Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
85 × 29 × 18 × 17 × 42 9. 33 10. 62 11. 45 12. 48 × 16 × 77 × 36 × 37 ТВОРЧЕСКИЙ ПОДХОД К УМНОЖЕНИЮ Я уже упоминал в начале главы, что решать задачи на умноже- ние — одно удовольствие, так как это можно сделать любым количеством способов. Теперь, когда вы поняли, что я имею в виду, применим все три метода, приведенные в этой главе, к одной задаче. Начнем с метода сложения. 91 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня 73 (70 + 3) × 49 70 × 49 = 3430 3 × 49 = + 147 3577 Теперь метод вычитания. 73 × 49 (50 – 1) 50 × 73 = 3650 –1 × 73 = – 73 3577 Обратите внимание, что две последние цифры могут быть получены путем сложения 50 + (дополнение для 73), то есть 50 + 27 = 77, или путем вычисления дополнения для разности 73 и 50; дополнение для 23 = 77. И наконец, метод разложения: 73 × 49 = 73 × 7 × 7 = 511 × 7 = 3577. Поздравляю! Вы освоили умножение типа «2 на 2» и теперь обладаете всеми необходимыми базовыми навыками для бы- стрых устных вычислений. Все, что вам нужно для превраще- ния в молниеносного вычислителя, — это больше практики! УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 2» ЛЮБЫМ СПОСОБОМ! У этих упражнений есть несколько вариантов решения. По- пробуйте выполнять вычисления столькими способами, сколько вспомните. Затем сверьте свои ответы с данными в конце книги. Наши ответы предлагают различные магиче- ские пути решения задач, начиная с самых простых. 92 Магия чисел 1. 53 2. 81 3. 73 4. 89 5. 77 × 39 × 57 × 18 × 55 × 36 6. 92 6. 87 8. 67 9. 56 10. 59 × 53 × 87 × 58 × 37 × 21 Следующие задачи типа «2 на 2» представляют собой под- задачи более сложных задач типа «3 на 2», «3 на 3» и «5 на 5», с которыми вы встретитесь позже. Вы можете решать их сей- час, чтобы поупражняться, а затем снова обратиться к ним, когда они будут включены в большие примеры. 11. 37 12. 57 13. 38 14. 43 15. 43 × 72 × 73 × 63 × 76 × 75 16. 74 17. 61 18. 36 19. 54 20. 53 × 62 × 37 × 41 × 53 × 53 21. 83 22. 91 23. 52 24. 29 25. 41 × 58 × 46 × 47 × 26 × 15 26. 65 27. 34 28. 69 29. 95 30. 65 × 19 × 27 × 78 × 81 × 47 31. 65 32. 95 33. 41 × 69 × 26 × 93 ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ Возведение в квадрат трехзначных чисел — впечатляющее проявление искусности в ментальном фокусничестве. Так же как при возведении в квадрат двузначного числа выполня- ется его округление в большую или меньшую сторону для 93 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня получения кратного 10, для возведения трехзначного числа в квадрат его нужно округлить в большую или меньшую сторо- ну для получения кратного 100. Возведем в квадрат число 193. +7 200 193 2 37 200 + 7 2 = 37 249. –7 186 Путем округления 193 до 200 (второй сомножитель стал рав- ным 186) задача типа «3 на 3» преобразовалась в более простую типа «3 на 1», так как 200 × 186 — это всего лишь 2 × 186 = 372 с двумя нулями в конце. Почти готово! Теперь все, что нужно сделать, это прибавить 7 2 = 49 и получить ответ — 37 249. Попробуем возвести в квадрат 706. +6 712 706 2 498 400 + 6 2 = 498 436. –6 700 При округлении числа 706 до 700 необходимо еще и изме- нить это же число на 6 в большую сторону для получения 712. Так как 712 × 7 = 4984 (простая задача типа «3 на 1»), 712 × 700 = = 498 400. Прибавив 6 2 = 36, получаем 498 436. Последние примеры не так уж страшны, потому что не включают в себя сложения как такового. Кроме того, вы наизусть знаете, чему равняются 6 2 и 7 2 . Возводить в квадрат число, которое отстоит от кратного 100 больше чем на 10 еди- ниц, значительно труднее. Попробуйте свои силы с 314 2 +14 328 314 2 98 400 + 14 2 = 98 596. –14 300 +4 18 (14 2 180 + 4 2 = 196) –4 10 94 Магия чисел В этом примере число 314 уменьшилось на 14 ради окру- гления до 300 и увеличилось на 14 до 328. Умножаем 328 × 3 = = 