Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
1 = 0,09 = 0,0909...; 11 2 = 0,18 = (2 × 0,0909); 11 3 = 0,27 = (3 × 0,0909); 11 6 = 0,54; 11 7 = 0,63; 11 8 = 0,72; 11 4 = 0,36; 11 5 = 0,45; 11 9 = 0,81; 11 10 = 0,90. 11 Дроби со знаменателем 7 действительно выдающиеся. Как только вы запомните, что 1 = 0,142857 7 , то сможете без труда получить значения других дробей с 7 в знаменателе. 1 = 0,142857; 7 2 = 0,285717; 7 3 = 0,428571; 7 4 = 0,571428; 7 5 = 0,714285; 7 6 = 0,757142. 7 117 Разделяй и властвуй: деление в уме Обратите внимание, что последовательность цифр в пери- оде циклически повторяется в каждой дроби, при этом изме- няется лишь начальная цифра последовательности. Ее мож- но определить путем умножения 0,14 на числитель дроби. Например, для дроби 2/7 имеем 2 × 0,14 = 0,28. Поэтому по- следовательность должна начинаться с 2. Для дроби 3/7 это 3 × 0,14 = 0,42, значит, последовательность начинается с 4. Другие дроби подчиняются тому же правилу. Конечно, в процессе решения разнообразных задач вы обязательно столкнетесь с дробями, превышающими 10/11. Поэтому постоянно обдумывайте способы упрощения таких задач. Например, можно упростить дробь 18/34 путем деле- ния числителя и знаменателя на 2, чтобы сократить задачу до 9/17 (ее будет легче решить). Если знаменатель дроби — четное число, можно упростить дробь, уменьшив ее вдвое, даже если числитель нечетный. Например, 9 = 4,5 14 7 Деление числителя и знаменателя на 2 сведет проблему к дроби с семеркой в знаменателе. Хотя ранее показанная по- следовательность дробей не предоставляет десятичного вари- анта для дроби 4,5/7, как только вы начнете считать, заученное число неожиданно всплывет в памяти. 0,6428571 7)4,5000000 – 4,2 3 Как видите, вам не пришлось решать задачу целиком. Стоит вам разделить 3 на 7, и вы точно произведете огромное 118 Магия чисел впечатление на публику, отбарабанив этот длинный набор цифр почти мгновенно! * Когда делитель заканчивается на 5, то почти всегда умно- жение на 2, а потом деление на 10 оправдывает себя. Например: 29 45 = 58 90 = 5,8 9 = 0,644. ×2 ÷10 Числа, которые заканчиваются на 25 или 75, надо сначала умножить на 4 и затем разделить на 100. 31 25 = 124 100 = 1,24 ×4 ÷100 62 75 = 248 300 = 2,48 3 = 0,8266. ×4 ÷100 Этот трюк можно применять даже в середине расчетов. Если вам нужно вычислить дробь 3/16, произойдет вот что: 0,1 16)3,000 – 16 14 Как только задача сведется к вычислению 14/16, можно привести ее к виду 7/8, что, как известно, равняется 0,875. Отсюда 3/16 = 0,1875 ** * Вычисления происходят следующим образом: 4,5/7 = 4,2/7 + 0,3/7 = = 0,6 + 0,1 х 3/7 = 0,6 + 0,1 х 0,428571 = 0,6 + 0,0428571 = 0,6428571. Прим. ред. ** Здесь вычисления вновь требуют пояснений: 3/16 = 0,1 х 30/16 = = 0,1 х 15/8 = 0,1 х (1 + 7/8) = 0,1 + 0,1 х 7/8 = 0,1 + 0,1 х 0,875 = 0,1 + + 0,0875 = 0,1875. Прим. ред. 119 Разделяй и властвуй: деление в уме УПРАЖНЕНИЕ: ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ДЕСЯТИЧНОЙ ФОРМЕ Чтобы решить следующие задачи, не забудьте использовать полученные знания о десятичном виде различных «одноциф- ровых» дробей. Везде, где это целесообразно, упрощайте дро- би, прежде чем преобразовать их в десятичные. 1. 2/5 2. 4/7 3. 3/8 4. 9/12 5. 5/12 6. 6/11 7. 