Guide to Lightning

• Название: Guide to Lightning
• Дата: 15.11.2019
• Размер: 6.3 Mb.
• Имя файла: Bendzhamin_A._Magiya_chisel._Mentalnye_vychisleniya_v_ume_i_drug.pdf
• Тип: Guide; #95392
• страница: 12 из 21

10 → 1
617
→ 14
→ 5
+ 725 → 14
→ + 5
8651
29
↓
↓
20
11
↓
↓
2
2
* Точнее, из теории чисел, где используются так называемые срав- нения по модулю. Прим. ред.

157
Математика с ручкой и бумагой
Как показано выше, следующий шаг — сложение всех мо- дульных сумм 8 + 2 + 8 + 1 + 5 + 5. Получается 29, что дает модульную сумму 11, которая, в свою очередь, дает модуль- ную сумму 2. Обратите внимание, что модульная сумма числа
8651 тоже равняется 2. Это не совпадение! Если вы посчитали ответ и модульную сумму правильно, то ваша итоговая мо- дульная сумма должна быть такой же. Если они различаются, то вы определенно допустили где-то ошибку: существует ве- роятность (около 1 к 9), что совпадение модульных сумм будет случайным. При наличии ошибки этот метод позволит обна- ружить ее в 8 случаях из 9.
Метод модульных сумм больше известен математикам и бухгалтерам как «метод сравнений по модулю 9», потому что модульная сумма числа обычно равна остатку, получен- ному в результате деления на 9. В случае числа 8651 модульная сумма равна 2: если вы разделите 8651 на 9, то в ответе будет
961 с остатком 2. Существует одно небольшое исключение.
Напомним, что сумма цифр любого числа, кратного 9, тоже кратна 9. Значит, если число кратно 9, оно будет иметь модуль- ную сумму 9, даже если остаток равен 0.
ВЫЧИТАНИЕ НА БУМАГЕ
Нельзя вычитать столбцы чисел таким же способом, как скла- дывать. Предпочтительнее последовательно отнимать число за числом. Это означает, что все задачи на вычитание включа- ют лишь два числа. Еще раз повторю: с карандашом и бумагой легче вычитать справа налево. Чтобы проверить ответ, при- бавьте его ко второму числу. Если все правильно, то должно получиться вычитаемое число.

158
Магия чисел
Если хотите, то для проверки ответа можно использовать модульные суммы. Разница здесь (по сравнению со сложени- ем) в том, что нужно вычитать их и затем сравнить получен- ное число с модульной суммой ответа.
65 717 → 8
– 38 491 → – 7
27 226 → 1
↓
↓
19
→ 10
Существует еще одно ухищрение. Если разница модульных сумм отрицательна или равна 0, прибавьте к ней 9. Например:
42 689
2
– 18 764
– 8
23 925
– 6 + 9 = 3
↓
21
↓
3
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ НА БУМАГЕ
С появлением карманных калькуляторов метод ручки и бу- маги для вычисления квадратных корней практически ушел в небытие. Вы уже научились устно оценивать квадратные корни. Сейчас я покажу, как найти точное значение квадрат- ного корня с помощью ручки и бумаги.
Помните, как в разделе приближенной оценки квадратных корней мы вычисляли квадратный корень из девятнадцати?
Взглянем на задачу еще раз, используя метод, который даст вам точное значение квадратного корня.

159
Математика с ручкой и бумагой
4, 3 5 8
19,000000
4
2
= 16
8 ×
≤ 3 00
83 × 3
= 2 49
86 ×≤ 5100
865 × 5 = 4325
870 ×≤ 77500
8708 × 8 = 69664
Я опишу этот метод как универсальный, который годится для любой ситуации, и проиллюстрирую примером, приве- денным выше.
Шаг 1. Если количество цифр до десятичной запятой рав- но 1, 3, 5, 7 или любому другому нечетному числу, то первая цифра ответа (или частного) будет наибольшим числом, ква- драт которого меньше первой цифры исходного числа. Если количество цифр до запятой равно 2, 4, 6 или любому другому четному числу, то первая цифра частного будет наибольшим числом, квадрат которого меньше первых двух цифр делимо- го. В данном случае 19 — двузначное число, поэтому первая цифра частного будет наибольшим числом, квадрат которой меньше 19. Это число 4.
Шаг 2. Вычитаем квадрат числа, найденного на шаге 1, из исходного числа и затем сносим еще две цифры. Так как 4 2
=
= 16, вычитаем 19 – 16 = 3. Сносим два нуля, получая 300 в ка- честве текущего остатка.
Шаг 3. Удваиваем существующее частное (игнорируя зна- ки после запятой) и оставляем после него пустое место. Здесь
4 × 2 = 8. Запишите 8_ ×_ слева от текущего остатка (300 в дан- ном случае).

