ Для приблизительной оценки ответов в задачах на умноже- ние используются примерно те же приемы, что и описанные выше. Например: 88 90 × 54 ≈ × 50 4752 4500 Округление до ближайшего кратного 10 значительно упро- щает задачу, но ответ все еще на 252 меньше истинного (по- грешность около 5%). Можно улучшить ситуацию, округлив оба числа на одинаковую величину в разных направлениях. Так, если округлить 88 до 90, то 54 следует уменьшить на 2. 88 90 × 54 ≈ × 52 4752 4680 Итак, вместо задачи на умножение типа «2 на 2» теперь мы имеем дело с умножением типа «2 на 1», что не должно быть для вас сложным. В данном случае приближенная оценка от- клоняется от истинного значения всего на 1,5%. Если приближенный ответ для задачи на умножение по- лучен путем округления большего числа в большую сторону и меньшего в меньшую, то он будет несколько занижен. Если округлить большее число в меньшую сторону, а меньшее в большую (тогда, возможно, числа станут достаточно близ- кими), приближенный ответ получится слегка завышенным. Чем больше величина, на которую вы округляете в ту или иную сторону, тем большее отклонение будет иметь прибли- женная оценка. Например: 136 Магия чисел 73 70 × 65 ≈ × 68 4745 4760 Поскольку после округления числа стали близки друг к дру- гу, приближенная оценка получилась слегка завы шенной. 67 70 × 67 ≈ × 64 4489 4480 Так как перемножаемые числа не близки друг к другу, при- ближенная оценка ответа занижена, но ненамного. Нетрудно заметить, что метод приближенной оценки весьма эффектив- но работает для примеров на умножение. Кроме того, обрати- те внимание, что данный пример — это задача на возведение в квадрат 67 2 , и наше приближение — всего лишь первый шаг в технике возведения в квадрат. Рассмотрим еще один пример. 83 85 × 52 ≈ × 50 4316 4250 Заметим, что приближение будет наиболее точным, когда исходные числа близки друг к другу. Попробуйте оценить от- вет для задачи типа «3 на 2». 728 731 × 63 ≈ × 60 45 864 43 860 Путем округления 63 до 60 и 728 до 731 создается зада- ча на умножение типа «3 на 1», что отдаляет приближенную оценку на величину 2004 от точного ответа. Здесь погреш- ность составляет 4,3%. 137 Искусство приближенной оценки Попробуйте дать приблизительную оценку следующей за- даче «3 на 3». 368 359 × 492 ≈ × 500 180 564 179 500 Как видите, хотя мы округлили оба числа на 8 в раз- ные стороны, приближенный ответ отклоняется более чем на 1000 от точного значения. Так происходит потому, что пере- множаемые числа в данной задаче большие и число, на кото- рое они округляются, тоже большое. Поэтому получившаяся в результате оценка будет отклоняться на бо 2льшую величи- ну. Но относительная погрешность по-прежнему меньше 1%. Насколько далеко можно зайти, используя систему при- ближенной оценки для задач на умножение? На столько, на сколько пожелаете. Просто нужно знать названия больших чисел. Тысяча тысяч — это миллион, тысяча миллионов — миллиард. Зная это, попробуйте решить задачу со следующи- ми числами. 28 657 497 29 000 000 × 13 864 ≈ × 14 000 Как и ранее, она сводится к округлению чисел, для того чтобы они стали простыми, такими как 29 000 000 и 14 000. Отбросив все нули, получим обычную задачу «2 на 2»: 29 × × 14 = 406 (29 × 14 = 29 × 7 × 2 = 203 × 2 = 406). Следовательно, ответ равен приблизительно 406 миллиардам, так как тысяча миллионов — это миллиард. 