14/24 8. 13/27 9. 18/48 10. 10/14 11. 6/32 12. 19/45 ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ В последнем разделе мы узнали, как упростить задачи на де- ление, если числитель и знаменатель поделить на общий множитель. В завершение этой главы обсудим, как опреде- лить, является ли одно число делителем другого. Это помо- жет упростить задачу на деление и ускорить процесс реше- ния многих задач на умножение, а также пригодится, когда мы доберемся до продвинутого умножения, где часто придет- ся искать способы разложить на множители двух-, трех- или даже пятизначные числа. Умение делать это окажется весьма полезным. Проверить, делится ли число на 2, довольно просто. Вам нужно только определить, является ли последняя цифра чет- ной. Если это 2, 4, 6, 8 или 0, то число целиком делится на 2. Чтобы протестировать число на делимость на 4, проверьте, делятся ли на 4 две его последние цифры. Число 57 852 кратно 4, потому что 52 = 13 × 4. Число 69 346 не кратно 4, поскольку 46 не делится на 4 без остатка. Это правило работает потому, что 4 делит 100 и, следовательно, любое число, кратное 100. 120 Магия чисел Таким образом, поскольку 57 800 и 52 делятся на 4, то 4 поде- лит и их сумму, то есть 57 852. Аналогично, так как 1000 делится на 8, для проверки крат- ности 8 достаточно выяснить, делятся ли на 8 последние три цифры числа. Например, для 14 918 надо проверить число 918 на делимость на 8. Однако при делении 918 на 8 имеем остаток (918 ÷ 8 = 114 6/8), из чего делаем вывод, что число 14 918 на 8 не делится. Можно также заметить, что 18 (две последние циф- ры числа 14 918) не делится на 4, а так как 14 918 не делится на 4, оно не может делиться и на 8. Когда дело доходит до делимости на 3, предлагаю запом- нить одно простое правило: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр делится на 3 (не- зависимо от того, сколько цифр в числе). Чтобы выяснить, де- лится ли 57 852 на 3, просто сложите 5 + 7 + 8 + 5 + 2 = 27. Так как 27 кратно 3, то и 57 852 будет кратно 3. Столь же удивитель- ное правило справедливо и для делимости на 9. Число делит- ся на 9 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр кратна 9. Поэтому 57 852 кратно 9, тогда как число 31 416, сумма цифр которого равна 15, на 9 не делится. Объясняется это правило тем, что числа 1, 10, 100, 1000, 10000 и т. д. всегда на единицу больше кратного 9. Число делится на 6 только в том случае, если оно четное и делится на 3. Так что кратность 6 легко проверить. Установить, делится ли число на 5, еще проще. Любое чис- ло, независимо от величины, кратно 5 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 или 0. Выяснить делимость на 11 почти так же просто, как на 3 или на 9. Число делится на 11 тогда и только тогда, ког- да в результате попеременного вычитания и сложения со- ставляющих его цифр вы получите либо 0, либо кратное 11. 