984 и добавляем два нуля в конце, чтобы получить 98 400. Затем прибавляем квадрат 14. Если вам мгновенно прихо- дит на ум (благодаря памяти или быстрым вычислениям), что 14 2 = 196, то вы в хорошей форме. Далее просто сложи- те 98 400 + 196 для получения окончательного ответа 98 596. Если вам нужно время для подсчета 14 2 , повторите «98 400» несколько раз, прежде чем продолжить. Иначе можно вы- числить 14 2 = 196 и забыть, к какому числу нужно прибавить произведение. Чем дальше число, возводимое в квадрат, отстоит от крат- ного 100, тем сложнее становятся вычисления. Попробуйте возвести в квадрат 529. +29 558 529 2 279 000 + 29 2 = 279 841. –29 500 +1 30 (29 2 840 + 1 2 = 841) –1 28 Если у вас есть аудитория, которую вы хотели бы впечат- лить, можете произнести вслух «279 000», прежде чем найдете 292. Но такое не пройдет в случае каждой решаемой задачи. Например, попытайтесь возвести в квадрат 636. +36 672 636 2 403 200 + 36 2 = 404 496. –36 600 +4 40 (36 2 1280 + 4 2 = 1296) –4 32 95 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, не правда ли? Не забывайте повторять «403 200» самому себе несколько раз, пока будете возводить в квадрат привычным способом 36, чтобы получить 1296. Самое сложное — суммировать 1296 + + 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и получите ответ 404 496. Даю слово, что, как только вы лучше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, за- дачки с трехзначными значительно упростятся. Вот еще более сложный пример: 863 2 900 863 2 8(?) Первая проблема — надо решить, какие числа перемно- жать. Несомненно, одно из них будет 900, а другое — больше 800. Но какое именно? Это можно рассчитать двумя способами. 1. Сложный способ: разность между 863 и 900 составляет 37 (дополнение для 63), вычитаем 37 из 863 и получаем 826. 2. Легкий способ: удваиваем число 63, получаем 126, теперь последние две цифры этого числа прибавляем к числу 800, что в итоге даст 826. Вот как работает легкий способ. Поскольку оба числа име- ют одинаковую разность с числом 863, их сумма должна рав- няться удвоенному числу 863, то есть 1726. Одно из чисел 900, значит, другое будет равно 826. Затем проводим следующие вычисления. +37 900 863 2 743 400 + 37 2 = 744 769. –37 826 +3 40 (37 2 1360 + 3 2 = 1369) –3 34 96 Магия чисел Если вам трудно вспомнить число 743 400 после возведе- ния в квадрат числа 37, не расстраивайтесь. В следующих гла- вах вы узнаете систему мнемотехники и научитесь запоми- нать такие числа. Попробуйте свои силы на самой трудной пока задаче — на возведении в квадрат числа 359. +41 400 359 2 127 200 + 41 2 = 128 881. –41 318 +1 42 (41 2 1680 + 1 2 = 1681) –1 40 Для получения 318 либо отнимите 41 (дополнение для 59) от 359, либо умножьте 2 × 59 = 118 и используйте последние две цифры. Далее умножьте 400 × 318 = 127 200. Прибавление к этому числу 412 = 1681 даст в сумме 128 881. Вот и все! Если вы сделали все правильно с первого раза, вы молодец! Завершим этот раздел большой, но легкой задачей: вычис- лим 987 2 +13 1000 987 2 974 000 + 13 2 = 974 169. –13 974 +3 16 (13 2 160 + 3 2 = 169) –3 10 УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ 1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2 5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2 9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2 97 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня Что за дверью номер 1? М атематической банальностью 1991 года, которая постави- ла всех в тупик, оказалась статья Мэрилин Савант — жен- щины с самым высоким в мире IQ (что зарегистрировано в Кни- ге рекордов Гиннесса ) — в журнале Parade. Этот парадокс стал известен как «проблема Монти Холла», и заключается он в следующем. Вы участник шоу Монти Холла «Давайте совершать сдел- ки» (Let’s Make a Deal). Ведущий дает вам возможность выбрать