160
Магия чисел
Шаг 4. Следующая цифра частного будет наибольшим числом, которое может заполнить пропуски таким образом, чтобы результат умножения был меньше или равен текущему остатку. В данном случае это 3, поскольку 83 × 3 = 249, тогда как 84 × 4 = 336, что превышает остаток 300. Запишите это чис- ло в верхней строчке, где записываете ответ, над второй циф- рой следующих двух чисел; в данном случае цифра 3 будет находиться над вторым нулем. Теперь имеем ответ в виде 4,3.
Шаг 5. Если вы хотите получить больше цифр в ответе, вы- чтите произведение из остатка (например, 300 – 249 = 51) и сне- сите следующие две цифры; в данном случае 51 превратится в 5100, что станет текущим остатком. Теперь повторите шаги
3 и 4.
Для получения третьей цифры квадратного корня удвойте частное, снова игнорируя все цифры после запятой: 43 × 2 =
= 86. Поместите 86_ × _ слева от 5100. Цифра 5 даст нам 865 ×
× 5 = 4325, наибольшее произведение, которое меньше 5100.
Пятерка будет стоять в ответе сверху над следующими дву- мя числами, в данном случае над двумя нулями. Теперь ответ:
4,35. Для получения большего количества цифр после запятой повторите процедуру, как мы сделали в примере.
А вот пример нечетного количества цифр перед запятой.
2 8, 9 7
839,4000
2
2
= 4
4 ×≤ 439
48 × 8 = 384
56 ×≤ 55 40
569 × 9 = 51 21
578 ×≤ 4 1900
5787 × 7 = 4 0509

161
Математика с ручкой и бумагой
Теперь вычислим квадратный корень из четырехзначного числа. В данном случае (как и с двузначными числами) учи- тываем первые две цифры примера для определения первой цифры квадратного корня.
8 2, 0 6
6735,0000
8
2
= 64
16 ×≤ 335
162 × 2 = 324
164 ×≤ 11 00
1640 × 0 = 0
1640 ×≤ 11 0000
16406 × 6 = 9 8436
Наконец, если число, из которого извлекается квадрат- ный корень, имеет правильный (полный) квадрат, то узнать об этом можно, если в итоге получается нулевой остаток.
Например:
3, 3
10,89
3
2
= 9
6 ×≤ 1 89
63 × 3 = 1 89
0
УМНОЖЕНИЕ НА БУМАГЕ
Для умножения с ручкой и бумагой я использую метод
крест­накрест
, который позволяет записать весь ответ цели- ком в одну строчку и нигде не фиксировать промежуточные результаты! Это одна из самых впечатляющих демонстра- ций магии чисел, когда в вашем распоряжении есть ручка

162
Магия чисел и бумага. Многие вычислители из прошлого заработали себе репутацию «молниеносных» именно этим методом. Они полу- чали два огромных числа и записывали ответ почти мгновен- но. Методу крест-накрест лучше всего обучаться на примере.
47
× 34
1598
Шаг 1. Сначала умножьте 4 × 7 и получите 28, запишите
8 и мысленно перенесите 2 на следующее вычисление.
4
7
│
3
4
Шаг 2. Сложите 2 + (4 × 4) + (3 × 7) = 39, запишите 9 и мыс- ленно перенесите 3 на вычисления ниже.
4
7
3
4
Шаг 3. Закончите сложением 3 + (3 × 4) = 15 и запишите
15 для получения итогового ответа.
4
7
│
3
4
Вы только что записали ответ: 1598.
Решим другую задачу «2 на 2», используя метод крест- накрест.
83
× 65
5395

163
Математика с ручкой и бумагой
Последовательность шагов и схемы вычислений предста- вим следующим образом:
Шаг 1. 5 × 3 = 15
8
3
│
6
5
Шаг 2. 1 + (5 × 8) + (6 × 3) = 59
8
3
6
5
Шаг 3. 5 + (6 × 8) = 53
8
3
│
6
5
Ответ: 5395.
Метод крест-накрест немного усложняется в задачах типа
«3 на 3».
853
× 762
649 986
Процесс вычислений представлен ниже.
Шаг 1. 2 × 3 = 6
8
5
3
│
7
6
2
Шаг 2. (5 × 2) + (6 × 3) = 28
8
5
3
7
6
2
Шаг 3. 2 + (8 × 2) + (7 × 3) +
8
5
3
+ (5 × 6) = 69
│
7
6
2