121 Разделяй и властвуй: деление в уме Например, 73 958 не делится на 11, потому что 7 – 3 + 9 – 5 + + 8 = 16. Однако числа 8 492 и 73 194 кратны 11, так как 8 – 4 + + 9 – 2 = 11 и 7 – 3 + 1 – 9 + 4 = 0. Это правило работает потому, что числа 1, 100, 10 000, 1 000 000 на единицу больше кратно- го 11, в то время как числа 10, 1000, 100 000 и т. д. на единицу меньше величины, кратной 11. Проверка делимости на 7 несколько сложнее. Если вы прибавите (или вычтите) число, кратное 7, к проверяемому (или из проверяемого) и полученный результат будет делить- ся на 7, ответ положительный. Я всегда выбираю такое при- бавляемое или вычитаемое кратное 7, чтобы в итоге сумма или разность заканчивалась на 0. Например, для проверки числа 5292 я вычитаю 42 (кратное 7), чтобы получить 5250. Далее избавляюсь от 0 на конце (так как деление на десять не влияет на проверку делимости на семь), получая в итоге 525. Затем повторяю процесс, прибавляя 35 (кратное 7), что дает мне 560. Когда я удалю 0, то останусь с числом 56, ко- торое, как мне известно, кратно 7. Таким образом, исходное число 5292 делится на 7. Этот метод работает не только для 7, но и для любого не- четного числа, кроме оканчивающегося на 5. Например, чтобы проверить, делится ли 8792 на 13, вычитаем 4 × 13 = = 52 из 8792 и получаем 8740. Опуская 0, имеем 874. Затем при- бавляем 2 × 13 = 26, выходит 900. Удаление двух нулей остав- ляет нас с числом 9, которое, очевидно, не кратно 13. Таким образом, 8792 не делится на 13. УПРАЖНЕНИЕ: ПРОВЕРКА НА ДЕЛИМОСТЬ В этом упражнении будьте особенно внимательны при про- верке делимости на 7 и 17. Остальное не должно представлять для вас трудностей. 122 Магия чисел Делимость на 2 1. 53 428 2. 293 3. 7241 4. 9846 Делимость на 4 5. 3932 6. 67 348 7. 358 8. 57 929 Делимость на 8 9. 59 366 10. 73 488 11. 248 12. 6111 Делимость на 3 13. 83 671 14. 94 737 15. 7359 16. 3 267 486 Делимость на 6 17. 5334 18. 67 386 19. 248 20. 5991 Делимость на 9 21. 1234 22. 8469 23. 4 425 575 24. 314 159 265 Делимость на 5 25. 47 830 26. 43 762 27. 56 785 28. 37 210 Делимость на 11 29. 53 867 30. 4969 31. 3828 32. 941 369 Делимость на 7 33. 5784 34. 7336 35. 875 36. 1183 Делимость на 17 37. 694 38. 629 39. 8273 40. 13 855 123 Разделяй и властвуй: деление в уме ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ Если вы в состоянии управиться с целыми числами, то ариф- метические действия с дробями покажутся вам почти такими же легкими. В этом разделе мы сделаем обзор основных мето- дов сложения, вычитания, умножения, деления и сокращения обыкновенных дробей. Те, кто знаком с дробями, могут спо- койно его пропустить. Умножение обыкновенных дробей Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, нужно просто перемножить их числители (верхние числа), а затем знамена- тели (нижние числа). Например: 2 × 4 = 8 ; 3 5 15 1 × 5 = 5 . 2 9 18 Что может быть проще! Попробуйте следующие упражне- ния, прежде чем двигаться дальше. УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ 1. 3 × 2 5 7 2. 4 × 11 9 7 3. 6 × 3 7 4 4. 9 × 7 10 8 Деление обыкновенных дробей Деление дробей столь же легкое, как и умножение. Однако оно требует одного дополнительного действия. Сначала перевер- ните вторую дробь с ног на голову (это называется обратная дробь), а затем умножайте. Например, обратная дробь для 4/5 будет 5/4. Следовательно, 2 ÷ 4 = 2 × 5 = 10 . 3 5 3 4 12 1 ÷ 5 = 1 × 9 = 9 . 2 9 2 5 10 124 Магия чисел 2 ÷ 4 = 2 × 5 = 10 . 3 5 3 4 12 1 ÷ 5 = 1 × 9 = 9 . 2 9 2 5 10 УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ Теперь ваша очередь. Поделите эти дроби. 1. 2 ÷ 1 5 2 2. 1 ÷ 6 3 5 3. 