138 Магия чисел ОЦЕНКА КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ: ДЕЛЕНИЕ И УСРЕДНЕНИЕ Корень квадратный из n (обозначается n) — это число, ко- торое при умножении само на себя дает n. Например, ква- дратный корень из 9 равен 3, поскольку 3 × 3 = 9. Квадратный корень используется при решении многих научных и инже- нерных задач и почти всегда рассчитывается на калькуляторе. Следующий метод обеспечивает точную оценку ответа. При оценке квадратного корня основная цель — найти чис- ло, которое при умножении само на себя приближается к ис- ходному. Так как квадратный корень из большинства чисел не целое число, ваша оценка, вероятно, тоже будет содержать дробную часть. Начнем с приближенной оценки квадратного корня из 19. Первое действие — выяснить, какое число при умножении само на себя будет максимально приближаться к 19. Берем два возможных варианта: 4 × 4 = 16 и 5 × 5 = 25. Так как 25 слиш- ком много, ответ должен быть 4 плюс «что-то». Следующий шаг — деление 19 на 4, дающее 4,75. Поскольку 4 × 4 меньше, чем 4 × 4,75 = 19 (что, в свою очередь, меньше произведения 4,75 × 4,75), получается, что 19 (или 4 × 4,75) находится между 4 2 и 4,75 2 . Следовательно, квадратный корень из 19 лежит где- то между 4 и 4,75. Я бы предположил, что он будет посередине, на отметке 4,375. В действительности это 4,359, так что наша оценка до- вольно близка к истинному значению. Проиллюстрируем дан- ную процедуру следующим образом. 139 Искусство приближенной оценки Деление: Среднее: 4,75 4 + 4,75 = 4,375 4)19,0 2 16 30 28 20 20 0 На самом деле данный ответ можно получить другим, бо- лее простым способом. Мы знаем, что 4 в квадрате равно 16, что меньше 19 на 3 единицы. Чтобы уточнить нашу оценку, прибавим к ней погрешность, деленную на удвоенное предполо жение . То есть к 4 прибавим 3, деленное на 8, чтобы получить 4 ⅜= 4,375. Заметим, что этот метод всегда будет давать ответ немного больше точного. Теперь попробуйте решить более сложный пример. Чему равен квадратный корень из 87? Деление: Среднее: 9,66 9 + 9,66 = 9,33 9)87,0 2 Сначала определим приблизительный итог исходя из того, что 9 × 9 = 81 и 10 × 10 = 100. Это означает, что ответом бу- дет 9 с хвостиком. Поделив 87 на 9 (до десятых), получим 9,66. Чтобы улучшить приближенную оценку, возьмем среднее между 9 и 9,66, которое равно 9,33 — точный квадратный ко- рень из 87, округленный до десятых! Другим способом при- ближенная оценка равна 9 + (погрешность)/18 = 9 + 6/18 = 9,33. 140 Магия чисел Использование этой техники делает приближенную оцен- ку квадратного корня довольно-таки легкой для двузначных чисел. Но как насчет трехзначных? Здесь ситуация ненамного сложнее. Могу сразу сообщить, что все трехзначные и четы- рехзначные числа имеют двузначные квадратные корни (с точ- ностью до десятых). И процедура их вычисления такая же, не- зависимо от того, насколько велико число. Например, чтобы извлечь квадратный корень из 679, сначала нужно оценить ответ. Поскольку 20 — это квадратный корень из 400, а 30 — квадратный корень из 900, квадратный корень из 679 должен лежать между 20 и 30. Если разделить 679 на 20, выйдет примерно 34. Усредне- ние 20 и 34 дает приблизительную оценку 27, но есть вариант получше. Если вы знаете, что 25 в квадрате 625, то погреш- ность 679 – 625 = 54. Разделив это число на 50, получим 54/50 = = 108/100 = 1,08. Следовательно, улучшенная оценка составит 25 + 1,08 = 26,08. (Для еще более точной оценки: если вы зна- ете, что 26 в квадрате 676, погрешность будет 3, так что при- бавьте 3/52 (приблизительно равно 0,06) и получите 26,06.) С точностью до сотых ответ будет равен 26,06. Чтобы приближенно оценить квадратный корень из че- тырехзначного числа, взгляните на его первые две цифры. Например, чтобы найти квадратный корень из 7369, оцените квадратный корень из 73. Так как 8 × 8 = 64, а 9 × 9 = 81, то 8 должна быть первой цифрой квадратного корня. Значит, рав- няемся на «80 плюс…». Теперь приступим к обычному методу решения. Деление 7369 на 80 дает 92 плюс дробь, так что хоро- шим приближением будет 86 * . Если возвести в квадрат 86, что * Здесь надо пояснить, откуда взялась цифра 6. Это половина раз- ности 92 – 80 = 12. Прим. ред. 141 Искусство