164
Магия чисел
Шаг 4. 6 + (8 × 6) + (7 × 5) = 89
8
5
3
7
6
2
Шаг 5. 8 + (8 × 7) = 64
8
5
3
│
7
6
2
Ответ: 649 986.
Обратите внимание, что количество умножений в каждом шаге составляет 1, 2, 3, 2 и 1 соответственно. Математика, ле- жащая в основе метода крест-накрест, не более чем распреде- лительный закон. Например, 853 × 762 = (800 + 50 + 3) × (700 +
+ 60 + 2) = (3 × 2) + [(5 × 2) + (6 × 3)] × 10 + [(8 × 2) + (7 × 3) + (5 × 6)] ×
× 100 + [(8 × 6) + (7 × 5)] × 1000 + (8 × 7) × 10 000, что в точности соответствует вычислениям по методу крест-накрест.
Можно проверить ответ с помощью модульной суммы пу- тем перемножения модульных сумм двух чисел и вычисления модульной суммы получившегося в итоге числа. Сравните его с модульной суммой ответа. Если ответ правильный, то две модульные суммы должны совпадать. Например,
853
7
× 762
× 6
649 986
42
↓
↓
42
6
↓
6
Если модульные суммы не совпадают, вы допустили ошиб- ку. Данный метод распознает ее в среднем в 8 случаях из 9.

165
Математика с ручкой и бумагой
Что касается примера «3 на 2», процедура аналогичная, за исключением того, что вы рассматриваете сотни второго числа как нули:
846
× 037
31 302
Шаг 1. 7 × 6 = 42
8
4
6
│
0
3
7
Шаг 2. 4 + (4 × 7) + (6 × 3) = 50
8
4
6
0
3
7
Шаг 3. 5 + (8 × 7) + (0 × 6) +
8
4
6
+ (4 × 3) = 73
│
0
3
7
Шаг 4. 7 + (8 × 3) + (0 × 4) = 31
8
4
6
0
3
7
Шаг 5. 3 + (8 × 0) = 3
8
4
6
│
0
3
7
Ответ: 31 302.
Конечно, на практике, как правило, просто игнорируется умножение на нуль. Метод крест-накрест подойдет для реше- ния задач с любым количеством цифр в числе. Например, для решения задачи «5 на 5», которая приводится ниже, потребу- ется девять шагов. Количество умножений на каждом шаге будет 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 (в сумме 25).

166
Магия чисел
42 867
× 52 049
2 231 184 483
Шаг 1. 7 × 9 = 63
4
2
8
6
7
│
5
2
0
4
9
Шаг 2. 6 + (6 × 6) +
4
2
8
6
7
+ (4 × 7) = 88
5
2
0
4
9
Шаг 3. 8 + (8 × 9) +
4
2
8
6
7
+ (0 × 7) + (4 × 6) = 104
│
5
2
0
4
9
Шаг 4. 10 + (2 × 9) + (2 × 7) + 4
2
8
6
7
+ (4 × 8) + (0 × 6) = 74
5
2
0
4
9
Шаг 5. 7 + (4 × 9) + (5 × 7) + 4
2
8
6
7
+(4 × 2) +(2 × 6) +
│
+ (0 × 8) = 98
5
2
0
4
9
Шаг 6. 9 + (4 × 4) + (5 × 6) + 4
2
8
6
7
+ (0 × 2) + (2 × 8) = 71
5
2
0
4
9
Шаг 7. 7 + (0 × 4) + (5 × 8) + 4
2
8
6
7
+ (2 × 2) = 51
│
5
2
0
4
9
Шаг 8. 5 + (2 × 4) + (5 × 2) = 23 4
2
8
6
7
5
2
0
4
9

167
Математика с ручкой и бумагой
Шаг 9. 2 + (5 × 4) = 22
4
2
8
6
7
│
5
2
0
4
9
Ответ: 2 231 184 483.
Вы можете проверить ответ, используя метод модульных сумм.
42 867 → 9
× 52 049 → × 2
2 231 184 483
18
↓
↓
36
9
↓
9
Шакунтала Деви: это не поддается расчету!
В
1976 году New York Times сообщила, что индийская жен щина по имени Шакунтала Деви (р. 1939) сложила
25 842 + 111 201 721 + 370 247 830 + 55 511 315, а затем ум- ножила полученную сумму на 9878 и дала правильный ответ
5 559 369 456 432 менее чем за двадцать секунд. С трудом ве- рится, однако, что необразованная дочь обедневших родите- лей сделала себе имя в Соединенных Штатах Америки и Евро- пе в качестве молниеносного вычислителя.
К сожалению, большинство по-настоящему удивительных подвигов Деви, которые были совершены благодаря малень- ким хитростям, скудно документированы. Ее величайшее за- явленное достижение — умножение на время двух тринад- цатизначных чисел на бумаге — появилось в Книге рекордов
Гиннесса как пример «человека-компьютера». Однако вре- мя вычислений в лучшем случае вызывает сомнения. Деви,