одну из трех дверей, за одной из которых находится большой приз, за двумя другими — козы. Допустим, вы выбираете дверь № 2. Но прежде чем показать, что скрывается за этой две- рью, Монти открывает дверь № 3. Там коза. Теперь в своей дразнящей манере Монти спрашивает вас: вы хотите открыть дверь № 2 или рискнете посмотреть, что находится за дверью № 1? Что вам следует сделать? Если предположить, что Мон- ти собирается подсказать вам, где нет главного приза, то он всегда будет открывать одну из «утешительных» дверей. Это оставляет вас перед выбором: одна дверь с большим призом, а вторая — с утешительным. Сейчас ваши шансы составляют 50 на 50, не так ли? А вот и нет! Шанс, что вы правильно выбрали в первый раз, по-прежнему 1 к 3. Вероятность того, что большой приз ока- жется за другой дверью, увеличивается до 2/3, потому что ве- роятности в сумме должны давать 1. Таким образом, изменив свой выбор, вы удвоите шансы на выигрыш! (В задаче предполагается, что Монти всегда будет давать игроку возможность сделать новый выбор, показывая «невыигрышную» дверь, и, когда ваш первый выбор окажется правильным, откроет «невыигрышную» дверь наугад.) Пораз- мышляйте об игре с десятью дверями. Пусть после вашего пер- вого выбора ведущий откроет восемь «невыигрышных» две- рей. Здесь ваши инстинкты, скорее всего, потребуют поменять дверь. Люди обычно ошибаются, думая, что если Монти Холл 98 Магия чисел не знает, где главный приз, и открывает дверь № 3, за которой оказывается коза (хотя мог бы быть и приз), то дверь № 1 с ве- роятностью в 50 процентов будет нужной. Такое рассуждение противоречит здравому смыслу, тем не менее Мэрилин Савант получила груды писем (многие от ученых, и даже математиков), в которых говорилось, что ей не следовало писать о математи- ке. Конечно, все эти люди были неправы. ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ Мы закончим эту главу новым методом возведения в куб двузначных чисел. (Воскресите в памяти тот факт, что куб числа — это число, умноженное на себя дважды. Например, 5 в кубе (обозначается 5 3 ) будет равно 5 × 5 × 5 = 125.) Как вы убедитесь, это не намного сложнее, чем умножение двузнач- ных чисел. Метод основан на алгебраическом соотношении A 3 = ( A – d)A(A + d) + d 2 A, где d — любое число. Как и при возведении в квадрат двузнач- ных чисел, я стараюсь выбрать такое d, чтобы при его сложе- нии (или вычитании) получить число, как можно более близ- кое к кратному десяти. Например, при возведении в куб числа 13, d = 3, в результате получается: 13 3 = ((13 – 3) × 13 × (13 + 3)) + (3 2 × 13). Поскольку 13 × 16 = 13 × 4 × 4 = 52 × 4 = 208 и 9 × 13 = 117, то мы имеем: 13 3 = 2080 + 117 = 2197. Как насчет куба 35? Принимая d = 5, получим: 35 3 = (30 × 35 × 40) + (5 2 × 35). 99 Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня Так как 30 × 35 × 40 = 30 × 1400 = 42 000 и 35 × 5 × 5 = 175 × × 5 = 875, имеем 35 3 = 42 000 + 875 = 42 875. При возведении 49 в куб задаем d = 1 с целью округления этого числа до 50. Тогда 49 3 = (48 × 49 × 50) + (12 × 49). Можно умножить 48 × 49 с помощью метода разложения, но для задач такого типа я предпочитаю метод совместной близости, который будет описан в главе 8. (Можете забежать вперед и взглянуть на него уже сейчас, если хотите!) Исполь- зуя этот метод, получим 48 × 49 = (50 × 47) + (1 × 2) = 2352. Умножив это число на 50, получим 117 600 и тогда: 49 3 = 117 600 + 49 = 117 649. Вот задача посложнее. Попробуйте возвести в куб число 92. 