приближенной оценки равняется 7396, то это число на 27 больше 7369. Теперь делим разность 27 на удвоенное число 86, получаем 27/172, что при- ближенно равно 0,16. Отсюда следует, что улучшенная оценка 86 – 0,16 = 85,84. Приближенная оценка квадратного корня из шестизнач- ного числа вроде 593 472 может показаться невозможной для непосвященного. Но вы даже не успеете устать. Так как 700 2 = = 490 000 и 800 2 = 640 000, квадратный корень из 593 472 должен находиться между 700 и 800. На самом деле все пяти- и шестиз- начные числа имеют трехзначные квадратные корни. На прак- тике вам нужно извлечь квадратный корень только из первых двух цифр шестизначного числа (или из первой цифры пятиз- начного). Выяснив, что квадратный корень из 59 лежит между 7 и 8, вы определите, что ответ равен «700 плюс…». Теперь перейдем к привычному способу представления. Деление: Среднее: 847 847 700 + 847 = 773,5 700)593 472 ≈ 7)5934 2 Квадратный корень из 593 472 равен 770,37, так что вы довольно близки к правильному решению. Но можно при- близиться еще больше. Как это сделать, покажет следующий прием. Обратите внимание, что первые две цифры 59 ближе к 64 (8 × 8), чем к 49 (7 × 7). Благодаря этому можно начать оценку с цифры 8 и продолжить, отталкиваясь от нее. Деление: Среднее: 741 741 800 + 741 = 770,5 800)593 472 ≈ 8)5934 2 142 Магия чисел Просто ради забавы сделаем что-нибудь с настоящей громадиной: извлечем квадратный корень из 28 674 529. Это не так трудно, как может показаться. Первый шаг — округле- ние до наибольшего ближайшего числа. В данном случае надо просто найти квадратный корень из 29. Деление: Среднее: 5,8 5 + 5,8 = 5,4 5)29,0 2 25 40 Все семизначные и восьмизначные числа имеют четырех- значные квадратные корни. Таким образом, 5,4 становится 5400 — это оценка. А более точный ответ — 5354,8. Неплохо! На этом мы завершим главу о приближенных оценках в математике. После выполнения упражнений, представлен- ных в ее конце, переходите к следующей главе о математике с ручкой и бумагой: вы научитесь записывать ответы в зада- чах быстрее, чем делали это раньше. Математическая дуэль Эвариста Галуа Т рагическая история французского математика Эвариста Га- луа (1811–1832), убитого в возрасте двадцати лет на дуэли из-за «печально известной кокетки», стала легендарной в исто- рии математики. Не по годам развитый блестящий студент, Га- луа заложил основу для раздела математики, известного как теория групп. Легенда гласит, что он изложил на бумаге эту теорию в ночь перед дуэлью, предвидя кончину и желая оста- вить свое наследие математическому сообществу. За несколь- ко часов до смерти 30 мая 1832 года Галуа написал Огюсту 143 Искусство приближенной оценки Шевалье: «Я сделал несколько новых открытий в анализе. Первое касается теории уравнений, остальные — интеграль- ных функций». После этого он попросил друга: «Обратитесь с публичной просьбой к Якоби или Гауссу, чтобы высказали свое мнение не по поводу истинности, а насчет важности этих теорем. Я надеюсь, что кому-нибудь покажется интересным и полезным разобраться в этом беспорядке». Романтическая легенда и историческая правда, однако, не всегда совпадают. То, что Галуа написал в ночь перед смер- тью, представляло собой исправления и редакторские правки в документах, принятых Академией наук задолго до этого. Бо- лее того, первоначальные документы Галуа были представлены за три года до дуэли, когда ему исполнилось всего семнадцать! Именно после этого он оказался втянутым в политический кон- фликт, был арестован, провел какое-то время в темнице и в ко- нечном счете ввязался в ссору из-за женщины и был убит. Осознавая свою преждевременную зрелость, Галуа отме- чал: «Я проводил исследования, которые остановят других ученых». На протяжении более чем ста лет так и происходило. |