168
Магия чисел мастер метода крест-накрест, перемножила 7 686 369 774 870 ×
× 2 465 099 745 799 — числа, как сообщается, сгенерирован- ные случайным образом в компьютерном отделе Имперского колледжа в Лондоне 18 июня 1980 года. Правильный ответ
(18 947 668 177 995 426 773 730) был, якобы, воспроизведен ею за невероятные двадцать секунд. Гиннесс предлагает следую- щую оговорку: «Некоторые видные математики ставят под со- мнение условия, при которых это было достигнуто и предска- зывают, что для нее повторить такой подвиг под чрезвычайно строгим наблюдением было бы невозможно». Поскольку Деви предстояло решить 169 задач на умножение и 167 на сложение, то есть в общей сложности выполнить 336 операций, то она должна была бы производить каждый расчет в пределах деся- той доли секунды без ошибок, затрачивая время на то, чтобы записать все 26 цифр ответа. Время вычисления само по себе возводит данный рекорд в категорию «это не поддается под- счету!».
Несмотря на это, Деви подтвердила свои способности пу- тем выполнения быстрых расчетов и даже написала об этом книгу.
МЕТОД СРАВНЕНИЙ ПО МОДУЛЮ ОДИННАДЦАТИ
Чтобы перепроверить полученный ответ другим способом, можно использовать метод, известный как сравнение по моду­
лю 11
. Он похож на метод сравнения по модулю 9 за исключе- нием того, что здесь вы сокращаете число, поочередно вычи- тая и прибавляя цифры справа налево, игнорируя десятичную запятую. Если результат отрицательный, к нему надо приба- вить одиннадцать. (Вам может показаться заманчивым скла- дывать и вычитать слева направо, как в случае с модульны- ми суммами, но чтобы метод работал, необходимо это делать справа налево.)

169
Математика с ручкой и бумагой
Например:
234,87 → 7 – 8 + 4 – 3 + 2 = 2 → 2
+ 58,61 → 1 – 6 + 8 – 5
= – 2 → 9
293,48 → 8 – 4 + 3 – 9 + 2 = 0 → 11 → 0
Этот же метод применим и для задач на вычитание:
65,717 → 14
→ 3
– 38,491 → – (– 9) → + 9
27,226
→
12 → 1
↓
1
Точно так же он работает и для задач на умножение:
853 → 6
× 762 → × 3
649 986 → 18
↓
↓
– 4 (+ 11)
7
↓
7
Если модульные числа не совпадают, значит, где-то допу- щена ошибка. Но даже если они совпадают, ошибка не исклю- чена. В среднем этот метод распознает ошибку в 10 случаях из 11. Поэтому она имеет шанс пробраться сквозь караул чис- ла одиннадцать (1 к 11) и числа девять (1 к 9), и только с шан- сом 1 к 99 будет незамеченной при использовании обоих типов проверки. За дополнительной информацией об этих и других очаровательных волшебных приемах предлагаю обратить- ся к любой из книг Мартина Гарднера по «занимательной математике»
*
* См., например: Гарднер М. Математические головоломки и развле- чения. М. : АСТ, Зебра, 2010. Прим. ред.

170
Магия чисел
Итак, теперь вы готовы к последней задаче на умножение в этой книге, решаемой с помощью ручки и бумаги: «10 на 10»!
Хотя в ней отсутствует какая-либо практическая ценность, кроме возможности покрасоваться! (Лично мне кажется, что умножение пятизначных чисел уже и так достаточно впечат- ляющее действо, особенно с тех пор, как их решение перешло в сферу ответственности калькуляторов.) Я представлю здесь этот пример только для того, чтобы доказать: это выполнимо.
Перекрестные умножения следуют тем же базовым схемам, что и при решении задачи «5 на 5». Вам предстоит девятнад- цать шагов с вычислениями, а на десятом шаге — целых 10 пе- рекрестных умножений! Поехали!