92 3 = (90 × 92 × 94) + (2 2 × 92) Если вы умеете быстро возводить в квадрат двузначные числа, значит, можете вычислить 92 × 94 = 932 – 1 = 8648, либо применить метод совместной близости, следствие которого 92 × 94 = (90 × 96) + (2 × 4) = 8648. Итак, умножим это число на 9 (как описано в начале главы 8) — 9 × (8600 + 48) = 77 400 + + 432 = 77 832. Следовательно, 90 × 92 × 94 = 778 320. Далее, по- скольку 4 × 92 = 368, прибавим его и получим окончательный ответ: 92 3 = 778 320 + 368 = 778 688. Отметим, что при использовании метода совместной бли- зости для задач на умножение, возникающих при возведе- нии в куб трехзначного числа, малое произведение, которое Магия чисел нужно прибавить (в зависимости от значения d = 1, 2, 3, 4 или 5), будет равно 1 × 2 = 2; 2 × 4 = 8; 3 × 6 = 18; 4 × 8 = 32; 5 × 10 = 50. Возведем в куб число 96. 96 3 = (92 × 96 × 100) + (4 2 × 96) Произведение 92 × 96 = 8832 можно посчитать разными способами. Чтобы отпраздновать окончание данной главы, применим некоторые из уже изученных нами методов. Я нач- ну с самого, на мой взгляд, сложного, а закончу самым про- стым. По методу сложения (90 + 2) × 96 = 8640 + 192 = 8832; по методу вычитания 92 × (100 – 4) = 9200 – 368 = 8832; по ме- тоду разложения 92 × 6 × 4 × 4 = 552 × 4 × 4 = 2208 × 4 = 8832; по результатам возведения в квадрат 942 – 22 = 8836 – 4 = 8832; по методу совместной близости с основанием 90: (90 × 98) + + (2 × 6) = 8820 + 12 = 8832; и по методу совместной близости с основанием 100: (100 × 88) + (–8 × –4) = 8800 + 32 = 8832. Произведение 42 × 96 = 1536 тоже можно вычислить не- сколькими способами, такими как 96 × 4 × 4 = 384 × 4 = 1536 или 16 × (100 – 4) = 1600 – 64 = 1536. И наконец, поскольку 8832 × × 100 = 883 200, получаем окончательный ответ: 96 3 = 883 200 + 1 536 = 884 736 УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ 1. 12 3 2. 17 3 3. 21 3 4. 28 3 5. 33 3 6. 39 3 7. 40 3 7. 44 3 7. 52 3 10. 56 3 11. 65 3 12. 71 3 13. 78 3 14. 85 3 15. 87 3 16. 99 3 101 Глава 4 Разделяй и властвуй: деление в уме Деление в уме — чрезвычайно полезный навык как для биз- неса, так и для повседневной жизни. Сколько раз в неделю вы сталкиваетесь с ситуациями, которые требуют от вас что-то равномерно распределить, например счет в ресторане? Точно такой же навык оказывается кстати, когда вы хотите выяснить стоимость одной упаковки корма для собак, или поделить вы- игрыш во время игры в покер, или узнать, сколько литров бен- зина можно купить на 20 долларов. Способность делить в уме избавит вас от необходимости постоянно обращаться к каль- кулятору, когда вам нужно что-либо посчитать. При выполнении устного деления метод вычисления слева направо вступает в свои права. Именно ему нас учили в шко- ле, так что вы будете заниматься естественным для себя де- лом. Помню, что, будучи ребенком, думал, будто метод деле- ния слева направо олицетворяет то, какой арифметика долж- на быть в принципе. Я часто размышлял о том, что если бы в школе нашли способ преподавать и деление справа налево, они, вероятно, так бы и сделали! ДЕЛЕНИЕ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО Первый шаг при делении в уме — предположить, из сколь- ких цифр будет состоять итоговый ответ. Чтобы понять, что я имею в виду, попробуйте решить вот такую задачу: 102 Магия чисел 179 ÷ 7 Чтобы разделить 179 на 7, нужно найти такое число Q, ко- торое 7 раз по Q составит 179. Очевидно, что поскольку 179 на- ходится между 7 × 10 = 70 и 7 × 100 = 700, Q должно размещать- ся между 10 и 100. Стало быть, ответ является двузначным числом. Зная это, сначала определяем наибольшее кратное 10, которое может быть умножено на 7 и в итоге оказаться меньше 179. Нам известно, что 7 × 20 = 140 и 7 × 30 = 210, значит, от- вет будет в диапазоне «20 плюс». Отталкиваясь от этого, мы уже можем реально проговорить число «20», так как это будет часть ответа, и она точно не изменится. Далее вычитаем 179 – – 140 = 39. Теперь наша задача сведена к делению 39 ÷ 7. Так как 7 × 5 = 35, что на 4 меньше 39, у нас появилась вторая часть ответа «5» с остатком 4, или, если вы предпочитаете говорить так: 25 и 4/7. Вот как выглядит данный процесс деления * |