2 ÷ 3 5 5 Сокращение обыкновенных дробей Дроби можно рассматривать как маленькие задачки на деле- ние. Например, 6/3 то же самое, что и 6 ÷ 3 = 2. Дробь 1/4 то же самое, что и 1 ÷ 4 (или 0,25 в десятичной форме). Известно, что если умножить любое число на 1, то это число не изменится. Например, 3/5 = 3/5 × 1. Но если заменить 1 дробью 2/2, то по- лучим 3/5 = 3/5 × 1 = 3/5 × 2/2 = 6/10. Следовательно, 3/5 = 6/10. По такому же принципу, заменив 1 дробью 3/3, получим 3/5 = = 3/5 × 3/3 = 9/15. Другими словами, если мы умножаем числи- тель и знаменатель на одно и то же число, то получаем дробь, равную исходной. Вот еще пример: 2 = 2 × 5 = 10 . 3 3 5 15 Верно и то, что, деля числитель и знаменатель на одинако- вое число, мы получаем дробь, равную исходной. Например: 4 = 4 ÷ 2 = 2 . 6 6 2 3 25 = 25 ÷ 5 = 5 . 35 35 5 7 Это сокращение дроби. 125 Разделяй и властвуй: деление в уме УПРАЖНЕНИЕ: СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ Найдите дробь со знаменателем 12, равную дробям, представ- ленным ниже. 1. 1/3 2. 5/6 3. 3/4 4. 5/2 Сокращение дробей. 5. 8/10 6. 6/15 7. 24/36 8. 20/36 Сложение дробей Это действие можно считать простым, когда знаменатели рав- ны. В этом случае складываются числители и сохраняется прежний знаменатель. Например: 3 + 1 = 4 ; 5 5 5 4 + 2 = 6 . 7 7 7 Иногда можно упростить ответ. Например: 1 + 5 = 6 = 3 . 8 8 8 4 УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ (С РАВНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ) 1. 2 + 5 9 9 2. 5 + 4 12 12 3. 5 + 6 18 18 4. 3 + 3 10 10 Более коварный случай — различные знаменатели. Ког- да знаменатели не равны, нужно заменить исходные дроби дробями с равными знаменателями. 126 Магия чисел Например, сложите 1 + 2 . 3 15 Заметим, что 1 = 5 . 3 15 Поэтому 1 + 2 = 5 + 2 = 7 . 3 15 15 15 15 При сложении 1 + 7 . 2 8 Замечаем, что 1 = 4 . 2 8 Тогда 1 + 7 = 4 + 7 = 11 . 2 8 8 8 8 При сложении 1 + 2 . 3 5 Видим, что 1 = 5 3 15 2 = 6 . 5 15 и В итоге 1 + 2 = 5 + 6 = 11 . 3 5 15 15 15 127 Разделяй и властвуй: деление в уме УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ (С НЕРАВНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ) 1. 1 + 1 5 10 2. 1 + 5 6 18 3. 1 + 1 3 5 4. 2 + 5 7 21 5. 2 + 3 3 4 6. 3 + 3 7 5 7. 2 + 5 11 9 Вычитание дробей Вычитание дробей похоже на их сложение. Мы покажем это действие на примерах и обеспечим вас тренировочными упражнениями. 3 – 1 = 2 ; 5 5 5 4 – 2 = 2 ; 7 7 7 5 – 1 = 4 = 1 ; 8 8 8 2 1 – 2 = 5 – 3 15 15 2 = 3 = 1 ; 15 15 5 7 – 1 = 7 – 8 2 8 4 = 3 ; 8 8 1 – 7 = 4 – 2 8 8 7 = –3 ; 8 8 2 – 1 = 8 – 7 4 28 7 = 1 ; 28 28 2 – 5 = 16 – 3 8 24 15 = 1 . 24 24 УПРАЖНЕНИЕ: ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ 1. 8 – 3 11 11 2. 12 – 8 7 7 3. 13 – 5 18 18 4. 4 – 1 5 15 5. 9 – 3 10 5 6. 3 – 2 4 3 7. 7 – 1 8 16 8. 4 – 2 7 5 9. 8 – 1 9 2 128 Глава 5 Искусство приближенной оценки До сих пор вы совершенствовали ментальные техники, не- обходимые для получения точных ответов в математических задачах. Однако часто бывает достаточно приблизительной оценки решения. Скажем, вы получаете расценки различных кредиторов рефинансирования кредита за ваш дом. Все, что вам действительно понадобится на данном этапе сбора ин- формации, — это приблизительно оценить размер ежемесяч- ного платежа. Или, скажем, вы оплачиваете счет в ресторане вместе с компанией друзей и не хотите вычислять в нем долю каждого до последней копейки. Методы приближенной оцен- ки, описанные в данной главе, сделают обе эти задачи (и мно- гие другие аналогичные) вполне решаемыми. Сложение, вы- читание, деление и умножение — все поддается приближен- ной оценке. Как обычно, мы будем выполнять расчеты слева направо. ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА В СЛОЖЕНИИ Приближенная оценка — хороший способ облегчить себе жизнь, когда при решении задачи список чисел для запоми- нания становится слишком длинным. Трюк сводится к окру- глению исходных чисел в бо 2льшую или меньшую сторону. 129 Искусство приближенной оценки 8365 8000 + 5819 ≈ + 6000 14 186 14 000 (≈ приближенные значения) Джордж Биддер: инженер«калькулятор» У англичан тоже была своя когорта мастеров молниеносных вычислений. Например, устные выступления Джорджа Биддера (1806–1878), уроженца Девоншира, производили на зрителей неизгладимое впечатление. Как и большинство математических талантов, Биддер увлекся арифметическими задачами, еще будучи мальчишкой, и учился счету, сложению, вычитанию, умножению и делению в процессе игры с мрамор- ными шариками. На гастроли со своим отцом юный Биддер отправился в возрасте девяти лет. Почти ни один из задаваемых вопросов не был для него сложным. «Если Луна находится на расстоянии 123 256 миль от Земли, а звук движется со скоростью четыре мили в минуту, сколько времени понадобится звуку для путешествия с Земли на Луну?» Молодой Биддер, сморщив ненадолго в раздумье лоб, выпалил: «Двадцать один день, девять часов, тридцать четыре минуты». (Сегодня-то мы знаем, что это расстояние чуть ближе к 240 000 милям, а звук не может перемещаться через вакуум.) В десять лет Биддер мысленно извлек квадрат- ный корень из 119 550 66 121, получив ответ 345 761 всего за 30 секунд. В 1818 году Биддер и молниеносный вычисли- тель из США Зера Колберн сошлись в ментальной счетной ду- эли, в которой Биддер, по-видимому, «численно» превзошел Колберна. На волне славы Джордж Биддер поступил в университет Эдинбурга и впоследствии стал одним из наиболее уважае- мых инженеров в Англии. В парламентских дебатах по поводу 130 Магия чисел железнодорожных конфликтов Биддер часто выступал в каче- стве свидетеля, от чего его оппонентов бросало в дрожь. Кто- то сказал: «Природа наделила его определенными качествами, которые лишали его соперников справедливого положения». В отличие от Колберна, покинувшего семейство молниеносных вычислителей в возрасте двадцати лет, Биддер сохранял свой статус на протяжении всей жизни. Так, в 1878 году, незадолго до смерти, Биддер рассчитал число световых волн, попадаю- щих в глаз за одну секунду, основываясь на том, что существует 36 918 волн красного света на дюйм и что свет передвигается со скорость примерно 190 тысяч миль в секунду. Обратите внимание: мы округлили первое число в бо 2ль- шую сторону до ближайшей тысячи, а второе — в меньшую, тоже до ближайшей тысячи. Так как точный ответ равен 14 186, погрешность относительно мала. Если хотите получить более точный ответ, вместо того что- бы округлять в сторону ближайшей тысячи, округляйте в сто- рону ближайшей сотни. |